【青松雪】拋物線二級結(jié)論與初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)命題

拋物線二級結(jié)論與初中數(shù)學(xué)命題我們以最簡單的二次函數(shù)（）為例。一般的二次函數(shù)（）可以化成頂點(diǎn)式，然后再經(jīng)過平移得到。但是情況太復(fù)雜，不適合初中生研究。1、以新定義的形式，定義焦點(diǎn)與準(zhǔn)線。焦點(diǎn)，準(zhǔn)線。點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)，試證：，即拋物線的統(tǒng)一定義。2、焦半徑公式：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則；即拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離有最小值。3、以為直徑的圓與軸相切?！咀C明】設(shè)的中點(diǎn)為，則，由焦半徑公式知：，∴，即點(diǎn)到軸的距離等于長度的一半，所以結(jié)論得證。4、若直線過焦點(diǎn)，與拋物線交于、兩點(diǎn)，且直線與軸的正半軸所成夾角為（）（此處避開直線的傾斜角，不然初中學(xué)生理解不了），則可得焦半徑的三角函數(shù)公式，?！咀C明】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)?！撸?，∴。同理可得：。∵，∴，∴，，∴，，∴，，即有最小值?！鄴佄锞€上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離有最小值，無最大值?！纠纭慨?dāng)?shù)扔?、、時，求、或的值等。5、若直線過焦點(diǎn)，與拋物線交于、兩點(diǎn)，且直線與軸的正半軸所成夾角為（），則?！咀C明】（利用焦半徑的三角函數(shù)公式可證）構(gòu)造輔助線方法同上，可得：，，∴得證?！纠纭慨?dāng)時，求的值。6、若直線過焦點(diǎn)，與拋物線交于、兩點(diǎn)，則以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切?！咀C明】（利用焦半徑的坐標(biāo)公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可證）設(shè)點(diǎn)，，的中點(diǎn)，則由焦半徑公式可得：，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：，而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，∴，得證。7、若直線過焦點(diǎn)，與拋物線交于、兩點(diǎn)，且直線與軸的正半軸所成夾角為（），則線段叫做焦點(diǎn)弦，其長度為（焦點(diǎn)弦弦長公式）?！咀C明】（利用焦半徑的三角函數(shù)公式可證）由焦半徑的三角函數(shù)公式可知：，，∴，得證?！?，∴，∴，即，∴焦點(diǎn)弦有最小值，無最大值。8、過焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線、，分別交拋物線于、、、四點(diǎn)，則?！咀C明】（利用焦半徑的三角函數(shù)公式可證）設(shè)直線與軸的正半軸所成夾角為，直線與軸的正半軸所成夾角為，則，由焦點(diǎn)弦的弦長公式可知：，，∴，∵，∴，∴，得證。9、過焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線、，分別交拋物線于、、、四點(diǎn)，則四邊形的面積有最小值。【證明】（由上面的結(jié)論，和均值不等式可得，初中生可以用設(shè)元配方來理解）由上題的結(jié)論可得：，∴由均值不等式可得：，即，∴，而，得證。10、和焦點(diǎn)弦有關(guān)的直角梯形結(jié)論：【條件】直線過焦點(diǎn)，與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則：（1）以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；（證明略）（2）若為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為、，則直線必過焦點(diǎn)，且。（此結(jié)論還沒想到初中學(xué)生可以理解的證法）（3）【直角梯形的中位線模型】①；②；③于點(diǎn)；④垂直平分，垂直平分，且垂足都在軸上。（4）。（焦點(diǎn)弦三角函數(shù)公式可證）（5），即的面積有最小值。（利用前面結(jié)論可證）（6）直線與直線相交于點(diǎn)，即兩直線都過原點(diǎn)。（利用對應(yīng)線段成比例，可證）（7）連結(jié)與拋物線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，則直線直線。（此為阿基米德三角形的特例，此結(jié)論還沒想到初中學(xué)生可以理解的證法）【以下結(jié)論初中生估計不好證明】11、過焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線、，分別交拋物線于、、、四點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，則直線必過軸上的定點(diǎn)，且。12、焦點(diǎn)弦的中垂線與軸交于一點(diǎn)，則。13、若點(diǎn)是拋物線上一定點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條直線、交拋物線于點(diǎn)、，①若，則，即如果直線、的斜率互為相反數(shù)，則直線的斜率為定值；②若，則直線過定點(diǎn)，即如果直線、互相垂直，則直線過定點(diǎn)。14、拋物線“蝴蝶模型”：點(diǎn)、是拋物線對稱軸上兩點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線交于點(diǎn)，直線與拋物線交于點(diǎn)，則直線過定點(diǎn)，且。15、阿基米德三角形及其性質(zhì)：【條件】過拋物線上任意兩點(diǎn)、（）作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，則叫做該拋物線的阿基米德三角形。（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，則軸；（3）交拋物線于點(diǎn)