2020春人教版七年級數(shù)學下冊 第6章 章節(jié)教案

用計算器求一個數(shù)的算術平方根

一、學生起點分析

（本課適合有條件使用計算器的學校）

學生知識技能基礎：學生在七年級上學期已經(jīng)學習了《計算器的使用》，學

會了使用計算器進行有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運算，掌握了計算器的基本

使用方法.

學生活動經(jīng)驗基礎：學生在七年級上學期已經(jīng)學過了使用計算器進行簡單的

有理數(shù)的計算并利用計算器進行了一定的探索活動，積累了一些活動經(jīng)驗.

二、教學任務分析

本節(jié)是義務教育課程標準人教版七年級下冊第六章《實數(shù)》第一節(jié)，具體內(nèi)

容為：用計算器求平方根和立方根以及有關混合運算.經(jīng)歷運用計算器探求數(shù)學

規(guī)律的活動，發(fā)展合情推理的能力.

為此，本課的教學目標是：

1.會用計算器求算術平方根.

2.鼓勵學生自己探索計算器的用法，經(jīng)歷運用計算器探求數(shù)學規(guī)律的活動，發(fā)展

學生的探究能力和合情推理的能力.

3.在用計算器探索有關規(guī)律的過程中，體驗數(shù)學的規(guī)律性，體驗數(shù)學活動的創(chuàng)造

性和趣味性，激發(fā)學習興趣.

三、教學過程設計

本課設計了六個環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：學習使用計算器求

算術平方根；第三環(huán)節(jié)：做一做；第四環(huán)節(jié)：議一議；第五環(huán)節(jié)：課堂小結；第

六環(huán)節(jié)：作業(yè)布置

教學準備：每位學生一個計算器，并按計算器的類型分小組

目的：便于使用相同計算器的學生進行討論，共同學習

第一環(huán)節(jié)：情境引入

提出問題：你能計算收函嗎？

進而明晰：對于小數(shù)、分數(shù)或一些較大的整數(shù)的開方運算，我們可以用計算器來

計算.

目的：導入新課.

第二環(huán)節(jié)：學習使用計算器求算術平方根

內(nèi)容：要求學生仔細閱讀計算器使用說明書，找到關于開方運算的說明，并按說

明書上的范例操作，然后與組內(nèi)成員進行討論，回答下列問題：

1.開方運算要用到鍵和鍵.

2.對于開平方運算，按鍵順序為：

3.用計算器計算：

(1)底函(2)V5+1(3)

目的：明確使用計算器進行開方運算的按鍵順序，并進行實際操作.

說明：學生在閱讀了各自的計算器使用說明書后，在計算器上嘗試操作，再在小

組中交流成功或失敗的經(jīng)驗，便于學生更快更好地掌握使用計算器進行開方運算

的方法.

學生在小組內(nèi)自我糾錯，自我更正，教師需要在教室里巡視關注學生學習活

動的開展情況，提供相應的幫助.

由于我校計算器是同一型號，授課時可以請學生示范開方運算的按鍵順序，

學生能很快掌握.

第三環(huán)節(jié)：做一做

內(nèi)容：利用計算器，求下列各式的值(結果保留4個有效數(shù)字)：

(1)V800(2)7(X58

此環(huán)節(jié)可以開展比一比看誰算得快的活動.

目的：熟悉用計算器進行開方運算.

效果：有了上個環(huán)節(jié)的鋪墊，此環(huán)節(jié)操作很順利.

第四環(huán)節(jié)：議一議

內(nèi)容：(1)任意找一個你認為很大的正數(shù)，利用計算器對它進行開平方運算，對

所得結果再進行開平方運算……隨著開方次數(shù)的增加，你發(fā)現(xiàn)了什么？

(2)改用另一個小于1的正數(shù)試一試，看看是否仍有類似規(guī)律.

學生操作后，在小組內(nèi)討論形成結果，再進行全班交流.

(3)任意找一個非零數(shù)，利用計算器對它不斷進行開立方運算，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學生操作后，在小組內(nèi)討論形成結果，再進行全班交流.

目的：熟悉使用計算器求算術平方根的技能，并在探求數(shù)學規(guī)律的活動，發(fā)展合

情推理的能力.

效果：枯燥的運算，竟然蘊含這規(guī)律，較好地激發(fā)了學生的興趣，增強了學生的

求知欲.

第五環(huán)節(jié)：課堂小結

內(nèi)容：今天我們學習了如何使用計算器進行開方運算，你能敘述如何使用計算器

進行開方運算嗎？

目的：回顧使用計算器進行開方運算的步驟.

效果：學生所學知識得以鞏固.

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

內(nèi)容：習題2.7

四、教學設計反思

根據(jù)新課標的評價理念，教師在課堂教學中應尊重學生的個體差異，滿足多

樣化的學習需要，這一節(jié)的內(nèi)容，學生可以通過自己閱讀計算器的使用說明書學

會操作步驟，所以采用了學生自學、小組內(nèi)交流的學習方式.學習效果較好.

附：板書設計

2.5用計算器開方

-.學習使用計算器求算術平方根

二.做一做

三.議一議（對任一正數(shù)一直進行開平方運算

會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律）

四.小結

立方根

-、學生起點分析

學生已經(jīng)學習了平方根的概念，掌握了求一個非負數(shù)的平方根和算術平方

根的方法，明確了平方運算與開平方的互逆關系.學生在平方根學習活動中體會

了類比的思想方法，為立方根的學習提供了一定的經(jīng)驗基礎和學習方法.立方根

的計算有著非常廣泛的應用，有關空間形體的計算經(jīng)常涉及開立方，因此本節(jié)知

識是后續(xù)學習內(nèi)容的基礎.

