新教材數(shù)學(xué)人教A選擇性必修第一冊課件2.5.1　直線與圓的位置關(guān)系

2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2.5.1直線與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)給定直線與圓的方程,判定直線與圓的位置關(guān)系.2.利用圓的幾何性質(zhì)探索解決直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)問題的方法.3.能用直線與圓的方程解決一些簡單數(shù)學(xué)問題與實際問題.設(shè)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直線l:Ax+By+C=0,圓心C(a,b)到直線l的距離d=

,由

消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,其判別式為Δ.1|直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個數(shù)①2

1②0

幾何法③

d<r

④

d=r

d>r代數(shù)法Δ>0⑤

Δ=0

⑥

Δ<0

1.若點(diǎn)在圓外,則過此點(diǎn)可以作圓的兩條切線;2.若點(diǎn)在圓上,則過此點(diǎn)只能作圓的一條切線,且此點(diǎn)是切點(diǎn);3.若點(diǎn)在圓內(nèi),則過此點(diǎn)不能作圓的切線.2|圓的切線1.若直線與圓有公共點(diǎn),則直線與圓相交.

(

?)提示:直線與圓有公共點(diǎn),它們可能相交,也可能相切,故結(jié)論不正確.2.若直線與圓相交,則相交弦的垂直平分線經(jīng)過圓的圓心.(√)提示:由直線與圓的相交弦的性質(zhì)知結(jié)論正確.3.若圓心到直線的距離大于半徑,則直線與圓的方程聯(lián)立得到的方程組無解.

(√)提示:圓心到直線的距離大于半徑,則直線與圓相離,方程組一定無解,故結(jié)論正確.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.4.過點(diǎn)P和圓相切的直線有兩條.

(

?

)提示:當(dāng)點(diǎn)P在圓的外部時,有兩條切線;當(dāng)點(diǎn)P在圓上時,有一條切線;當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)

時,沒有切線.因此結(jié)論錯誤.5.設(shè)直線l:y=kx+m與圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的交點(diǎn)分別為A、B,d為圓心C(a,b)到直線l的距離,則弦長|AB|=2

.

(√)提示:設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D,則|CD|=d,在直角三角形ACD中,|AD|2=|AC|2-|CD|2,從而|

AB|=2|AD|=2

.因此結(jié)論正確.1|直線與圓的位置關(guān)系的判定

1.直線與圓的位置關(guān)系有三種:相交、相切、相離.主要區(qū)別是直線與圓的公共點(diǎn)

的個數(shù).2.直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法:由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.(2)代數(shù)法:根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組解的組數(shù)來判斷.(3)直線系法:若直線恒過定點(diǎn),則通過判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來判斷直線與圓

的位置關(guān)系.但有一定的局限性,必須是過定點(diǎn)的直線系.已知圓x2+y2=1與直線y=kx-3k,當(dāng)k分別為何值時,直線與圓的位置關(guān)系滿足下

列條件:①相交;②相切;③相離.解析

解法一(代數(shù)法):聯(lián)立

消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0,則Δ=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2).①當(dāng)直線與圓相交時,Δ>0,即-

<k<

;②當(dāng)直線與圓相切時,Δ=0,即k=±

;③當(dāng)直線與圓相離時,Δ<0,即k<-

或k>

.解法二(幾何法):圓心(0,0)到直線y=kx-3k的距離d=

=

.由題意知,圓的半徑r=1.①當(dāng)直線與圓相交時,d<r,即

<1,解得-

<k<

;②當(dāng)直線與圓相切時,d=r,即

=1,解得k=±

;③當(dāng)直線與圓相離時,d>r,即

>1,解得k<-

或k>

.

過點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程的求法(1)若點(diǎn)P在圓上,求點(diǎn)P與圓心連線的斜率,若斜率存在且不為0,記為k,則切線斜率

為-

;若斜率為0,則切線斜率不存在;若斜率不存在,則切線斜率為0.(2)若點(diǎn)P在圓外,設(shè)切線斜率為k,寫出切線方程,利用圓心到切線的距離等于半

徑r,解出k即可(若僅求出一個k值,則有一條斜率不存在的切線).

