課標專用5年高考3年模擬A版2024高考數學專題五平面向量2平面向量的數量積及平面向量的應用試題文

PAGEPAGE11平面對量的數量積及平面對量的應用探考情悟真題【考情探究】考點內容解讀5年考情預料熱度考題示例考向關聯考點平面對量的數量積①理解平面對量數量積的含義及其物理意義;②駕馭向量夾角概念及其范圍,駕馭向量長度的表示;③了解平面對量的數量積與向量投影的關系;④駕馭數量積的坐標表達式,會進行平面對量數量積的運算;⑤理解數量積的性質,并能運用2024課標全國Ⅱ,4,5分平面對量的數量積向量的模★★★2024課標Ⅱ,4,5分平面對量的數量積—平面對量數量積的應用①能運用數量積解決兩向量的夾角問題和長度問題;②會用數量積推斷兩個向量的平行、垂直關系;③會用向量方法解決某些簡潔的平面幾何問題、力學問題與一些實際問題2024課標全國Ⅰ,13,5分兩向量垂直的充要條件坐標運算★★☆2024課標全國Ⅰ,8,5分平面對量的夾角向量的模2024課標全國Ⅲ,13,5分平面對量的夾角平面對量的坐標運算分析解讀從近幾年的高考試題來看,高考對本節(jié)內容的考查以選擇題和填空題為主,考查平面對量的數量積及其幾何意義以及坐標表示,用以解決有關長度、角度、垂直、推斷三角形形態(tài)等問題;考查形式除小題之外,還可能與函數、解析幾何等學問綜合在一起以解答題的形式出現,主要考查學生的審題實力和學問遷移實力,難度適中.破考點練考向【考點集訓】考點一平面對量的數量積1.(2025屆寧夏銀川一中9月月考,5)已知向量a,b的夾角為銳角,|a|=3,|b|=11,且a與a-b夾角的余弦值為33A.4 B.5 C.6 D.7答案B2.(2024天津,8,5分)在如圖的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM=2MA,CN=2NA,則BC·OM的值為()A.-15 B.-9 C.-6 D.0答案C3.已知點A,B,C滿意|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,則AB·BC+BC·CA+CA·AB的值為.

答案-25考點二平面對量數量積的應用1.(2025屆安徽A10聯盟摸底考試,6)在△ABC中,D為邊BC的中點,且AD·CD=5,AB=6,則AC=()A.2 B.3 C.4 D.5答案C2.(2025屆湖北漢陽模擬,8)若M為△ABC所在平面內一點,且滿意(MB-MC)·(MB+MC-2MA)=0,則△ABC為()A.直角三角形 B.一般等腰三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形答案B3.(2024廣東普寧一中月考,14)已知|OA|=2,|OB|=4,OA·OB=4,則以向量OA,OB為鄰邊的平行四邊形的面積為.

答案434.(2024廣東深圳外國語中學模擬,17)設向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).(1)若a與b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值.答案(1)b-2c=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ).∵a與b-2c垂直,∴a·(b-2c)=4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinα·sinβ=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,∴tan(α+β)=2.(2)由b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),得|b+c|=(sinβ+cosβ)當且僅當sin2β=-1,即β=kπ-π4所以|b+c|的最大值為42.煉技法提實力【方法集訓】方法1平面對量的模的求解方法1.(2024湖南湖北八市十二校第一次調研,2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),則|a-2b|等于()A.1 B.3 C.4 D.5答案D2.(2025屆河南十所名校9月聯考,10)若a,b,c均為單位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,則|a+b-c|的最大值為()A.2-1 B.1 C.2 D.2答案B方法2平面對量夾角的求解方法1.已知i、j分別是與x軸、y軸方向相同的單位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a、b的夾角為銳角,則實數λ的取值范圍是()A.-∞,12C.-2,23答案D2.(2024課標全國Ⅲ,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cos<a,b>=.

答案-23.已知非零向量a,b滿意|a+b|=|a-b|=233|a|,則向量a+b與a-b的夾角為答案π方法3用向量法解決平面幾何問題1.(2024四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分別為△ABC的重心和外心,且OG·BC=5,則△ABC的形態(tài)是()A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.上述三種狀況都有可能答案B2.(2025屆黑龍江牡丹江調研考試,14)在平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線,AB=(2,4),AC=(1,3),則|BD|=.

答案343.(2025屆湖南長沙一中月考,14)在平行四邊形ABCD中,∠BAD=60°,E是CD上一點,且AE=12AB+BC,|AB|=λ|AD|,若AC·EB=12答案2

【五年高考】A組統一命題·課標卷題組考點一平面對量的數量積1.(2024課標全國Ⅱ,4,5分)已知向量a,b滿意|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=()A.4 B.3 C.2 D.0答案B2.(2024課標Ⅱ,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a=()A.-1 B.0 C.1 D.2答案C考點二平面對量數量積的應用1.(2024課標全國Ⅰ,8,5分)已知非零向量a,b滿意|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為()A.π6 B.π3 C.2π答案B2.(2024課標全國Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=.

答案7B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點一平面對量的數量積1.(2024天津,7,5分)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點D,E分別是邊AB,BC的中點,連接DE并延長到點F,使得DE=2EF,則AF·BC的值為()A.-58 B.18 C.1答案B2.(2024上海,8,5分)在平面直角坐標系中,已知點A(-1,0)、B(2,0),E、F是y軸上的兩個動點,且|EF|=2,則AE·BF的最小值為.