二、教學任務分析

《立方根》是義務教育教科書人教版七年級（下）第六章《實數(shù)》第二節(jié).本

節(jié)內(nèi)容1個學時完成.主要是通過對立方根與平方根的類比探索立方根的概念、

計算和簡單性質.因此，除了具體的知識技能以外，關注學生的學習方法培養(yǎng)，

滲透數(shù)學思想方法也是教師教學過程中的關注點.為此本節(jié)課的三維教學目標

是：

①了解立方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的立方根；會用立方運算求一個

數(shù)的立方根，了解開立方與立方互為逆運算，了解立方根的性質；區(qū)分立方根與

平方根的不同；

②經(jīng)歷對立方根的探究過程，在探究中學會解決立方根的一些基本方法和策

略，培養(yǎng)逆向思維能力和分類討論的意識.學生在經(jīng)歷用類比的方法學習立方根

的有關知識過程中，領會類比思想；

③立方根概念、符號、運算及性質的探究過程中，培養(yǎng)學生聯(lián)系實際、善于

觀察、勇于探索和勤于思考的精神；

三、教學過程設計

本節(jié)課設計了七個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設問題情境；第二環(huán)節(jié)：復習

引入、類比學習；第三環(huán)節(jié)：初步探究；第四環(huán)節(jié)：嘗試反饋，鞏固練習；第五

環(huán)節(jié)：深入探究；第六環(huán)節(jié)：課時小結；探究與思考；第七環(huán)節(jié)：作業(yè)布置及課

外探究.

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設問題情境

現(xiàn)在要造一個新的球形儲氣罐，如果它的體積是原來的8倍，

那么它的半徑是原儲氣罐的多少倍？如果儲氣罐的體積是原來的4倍呢？

(球的體積公式為v=g成3,左為球的半徑)

提問：怎樣求出半徑A?學完本節(jié)知識后，相信你會有一個滿意的答案.有

關體積的運算和面積的運算有類似之處，讓我們用上節(jié)課解決問題的方法來學習

新知識.

目的：通過實際情境引入，讓學生感受新知學習的必要性，激發(fā)學生的求知

欲望.

效果：在思考問題的同時，學生既感受了數(shù)學的應用價值，激發(fā)了學生的學

習熱情，又很快將問題歸結為如何確定一個數(shù)，它的立方等于4,從而順利引入

新課.

第二環(huán)節(jié)：復習引入、類比學習

內(nèi)容：

提問：

(1)什么叫一個數(shù)a的平方根？如何用符號表示數(shù)a(a>0)的平方根？

(2)正數(shù)的平方根有幾個？它們之間的關系是什么？負數(shù)有沒有平方根？0

的平方根是什么？

(3)平方和開平方運算有何關系？

(4)算術平方根和平方根有何區(qū)別與聯(lián)系？

強調(diào)：一個正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù)；一個負數(shù)沒有平方根；0

的平方根是0.

(5)為了解決前面情景中的問題，需要引入一個新的運算，你將如何定義這

個新運算？

L一般地，如果一個數(shù)X的平方等于a,即f=a，那么這個數(shù)X就叫做a

的平方根(也叫做二次方根).

2.一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a,即,那么這個數(shù)x就叫做a

的立方根(cuberoot,也叫做三次方根).如：2是8的立方根，

一3是一2淵立方根，0是0的立方根.

目的：學生通過回顧上節(jié)課的學習內(nèi)容，為進一步研究立方根的概念及性質

做好鋪墊，同時突出平方根與立方根的對比，以利于弄清兩者的區(qū)別

和聯(lián)系.

效果：復習引入既復習了平方根的知識，又利于學生用類比學習法學習立方

根知識.

第三環(huán)節(jié)：初步探究

內(nèi)容：

1做一做：怎樣求下列括號內(nèi)的數(shù)？各題中已知什么數(shù)？求什么數(shù)？

77

(1)()3=0.001；(2)()3=一—;(3)()3=0.

64

目的：通過計算練習，使學生進一步了解求一個數(shù)的立方，與求一個數(shù)的立

方根是互為逆運算,感受一個數(shù)的立方根的唯一性，計算中對a的取值分別選為

正數(shù)、負數(shù)、0,這樣設計，在此過程中滲透分類討論的思想方法.

2議一議：

(1)正數(shù)有幾個立方根？

(2)0有幾個立方根

(3)負數(shù)呢？

意圖：提問，是為了指出平方根與立方根的對比，以利于弄清兩者的區(qū)別和

聯(lián)系.

3在上面的基礎上明晰下列內(nèi)容，對知識進行梳理

(1)每個數(shù)a都只有一個立方根，記為“標”，讀作“三次根號a.例如於7

時，x是7的立方根，即/=x；與數(shù)的平方根的表示比較，數(shù)的立方根中根號

前沒有“士”符號，但根指數(shù)3不能省略.

(2)正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負數(shù)的立方根是負數(shù).

(3)求一個數(shù)a的立方根的運算叫做開立方(extrctionofcubicroot),

其中a叫做被開方數(shù).開立方與立方互為逆運算.

