高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案28第四章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第三講平面向量的數(shù)量積含解析新人教版

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1第三講平面向量的數(shù)量積A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．已知a，b為單位向量，其夾角為60°，則(2a－b)·b＝(BA．－1 B．0C．1 D．2〖〖解析〗〗由已知得|a|＝|b|＝1，a與b的夾角θ＝60°，則(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cosθ－|b＝2×1×1×cos60°－12＝0，故選B.2．(2021·安徽六校聯(lián)考)向量a＝(2，4)，b＝(5，3)，則a·(a－b)＝(D)A．－10 B．14C．－6 D．－2〖〖解析〗〗∵a－b＝(－3，1)，∴a·(a－b)＝－6＋4＝－2.故選D.3．若向量a與b的夾角為60°，a＝(2，0)，|a＋2b|＝2eq\r(3)，則|b|＝(B)A．eq\r(3) B．1C．4 D．3〖〖解析〗〗因?yàn)閍＝(2，0)，所以|a|＝2，又因?yàn)閨a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4×|a|×|b|×cos60°＋4|b|2＝(2eq\r(3))2，所以|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1(－2舍去)，故選B.4．(2021·安徽十校高三摸底考試)在△ABC中，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，且|eq\o(CP,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝8，∠ACB＝eq\f(2π,3)，則eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(A)A．24 B．12C．24eq\r(3) D．12eq\r(3)〖〖解析〗〗設(shè)|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝x，∵2eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，兩邊平方得48＝64＋x2－8x，解得x＝4，∴eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)×(64－16)＝24.故選A.5．(2021·甘肅蘭州高三模擬)已知非零單位向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則a與b－a的夾角為(D)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D．eq\f(3π,4)〖〖解析〗〗解法一：設(shè)a與b－a的夾角為θ.因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|所以a·b＝0.因?yàn)閍，b為非零單位向量，所以(b－a)2＝2，即|b－a|＝eq\r(2).因?yàn)閍·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cosθ，所以cosθ＝eq\f(－1,1×\r(2))＝－eq\f(\r(2),2)，因?yàn)棣取省?，π〗，所以θ＝eq\f(3π,4).解法二：幾何法，如圖，|a＋b|與|a－b|分別表示以a，b為鄰邊(共起點(diǎn))的菱形兩對(duì)角線長(zhǎng)度，且長(zhǎng)度相等，從而菱形為正方形，再作出b－a知所求為eq\f(3π,4).解法三：坐標(biāo)法，由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又a，b為單位向量，則在平面直角坐標(biāo)系中取a＝(1，0)，b＝(0，1)，則b－a＝(－1，1)，由向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算知a與b－a的夾角為eq\f(3π,4).6．(2021·河北省武邑模擬)△ABC外接圓的半徑等于1，其圓心O滿足eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，則eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影等于(C)A．－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(3,2) D．3〖〖解析〗〗因?yàn)椤鰽BC外接圓的半徑等于1，其圓心O滿足eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以點(diǎn)O在BC上，且O為BC的中點(diǎn)，如圖所示，所以BC是△ABC外接圓的直徑，故∠BAC＝90°.因?yàn)閨eq\o(CO,\s\up6(→))|＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以△OAC是等邊三角形，所以∠ACB＝60°，所以∠ABC＝30°.在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|sin60°＝eq\r(3)，所以eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影為|eq\o(BA,\s\up6(→))|cos∠ABC＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|cos30°＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2).二、多選題7．(2021·上海模擬改編)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，則下列向量是單位向量的是(CD)A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)＋eq\f(1,2)bC．a(chǎn)－b D．eq\f(2\r(3),3)a－eq\f(\r(3),3)b〖〖解析〗〗∵a，b均是單位向量且夾角為60°，∴a·b＝eq\f(1,2)，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq\f(1,2)＋1＝1，即|a－b|＝1，∴a－b是單位向量．又|eq\f(2\r(3),3)a－eq\f(\r(3),3)b|2＝eq\f(1,3)(4a2－4a·b＋b2)＝1，故選C、D.〖優(yōu)解〗如圖，令eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，∵a，b均是單位向量且夾角為60°，∴△OAB為等邊三角形，∴|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|a－b|＝|a|＝|b|＝1，∴a－b是單位向量.eq\f(2\r(3),3)a－eq\f(\r(3),3)b＝eq\f(2\r(3),3)(a－eq\f(1,2)b)＝eq\f(2\r(3),3)eq\o(DA,\s\up6(→))，又∵|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，故選C、D.8．(2021·江西南昌二中期末改編)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍可以是(BC)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))C．(2，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))〖〖解析〗〗∵a與b的夾角為鈍角，∴－2λ－1<0，即λ>－eq\f(1,2).又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．故選B、C.三、填空題9．(2019·全國(guó)卷Ⅲ)已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，則cosa，b＝－eq\f(\r(2),10)．