切線長的求法過圓外一點(diǎn)P,可作圓的兩條切線,我們把點(diǎn)P與切點(diǎn)之間的線段的長稱為切線長.

切線長可由勾股定理來計算.如圖,從圓外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

的切線,則切線長為

.2|與圓的切線相關(guān)問題的求法

過圓上一點(diǎn)的切線僅有一條,可熟記下列結(jié)論(1)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=r2(r>0)上,則過點(diǎn)P的切線方程為x0x+y0y=r2;(2)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則過點(diǎn)P的切線方程為(x-a)(x0-a)+(y-b)

(y0-b)=r2;(3)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,則過點(diǎn)P的切線方程為x0x+y

0y+D·

+E·

+F=0.(1)由直線y=x+1上任一點(diǎn)向圓(x-3)2+y2=1引切線,則該切線長的最小值為

(

C)A.1

B.2

C.

D.3(2)過點(diǎn)A(4,-3)作圓C:(x-3)2+(y-1)2=1的切線,則其切線長為

.4解析

(1)由題意得,圓心(3,0)到直線y=x+1的距離d=

=2

,圓的半徑為1,故切線長的最小值為

=

=

.(2)由題意得圓心C的坐標(biāo)為(3,1).設(shè)切點(diǎn)為B,則△ABC為直角三角形,又|AC|=

=

,|BC|=1,所以|AB|=

=

=4,所以切線長為4.

直線與圓相交時的弦長求法如圖所示:

3|直線與圓相交的弦長及圓的中點(diǎn)弦問題幾何法利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d,弦長l之間的

關(guān)系r2=d2+

解題交點(diǎn)法若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出,則直接用兩點(diǎn)間

的距離公式計算弦長公式法設(shè)直線l:y=kx+b與圓的兩交點(diǎn)分別為(x1,y1),(x2,y2),

將直線方程代入圓的方程,消元后利用根與系數(shù)

的關(guān)系得弦長l=

|x1-x2|=

圓的中點(diǎn)弦問題(1)如講解1中的圖,線段AB是圓C的弦,D是弦AB的中點(diǎn),則在解題中可應(yīng)用以下性

質(zhì):①AB⊥CD,如果斜率kAB,kCD都存在,則kAB·kCD=-1;②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),則x0=

,y0=

.(2)解決與中點(diǎn)弦有關(guān)的問題,有下列三種常見方法:①利用根與系數(shù)的關(guān)系求出中點(diǎn)坐標(biāo);②設(shè)出弦的兩個端點(diǎn)的坐標(biāo),代入圓的方程利用作差法求出斜率,此法即為點(diǎn)差

法;③利用圓本身的幾何性質(zhì),即圓心與非直徑的弦中點(diǎn)的連線與弦垂直解決問題.直線l經(jīng)過點(diǎn)P(5,5),且和圓C:x2+y2=25相交于A,B兩點(diǎn),截得的弦長為4

,求直線l的方程.思路點(diǎn)撥通過討論直線斜率不存在的情況,可知不符合題意,則可直接設(shè)出直線的點(diǎn)斜式

方程.思路一:聯(lián)立直線與圓的方程,消去y,得到一個關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系

數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長公式,求出k,進(jìn)而求出l的方程;思路二:求出圓心到直線l的距離,利用半徑長、半弦長、圓心到直線的距離之間

的關(guān)系求解.解析

若直線l的斜率不存在,則l:x=5,與圓C相切,不合題意,所以直線l的斜率存

在.設(shè)直線l的方程為y-5=k(x-5),且與圓相交于A(x1,y1),B(x2,y2).解法一:由

消去y,得(k2+1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0.所以Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)·25k(k-2)>0,解得k>0.又因為x1+x2=-