效果：學生通過類比學習，初步掌握立方根的概念，能用符號語言表示一

個數(shù)的立方根.

第四環(huán)節(jié)：嘗試反饋，鞏固練習

內(nèi)容：

例1求下列各數(shù)的立方根：

QO

(1)-27；(2)展；(3)3-：(4)0.216；(5)-5.

1Z2)o

解：(1)因為(-3>=—27,所以一27的立方根是一3,即3；

(2)因為(2丫=且，所以且的立方根是2，即靠瓦=2；

⑸1251255V1255

(3)因為(當3=4=3]所以3之的立方根是工,即:匹之；

28882V82

(4)因為(0.6)3=0216,所以0.216的立方根是0.6,即40.216=0.6；

(5)-5的立方根是V2。.

例2求下列各式的值：

(1)口；(2)<064;(3)-恁；(4)網(wǎng)?

解：(1)口=#(-2)3=-2;(2)V0.064=V(0.4)3=0.4;

反饋練習

1.求下列各數(shù)的立方根：

VO.125-V64；舊(V16)5.

2.通過上面的計算結果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

目的：例1著眼于弄清立方根的概念，因此這里不僅用立方的方法求立方根，

而且書寫上采用了語言敘述和符號表示互相補充的做法，學生在熟練以后可以簡

化寫法.例2則鞏固立方根的計算，引導學生思考立方根的性質.

效果：學生通過練習掌握立方根的概念和計算，通過對計算結果的分析得

出立方根的性質，若學生不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，教師可以再給出幾個例子，如：

V^8=VZF=-2；存=傷=3；(我J=03=8.引導學生觀察被開方數(shù)、根指

數(shù)及運算結果之間的關系從而得出立方根的性質也可以安排學生分小組討論，

通過交流，展示學生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；若學生的討論不夠深入，可由教師補充得出結

論.

第五環(huán)節(jié)：深入探究

相一相?

(1)我表示a的立方根，那么加)'等于什么？版呢？

(2)y[-a與一必有何關系？

目的：明晰物7-a,=a

說明：若學生通過上面的計算得出了立方根的性質，可以直接展示學生的成

果；若沒有得出結果，可以引導學生分析，如果V=a,那么x就是a的立方根，

即產(chǎn)必，所以/=啦)3=&同樣，根據(jù)定義，/是的a三次方，所以4f的立方

根就是a,即=a,V—a=—y[a.

第六環(huán)節(jié)課時小結

內(nèi)容1：提問通過本節(jié)課的學習你學到了哪些知識？歸納、總結學生的回答，

得出下列內(nèi)容：

1.了解立方根的概念，會用三次根號表示一個數(shù)的立方根，能用立方運算求

一個數(shù)的立方根.

2.在學習中應注意以下5點：

(1)符號痣中根指數(shù)'3”不能省略；

(2)對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負數(shù)都有一個立方根；

(3)平方根和立方根的區(qū)別：正數(shù)有兩個平方根，但只有一個立方根；

負數(shù)沒有平方根，但卻有一個立方根；

(4)靈活運用公式：(媯)3=名4，戶=一折；

(5)立方與開立方也互為逆運算.我們可以用立方運算求一個數(shù)的立方根，

或檢驗一個數(shù)是不是另一個數(shù)的立方根.

目的：引導學生自己小結本節(jié)課的知識要點及數(shù)學方法，使知識系統(tǒng)化.

效果：通過小結，學生進一步加深了對類比學習方法的感受，對所學的知識

進行了梳理，學習更有條理性.

內(nèi)容2：回顧引例

某化工廠使用一種球形儲氣罐儲藏氣體，現(xiàn)在要造一個新的球形儲氣罐，如

果它的體積是原來的8倍，那么它的半徑是原儲氣罐半徑的多少倍？如果儲氣罐

的體積是原來的4倍呢？

如有時間，學生學力許可，還可以安排學生探究下列問題：

1.回顧上節(jié)課的內(nèi)容：己知2，-18=0,求才的值.

2.求下列各式中的x.

(1)8X3+27=0；(2)(X-1)3-0.343=0;(3)81(x+1)4=16；(4)32x5-1=0.

目的：回顧引例，使得教學環(huán)節(jié)更完整，同時體現(xiàn)了數(shù)學的實用價值.安排有層

次的探究問題，可更好地調(diào)動不同學生的學習熱情，讓學生通過練習解決有關問

題，培養(yǎng)學生綜合解決問題的能力.

效果：學生通過引例的解決，體會到了立方根及開立方運算的實用性，并類

比應用方法解決(3)(4),培養(yǎng)并形成能力.

