21第五章 第二節(jié)

第頁(yè)第二節(jié)矩形、菱形、正方形1．(2019·天水)如圖所示，點(diǎn)O是矩形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，OE∥AB交AD于點(diǎn)E.若OE＝3，BC＝8，則OB的長(zhǎng)為()第1題圖A．4B．5 C.eq\f(\r(34),2)D.eq\r(34)2．(2019·濱州)下列命題，其中是真命題的為()A．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形D．一組鄰邊相等的矩形是正方形3．(2019·孝感改編)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC＝10，BD＝24，則AB的長(zhǎng)為()A．13 B．48 C．40 D．204．(2019·宜昌)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，EG⊥AB，EI⊥AD，F(xiàn)H⊥AB，F(xiàn)J⊥AD，垂足分別為G、I、H、J，則圖中陰影部分的面積等于()A．1 B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)5．(2019·湘潭)如圖，已知點(diǎn)E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．平行四邊形6．(2019·衢州)如圖，將矩形ABCD沿GH折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若∠AGE＝32°，則∠GHC等于()A．112°B．110°C．108°D．106°第7題圖7．(2019·陜西)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3.若點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE交AE于點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為()A.eq\f(3\r(10),2)B.eq\f(3\r(10),5) C.eq\f(\r(10),5)D.eq\f(3\r(5),5)8．(2019·特色題)如圖，把矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，且重疊部分為△EBD，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．AB＝CD B．∠BAE＝∠DCEC．AE＝CE D．∠ABE＝30°9．(2019·蘭州)如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE∥DF且BE與DF之間的距離為3，則AE的長(zhǎng)是()A.eq\r(7) B.eq\f(3,8) C.eq\f(7,8) D.eq\f(5,8)10．(2019·武漢)以正方形ABCD的邊AD作等邊△ADE，則∠BEC的度數(shù)是____________________．11．(2019·北京)如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，連接DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，若AB＝4，AD＝3，則CF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．12．(2019·天水)如圖所示，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足為E，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．第13題圖13．(2019·江西第二次大聯(lián)考)如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AE上，且DF＝DC，若∠BEC＝110°，則∠ADF＝________．14．(2019·創(chuàng)新協(xié)同中心模擬)已知在矩形ABCD中，BC＝2，CD＝3，E，F(xiàn)分別在CD，AD上，且CE＝1，DF＝eq\f(3,2)，連接BE，CF.求證：BE⊥CF.第14題圖15．(2019·吉安十校聯(lián)考)如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在菱形ABCD的邊DC，DA上，且CE＝AF.求證：∠ABF＝∠CBE.第15題圖16．(2019·郴州)如圖，在?ABCD中，作對(duì)角線BD的垂直平分線EF，垂足為O，分別交AD、BC于E、F，連接BE、DF.求證：四邊形BFDE是菱形．第16題圖17．(2019·舟山)如圖，等邊△AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)在矩形ABCD的邊BC，CD上，且∠CEF＝45°.求證：矩形ABCD是正方形．第17題圖1．(2019·自貢)如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中，把邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BM，連接AM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)N，連接MC，則△MNC的面積為()A.eq\f(\r(3)－1,2)a2 B.eq\f(\r(2)－1,2)a2C.eq\f(\r(3)－1,4)a2 D.eq\f(\r(2)－1,4)a22．(2019·寧波)如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是銳角，AE⊥BC于點(diǎn)E，M是AB的中點(diǎn)，連接MD，ME.若∠EMD＝90°，則cosB的值為_(kāi)_______．第3題圖3．(2019·原創(chuàng))如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB＝eq\f(1,3)S矩形ABCD，則點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之和PA＋PB的最小值是______．4．(2019·北京)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若AB＝eq\r(5)，BD＝2，求OE的長(zhǎng)．第4題圖5．(2019·江西第二次大聯(lián)考)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上(不與點(diǎn)B，D重合)，GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，連接AG.(1)已知eq\f(DG,AD)＝eq\r(2)－1，求∠AGF的度數(shù)．(2)寫出線段AG，BF，CF長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．第5題圖參考答案【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1．B2.D3.A4.B5.B6.D7.B8.D9.C10．30°或150°11.eq\f(10,3)12.eq\f(24,5)13.20°14．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝∠CDF＝90°，∵eq\f(BC,CD)＝eq\f(CE,DF)＝eq\f(2,3)，∴△BCE∽△CDF，∴∠CBE＝∠DCF，∵∠BCF＋∠DCF＝90°，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴BE⊥CF.15．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，∵CE＝AF，∴△ABF≌△CBE，∴∠ABF＝∠CBE.16．證明：∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，∴∠EDB＝∠EBD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠FBD，∴△EBO≌△FBO，∴EO＝OF，∴EF與BD互相垂直平分，∴四邊形BFDE是菱形．17．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，又∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．【拔高訓(xùn)練】1．C2.eq\f(\r(3)－1,2)3.4eq\r(2)4．(1)證明：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD，∵AB＝AD，∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝1，∴在Rt△AOB中，由勾股定理得AO＝eq\r(AB2－BO2)＝eq\r(（\r(5)）2－1)＝2.∵CE⊥AB，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OE＝OA＝2.5．解：(1)∵eq\f(DG,AD)＝eq\r(2)－1，∴DG＝(eq\r(2)－1)AD.在正方形ABCD中，BD＝eq\r(2)AD，又∵BD＝BG＋DG，DG＝(eq\r(2)－1)AD，∴eq\r(2)AD＝BG＋(eq\r(2)－1)AD，∴BG＝AD.∵AD＝AB，∴AB＝BG.∵∠ABG＝45°，∴∠BAG＝eq\f(1,2)(180°－45°)＝67.5°.∵GF⊥BC，AB⊥BC，∴AB∥GF，∴∠AGF＝180°－∠BAG＝112.5°.(2)AG2＝BF2＋CF2.理由：如解圖，連接GC，由正方形的性質(zhì)可知AD＝CD