廣東省佛山市2024屆高三上學(xué)期教育教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬（一）數(shù)學(xué)試題含答案解析

佛山市2023—2024年普通高中教育教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬（一）高三數(shù)學(xué)2023.12本試卷共4頁，總分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必填寫答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卡相應(yīng)位置上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效．4．考生務(wù)必保持答題卷的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）A. B.C. D.2.已知平面向量，，若，則（）A B. C. D.3.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.4.北京時(shí)間2023年2月10日0時(shí)16分，經(jīng)過約7小時(shí)出艙活動(dòng)，神舟十五號(hào)航天員費(fèi)俊龍?鄧清明?張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動(dòng)全部既定任務(wù)，出艙活動(dòng)取得圓滿成功.載人飛船進(jìn)入太空需要搭載運(yùn)載火箭，火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪聲，已知聲音的聲強(qiáng)級(jí)（單位：）與聲強(qiáng)（單位：）滿足關(guān)系式：.若某人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與此人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為（）A. B. C. D.5.已知為銳角，若，則（）A. B. C. D.6.已知數(shù)列和均為等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若為定值，，，，則（）A. B. C. D.7.已知雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上的一點(diǎn)，，且的面積為4，則實(shí)數(shù)（）A. B.2 C. D.48.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.如圖，已知一個(gè)正八面體的棱長為2，，分別為棱，的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是等比數(shù)列10.如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，點(diǎn)M是棱SD的上動(dòng)點(diǎn)（M與端點(diǎn)不重合）．下列說法正確的是（）A.從A、O、C、S、M、D六個(gè)點(diǎn)中任取三點(diǎn)恰能確定一個(gè)平面的概率為B.從A、O、C、S、M、D六個(gè)點(diǎn)中任取四點(diǎn)恰能構(gòu)成三棱錐的概率為C.存在點(diǎn)M，使直線OM與AB所成的角為60°D.不存在點(diǎn)M，使平面SBC11.偉大的古希臘哲學(xué)家?百科式科學(xué)家阿基米德最早采用不斷分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的倍，這種方法已具有積分計(jì)算的雛形.已知橢圓的面積為，離心率為是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為B.若，則C.存在點(diǎn)，使得D.的最小值為12.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列說法正確的是（）A. B.C.的最小值為 D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.欲登上7階樓梯，某人可以每步跨上兩階樓梯，也可以每步跨上一階樓梯，則共有_____種上樓梯的方法.14.2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長安三萬里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分．唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．15.已知多項(xiàng)式，則___________.16.在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的體積與三棱錐的體積之比為__________.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，已知的外接圓的半徑為4，.（1）求中邊長：（2）求.18.已知函數(shù)，其中（1）若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，，且.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若正方形頂點(diǎn)、在直線上，頂點(diǎn)、在拋物線上，求.20.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，，是底面的內(nèi)接正三角形，且，是線段上一點(diǎn)．（1）若平面，求；（2）當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大？21.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列公比為，且，.令，記為數(shù)列的前項(xiàng)積，為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）若，，求的通項(xiàng)公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求.22.概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個(gè)當(dāng)屬由兩位俄國數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：設(shè)為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對(duì)任意，均有，馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．當(dāng)為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如下：設(shè)的分布列為其中，則對(duì)任意，，其中符號(hào)表示對(duì)所有滿足的指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的求和．切比雪夫不等式的形式如下：設(shè)隨機(jī)變量的期望為，方差為，則對(duì)任意，均有（1）根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對(duì)離散型隨機(jī)變量成立．（2）某藥企研制出一種新藥，宣稱對(duì)治療某種疾病的有效率為．現(xiàn)隨機(jī)選擇了100名患者，經(jīng)過使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請(qǐng)結(jié)合切比雪夫不等式通過計(jì)算說明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信．佛山市2023—2024年普通高中教育教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬（一）高三數(shù)學(xué)2023.12本試卷共4頁，總分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必填寫答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卡相應(yīng)位置上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效．4．考生務(wù)必保持答題卷的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，即可得答案.【詳解】由題意知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故，所以，故選：A2.已知平面向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求解的值.