第七環(huán)節(jié)作業(yè)布置

1、再次體會總結立方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系

四、教學設計說明

(-)關注類比思想的滲透，關注學習方法的指導

類比是在兩類不同的事物之間進行的對比，在找出若干相同或相似點之后，

推測在這兩類事物的其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維方式.當

然，類比的結果是猜測的，不一定可靠，但它作為一種思考問題的方法，可以發(fā)

現(xiàn)數(shù)學結論，可以溝通數(shù)學知識，可以解決生活中的一些實際問題，具有發(fā)現(xiàn)的

功能，有助于發(fā)展學生的創(chuàng)新精神.因此，學習中要注意滲透這樣的思維方式，

實際上，類比學習法讓學生省時省力，在學習新知的同時鞏固已學的知識，通過

新舊對比更好地掌握知識.為此，本節(jié)課讓學生應用類比法順理成章的學習立方

根的概念、性質、運算.同樣在學生以后的數(shù)學學習中，可以通過三角形類比四

面體、通過圓類比球……

（二）關注學生個體差異，關注學生探究過程

根據(jù)新課標的評價理念，教師在課堂教學中應尊重學生的個體差異，滿足多

樣化的學習需要，鼓勵探索方式、表述方式和解題方法的多樣化.在教學活動中

教師關注的是學生的參與程度和表現(xiàn)出來的思維水平，關注的是學生對“議一議‘:

“想一想“比一比”的探究情況和學生反饋練習的完成情況，教師要關注學生是否

理解立方和開立方是互為逆運算的，是否會用根號正確的表示一個數(shù)的立方根。

教學過程中，教師應給足學生思考和計算的時間使學生用原有知識進行新知識建

構，這是一個學生自主學習、探究學習的過程，充分開展這樣的活動，可以使學

生的個性得到張揚，探究能力得到培養(yǎng)。課堂上，教師要充分發(fā)揮評價的教育功

能，對于學生的回答應給予恰當?shù)脑u價和鼓勵，幫助學生認識自我，建立自信.

（三）需要說明的幾個問題：

在第四教學環(huán)節(jié)中的例題1中補充了帶分數(shù)的立方根求法，在教學中只要講

明將帶分數(shù)轉化為假分數(shù),再求立方根的方法,學生就容易掌握；例題2則為第五

環(huán)節(jié)補充立方根性質的3個公式（（探/二名府=a,戶=一跖）打下了基

礎，若學生基礎較差，教師也可刪去這3個公式；第六環(huán)節(jié)中的探究與思考，將平

方根、立方根的求法拓展到求四次方根、五次方根的學習，教師在教學過程中可

根據(jù)學生的學習情況確定是否補充這部分內(nèi)容，也可留給學生課后思考，分層要

求，調(diào)動不同學生的學習熱情.

平方根

一、學生起點分析

學生在七年級上冊學習“棋盤上的故事”就認識了一種運算“乘

方”，并能熟練計算任何一個數(shù)的平方.知道正數(shù)的平方是正數(shù)，負數(shù)的平

方是正數(shù)，0的平方是0.在七年級下冊第六章《實數(shù)》的第一課時學習中

又認識了算術平方根的概念和表示方法，已能求非負數(shù)的算術平方根.那么

這一課時進一步學習平方根.本節(jié)也為后面學習“立方根”做基礎.

二、教學任務分析

本節(jié)安排了兩個課時完成.第一課時是了解數(shù)的算術平方根的概念，會

用根號表示一個數(shù)的算術平方根.在具體的例子中抽象出概念，發(fā)展學生的

抽象概括能力.本節(jié)課是第二課時，繼續(xù)學習平方根的概念及其運用.并對

“平方根''和"算術平方根":‘平方”和“開平方”的概念做辨析，使學生在“引導-

探索-類比-發(fā)現(xiàn)”中發(fā)展學習數(shù)學的能力.為此，本節(jié)課的教學目標是

①了解平方根、開平方的概念，明確算術平方根與平方根的區(qū)別和聯(lián)系.

②進一步明確平方與開平方是互逆的運算關系.

③經(jīng)歷平方根概念的形成過程，讓學生不僅掌握概念，而且提高和鞏固所學

知識的應用能力.

教學重點是

①了解平方根、開平方的概念.

②了解開方與乘方是互逆的運算，會利用這個互逆運算關系求某些非負數(shù)的

算術平方根和平方根.

③了解平方根與算術平方根的區(qū)別與聯(lián)系.

教學難點是

①平方根與算術平方根的區(qū)別和聯(lián)系.

②負數(shù)沒有平方根，即負數(shù)不能進行開平方的運算.

三、教學過程設計：

本節(jié)課采用引導、探究、類比相結合的教學方法，設計了六個教學環(huán)節(jié)第

一環(huán)節(jié)復習舊知引入新知；第二環(huán)節(jié)形成概念，辨析概念；第三環(huán)節(jié)例題和

鞏固練習；第四環(huán)節(jié)課堂小結；第五環(huán)節(jié)思維拓展；第六環(huán)節(jié)布置作業(yè).

第一環(huán)節(jié)復習舊知引入新知

內(nèi)容:方法一復習引入

1.什么叫算術平方根？

3的平方等于9,那么9的算術平方根就是3.

2

2的平方等于±_,那么士的算術平方根就是.

52525

展廳的地面為正方形，其面積49平方米，則邊長—二米.

2.到目前為止，我們已學過哪些運算?這些運算之間的關系如何？

乘方有沒有逆運算？

平方與算術平方根之間的關系？

已知折疊著的正方形ABCD面積為1,則邊長為_1—.將它擴展，若面

積變?yōu)樵瓉淼?倍，那么它的邊長為6；若面積變?yōu)樵瓉淼?倍，則邊

長為杷；若面積變?yōu)樵瓉淼摹ū?則邊長為4.

方法二復習引入

問題平方等于9,2，49的數(shù)還有嗎？

25

目的：這一環(huán)節(jié)主要是復習舊知識和提出問題，由上節(jié)課的“算術平方根”

的求法使學生能明白“平方”和“算術平方根”的關系，讓學生在幾何圖形中認識.熟

悉它們的互化關系.并把上節(jié)課的思考題制作成Flash情景引入，增加動畫效果.

