移動(dòng)機(jī)器人SLAM技術(shù) 課件 【ch03】移動(dòng)機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型

移動(dòng)機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型第三章大學(xué)生禮儀高等院校公共課系列精品教材01移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型PARTONE01移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)摸型

運(yùn)動(dòng)學(xué)是對(duì)機(jī)械系統(tǒng)如何運(yùn)行的最基本的研究。研究移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)的目的之一是通過(guò)改變輪子的運(yùn)動(dòng)速度或運(yùn)動(dòng)方向來(lái)調(diào)整移動(dòng)機(jī)器人的姿態(tài)。1987年，Muir和Neuman提出了一種研宄輪式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的方法：先對(duì)每個(gè)輪子的運(yùn)動(dòng)建模，再合并這些信息去描述整個(gè)輪式移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)。到1989年，Alexander與Maddocks在上述研究的基礎(chǔ)上，對(duì)輪式移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了比較詳盡的闡述。輪式移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析應(yīng)從描述各輪對(duì)運(yùn)動(dòng)所做的貢獻(xiàn)開(kāi)始。在整個(gè)移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)中，各輪都有作用，相似地，各輪也在移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)中被加上約束，如拒絕橫向剎車。01移動(dòng)機(jī)器人坐標(biāo)系為整個(gè)移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)建立一個(gè)模型，是一個(gè)由底向上的過(guò)程。移動(dòng)機(jī)器人中各單個(gè)輪子對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)做貢獻(xiàn)，同時(shí)又對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)施加約束。根據(jù)移動(dòng)機(jī)器人底盤(pán)的幾何特征，多個(gè)輪子是通過(guò)一定的機(jī)械結(jié)構(gòu)連在一起的，所以它們的約束將聯(lián)合起來(lái)，形成對(duì)移動(dòng)機(jī)器人底盤(pán)運(yùn)動(dòng)的約束。這里，需要用相對(duì)清晰和一致的參考坐標(biāo)系來(lái)表達(dá)各輪的力和約束。在移動(dòng)機(jī)器人學(xué)中，由于移動(dòng)機(jī)器人獨(dú)立移動(dòng)的本質(zhì)，它需要在全局和局部參考坐標(biāo)系之間有一個(gè)清楚的映射。01移動(dòng)機(jī)器人坐標(biāo)系在整個(gè)分析過(guò)程中，把移動(dòng)機(jī)器人建模成輪子上的一個(gè)剛體，其運(yùn)行在平面上。1在平面上，該移動(dòng)機(jī)器人底盤(pán)的總維數(shù)是三：兩個(gè)為平面中的位置，另一個(gè)為沿垂直軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，它與平面正交。2當(dāng)然，由于存在輪軸，輪的操縱關(guān)節(jié)和小腳輪關(guān)節(jié)，還會(huì)有附加的自由度和靈活性。3然而就移動(dòng)機(jī)器人底盤(pán)而言，我們只把它看作剛體，忽略移動(dòng)機(jī)器人和它的輪子間內(nèi)在的關(guān)聯(lián)和自由度。401移動(dòng)機(jī)器人坐標(biāo)系0為了確定移動(dòng)機(jī)器人在平面中的位置，如圖所示，建立全局參考坐標(biāo)系和移動(dòng)機(jī)器人局部參考坐標(biāo)系之間的關(guān)系。將平面上任意一點(diǎn)選為原點(diǎn)0，以相互正交的軸和軸建立全局參考坐標(biāo)系。為了確定移動(dòng)機(jī)器人的位置，選擇移動(dòng)機(jī)器人底盤(pán)上的一個(gè)c點(diǎn)作為它的位置參考點(diǎn)。通常c點(diǎn)與移動(dòng)機(jī)器人的重心重合。01移動(dòng)機(jī)器人坐標(biāo)系定義移動(dòng)機(jī)器人底盤(pán)上相對(duì)于C點(diǎn)的兩個(gè)軸，從而定義移動(dòng)機(jī)器人局部參考坐標(biāo)系。在全局參考坐標(biāo)系上，C點(diǎn)的位置由坐標(biāo)x和y確定全局和局部參考坐標(biāo)系之間的角度差由0給定，可以將移動(dòng)機(jī)器人的姿態(tài)描述為具有這3個(gè)元素的矢量。為了根據(jù)分量的移動(dòng)描述移動(dòng)機(jī)器人的移動(dòng)，需要把沿全局參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)映射成沿移動(dòng)機(jī)器人局部參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)。01移動(dòng)機(jī)器人坐標(biāo)系01移動(dòng)機(jī)器人坐標(biāo)系01雙輪差速移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

