中考數(shù)學滿分之路【08】棘手的最小值問題

中考數(shù)學滿分之路（8）：一些棘手最小值問題關(guān)于最小值，你最需要知道的是：兩點之間線段最短；垂線段最短．一、動點在直線上的帶系數(shù)的折線段最小值問題（胡不歸）【問題引入】如圖，已知沙地的行進速度為1，沙地邊界處的快速通道的行進速度2，點，，，求從點到點所需的最短時間．（可從快速通道上的任意一點直接進入沙地）【問題簡化】如圖所示，已知點為直線外一定點，點為直線上一定點，點在直線上運動，求的最小值．需要提醒的是：你不需要知道什么胡不歸，阿氏圓，費馬點也能做出這道題．能成功解題的關(guān)鍵不在于你知道多少知識，而在于你對已有知識的靈活運用．模型是重要，但模型的推導過程更重要．不知其所以然，知識很快就會被遺忘．【問題解決】由可以聯(lián)想到在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．如圖，得解．通過研究這道題目，可自行總結(jié)出什么是胡不歸模型，適用范圍是什么（即在什么樣的前提下構(gòu)成此模型），解題通法是什么（萬變不離其宗）．【我的總結(jié)】胡不歸模型（1）條件：系數(shù)不相等折線段的兩個端點是定點，折點在直線上運動，在直線上的那條線段系數(shù)更小；（2）結(jié)論：此系數(shù)不等的折線段的最小值；（3）方法：先通過正弦將“系數(shù)不等的折線段”轉(zhuǎn)化為“系數(shù)相等的折線段”，再利用“垂線段最短”求解．【同步練習】1、如圖，已知中，，，延長至點，使，連接．（1）求證：是等邊三角形；（2）若為線段的中點，且，點為線段上一動點，連接，．①求的最小值；②求的最小值．2、如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，對稱軸與軸交于點，過點為軸上的一個動點，連接，則的最小值為______．3、如圖，點，是⊙上兩點，，分別過，作⊙的切線，兩切線相交于點，點為弧上的動點，，分別為線段，上的動點，若⊙的半徑為，則的最小值為______．二、動點在圓上的帶系數(shù)的折線段最小值問題（阿氏圓）【基礎(chǔ)再強調(diào)】1、定理：兩角對應相等的兩個三角形相似．2、定理：兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．如圖，中，點在邊上（不與端點重合），（1）若，則∽；（2）若，則∽；（3）若，則∽．【進一步的思考】（1）如圖，點在線段上，，，平面內(nèi)是否存在點，使得∽，若存在，請找出所有符合條件的點，若不存在，請說明理由；（2）如圖，在中，，，在線段上是否存在點，使得∽，若存在，請找出點；若不存在，請說明理由；（3）平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為常數(shù)（）的點的軌跡是圓，這個圓被稱作阿氏圓．我們要學習和掌握的不是什么阿氏圓，而是創(chuàng)造“”、構(gòu)造“子母型相似”．【同步練習】4、如圖，已知正的邊長為2，點為的中點，點在以為圓心為半徑的圓上運動，則的最小值為______．5、如圖，⊙是正方形的內(nèi)切圓，，點是⊙上一動點，則的最小值為______．6、如圖，在中，，，⊙的半徑為2，點是⊙上的動點，點在上，，連接，，則的最小值為______．7、如圖1，拋物線（）與軸交于點，與軸交于點，在軸上有一動點（），過點作軸的垂線交直線于點，交拋物線于點，過點作于點．（1）求的值和直線的函數(shù)表達式；（2）設(shè)的周長為，的周長為，若，求的值；（3）如圖2，在（2）條件下，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為（），連接、，求的最小值．【我的總結(jié)】阿氏圓模型（1）條件：系數(shù)不相等折線段的兩個端點是定點，折點在圓上運動（可能為隱圓）；（2）結(jié)論：此系數(shù)不等的折線段的最小值；（3）方法：先通過“創(chuàng)造條件，子母型相似”將“系數(shù)不等的折線段”轉(zhuǎn)化為“系數(shù)相等的可拉直折線段”，再利用“兩點之間線段最短”求解．三、動點在最大角小于120°的三角形內(nèi)部，求這個點到三個頂點距離之和的最小值（費馬點問題）【引例】已知點為等邊內(nèi)一點，且，，，求的度數(shù)．【同步練習】8、如圖，等腰中，，，點為內(nèi)一動點，求的最小值．9、如圖，在中，，，，點為內(nèi)一動點，則的最小值為______．10、如圖，在中，，，，點為內(nèi)一動點，則的最小值為______．【我的總結(jié)】費馬點模型（1）條件：在等腰三角形或含特殊角（30°，60°，90°）的三角形中；（2）結(jié)論：此三角形內(nèi)一動點到三頂點距離之和的最小值；（3）方法：先通過