效果借助多媒體吸引學生的注意力，激發(fā)學生的學習興趣.

說明數(shù)學知識源于生活，并服務于我們的生活.這兩種方法通過生活中的

具體問題激發(fā)學生的學習興趣，并讓他們產(chǎn)生解決問題的強烈愿望.

第二環(huán)節(jié)：新課學習

內(nèi)容（一）探究新知

填空

2

3=（9

22

（-3）=（9------（）=90=0

2

（不存在）=-4

（二）形成概念（D

一般地，如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方

根.而把正的平方根叫做a的算術平方根.

表達式為：若/=a，那么x叫做a的平方根.記作土幾.

2

例如：（±4）一=16,則+4和-4都是16的平方根；即16的平方根是±4;4

是16的算術平方根.

（三）探索平方與開平方的關系:

給出幾組具體的數(shù)據(jù)，由平方探知開平方與平方的互逆關系.

(四)概念辨析

平方根與算術平方根的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系1.包含關系平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根的一種.

2.只有非負數(shù)才有平方根和算術平方根.

3.0的平方根是0,算術平方根也是0.

區(qū)別1.個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方根，但只有一個算術平方根.

2.表示法不同：平方根表示為土石，而算術平方根表示為6.

目的形成“平方根”的概念.在列舉一些具體數(shù)據(jù)的感性認識基礎上，由

平方運算反推出平方根的概念和定義，并讓學生非常熟練地進行平方和平方根之

間的互化并，明白它們之間的互逆關系，辨析概念“平方根”與“算術平方

根”的區(qū)別與聯(lián)系，使之與上一節(jié)課緊密聯(lián)系.

效果由于遵循了從具體到抽象的過程，注重學生原有認知基礎的回顧，并

和原有的概

念進行了比較與辨析，因此，學生對這一抽象的概念掌握得比較牢靠.

說明平方根與算術平方根的區(qū)別是本節(jié)課的一大難點，也是學生經(jīng)常容易

出錯的地方.

對這兩個概念加以比較與區(qū)別有利于學生的理解與掌握.

第三環(huán)節(jié)例題和新知鞏固

(")例題示范

求下列各數(shù)的平方根：

4Q

(1)64；(2)—；(3)0.0004;⑷(―25)9~;⑸11

解(1)(±8)2=64,，64的平方根是±8,即士必=±8；

(2)(±5『=普,.??舒的平方根為±吉，即±佰=±5；

(3)(±0.02)2=0.0004,.?.0.0004^平方1艮是±0.02,即±7^5565=±0.02；

(4)(±25)2=(—25>,??.(—25)2的平方根是±25,即±gs)?=±25；

(5)11的平方根是

目的這是書上的例題，要求學生能正確掌握平方根的文字說理及符號化

的表達.能熟

練地求出一個數(shù)的平方根，然后由題中的數(shù)據(jù)探索出正數(shù)、0、負數(shù)的平方根的

個數(shù).

效果通過對例題的詳解，學生能準確地書寫表達，規(guī)范平方根的書寫格

式，掌握正

確的符號化語言.

(-)思考提升

1.(-5)2的平方根是,瘋的算術平方根是_____,，的平方根是

_____>

2.(764)-=,--5)2=,±764=,V0_04=；

3.\[^=,當aiO時,(6)?=.

(三)鞏固練習

1.下列說法正確的是

①-3是病的平方根;②25的平方根是5;③-36的平方根是-6;④平方根

等于0的數(shù)是0；⑤64的平方根是8.

2.下列說法不正確的是()

(A)0的平方根是0(B)-2?的平方根是±2

(C)非負數(shù)的平方根是互為相反數(shù)(D)一個正數(shù)的算術平方根一定

大于這個數(shù)的相反數(shù)

3.已知一個自然數(shù)的算術平方根是a,則該自然數(shù)的下一個自然數(shù)的算術平

方根是().

(A)a+1(B)Vo+1(C)a2+l(D)y/cr+l

4.%為何值，有意義？

x

答因為一萬之。,所以％wo

目的圍繞本節(jié)課的重點知識(平方根)作適當?shù)木毩?，在不同的變式?/p>

習中加深對平方根意義的理解.

效果學生基本能順利解決這些問題，并利用探索的規(guī)律進行規(guī)范的表達.

第四環(huán)節(jié)課堂小結

內(nèi)容引導學生總結本課時的知識、方法.

目的讓學生對所學的知識進行梳理，使之思路清晰，既鞏固了有關知識，

又培養(yǎng)了學生良好的學習習慣.

效果在老師的引導下學生自己總結本節(jié)課的知識、方法，如

平方根的概念若Y=a,則X叫a的平方根，x=±&

平方根的個數(shù)正數(shù)有2個平方根，0的平方根是0,負數(shù)沒有平方根.

平方與開方之間的關系；

求平方根的方法求一個數(shù)的平方根就是轉化尋找哪個數(shù)平方等于這個

數(shù).

第五環(huán)節(jié)提高訓練

內(nèi)容1.5+而的小數(shù)部分為a,5-布的小數(shù)部分為b,求”的值.

