新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第33講 空間直線、平面的平行（原卷版）

第33講空間直線、平面的平行（精講）題型目錄一覽①線面平行Ⅰ—利用三角形中位線②線面平行Ⅱ—利用平行四邊形③線面平行Ⅲ—利用線面平行的性質(zhì)定理④線面平行Ⅳ—利用面面平行⑤面面平行的判定定理一、知識點(diǎn)梳理一、知識點(diǎn)梳理一、直線和平面平行1．定義直線與平面沒有公共點(diǎn)，則稱此直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行，記作SKIPIF1<0∥SKIPIF1<02．判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言線∥線SKIPIF1<0線∥面如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行（簡記為“線線平行SKIPIF1<0線面平行SKIPIF1<0面∥面SKIPIF1<0線∥面如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個(gè)平面SKIPIF1<03．性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言線∥面SKIPIF1<0線∥線如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行SKIPIF1<0二、兩個(gè)平面平行1．定義沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<02．判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言判定定理線∥面SKIPIF1<0面∥面如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（簡記為“線面平行SKIPIF1<0面面平行SKIPIF1<0SKIPIF1<0線SKIPIF1<0面SKIPIF1<0面∥面如果兩個(gè)平面同垂直于一條直線，那么這兩個(gè)平面平行SKIPIF1<0∥SKIPIF1<03．性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言面//面SKIPIF1<0線//面如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面中的所有直線都平行于另外一個(gè)平面SKIPIF1<0性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行SKIPIF1<0線面平行”）SKIPIF1<0面//面SKIPIF1<0線SKIPIF1<0面如果兩個(gè)平面中有一個(gè)垂直于一條直線，那么另一個(gè)平面也垂直于這條直線SKIPIF1<0【常用結(jié)論】1.證明直線與平面平行的常用方法：①利用定義，證明直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0沒有公共點(diǎn)，一般結(jié)合反證法證明；②利用線面平行的判定定理，即線線平行SKIPIF1<0線面平行．輔助線的作法為：平面外直線的端點(diǎn)進(jìn)平面，同向進(jìn)面，得平行四邊形的對邊，不同向進(jìn)面，延長交于一點(diǎn)得平行于第三邊的線段；③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行；2.證明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合；②利用面面平行的判定定理；③利用兩個(gè)平面垂直于同一條直線；④證明兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面．3.證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；二、題型分類精講二、題型分類精講題型一線面平行Ⅰ—利用三角形中位線策略方法1.可以拿一把直尺放在SKIPIF1<0位置（與SKIPIF1<0平齊），如圖一；2.然后把直尺平行往平面SKIPIF1<0方向移動，直到直尺第一次落在平面SKIPIF1<0內(nèi)停止，如圖二；3.此時(shí)剛好經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點(diǎn)SKIPIF1<0），此時(shí)直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖三；4.此時(shí)SKIPIF1<0長度有長有短，連接SKIPIF1<0并延長剛好交于一點(diǎn)SKIPIF1<0，剛好構(gòu)成SKIPIF1<0型模型（SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，則SKIPIF1<0也為SKIPIF1<0中點(diǎn)，若SKIPIF1<0為等分點(diǎn)，則SKIPIF1<0也為SKIPIF1<0對應(yīng)等分點(diǎn)），SKIPIF1<0，如圖四．圖一 圖二 圖三 圖四【典例1】如圖，SKIPIF1<0垂直于梯形SKIPIF1<0所在平面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為矩形.求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；

【題型訓(xùn)練】一、解答題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在如圖所示的三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn).證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

2．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<03．如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0為正方形，E為PB的中點(diǎn).證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

4．如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，點(diǎn)D是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)．求證：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0.

5．在多面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

題型二線面平行Ⅱ—利用平行四邊形策略方法1.可以拿一把直尺放在SKIPIF1<0位置，如圖一；2.然后把直尺平行往平面SKIPIF1<0方向移動，直到直尺第一次落在平面SKIPIF1<0內(nèi)停止，如圖二；3.此時(shí)剛好經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點(diǎn)SKIPIF1<0），此時(shí)直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)O，連接SKIPIF1<0，如圖三；4.此時(shí)SKIPIF1<0長度相等（感官上相等即可，若感覺有長有短則考慮法一A型的平行），連接SKIPIF1<0，剛好構(gòu)成平行四邊形SKIPIF1<0型模型（SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，O也為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0為三角形SKIPIF1<0中位線），SKIPIF1<0，如圖四．圖一圖二圖三圖四【典例1】如圖所示，長方體SKIPIF1<0中，M、N分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，判斷MN與平面SKIPIF1<0的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【題型訓(xùn)練】一、解答題1．如圖，在多面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn).求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

2．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

3．如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面是矩形，E、F分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn).求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

4．在直三棱柱SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.5．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn).證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

題型三線面平行Ⅲ—利用線面平行的性質(zhì)定理策略方法如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行【典例1】如圖，已知長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，平面SKIPIF1<0交棱SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0.求證：SKIPIF1<0；【題型訓(xùn)練】一、解答題1．在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，平面SKIPIF1<0與棱SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0.求證：SKIPIF1<0.2．四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為矩形，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線為SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0平行于平面SKIPIF1<0.3．如圖所示，四邊形SKIPIF1<0為空間四邊形SKIPIF1<0的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形.求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0相交于直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)．5．如圖，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的直徑，點(diǎn)SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0的點(diǎn)，直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn).記平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線為SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<06．如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為直角梯形，且SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，若直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值題型四線面平行Ⅳ—利用面面平行策略方法已知平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0里的任意直線均與平面SKIPIF1<0平行【典例1】如圖，在長方體SKIPIF1<0中，E，M，N分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

【題型訓(xùn)練】一、解答題1．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<02．如圖，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，四邊形SKIPIF1<0為菱形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<03．如圖，四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<04．如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，F(xiàn)，M，N分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0.5．如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<06．）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為正方形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分別為SKIPIF1<0，AC的中點(diǎn)．求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；7．如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，證明：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0題型五面面平行的判定定理策略方法常用證明面面平行的方法是在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線與另一個(gè)平面分別平行或找一條直線同時(shí)垂直于這兩個(gè)平面．證明面面平行關(guān)鍵是找到兩組相交直線分別平行．【典例1】如圖所示，在三棱柱SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)．求證：平面SKIPIF1<0平面BCHG．【題型訓(xùn)練】1．如圖，在正方體SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn).求證：平面SKIPIF1<0平面BDF2．如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)在線段SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0請說明理由．3．如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)在線段SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請說明理由．4．在圓柱SKIPIF1<0中，等腰梯形ABCD為底面圓SKIPIF1<0的內(nèi)接四邊形，且SKIPIF1<0，矩形ABFE是該圓柱的軸截面，CG為圓柱的一條母線．求證：平面SKIPIF1<0平面ADE．

5．如圖所示，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面外一點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SK