〖〖解析〗〗cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2×（－8）＋2×6,2\r(2)×10)＝－eq\f(\r(2),10).10．(2021·湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高三起點(diǎn)考試)已知向量a＝(3，4)，b＝(x，1)，若(a－b)⊥a，則實(shí)數(shù)x等于7．〖〖解析〗〗∵(a－b)⊥a，∴(a－b)·a＝0，即a2＝a·b，25＝3x＋4，解得x＝7.11．(2021·皖中名校聯(lián)考)已知向量a，b滿足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，則向量b在向量a上的投影為－1．〖〖解析〗〗∵向量a，b滿足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4.∴|a－b|2＝25＋b2－2a·b＝36|a＋b|2＝25＋b2＋2a·b＝16∴a·b＝－5，|b|＝1，∴向量b在向量a上的投影為|b|·cosa，b＝|b|·eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a·b,|a|)＝eq\f(－5,5)＝－1.12．(2020·武漢市部分學(xué)校高三調(diào)研測(cè)試)已知|a|＝eq\r(2)，|b|＝1，a與b的夾角為45°，若tb－a與a垂直，則實(shí)數(shù)t＝2.〖〖解析〗〗由已知可得a·b＝1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1.因?yàn)閠b－a與a垂直，所以(tb－a)·a＝0，得ta·b－a2＝0，即t－2＝0，故t＝2.四、解答題13．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面積．〖〖解析〗〗(1)因?yàn)?2a－3b)·(2a＋b)＝所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61所以a·b＝－6，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(2π,3).(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝eq\r(13).(3)因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角θ＝eq\f(2π,3)，所以∠ABC＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|·sin∠ABC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).14．(2021·湖北宜昌高三適應(yīng)性訓(xùn)練)在△ABC中，AB＝3AC＝9，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2，點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則當(dāng)eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(PB,\s\up6(→))2＋eq\o(PC,\s\up6(→))2取得最小值時(shí)，求eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值．〖〖解析〗〗由eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2，得eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，即∠C＝eq\f(π,2)，則BC＝eq\r(AB2－AC2)＝6eq\r(2).以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(3，0)，B(0，6eq\r(2))，設(shè)P(x，y)，則eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(PB,\s\up6(→))2＋eq\o(PC,\s\up6(→))2＝(x－3)2＋y2＋x2＋(y－6eq\r(2))2＋x2＋y2＝3x2－6x＋3y2－12eq\r(2)y＋81＝3〖(x－1)2＋(y－2eq\r(2))2＋18〗，所以當(dāng)x＝1，y＝2eq\r(2)時(shí)取得最小值，此時(shí)P(1，2eq\r(2))，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－2eq\r(2))·(0，－6eq\r(2))＝24.B組能力提升1．(2021·廣東百校聯(lián)考)若向量a，b滿足|a|＝eq\r(10)，b＝(－2，1)，a·b＝5，則a與b的夾角為(C)A．90° B．60°C．45° D．30°〖〖解析〗〗∵b＝(－2，1)，∴|b|＝eq\r(（－2）2＋12)＝eq\r(5)，∵|a|＝eq\r(10)，a·b＝5，∴cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(5,\r(10)×\r(5))＝eq\f(\r(2),2).又a，b∈〖0，π〗，∴a與b的夾角為45°.故選C.2．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，a)，若|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(C)A．2 B．4C．6 D．8〖〖解析〗〗eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，a－2)，由|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，可得(－1)2＋(a－2)2＝1，解得a＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×1＋2×2＝6，故選C.3．(2021·遼寧葫蘆島六中月考)已知a＝(2sin13°，2sin77°)，|a－b|＝1，a與a－b的夾角為eq\f(π,3)，則a·b＝(B)A．2 B．3C．4 D．5〖〖解析〗〗∵a＝(2sin13°，2sin77°)＝(2sin13°，2cos13°)，∴|a|＝2，又|a－b|＝1，a與a－b的夾角為eq\f(π,3)，∴a·(a－b)＝1，即a2－a·b＝1，∴a·b＝3.故選B.4．(2020·天津，15)如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，則實(shí)數(shù)λ的值為eq\f(1,6)；若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))的最小值為eq\f(13,2)．〖〖解析〗〗本題考查平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積．由題意eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos∠BAD＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1.又|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝6，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,6).以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，垂直于BC的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由題可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(3\r(3),2)))，不妨設(shè)M(t，0)(0≤t≤5)，則N(t＋1，0)，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,2)，－\f(3\r(3),2)))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))，所以eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝t2－4t＋eq\f(21,2)＝(t－2)2＋eq\f(13,2)≥eq\f(13,2)，所以當(dāng)t＝2時(shí)，eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))取最小值為eq\f(13,2).5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且cosB＝eq\f(5,13).