2.已知實數(shù)a,8滿足。2+V^^+9=6b

①若a,8為A43c的兩邊，求第三邊c的取值范圍；

②若a,8為A48C的兩邊，第三邊c等于5,求A48c的面積.

目的安排了兩道題，其中最后一題是用算術平方根的意義來解決三角形的

問題，這一環(huán)節(jié)主要針對層次較好的學生提供的題.可供老師根據(jù)教學的實際情

況靈活處理.

第六環(huán)節(jié)作業(yè)布置

習題2.4

四、教學設計反思

本節(jié)課是八年級上冊第二章《平方根》的第二課時.主要知識是平方根的

學習和運用.教材是教師提供最基本的教學素材，教師完全可以根據(jù)學生的實際

情況進行適當調(diào)整.

(-)注重概念的形成過程，讓學生在概念的形成的過程中，逐步理解所

學的概念.概念是由具體到抽象、由特殊到一般，經(jīng)過分析、綜合去掉非本質特

征，保持本質屬性而形成的.概念的形成過程也是思維過程，加強概念形成過程

的教學，對提高學生的思維水平是很必要的.所以在學習平方根的概念時，對正

數(shù)有兩個平方根學生不太容易接受，往往丟掉負的平方根，因為這與他們以前的

經(jīng)驗不符.對此，在平方根的引入時，可多提一些具體的問題.如“9的算術平方

根是3,也就是說，3的平方是9.還有其他的數(shù)，它的平方也是9嗎？'’等等，

旨在引起學生的思考，讓學生從具體的例子中抽象出初步的平方根的概念.再讓

學生去討論一個正數(shù)有幾個平方根？0有幾個平方根？負數(shù)呢？引導學生更深

刻地理解平方根的概念，然后通過具體的求平方根的練習，鞏固新學的概念.

（二）鼓勵學生進行探究和交流本節(jié)課為學生提供了有趣而富有數(shù)學含

義的問題，讓學生進行充分的探索和交流.如把正方形的面積不斷的擴大為2

倍、3倍、〃倍，來引導學生充分進行交流、討論與探索等數(shù)學活動，從中感受

學習平方根的必要性.

（三）設計之中多處運用類比的方法，使學生清楚新舊知識的區(qū)別和聯(lián)

系.類比概念“平方根”和“算術平方根”的區(qū)別和聯(lián)系，“平方’'和“開平方”運算.

（四）根據(jù)學生實際，靈活使用教材

教材上只安排了一道例題和幾個想一想，為了讓學生對新知鞏固，我增加

了部分練習題，圍繞“平方根”這一知識點進行各種題型的變式練習.當然，選

題要有層次，有梯度.老師們在進行教學時可以根據(jù)學生的實際情況作適當?shù)娜?/p>

舍.

（五）建議

根據(jù)知識結構的邏輯關系與學生的認知規(guī)律，建議教材在內(nèi)容安排上平方根

置于算術平方根之前.

實數(shù)及其性質

一、學生起點分析

實數(shù)是在有理數(shù)和勾股定理等知識基礎上進行的第二次數(shù)系擴張，在教學中

注意運用類比方法，使學生明確新舊知識之間的聯(lián)系，如實數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、

絕對值等概念可完全類比有理數(shù)建立，并通過例題和習題來鞏固，適當加深對它

們的認識。

二、教學任務分析

本節(jié)是義務教育課程標準七年級下冊第六章《實數(shù)》的第三節(jié)。主要是建立

實數(shù)的概念并能對實數(shù)按要求進行不同的分類，同時了解實數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、

倒數(shù)、絕對值的意義。

在本節(jié)之前學生已學習了平方根、立方根，認識了無理數(shù)，了解了無理數(shù)是

客觀存在的，從而將有理數(shù)擴充到實數(shù)范圍，使學生對數(shù)認識進一步深入。中學

階段有關數(shù)的問題多是在實數(shù)范圍內(nèi)進行討論的，同時實數(shù)內(nèi)容也是今后學習一

元二次方程、函數(shù)的基礎。本節(jié)課的教學目標是：

1.了解實數(shù)的意義，能對實數(shù)按要求進行分類；

2.了解實數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反

數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義完全一樣.

3.在認識“實數(shù)”這一新知識時，學生應用已有的“有理數(shù)”的相關概念及運算

規(guī)律類比解決'實數(shù)”的相關概念及運算規(guī)律，從而獲取解決實數(shù)相關問題的基本

方法。

5.了解數(shù)系擴展對人類認識發(fā)展的必要性；

教學重點

1.了解實數(shù)意義，能對實數(shù)進行分類；

2.在實數(shù)范圍求相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值、明確實數(shù)的運算運算規(guī)律；

三、教學過程設計

本節(jié)課設計了七個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復習引入；第二環(huán)節(jié)：實數(shù)概念和

分類；第三環(huán)節(jié)：實數(shù)相關概念；第四環(huán)節(jié)：實數(shù)的運算；第五環(huán)節(jié)：課堂練習；

第六環(huán)節(jié)：歸納小結；

第一環(huán)節(jié)：復習引入新課

內(nèi)容：問題：（1）什么是有理數(shù)？有理數(shù)怎樣分類？

（2）什么是無理數(shù)？帶根號的數(shù)都是無理數(shù)嗎？

意圖：回顧以前學習過的內(nèi)容，為進一步學習引入無理數(shù)后數(shù)的范圍的擴充

作準備。

效果：學生主動思考并積極回答，通過相互補充完善了舊知識的復習掌握，

通過對有理數(shù)分類的復習，使學生進一步明確了分類要按同一標準不重不漏。通

過舉例明確了無理數(shù)的表現(xiàn)形式，野味后續(xù)判斷或者對實數(shù)進行分類提供了認知

準備。

第二環(huán)節(jié)：實數(shù)概念和分類

內(nèi)容1：把下列各數(shù)分別填入相應的集合內(nèi)：

昌但

區(qū)宮,,,5,五，V3石，-我，R,0,0.3737737773.......

