新高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案第34講 平面向量的概念與線性運(yùn)算（解析版）

第34講平面向量的概念與線性運(yùn)算1、向量的有關(guān)概念(1)零向量：長度為0的向量叫零向量，其方向是不確定的．(2)平行(共線)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我們規(guī)定零向量與任一向量平行．(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量．(4)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(5)相反向量：與向量a長度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．2、向量的線性運(yùn)算(1)向量加法滿足交換律a＋b＝b＋a，結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．向量加法可以使用三角形法則，平行四邊形法則．(2)向量的數(shù)乘：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度和方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ>0時，λa與a方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與a方向相反；當(dāng)a＝0時，λa＝0；當(dāng)λ＝0時，λa＝0．(3)實(shí)數(shù)與向量的運(yùn)算律：設(shè)λ，μ∈R，a，b是向量，則有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．3、向量共線定理：如果有一個實(shí)數(shù)λ，使b＝λa(a≠0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a≠0)是共線向量，那么有且只有一個實(shí)數(shù)λ，使b＝λa．1、【2022年新高考1卷】在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA．記CA=m，CD=A．3m?2n B．?2m【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即所以CB=3CD?2故選：B．2、【2020年新高考2卷（海南卷）】在SKIPIF1<0中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0故選：C1、在下列命題中，真命題的是．（填序號）①長度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線．【答案】①③⑤【解析】由定義知①正確；零向量的方向是任意的，故②不正確；③，⑤顯然正確，④不正確．2、如圖，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，則eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)b－eq\f(1,3)aB.eq\f(5,12)a－eq\f(3,4)bC.eq\f(3,4)a－eq\f(1,3)bD.eq\f(5,12)b－eq\f(3,4)a【答案】D【解析】由題意，得eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)（eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))）－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,12)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)a＋eq\f(5,12)b.3、已知eq\o(MP,\s\up6(→))＝4e1＋2e2，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2e1＋te2，若M、P、Q三點(diǎn)共線，則t＝()A.1B.2C.4D.－1【答案】A【解析】∵M(jìn)、P、Q三點(diǎn)共線，則eq\o(MP,\s\up6(→))與eq\o(PQ,\s\up6(→))共線，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→))，即4e1＋2e2＝λ(2e1＋te2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝2λ，,2＝λt，))解得t＝1.故選A.4、已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝4a－b，則()A.A，B，D三點(diǎn)共線 B.A，B，C三點(diǎn)共線C.B，C，D三點(diǎn)共線 D.A，C，D三點(diǎn)共線【答案】A【解析】由題意得eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋5b＝eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線.考向一平面向量的有關(guān)概念例1、給出下列命題，正確的有()A．若兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同B．若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形C．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥bD．已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線【答案】B【解析】A錯誤，兩個向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個向量相等，但兩個向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；B正確，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形；C錯誤，當(dāng)a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件；D錯誤，當(dāng)λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線．變式1、給出下列命題：①若兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形；④在平行四邊形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；⑤若m＝n，n＝p，則m＝p；⑥若a∥b，b∥c，則a∥c.其中錯誤的命題是．（填序號）【答案】①②③⑥【解析】若兩向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩向量相等，但兩相等向量，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，故①錯誤；若|a|＝|b|，則a與b大小相等，但a與b的方向不確定，所以a，b不一定相等，故②錯誤；若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點(diǎn)有可能在一條直線上，故③錯誤；④，⑤顯然正確；零向量與任一向量平行，故當(dāng)b＝0時，a與c不一定平行，故⑥錯誤．變式2、如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心．（1）與SKIPIF1<0相等的向量有；（2）與SKIPIF1<0相等的向量有；（3）與SKIPIF1<0共線的向量有．答案：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．方法總結(jié)：向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度．(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制．(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等．(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度．(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0，規(guī)定零向量與任意向量共線．考向二向量的線性運(yùn)算例2、如圖，在△ABC中，eq\f(CD,DA)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,2)，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(CA,\s\up6(→))＋μeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＋μ＝.【答案】eq\f(2,3)【解析】由題意，得eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)（eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))）＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→)).又eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(CA,\s\up6(→))＋μeq\o(CB,\s\up6(→))，所以λ＝μ＝eq\f(1,3)，λ＋μ＝eq\f(2,3).