【詳解】平面向量，，則，由，則，解得.故選：D.3.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分、兩種情況討論，結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，解得，此時(shí).綜上所述，.故選：A.4.北京時(shí)間2023年2月10日0時(shí)16分，經(jīng)過約7小時(shí)的出艙活動(dòng)，神舟十五號(hào)航天員費(fèi)俊龍?鄧清明?張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動(dòng)全部既定任務(wù)，出艙活動(dòng)取得圓滿成功.載人飛船進(jìn)入太空需要搭載運(yùn)載火箭，火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪聲，已知聲音的聲強(qiáng)級(jí)（單位：）與聲強(qiáng)（單位：）滿足關(guān)系式：.若某人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與此人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化關(guān)系結(jié)合函數(shù)關(guān)系式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)人交談時(shí)的聲強(qiáng)為，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為，且，得，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)約為，將其代入中，得，故火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，故選:C.5.已知為銳角，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式求出，再由倍角公式求.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，由倍角公式有，所以，由銳角，則.故選：D6.已知數(shù)列和均為等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若為定值，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差中項(xiàng)和等差數(shù)列求和公式可求得的值，根據(jù)求出的值，再利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】在等差數(shù)列中，由得，因?yàn)闉槎ㄖ担?，即，所?故選：A.7.已知雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上的一點(diǎn)，，且的面積為4，則實(shí)數(shù)（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】由，得為直角三角形，根據(jù)雙曲線定義，再利用以及勾股定理建立等量關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為4，所以的面積為8.又，所以，所以為直角三角形，且.設(shè)，，所以，，所以，所以，又，所以.故選：C.8.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.如圖，已知一個(gè)正八面體的棱長為2，，分別為棱，的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得到，，然后由向量的數(shù)量積公式分別求出，結(jié)合向量的夾角運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】如圖所示：由題意，可得，，又由正八面體的棱長都是2，且各個(gè)面都是等邊三角形，在中，由，可得，所以，所以；；；所以，即直線和夾角的余弦值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選取適當(dāng)?shù)幕紫蛄?，由已知條件可以求出它們的模以及兩兩之間的夾角，所以只需把分解，然后由向量的夾角公式即可求解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是等比數(shù)列【答案】AD【解析】【分析】由題意得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后寫出每個(gè)選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，再判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列.【詳解】由題意得，所以數(shù)列是常數(shù)列，故A正確；數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，C錯(cuò)誤；，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，D正確.故選：AD10.如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，點(diǎn)M是棱SD的上動(dòng)點(diǎn)（M與端點(diǎn)不重合）．下列說法正確的是（）A.從A、O、C、S、M、D六個(gè)點(diǎn)中任取三點(diǎn)恰能確定一個(gè)平面的概率為B.從A、O、C、S、M、D六個(gè)點(diǎn)中任取四點(diǎn)恰能構(gòu)成三棱錐的概率為C.存在點(diǎn)M，使直線OM與AB所成的角為60°D.不存在點(diǎn)M，使平面SBC【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)古典概型公式計(jì)算概率判斷AB選項(xiàng)；建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量處理位置關(guān)系判斷CD選項(xiàng)．【詳解】從、、、、、六個(gè)點(diǎn)任取3點(diǎn)，有種情況，除去、、和、、分別共線，其余18種均不共線，故從A、O、C、S、M、D六個(gè)點(diǎn)中任取三點(diǎn)恰能確定一個(gè)平面的概率為，A正確；從A、O、C、S、M、D六個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)，共有種情況；其中S、M、D三點(diǎn)共線，A、O、C三點(diǎn)共線，有6種情況不能構(gòu)成三棱錐，故從A、O、C、S、M、D六個(gè)點(diǎn)中任取四點(diǎn)恰能構(gòu)成三棱錐的概率為，B正確；以為原點(diǎn)，的正方向分別為軸，軸，軸的方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)，，設(shè)，則有，得，則，又，由，得，解得，所以存在點(diǎn)M，使直線OM與AB所成的角為60°，故C正確．設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，則有，令，則，可得，由，可得，所以存在點(diǎn)M，使平面SBC，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11.偉大的古希臘哲學(xué)家?百科式科學(xué)家阿基米德最早采用不斷分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的倍，這種方法已具有積分計(jì)算的雛形.已知橢圓的面積為，離心率為是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為B.若，則C.存在點(diǎn)，使得D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】由橢圓的性質(zhì)判斷A；由定義結(jié)合余弦定理、三角形面積公式判斷B；由余弦定理得出的最大角為銳角，從而判斷C；由基本不等式判斷D.【詳解】對(duì)于A：由，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A正確；對(duì)于B：由定義可知，由余弦定理可得，解得，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，為銳角，則不存在點(diǎn)，使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：AD12.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列說法正確的是（）A. B.C.的最小值為 D.