雙輪差速移動(dòng)機(jī)器人如圖所示，討論圖中的雙輪差速移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，即討論給定移動(dòng)機(jī)器人的幾何特征和它的輪子速度后，移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程。0假設(shè)該雙輪差速移動(dòng)機(jī)器人局部參考坐標(biāo)系的原C點(diǎn)位于兩輪中心，并且c點(diǎn)與移動(dòng)機(jī)器人的重心重合，局部參考坐標(biāo)系中Y軸與移動(dòng)機(jī)器人的兩輪軸線平行，與車體正前方垂直；軸與全局參考坐標(biāo)系x軸的夾角為9。移動(dòng)機(jī)器人有兩個(gè)主動(dòng)輪子，直徑為。兩輪的輪間距為1。01雙輪差速移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

如，假設(shè)該雙輪差速移動(dòng)機(jī)器人局部參考坐標(biāo)系的原C點(diǎn)位于兩輪中心并且C點(diǎn)與移動(dòng)機(jī)器人的重心重合，局部參考坐標(biāo)系中yR軸與移動(dòng)機(jī)器人的兩輪軸線平行，與車體正前方垂直;xR軸與全局參考標(biāo)系x軸的夾角為θ。移動(dòng)機(jī)器人有兩個(gè)主動(dòng)輪子，直徑為r，兩輪的輪間距為l。假定移動(dòng)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)中質(zhì)心的線速度為v，角速度為w，左右兩輪的轉(zhuǎn)速分別為Ф1和Ф2,移動(dòng)機(jī)器人左右兩輪的運(yùn)動(dòng)速度分別為vL和vR

。給定r、l和θ六以及根據(jù)圖所示的幾何關(guān)系，考慮到移動(dòng)機(jī)器人滿足剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，其會(huì)有下面的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程·201雙輪差速移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

得到雙輪差速移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型01全方位移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型具有傳統(tǒng)車輪的移動(dòng)機(jī)器人只能有兩個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，所以在運(yùn)動(dòng)學(xué)上，它等價(jià)于傳統(tǒng)的陸上車輛。然而，具有全方位輪的移動(dòng)機(jī)器人有3個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)能力，即沿著平面上，軸、），軸及繞自身中心旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)能力，這充分提高了移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)性。因此本節(jié)將給出這種全方位移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。全方位輪的種類有很多，它的組成是在輪轂的外緣上設(shè)置可繞自己的軸旋轉(zhuǎn)的輥?zhàn)樱揖鶆蚍植加谳嗇炛車?，這些輥?zhàn)虞S線馬和輪轂軸線的夾角為90。01全方位移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型全方位輪由雙排自由滾動(dòng)的輥?zhàn)咏M成，使得輪子在地面滾動(dòng)時(shí)形成連續(xù)的接觸點(diǎn)。全方位輪在運(yùn)動(dòng)時(shí)輪轂是驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，輥?zhàn)邮菑膭?dòng)機(jī)構(gòu)，因此在本節(jié)中主動(dòng)輪由輪轂與邊沿輥?zhàn)咏M成，從動(dòng)輪由車輪輥?zhàn)咏M成，主動(dòng)輪、從動(dòng)輪與地面的接觸點(diǎn)均為輥?zhàn)优c地面的接觸點(diǎn)。由于全方位輪的結(jié)構(gòu)特殊性，全方位移動(dòng)機(jī)器人可以由不同數(shù)量的全方位輪組成，理論上說(shuō)可以由大于2的任意個(gè)輪子組成，但從可控性及經(jīng)濟(jì)性方面考慮，常見(jiàn)的由3輪、4輪組成。不同數(shù)量(K)全方位輪組成的全方位移動(dòng)機(jī)器人有著不同性能，K越大，震動(dòng)越弱；但同時(shí)帶來(lái)了許多機(jī)構(gòu)上的問(wèn)題，如在不平地面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)K冫4時(shí)需要加彈性懸架機(jī)構(gòu)來(lái)保證每個(gè)輪子都與地面接觸。為了選取合適的K值以獲得需要的運(yùn)動(dòng)性能，必須對(duì)移動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模。01全方位移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型01全方位移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型01全方位移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