（相鄰兩個3之間7的個數(shù)逐次增加1）

知識整理:有理T麴Tm羯4ki_數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。—1.-JKI/vt-

意圖：通過將以上各數(shù)填入有理數(shù)集合和無理數(shù)集合，建立實數(shù)概念。

效果：學生動手填寫，并進行小組交流討論，對帶根號的數(shù)是否是無理數(shù)有

了進一步認識。

內(nèi)容2：1.你能把上面各數(shù)分別填入下面相應的集合內(nèi)嗎？

正和隼合向新售臺

2.0屬于正數(shù)嗎？0屬于負數(shù)嗎？

知識整理：無理數(shù)和有理數(shù)一樣，也有正負之分。

1.從符號考慮，實數(shù)可以分為正實數(shù)、0、負實數(shù)，即：

,正實數(shù)

實數(shù)＜0

負實數(shù)

2.另外從實數(shù)的概念也可以進行如下分類：

實數(shù)［有理數(shù)

I無理數(shù)

意圖：在實數(shù)概念形成的基礎上對實數(shù)進行不同的分類。上面的數(shù)中有0,

0不能放入上面的任何一個集合中，學生容易遺漏，強調(diào)0也是實數(shù)，但它既不

是正數(shù)也不是負數(shù)，應單獨作一類。提醒學生分類可以有不同的方法，但要按同

一標準不重不漏。

效果：讓學生討論回答，形成共識：實數(shù)也可以分為正實數(shù)、0、負實數(shù)，

并體會到了分類中不能出現(xiàn)遺漏和重復的要求。

第三環(huán)節(jié)：實數(shù)的相關概念

內(nèi)容1：1.在有理數(shù)中，數(shù)a的相反數(shù)是什么？絕對值是什么？當a不為0

時，它的倒數(shù)是什么？

2.%的相反數(shù)是什么？去的倒數(shù)是什么？0,-n的絕對值

分別是什么？

意圖：從復習入手，類比有理數(shù)中的相關概念，建立實數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)和

絕對值等概念，它們的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的意義是一致的。

效果：學生類比有理數(shù)中相關概念，體會到了實數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、

絕對值的意義。

內(nèi)容2：想一想：

1.3—n的絕對值是o

2.想一想：a是一個實數(shù)，它的相反數(shù)是,它的絕對值

是，當aWO時，它的倒數(shù)是o

知識整理

(1)相反數(shù)：a與一a互為相反數(shù)；0的相反數(shù)仍是0；

(2)倒數(shù)：當aWO時，a與％互為倒數(shù)(0沒有倒數(shù))；

(3)絕對值：正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的

絕對值是0；

a(a>0)

|4|=<0(。=0)

即.一。(。<0)

意圖：加深學生對相關概念的理解。

效果：學生在討論交流中進一步掌握了實數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值等知識。

第四環(huán)節(jié)：實數(shù)運算

內(nèi)容：1.在有理數(shù)范圍內(nèi)，能進行哪些運算？(加、減、乘、除、乘方)，

用哪些運算律？

2.判斷下列各式成立嗎？

llI-I-V3,Vs?—j==>/3-JV5?=5/3

V2.V5=V5-V2V5IV5j

4蚯+7啦=(4+7即=1啦

意圖：從復習入手，類比有理數(shù)中的相關運算及運算律，得到有理數(shù)的運算

及運算律對實數(shù)仍然適用。

效果：學生類比有理數(shù)中相關運算，體會到了實數(shù)范圍內(nèi)的運算及運算律。

第五環(huán)節(jié)：課堂練習

內(nèi)容：1.判斷下列說法是否正確：

(1)無限小數(shù)都是無理數(shù)；

(2)無理數(shù)都是無限小數(shù)；

(3)帶根號的數(shù)都是無理數(shù)。

2.求下列各數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值：

(1)月;(2)；(3)歷.

意圖：通過以上練習，檢測學生對實數(shù)相關知識的掌握情況。

效果：第1,2題學生能較好地完成。

第六環(huán)節(jié)：歸納小結

內(nèi)容：議一議，本節(jié)課我們學習了哪些知識？

意圖：鼓勵學生結合本節(jié)課的學習談自己的收獲。

效果：學生交流，互相補充，完成本節(jié)知識的梳理。

六、反思

實數(shù)作為有理數(shù)的擴張，其具體研究內(nèi)容和有理數(shù)完全類似，因此學習中，

本課時設計中，十分關注前后知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，關注運用類比的思想學習新

的知識，這是本課設計中一個十分顯著的特點。實際上，類似的問題在其他知識

學習中同樣存在，注意體會。

此外，根據(jù)學生的認知狀況，借助類比學習實數(shù)有關知識，還可以有一些不

同的嘗試，如果學生整體認知水平較高，可以要求學生首先回憶有關有理數(shù)學習

內(nèi)容和順序，并根據(jù)這個知識框架思考是否可以構建實數(shù)的有關順序，思考在各

個具體內(nèi)容如何研究等問題，然后再打開書本比照學習。當然也可以首先提出一

些思考的問題，讓學生自學，整理有關框架，并和舊的框架建立聯(lián)系等。教無定

法，關鍵在于適應你的學生狀況。

附：板書設計

實數(shù)