(1)若sinA＝eq\f(4,5)，求cosC；(2)若b＝4，求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的最小值．〖〖解析〗〗(1)在△ABC中，由cosB＝eq\f(5,13)得，sinB＝eq\f(12,13)，∵sinB＝eq\f(12,13)>sinA，∴B>A，故A為銳角，∴cosA＝eq\f(3,5)，∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝eq\f(33,65).(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，16＝a2＋c2－eq\f(10,13)ac≥2ac－eq\f(10,13)ac＝eq\f(16,13)ac，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)等號(hào)成立，∴ac≤13，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝accos(π－B)＝－accosB＝－eq\f(5,13)ac≥－5.故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的最小值為－5.第三講平面向量的數(shù)量積A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．已知a，b為單位向量，其夾角為60°，則(2a－b)·b＝(BA．－1 B．0C．1 D．2〖〖解析〗〗由已知得|a|＝|b|＝1，a與b的夾角θ＝60°，則(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cosθ－|b＝2×1×1×cos60°－12＝0，故選B.2．(2021·安徽六校聯(lián)考)向量a＝(2，4)，b＝(5，3)，則a·(a－b)＝(D)A．－10 B．14C．－6 D．－2〖〖解析〗〗∵a－b＝(－3，1)，∴a·(a－b)＝－6＋4＝－2.故選D.3．若向量a與b的夾角為60°，a＝(2，0)，|a＋2b|＝2eq\r(3)，則|b|＝(B)A．eq\r(3) B．1C．4 D．3〖〖解析〗〗因?yàn)閍＝(2，0)，所以|a|＝2，又因?yàn)閨a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4×|a|×|b|×cos60°＋4|b|2＝(2eq\r(3))2，所以|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1(－2舍去)，故選B.4．(2021·安徽十校高三摸底考試)在△ABC中，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，且|eq\o(CP,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝8，∠ACB＝eq\f(2π,3)，則eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(A)A．24 B．12C．24eq\r(3) D．12eq\r(3)〖〖解析〗〗設(shè)|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝x，∵2eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，兩邊平方得48＝64＋x2－8x，解得x＝4，∴eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)×(64－16)＝24.故選A.5．(2021·甘肅蘭州高三模擬)已知非零單位向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則a與b－a的夾角為(D)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D．eq\f(3π,4)〖〖解析〗〗解法一：設(shè)a與b－a的夾角為θ.因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|所以a·b＝0.因?yàn)閍，b為非零單位向量，所以(b－a)2＝2，即|b－a|＝eq\r(2).因?yàn)閍·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cosθ，所以cosθ＝eq\f(－1,1×\r(2))＝－eq\f(\r(2),2)，因?yàn)棣取省?，π〗，所以θ＝eq\f(3π,4).解法二：幾何法，如圖，|a＋b|與|a－b|分別表示以a，b為鄰邊(共起點(diǎn))的菱形兩對(duì)角線長(zhǎng)度，且長(zhǎng)度相等，從而菱形為正方形，再作出b－a知所求為eq\f(3π,4).解法三：坐標(biāo)法，由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又a，b為單位向量，則在平面直角坐標(biāo)系中取a＝(1，0)，b＝(0，1)，則b－a＝(－1，1)，由向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算知a與b－a的夾角為eq\f(3π,4).6．(2021·河北省武邑模擬)△ABC外接圓的半徑等于1，其圓心O滿足eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，則eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影等于(C)A．－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(3,2) D．3〖〖解析〗〗因?yàn)椤鰽BC外接圓的半徑等于1，其圓心O滿足eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以點(diǎn)O在BC上，且O為BC的中點(diǎn)，如圖所示，所以BC是△ABC外接圓的直徑，故∠BAC＝90°.因?yàn)閨eq\o(CO,\s\up6(→))|＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以△OAC是等邊三角形，所以∠ACB＝60°，所以∠ABC＝30°.在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|sin60°＝eq\r(3)，所以eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影為|eq\o(BA,\s\up6(→))|cos∠ABC＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|cos30°＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2).二、多選題7．(2021·上海模擬改編)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，則下列向量是單位向量的是(CD)A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)＋eq\f(1,2)bC．a(chǎn)－b D．eq\f(2\r(3),3)a－eq\f(\r(3),3)b〖〖解析〗〗∵a，b均是單位向量且夾角為60°，∴a·b＝eq\f(1,2)，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq\f(1,2)＋1＝1，即|a－b|＝1，∴a－b是單位向量．又|eq\f(2\r(3),3)a－eq\f(\r(3),3)b|2＝eq\f(1,3)(4a2－4a·b＋b2)＝1，故選C、D.