,x1x2=

,所以|AB|=

=

=4

.兩邊平方,整理得2k2-5k+2=0,解得k=

或k=2,均符合題意.故直線l的方程為x-2y+5=0或2x-y-5=0.解法二:將直線方程y-5=k(x-5),整理成一般式為kx-y+5(1-k)=0.設(shè)圓心(0,0)到直線l的距離為d,則d=

,又d=

=

=

,所以

=

,解得k=

或k=2.所以直線l的方程為x-2y+5=0或2x-y-5=0.易錯警示設(shè)直線斜率求直線方程時,要注意斜率不存在的情況,若斜率不存在時的直線符

合題意,則要注意補(bǔ)充.

解決實際問題的一般步驟(1)閱讀理解,認(rèn)真審題,了解問題的實際情境,把握問題的數(shù)學(xué)本質(zhì).(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號,具體分析問題中的數(shù)量關(guān)系,正確建立數(shù)學(xué)模型,將實際問題轉(zhuǎn)

化為數(shù)學(xué)問題.(3)利用數(shù)學(xué)方法將得到的數(shù)學(xué)問題(數(shù)學(xué)模型)予以解答,求得結(jié)果.(4)轉(zhuǎn)化為具體問題,作出解答.

用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的思維過程

4|利用直線、圓的方程解決實際問題與平面幾何問題一艘輪船沿直線返回港口的途中,接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報,臺風(fēng)中心位于輪

船正西70km處,受影響的范圍是半徑為30km的圓形區(qū)域,已知港口位于臺風(fēng)中

心正北40km處,如果這艘輪船不改變航線,那么它是否會受到臺風(fēng)的影響?信息提取①臺風(fēng)影響的范圍是以臺風(fēng)中心為圓心、30km為半徑的圓形區(qū)域;②輪船從臺

風(fēng)中心正東70km處,向位于臺風(fēng)中心正北40km處的港口航行.數(shù)學(xué)建模以航海中的實際問題,航線及受臺風(fēng)影響的范圍為背景,建立直線與

圓位置關(guān)系的模型.建立平面直角坐標(biāo)系,將問題轉(zhuǎn)化為探索圓與直線是否相交,

只需用點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷.解析

以臺風(fēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn),東西方向為x軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示),

其中取10km為單位長度,則受臺風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對應(yīng)的圓的方程為x2+y2=9,港口所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4),輪船的初始位置所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(7,0),則輪船航線所在直線l的方程為

+

=1,即4x+7y-28=0,圓心(0,0)到l:4x+7y-28=0的距離d=

=

,因為

>3,所以直線與圓相離.故輪船不會受到臺風(fēng)的影響.解題模板解決直線與圓的實際應(yīng)用題的步驟1.審題:從題目中抽象出幾何模型,明確已知和未知.2.建系:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示幾何模型中的基本元素.3.求解:利用直線與圓的有關(guān)知識求出未知.4.還原:將運(yùn)算結(jié)果還原到實際問題中去.

利用圓的方程解決最值問題的方法(1)由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義,然后利用直線與圓的方程及解析

幾何的有關(guān)知識并結(jié)合圖形的直觀性來分析解決問題,常涉及的幾何量有:①關(guān)于x、y的一次分式形式常轉(zhuǎn)化為直線的斜率;②關(guān)于x、y的一次式常轉(zhuǎn)化為直線的截距;③關(guān)于x、y的二次式常轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離.(2)轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式,利用函數(shù)的性質(zhì)解決.(3)利用三角代換,若點(diǎn)P(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則設(shè)

(θ為參數(shù)),代入目標(biāo)函數(shù),利用三角函數(shù)知識求最值.5|如何解決與圓有關(guān)的最值問題已知圓C:(x+2)2+y2=1,P(x,y)為圓C上任一點(diǎn).(1)求

的最大值與最小值;(2)求x-2y的最大值與最小值.思路點(diǎn)撥(1)形如u=

形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(x,y)和(a,b)的動直線斜率的最值問題;(2)形如l=ax+by形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線y=-

x+

的截距的最