【答案】AC【解析】【分析】由已知得，由于當(dāng)且僅當(dāng)取等，則，，故，，代入選項(xiàng)即可【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等.由得而，，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)成立，故，，對(duì)B：，令，，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，故，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，令，，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，故，所以的最小值為，故C正確；對(duì)D：，令，，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，故，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將同構(gòu)為，借助于得到當(dāng)且僅當(dāng)，，從而得到的關(guān)系.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.欲登上7階樓梯，某人可以每步跨上兩階樓梯，也可以每步跨上一階樓梯，則共有_____種上樓梯的方法.【答案】21【解析】【詳解】本題采用分步計(jì)數(shù)原理.第一類：0次一步跨上2階樓梯，即每步跨上一階樓梯，跨7次樓梯，只有1種上樓梯的方法；第二類，1次一步跨上2階樓梯，5次每步跨上一階樓梯，跨6次樓梯，有種方法；第三類：2次一步跨上2階樓梯，3次每步跨上一階樓梯，跨5次樓梯，有種方法；第四類：3次一步跨上2階樓梯，1次每步跨上一階樓梯，跨4次樓梯，有種方法；共計(jì)21種上樓梯的方法.14.2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長安三萬里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分．唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合兩點(diǎn)間線段最短，只需求其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再求對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的距離即可.【詳解】由題可知在的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得即．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線即為，又，所以直線的方程為，設(shè)將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)為，則即為與的交點(diǎn)，，解得，所以．故答案為：15.已知多項(xiàng)式，則___________.【答案】16【解析】【分析】令，運(yùn)用換元法將等式變成，結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式、賦值即可求得結(jié)果.【詳解】令，則，因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，，所以令可得的展開式中一次項(xiàng)為，令可得的展開式的常數(shù)項(xiàng)為1，又因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，，所以令可得的展開式中一次項(xiàng)為，令可得的展開式的常數(shù)項(xiàng)為，所以.故答案為：16.16.在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的體積與三棱錐的體積之比為__________.【答案】【解析】【分析】將三棱錐補(bǔ)形為長方體，由條件求長方體的長，寬，高，再求其外接球半徑和體積，并結(jié)合圖形求三棱錐的體積，由此可得結(jié)論.【詳解】將三棱錐補(bǔ)形長方體，如圖，在長方體中，設(shè)，則，，，解得，，所以長方體的對(duì)角線，所以長方體外接球的半徑為，故三棱錐的外接球半徑為，所以三棱錐外接球的體積為，又三棱錐的體積為，所以三棱錐的外接球與三棱錐的體積之比為，故答案為：.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，已知的外接圓的半徑為4，.（1）求中邊長：（2）求.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得.（2）求得，然后利用向量數(shù)量積的運(yùn)算求得正確答案.【小問1詳解】∵，∴，∴，即且，又的外接圓的半徑，∴，∴；【小問2詳解】如圖，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊?所以.所以.所以.所以.18.已知函數(shù)，其中（1）若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由處導(dǎo)數(shù)值為0求出a，再檢驗(yàn)作答.(2)將不等式作等價(jià)變形，再構(gòu)造函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可作答.【小問1詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，因函數(shù)在處取得極值，則有，解得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，函數(shù)在處取得極值，則，所以實(shí)數(shù)a的值是2.【小問2詳解】因，，令，，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，當(dāng)時(shí)，，于是得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關(guān)鍵.19.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，，且.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若正方形的頂點(diǎn)、在直線上，頂點(diǎn)、在拋物線上，求.【答案】（1）（2）264【解析】【分析】（1）由拋物線方程可得，進(jìn)而結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式列方程求解即可；（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，進(jìn)而結(jié)合正方形的性質(zhì)及拋物線的焦半徑公式求解即可.【小問1詳解】由題設(shè)可得，則，，又，故，整理得，即.所以拋物線的方程為.【小問2詳解】因?yàn)槭钦叫?，所以，直線與之間的距離等于，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，消去得：，由，得，設(shè)，，則，，所以，直線與間的距離為，所以，整理得：，由于，故解得，所以，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線交點(diǎn)問題時(shí)，常常利用設(shè)而不求的思想，通過聯(lián)立直線與曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行求解.20.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，，是底面的內(nèi)接正三角形，且，是線段上一點(diǎn)．（1）若平面，求；（2）當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大？【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大.【解析】【分析】（1）通過勾股定理列方程，化簡求得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值，結(jié)合基本不等式求得時(shí)，此正弦值最大.【小問1詳解】，所以，解得，由于三角形是等邊三角形，圓是其外接圓，是圓的直徑，所以垂直平分，，在三角形中，由正弦定理得，則，由于平面，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以,所以.【小問2詳解】由（1）得，設(shè)，，結(jié)合圓錐的幾何性質(zhì)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大.21.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，且，.令，記為數(shù)列的前項(xiàng)積，為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）若，，求的通項(xiàng)公式；（2）若