一、實數(shù)定義

‘正實數(shù)

二.安加分舉■空和J有理數(shù)成

算術平方根

一、學生起點分析

學生的知識技能基礎：學生網(wǎng)學完《勾股定理》，通過本章第一節(jié)的學習，

已具備了對無理數(shù)的認識，知道只有有理數(shù)是不夠的.學生還具備了乘方運算的

基礎，并且有計算正方形等幾何圖形面積的技能.

學生活動經(jīng)驗基礎：在前面的學習過程中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學習的

過程，具備了一定的合作學習的經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力.

二、教學任務分析

本節(jié)課是義務教育課程標準實驗教科書人教版七年級（下）第六章《實數(shù)》的

第一節(jié)《平方根》.本節(jié)內(nèi)容計3個課時，本節(jié)課是第1課時，主要是算術平方

根的概念和性質的教學.課程標準要求，對于數(shù)學概念的教學，要關注概念的實

際背景與形成過程，力求從學生實際出發(fā)以他們熟悉的問題情景引入學習主題，

在關注現(xiàn)實生活的同時，更加關注數(shù)學知識內(nèi)部的挑戰(zhàn)性，因此確定本節(jié)的教學

目標如下：

①了解算術平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的算術平方根；了解求一個

正數(shù)的算術平方根與平方是互逆的運算，會利用這個互逆運算關系求非負數(shù)的算

術平方根；了解算術平方根的性質.

②在概念形成過程中，讓學生體會知識的來源與發(fā)展，提高學生的思維能力；

在合作交流等活動中，培養(yǎng)他們的合作精神和創(chuàng)新意識.

③讓學生積極參與教學活動，培養(yǎng)他們對數(shù)學的好奇心和求知欲.

三、教學過程設計

本課時設計六個環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：問題情境；第二環(huán)節(jié)：初步探究；第三環(huán)

節(jié)：深入探究；第四環(huán)節(jié)：反饋練習；第五環(huán)節(jié)：學習小結；第六環(huán)節(jié)：作業(yè)布

置.

本節(jié)課教學流程為：

第一環(huán)節(jié)：問題情境

方法一：問題導入

內(nèi)容：上節(jié)課學習了無理數(shù)，了解到無理數(shù)產(chǎn)生的實際背景和引入的必要性，

掌握了無理數(shù)的概念，知道有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別是：

有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)是無限不循1

環(huán)小數(shù).比如上一節(jié)課我們做過的：由兩個邊長為1

的小正方形，通過剪一剪，拼一拼，得到一個邊長為a1

的大的正方形，那么有。2=2,a=,2是有理

數(shù)，而a是無理數(shù).在前面我們學過若爐=。，則a叫x的平方，反過來X叫a的

什么呢？本節(jié)課我們一起來學習.

方法二：問題導入

0B

內(nèi)容：前面我們學習了勾股定理，請大家根據(jù)勾股定理，結合圖形完成填空：

%2=,V=,z2=,w2=.

目的：方法一和二都是帶著問題進入到這節(jié)課的學習，讓學生體會到學習算

術平方根的必要性.

效果：能表示/=2,丁=3,z2=4,小=5;能求得z=2，但不能求得

x,y,vv的值.

說明：方法一的引入是由上節(jié)課“數(shù)怎么又不夠用了”的例子，起到了承前啟

后的作用，方法二的引入是由學生學習了第一章“勾股定理”后的應用，說明學習

這節(jié)課的必要性.相對而言，建議選用方法二.

第二環(huán)節(jié)：初步探究

內(nèi)容1：情境引出新概念

/=2,V=3,z2=4,卬2=5,已知幕和指數(shù)，求底數(shù)x，你能求出來

嗎？

目的：讓學生體驗概念形成過程，感受到概念引入的必要性.

效果：學生可以估算出x,y是1到2之間的數(shù)，卬是2到3之間的數(shù)但無

法表示尤，y,w,從而激發(fā)學生繼續(xù)往下學習的興趣，進而引入新的運算——

開方.

說明：無論是用方法一引入，還是方法二引入，都是激發(fā)學生繼續(xù)往下學習

的興趣，都可以提出同樣的問題“已知幕和指數(shù)，求底數(shù)x，你能求出來嗎？”

內(nèi)容2：在上面思考的基礎上，明晰概念：

一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即，那么這個正數(shù)了就叫做a

的算術平方根，記為“后”，讀作“根號a”.特別地，我們規(guī)定0的算術平方根是0,

即而=0.

目的：對算術平方根概念的認識.

效果：了解算術平方根的概念，知道平方運算和求正數(shù)的算術平方根是互逆

的.

內(nèi)容3：簡單運用鞏固概念

例1求下列各數(shù)的算術平方根：

（1）900；⑵「⑶石；⑷.

目的：體驗求一個正數(shù)的算術平方根的過程，利用平方運算求一個正數(shù)的算

術平方根的方法，讓學生明白有的正數(shù)的算術平方根可以開出