河北省邢臺(tái)市名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023—2024學(xué)年高二（下）質(zhì)檢聯(lián)盟期中考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第二冊(cè)第五章，選擇性必修第三冊(cè).一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某學(xué)校開(kāi)設(shè)了5門不同的科技類課程，5門不同的運(yùn)動(dòng)類課程和5門不同的自然類課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有（）A.5種 B.15種 C.25種 D.125種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，從各類課程中任選1門課程的不同選法共有種．故選：.2.由5對(duì)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，其樣本點(diǎn)呈直線趨勢(shì)，且線性回歸方程為，則（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】C【解析】【分析】利用線性回歸方程過(guò)樣本中心即可求解．【詳解】由題意可得，，又經(jīng)過(guò)點(diǎn),，所以，解得．故選：C．3.已知函數(shù)，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義及乘法求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算律計(jì)算求值.【詳解】因?yàn)?所以.故選：C.4.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A. B.448 C. D.196【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，要得到項(xiàng)，令，即.則的系數(shù)為.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件概率、對(duì)立事件概率公式直接求解即可.【詳解】故選：B.6.甲?乙兩社團(tuán)各有3名男黨員?3名女黨員，從甲?乙兩社團(tuán)中各隨機(jī)選出1名黨員參加憲法知識(shí)比賽.設(shè)事件為“從甲社團(tuán)中選出的是男黨員小凡”，事件為“從乙社團(tuán)中選出的是男黨員”，事件為“從甲?乙兩社團(tuán)中選出的是2名男黨員”，事件為“從甲?乙兩社團(tuán)中選出的是1名男黨員和1名女黨員”，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.與相互獨(dú)立 B.與相互獨(dú)立C.與相互獨(dú)立 D.與互斥【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的公式法判斷即可.【詳解】由題意可得.因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立，正確.因?yàn)?，所以與不相互獨(dú)立，錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立，C正確.因?yàn)?，所以與互斥，正確.故選：B7.袋中裝有4個(gè)黑球和3個(gè)白球，現(xiàn)從中不放回地取球，每次取1個(gè)球，直到將袋中的白球取完即終止.每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，則終止取球時(shí)，恰有1個(gè)黑球沒(méi)有被取出的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】“終止取球時(shí)，恰有1個(gè)黑球沒(méi)有被取出”等價(jià)于“取出了3個(gè)白球和3個(gè)黑球”，由此根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，“終止取球時(shí)，恰有1個(gè)黑球沒(méi)有被取出”等價(jià)于“取出了3個(gè)白球和3個(gè)黑球”，故所求的概率為.故選：C.8.若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)點(diǎn)，寫出切線方程，將點(diǎn)代入切線方程得，此方程有兩個(gè)不同的解，利用導(dǎo)數(shù)求b的范圍.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以.設(shè)，所以，所以當(dāng)時(shí)，h'x>0，hx當(dāng)時(shí)，h'x<0，hx所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，的圖象如圖：由題意可知，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如表所示，若離散型隨機(jī)變量滿足，則（）12340.50.30.1A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】運(yùn)用分布列性質(zhì)求，再用均值和方差公式及其性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由分布列的性質(zhì)知，則.對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)B，，故B正確；對(duì)D，，故D正確.故選：BD.10.已知，函數(shù)的大致圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】分別在、和的情況下，結(jié)合函數(shù)奇偶性和導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定ABC正確；根據(jù)D中圖象可確定，知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，為定義在上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，恒成立，由對(duì)稱性知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，恒成立，又，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，恒成立，由對(duì)稱性知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，恒成立，又，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，，的定義域?yàn)?，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，恒成立；由對(duì)稱性知：在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，恒成立，C正確；對(duì)于D，由圖象可知：，即在處有意義，則；又圖象關(guān)于軸對(duì)稱，偶函數(shù)，，此時(shí)圖象應(yīng)為B中圖象，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.某同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，設(shè)該同學(xué)每次投中的概率均為，且每次投籃互不影響，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，該同學(xué)共進(jìn)行3次投籃，恰好命中2次的概率為0.144B.當(dāng)時(shí)，該同學(xué)共進(jìn)行10次投籃，表示命中的次數(shù)，則C.當(dāng)時(shí)，該同學(xué)共進(jìn)行10次投籃，恰好命中次的概率為時(shí)，最大D.若該同學(xué)共進(jìn)行次投籃，其中投中次的概率為，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)概率判斷A，應(yīng)用二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望判斷B，根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)概率最大值判斷C，應(yīng)用二項(xiàng)式系數(shù)和計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，所求概率為.對(duì)于選項(xiàng)，.對(duì)于選項(xiàng)，，當(dāng)最大時(shí)，，即所以即解得，又，所以.故為6時(shí)，最大.對(duì)于D選項(xiàng)，.因?yàn)?，，兩式相加得，所以，所?