02移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型PARTONE02雙輪差速移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型動(dòng)力學(xué)模型與運(yùn)動(dòng)學(xué)模型不同，它主要是為了確定物體在受到外力作用時(shí)的運(yùn)動(dòng)結(jié)果。繞c點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J'設(shè)左右兩輪輸出軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Jl和J2。02雙輪差速移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型02雙輪差速移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型02全方位移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型方位移動(dòng)機(jī)器人大致可分為單輪移動(dòng)機(jī)器人和多輪移動(dòng)機(jī)器人，在大部分研究中都將輪子設(shè)為剛體、不可變形的圓盤(pán)，并將輪子與地面的相互作用當(dāng)作是點(diǎn)接觸。實(shí)際上，大部分輪子是由可變形材料（如橡膠）制成的，所以產(chǎn)生相互作用的是接觸面。在本節(jié)中，假設(shè)全方位移動(dòng)機(jī)器人的重心不高，因此當(dāng)全方位移動(dòng)機(jī)器人加速運(yùn)動(dòng)時(shí)由重心偏高產(chǎn)生的各輪對(duì)地面壓力的變化忽略不計(jì)?；谲囕v動(dòng)力學(xué)理論，當(dāng)全方位移動(dòng)機(jī)器人加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，驅(qū)動(dòng)輪與地面由于接觸變形所產(chǎn)生的切向力是車輛或移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的牽引驅(qū)動(dòng)力。只要輪子和地面間的接觸區(qū)域，即輪子接地印跡上承受切向力，就會(huì)出現(xiàn)不同程度的打滑，因此嚴(yán)格來(lái)講理想純滾動(dòng)的假設(shè)條件并不符合實(shí)際情況。將加速過(guò)程中車輪的打滑減到最少是移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制的目標(biāo)，也是對(duì)單個(gè)輪子進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析的前提。02全方位移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型當(dāng)輪子在地面上滾動(dòng)時(shí)，輪子與地面在接觸區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的各種相互作用力和相應(yīng)的變形都伴隨著能量損失，這種能量損失是產(chǎn)生滾動(dòng)阻力的根本原因。為了提高移動(dòng)機(jī)器人的加速性能，很多輪子都采用橡膠輪或由其他具有塑性變形的材料制成，而且一些家用機(jī)器人或娛樂(lè)機(jī)器人(足球機(jī)器人)都會(huì)在地上運(yùn)動(dòng)，因此移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)更容易產(chǎn)生滾動(dòng)阻力。這種彈性變形產(chǎn)生的彈性遲滯損失形成了阻礙輪子滾動(dòng)的一種阻力偶，當(dāng)輪子只受徑向載荷而不滾動(dòng)時(shí)，地面對(duì)輪子的法向反作用力的分布是前后對(duì)稱的，其合力F2與法向載荷P重合于法線n-n/方向輪子靜止時(shí)的受力情況如圖02全方位移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型如果將法向反作用合力F,向后平移至通過(guò)輪子中心，與其垂線重合，則輪子在地面上滾動(dòng)時(shí)的受力情況如圖3.8所示，出現(xiàn)一個(gè)附加的力偶矩T=F?e,這個(gè)阻礙車輪滾動(dòng)的力偶矩稱為滾動(dòng)阻力偶矩。由可知，欲使輪子在地面上保持勻速滾動(dòng)，必須在輪軸上加一驅(qū)動(dòng)力矩r或加一推力Fp,從而克服上述滾動(dòng)阻力偶矩。相關(guān)數(shù)學(xué)關(guān)系如下所示。式中，稱為滾動(dòng)阻力系數(shù)。由式可知，滾動(dòng)阻力系數(shù)是指在一定條件下，輪子滾動(dòng)所需的推力與車輪所受徑向載荷之比，即要使輪子滾動(dòng)，單位車重所需的推力。所以輪子的滾動(dòng)阻力等于輪子徑向垂直載荷與滾動(dòng)阻力系數(shù)之乘積，所示，真正作用在輪子上驅(qū)動(dòng)移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的力為地面對(duì)輪子的切向反作用力，該值為驅(qū)動(dòng)力減去輪子的滾動(dòng)阻力。02全方位移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型(b)、(c)分別是驅(qū)動(dòng)輪、從動(dòng)輪在加速過(guò)程中的受力圖。各參數(shù)說(shuō)明如下：R和r分別為驅(qū)動(dòng)輪和從動(dòng)輪的半徑；P和Pp,分別為全方位輪、從動(dòng)輪上的載荷；Nd和Np分別為地面對(duì)驅(qū)動(dòng)輪、從動(dòng)輪的法向反作用力；fdi和fpi分別為作用在驅(qū)動(dòng)輪、從動(dòng)輪上的地面切向反作用力：M?和M,分別為驅(qū)動(dòng)輪、從動(dòng)輪的滾動(dòng)力偶矩，在移動(dòng)機(jī)器人載荷一定的情況下，近似不變；和分別為驅(qū)動(dòng)輪、從動(dòng)輪的角加速度；

和,;,分別為驅(qū)動(dòng)輪、從動(dòng)輪軸心平行于地面的加速度；Jd和Jp分別為主動(dòng)輪與從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；T為電機(jī)作用于驅(qū)動(dòng)輪的轉(zhuǎn)矩；ed與ep為輪子與地面之間的印跡表面上存在的壓力分布問(wèn)題使得地面對(duì)輪子法向反作用力偏移的距離。02全方位移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型02全方位移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型接下來(lái)再介紹全方位移動(dòng)機(jī)器人的整體動(dòng)力學(xué)棋型。根據(jù)圖3.9(a)所示的對(duì)單個(gè)輪子的受力分析和圖3.10所示的全方位移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，使用牛頓-歐拉方程，可以對(duì)全方位移動(dòng)機(jī)器人建立動(dòng)力學(xué)模型，整個(gè)動(dòng)力學(xué)模型為式(3-31)、式(3-32)和式(