變式1、（1）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))（2）如圖，在等腰梯形ABCD中，DC＝eq\f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于點(diǎn)E，則eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】（1）A（2）A【解析】1．作出示意圖如圖所示．eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A.2．因?yàn)镈C＝eq\f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC，所以E是AC的中點(diǎn)，可得eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選A.變式2、設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝．（用eq\o(OM,\s\up6(→))表示）【答案】4eq\o(OM,\s\up6(→))【解析】因?yàn)镸是平行四邊形ABCD對角線AC，BD的交點(diǎn)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝4eq\o(OM,\s\up6(→)).方法總結(jié)：向量的線性運(yùn)算，即用幾個已知向量表示某個向量，基本技巧為：一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．考向三共線定理的應(yīng)用例3、設(shè)兩個非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb同向．【解析】(1)由題意，得eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線．又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線．(2)因?yàn)閗a＋b與a＋kb同向，所以存在實(shí)數(shù)λ(λ＞0)，使得ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，所以(k－λ)a＝(λk－1)b.因?yàn)閍，b是不共線的兩個非零向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,λ＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,λ＝－1.))又因?yàn)棣耍?，所以k＝1.變式1、如圖，在△ABC中，D是BC上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC，AD的三等分點(diǎn)，且分別靠近A，D兩點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)試用a，b表示eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))；(2)證明：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【解析】(1)由題意，得eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)（eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))）＝a＋eq\f(1,4)(b－a)＝eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,3)b.(2)因?yàn)閑q\o(BE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,3)b，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(2,3)（eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b）＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,6)b＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,3)b))＝eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up6(→))，所以eq\o(BF,\s\up6(→))與eq\o(BE,\s\up6(→))共線．又eq\o(BF,\s\up6(→))與eq\o(BE,\s\up6(→))有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．變式2、如圖，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.試用a和b表示eq\o(OM,\s\up6(→)).【解析】設(shè)eq\o(OM,\s\up6(→))＝ma＋nb，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)b.又∵A、M、D三點(diǎn)共線，∴eq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))共線．∴存在實(shí)數(shù)t，使得eq\o(AM,\s\up6(→))＝teq\o(AD,\s\up6(→))，即(m－1)a＋nb＝t(－a＋eq\f(1,2)b)．∴(m－1)a＋nb＝－ta＋eq\f(1,2)tb.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1＝－t，,n＝\f(t,2)，))消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1①.又∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝ma＋nb－eq\f(1,4)a＝(m－eq\f(1,4))a＋nb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,4)a＝－eq\f(1,4)a＋b.又∵C、M、B三點(diǎn)共線，∴eq\o(CM,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))共線．∴存在實(shí)數(shù)t1，使得eq\o(CM,\s\up6(→))＝t1eq\o(CB,\s\up6(→))，∴(m－eq\f(1,4))a＋nb＝t1(－eq\f(1,4)a＋b)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)＝－\f(1,4)t1，,n＝t1，))消去t1得，4m＋n＝1②.由①②得m＝eq\f(1,7)，n＝eq\f(3,7)，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b.方法總結(jié)：利用共線向量定理解題的方法(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù)．注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線．即A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))共線．(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up7(→))＝λeq\o(OB,\s\up7(→))＋μeq\o(OC,\s\up7(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1.1、已知a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋2b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三點(diǎn)共線，則λ的值為()A.－1B.－2C.－2或1D.－1或2【答案】D【解析】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在唯一一個實(shí)數(shù)μ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，即λa＋2b＝μ[a＋(λ－1)b]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,2＝μ(λ－1)，))解得λ＝－1或λ＝2.2、.在△ABC中，下列命題正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C.若(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，則△ABC為等腰三角形D.若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＞0，則△ABC為銳角三角形【答案】BC【解析】由向量的運(yùn)算法則知eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，故A錯，B對；∵(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AC,\s\up6(→))2＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\o(AC,\s\up6(→))2，即AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形，故C對；∵eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＞0，∴角A為銳角，但三角形不一定是銳角三角形．故選BC.3、（2020屆山東省泰安市高三上期末）如圖，在四邊形ABCD中