答案-3考點二平面對量數量積的應用1.(2024北京,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,則m=.

答案82.(2024北京,9,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,1),則a與b夾角的大小為.

答案π3.(2024北京,12,5分)已知點P在圓x2+y2=1上,點A的坐標為(-2,0),O為原點,則AO·AP的最大值為.

答案64.(2024天津,14,5分)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,點E在線段CB的延長線上,且AE=BE,則BD·AE=.

答案-15.(2024天津,14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,則λ的值為.

答案36.(2024江蘇,12,5分)如圖,在△ABC中,D是BC的中點,E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點O.若AB·AC=6AO·EC,則ABAC的值是答案3C組老師專用題組考點一平面對量的數量積1.(2024課標Ⅱ,4,5分)設向量a,b滿意|a+b|=10,|a-b|=6,則a·b=()A.1 B.2 C.3 D.5答案A2.(2024浙江,10,4分)如圖,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點O.記I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,則()A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3答案C3.(2010全國Ⅰ,11,5分)已知圓O的半徑為1,PA,PB為該圓的兩條切線,A,B為兩切點,則PA·PB的最小值為()A.-4+2 B.-3+2C.-4+22 D.-3+22答案D4.(2024湖北,11,5分)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,則OA·OB=.

答案95.(2024江蘇,13,5分)如圖,在△ABC中,D是BC的中點,E,F是AD上的兩個三等分點,BA·CA=4,BF·CF=-1,則BE·CE的值是.

答案76.(2024天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.點E和F分別在線段BC和DC上,且BE=23BC,DF=16DC,則AE·答案297.(2013課標Ⅱ,14,5分)已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點,則AE·BD=.

答案2考點二平面對量數量積的應用1.(2024課標全國Ⅲ,3,5分)已知向量BA=12,32,A.30° B.45° C.60° D.120°答案A2.(2024重慶,7,5分)已知非零向量a,b滿意|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),則a與b的夾角為()A.π3 B.π2 C.2π答案C3.(2024陜西,8,5分)對隨意平面對量a,b,下列關系式中不恒成立····A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案B4.(2024浙江,9,4分)已知a,b,e是平面對量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為π3,向量b滿意b2A.3-1 B.3+1 C.2 D.2-3答案A5.(2024北京,9,5分)設向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),則m=.

答案-16.(2024課標全國Ⅲ,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,則m=.

答案27.(2024課標全國Ⅰ,13,5分)設向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,則x=.

答案-28.(2024江蘇,12,5分)如圖,在同一個平面內,向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為α,且tanα=7,OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),則m+n=.

答案39.(2024浙江,13,4分)已知e1,e2是平面單位向量,且e1·e2=12.若平面對量b滿意b·e1=b·e2=1,則|b|=答案210.(2024安徽,15,5分)△ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿意AB=2a,AC=2a+b,則下列結論中正確的是.(寫出全部正確結論的編號)

①a為單位向量;②b為單位向量;③a⊥b;④b∥BC; ⑤(4a+b)⊥BC.答案①④⑤11.(2013課標Ⅰ,13,5分)已知兩個單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,則t=.

答案212.(2012課標全國,15,5分)已知向量a,b夾角為45°,且|a|=1,|2a-b|=10,則|b|=.

答案32【三年模擬】時間:50分鐘分值:70分一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2025屆山東夏季高考模擬,3)設向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-λb)⊥c,則λ=()A.3 B.2 C.-2 D.-3答案A2.(2024遼寧葫蘆島調研,9)若向量OA=(1,-1),|OA|=|OB|,OA·OB=-1,則向量OA與OB-OA的夾角為()A.π6 B.π3 C.2π答案D3.(2025屆河南十所名校尖子生聯考,7)已知非零向量a,b滿意|a|=λ|b|,若a,b夾角的余弦值為1930A.-49 B.23 C.32或-答案D4.(2024湖北武漢模擬,9)已知向量a,b滿意|a|=4,b在a方向上的投影為-2,則|a-3b|的最小值為()A.12 B.10 C.10 D.2答案B5.(2025屆湖南衡陽摸底考試,11)若在△ABC中,BC=1,其外接圓圓心O滿意3AO=AB+AC,則AB·AC=()A.12 B.22 C.答案A6.(2024安徽師大附中二模,7)在△ABC中,AB=2AC=6,BA·BC=BA2,點P是△ABC所在平面內一點,則當PA2+PB2+PC2取得最小值時,A.272 B.-272答案D7.(2025屆安徽六安一中第一次月考,11)在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=4,M是邊AB的中點,N是CM的中點,延長AN交BC于點D,則AD·AC=()A.-8 B.8 C.-9 D.9答案B8.(2024遼寧部分重點中學聯考,11)平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=1,AB·AD=-1,點M在邊CD上,則MA·MB的最大值為()A.2 B.3-1C.0 D.2-1答案A二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2024河北衡水其次次調研,15)如圖所示,|AB|=5,|AE|=5,AB·AE=0,且AB=2AD,AC=3AE,連接BE,CD交于點F,則|AF|=.

答案14510.(2025屆江蘇高郵摸底考試,12)如圖,在△ABC中,AB=AC,BC=2,AD=DC,AE=12EB,若BD·AC=-12,則CE·AB答案-4三、解答題(共20分)11.(2025屆豫北六校對抗賽,17)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3