〖優(yōu)解〗如圖，令eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，∵a，b均是單位向量且夾角為60°，∴△OAB為等邊三角形，∴|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|a－b|＝|a|＝|b|＝1，∴a－b是單位向量.eq\f(2\r(3),3)a－eq\f(\r(3),3)b＝eq\f(2\r(3),3)(a－eq\f(1,2)b)＝eq\f(2\r(3),3)eq\o(DA,\s\up6(→))，又∵|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，故選C、D.8．(2021·江西南昌二中期末改編)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍可以是(BC)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))C．(2，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))〖〖解析〗〗∵a與b的夾角為鈍角，∴－2λ－1<0，即λ>－eq\f(1,2).又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．故選B、C.三、填空題9．(2019·全國(guó)卷Ⅲ)已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，則cosa，b＝－eq\f(\r(2),10)．〖〖解析〗〗cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2×（－8）＋2×6,2\r(2)×10)＝－eq\f(\r(2),10).10．(2021·湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高三起點(diǎn)考試)已知向量a＝(3，4)，b＝(x，1)，若(a－b)⊥a，則實(shí)數(shù)x等于7．〖〖解析〗〗∵(a－b)⊥a，∴(a－b)·a＝0，即a2＝a·b，25＝3x＋4，解得x＝7.11．(2021·皖中名校聯(lián)考)已知向量a，b滿足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，則向量b在向量a上的投影為－1．〖〖解析〗〗∵向量a，b滿足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4.∴|a－b|2＝25＋b2－2a·b＝36|a＋b|2＝25＋b2＋2a·b＝16∴a·b＝－5，|b|＝1，∴向量b在向量a上的投影為|b|·cosa，b＝|b|·eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a·b,|a|)＝eq\f(－5,5)＝－1.12．(2020·武漢市部分學(xué)校高三調(diào)研測(cè)試)已知|a|＝eq\r(2)，|b|＝1，a與b的夾角為45°，若tb－a與a垂直，則實(shí)數(shù)t＝2.〖〖解析〗〗由已知可得a·b＝1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1.因?yàn)閠b－a與a垂直，所以(tb－a)·a＝0，得ta·b－a2＝0，即t－2＝0，故t＝2.四、解答題13．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面積．〖〖解析〗〗(1)因?yàn)?2a－3b)·(2a＋b)＝所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61所以a·b＝－6，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(2π,3).(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝eq\r(13).(3)因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角θ＝eq\f(2π,3)，所以∠ABC＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|·sin∠ABC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).14．(2021·湖北宜昌高三適應(yīng)性訓(xùn)練)在△ABC中，AB＝3AC＝9，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2，點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則當(dāng)eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(PB,\s\up6(→))2＋eq\o(PC,\s\up6(→))2取得最小值時(shí)，求eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值．〖〖解析〗〗由eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2，得eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，即∠C＝eq\f(π,2)，則BC＝eq\r(AB2－AC2)＝6eq\r(2).以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(3，0)，B(0，6eq\r(2))，設(shè)P(x，y)，則eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(PB,\s\up6(→))2＋eq\o(PC,\s\up6(→))2＝(x－3)2＋y2＋x2＋(y－6eq\r(2))2＋x2＋y2＝3x2－6x＋3y2－12eq\r(2)y＋81＝3〖(x－1)2＋(y－2eq\r(2))2＋18〗，所以當(dāng)x＝1，y＝2eq\r(2)時(shí)取得最小值，此時(shí)P(1，2eq\r(2))，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－2eq\r(2))·(0，－6eq\r(2))＝24.B組能力提升1．(2021·廣東百校聯(lián)考)若向量a，b滿足|a|＝eq\r(10)，b＝(－2，1)，a·b＝5，則a與b的夾角為(C)A．90° B．60°C．45° D．30°〖〖解析〗〗∵b＝(－2，1)，∴|b|＝eq\r(（－2）2＋12)＝eq\r(5)，∵|a|＝eq\r(10)，a·b＝5，∴cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(5,\r(10)×\r(5))＝eq\f(\r(2),2).又a，b∈〖0，π〗，∴a與b的夾角為45°.故選C.2．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，a)，若|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(C)A．2 B．4C．6 D．8〖〖解析〗〗eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，a－2)，由|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，可得(－1)2＋(a－2)2＝1，解得a＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×1＋2×2＝6，故選C.3．(2021·遼寧葫蘆島六中月考)已知a＝(2sin13°，2sin77°)，|a－b|＝1，a與a－b的夾角為eq\f(π,3)，則a·b＝(B)A．2 B．3C．4 D．5〖〖解析〗〗∵a＝(2sin13°，2sin77°)＝(2sin13°，2cos13°)，∴|a|＝2，又|a－b|＝1，a與a－b的夾角為eq\f(π,3)，∴a·(a－b)＝1，即a2－a·b＝1，∴a·b＝3.故選B.4．(2020·天津，15)如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，則實(shí)數(shù)λ的值為eq\f(1,6)；若M，N是線段B