故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知隨機(jī)變量服從，若，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)求概率.【詳解】因?yàn)?及正態(tài)分布的對(duì)稱性可得.故答案：.13.要安排5名學(xué)生到3個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去1個(gè)村，每個(gè)村里至少安排1名志愿者，其中學(xué)生甲不分配到村，則不同的安排方法種數(shù)為_(kāi)_____.【答案】100【解析】【分析】結(jié)合分類討論，應(yīng)用分步計(jì)數(shù)及分組分配計(jì)算.【詳解】當(dāng)村安排1人時(shí)，不同的安排方法種數(shù)為；當(dāng)村安排2人時(shí)，不同的安排方法種數(shù)為；當(dāng)村安排3人時(shí)，不同的安排方法種數(shù)為.綜上，共有56+36+8=100種不同的安排方法.故答案為：10014.已知函數(shù)的最小值為0，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】令，有，換元可得，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求得.進(jìn)而有解，分類討論和結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求得的取值范圍.【詳解】令，則，由，換元可得，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，則.因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為0，所以有解，當(dāng)時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，則，即有解.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以hx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以或.綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)最小值求參數(shù)范圍問(wèn)題，常常構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性得到最值，結(jié)合參數(shù)分類討論得到參數(shù)范圍；四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.為了給學(xué)生提供更為豐富的校園文化生活，學(xué)校增設(shè)了兩門全新的課程，學(xué)生根據(jù)自己的興趣愛(ài)好在這兩門課程中任選一門進(jìn)行學(xué)習(xí).學(xué)校統(tǒng)計(jì)了學(xué)生的選課情況，得到如下表格.選擇課程選擇課程男生4060女生2080（1）根據(jù)上表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷選擇課程與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從男生的樣本中，按分層抽樣的方法選出5人組成一個(gè)小組，再?gòu)倪@5名男生中抽取3人做問(wèn)卷調(diào)查，求這3人中選擇課程的人數(shù)比選擇課程的人數(shù)多的概率.附：.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1）能（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)表格計(jì)算卡方值，并依據(jù)小概率值進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)即可；（2）根據(jù)分層隨機(jī)抽樣可得到選擇課程和的人數(shù)，進(jìn)而根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】零假設(shè)：選擇課程與性別無(wú)關(guān).根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為選擇課程與性別有關(guān).【小問(wèn)2詳解】選出的5名男生中，選擇課程的人數(shù)為，選擇課程人數(shù)為，這3人中選擇課程的人數(shù)比選擇課程的人數(shù)多有如下兩種可能：選擇課程有3人，數(shù)選擇課程有0人，此種有種選法；選擇課程有2人，數(shù)選擇課程有1人，此種有種選法；記“這3人中選擇課程的人數(shù)比選擇課程的人數(shù)多”為事件,.16.某檔知識(shí)競(jìng)賽節(jié)目的規(guī)則如下：甲?乙兩人以搶答的方式答題，搶到并回答正確得1分，答錯(cuò)則對(duì)方得1分，先得3分者獲勝.已知甲?乙兩人每次搶到題的概率都為，甲?乙兩人每道題答對(duì)的概率分別為，并且每道題兩人答對(duì)與否相互獨(dú)立.（1）求第一題結(jié)束時(shí)甲獲得1分的概率；（2）求甲獲得勝利的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解；（2）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】第一題結(jié)束時(shí)甲獲得1分的概率為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，在每道題的搶答中甲、乙獲得1分的概率分別為，兩人共搶答了3道題，比賽結(jié)束且甲獲勝的概率，兩人共搶答了4道題，比賽結(jié)束且甲獲勝的概率，兩人共搶答了5道題，比賽結(jié)束且甲獲勝的概率，故甲獲得勝利的概率.17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，再對(duì)分類討論，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解單調(diào)性；（2）對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出的最小值，結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求解的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)椋?若，則恒成立，在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問(wèn)2詳解】，則，又因函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，，，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的最小值為，且，所以在上至多只有一個(gè)零點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù).（1）求的極值.（2）已知，且.①求的取值范圍；②證明:.【答案】（1）極小值0，極大值（2）①；②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性根據(jù)極值定義求解；（2）根據(jù)，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值求得的取值范圍；利用單調(diào)性可知，令，則，求得，利用分析法將所要證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)時(shí)，取得極大值.【小問(wèn)2詳解】①因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，又，，所以的取值范圍為.②因?yàn)?，，由?）的單調(diào)性可知，令，則，因?yàn)?，所以，即，解得，所以，要證，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故成立.19.“布朗運(yùn)動(dòng)”是指懸浮在液體或氣體中的微小顆粒所做的永不停息的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，在如圖所示的試驗(yàn)容器中，容器由三個(gè)倉(cāng)組成，某粒子做布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)每次會(huì)從所在倉(cāng)的通道口中等可能隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰倉(cāng)，且粒子經(jīng)過(guò)次隨機(jī)選擇后到達(dá)2號(hào)倉(cāng)的概率為，已知該粒子的初始位置在2號(hào)倉(cāng).（1）求；（2）證明數(shù)列Pn-1（3）粒子經(jīng)過(guò)4次隨機(jī)選擇后，記粒子在1號(hào)倉(cāng)出現(xiàn)的次