圓與圓的位置關系7題型分類（原卷版）

2.5.2圓與圓的位置關系7題型分類一、圓與圓的位置關系1．圓與圓的位置關系有五種：外離、外切、相交、內切、內含．2．判定方法(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關系的判斷方法如下：位置關系外離外切相交內切內含圖示d與r1，r2的關系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|(2)代數(shù)法：設兩圓的一般方程為C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))則方程組解的個數(shù)與兩圓的位置關系如下：方程組解的個數(shù)2組1組0組兩圓的公共點個數(shù)2個1個0個兩圓的位置關系相交內切或外切外離或內含二、圓與圓位置關系的應用設圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若兩圓相交，則有一條公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③方程③表示圓C1與C2的公共弦所在直線的方程．(1)當兩圓相交時，兩圓方程相減，所得的直線方程即兩圓公共弦所在的直線方程，這一結論的前提是兩圓相交，如果不確定兩圓是否相交，兩圓方程相減得到的方程不一定是兩圓的公共弦所在的直線方程．(2)兩圓公共弦的垂直平分線過兩圓的圓心．(3)求公共弦長時，幾何法比代數(shù)法簡單易求．三、圓與圓的公切線1．公切線的條數(shù)與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內公切線兩種．位置關系外離外切相交內切內含圖示公切線條數(shù)432102．公切線的方程核心技巧：利用圓心到切線的距離d=r求解.（一）圓與圓位置關系的判斷判斷兩圓的位置關系的兩種方法(1)幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對值，半徑之和進行比較，進而判斷出兩圓的位置關系，這是在解析幾何中主要使用的方法．(2)代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)進而判斷兩圓位置關系．題型1：判斷兩圓的位置關系11．（2023秋·浙江嘉興·高二浙江省海鹽高級中學?？茧A段練習）已知圓：與圓：，則圓與圓的位置關系為（

）A．相交 B．外切 C．內切 D．內含12．（2023秋·江西九江·高二九江市同文中學校考階段練習）已知圓，圓，其中，那么這兩個圓的位罝關系不可能為（

）A．外離 B．外切 C．內含 D．內切13．【多選】（2023秋·江蘇連云港·高二?？茧A段練習）下列圓中與圓：相切的是（

）A． B．C． D．14．（2023秋·陜西西安·高二校聯(lián)考階段練習）如圖，圓和圓的圓心分別為，，半徑都為，寫出一條與圓和圓都相切的直線的方程：.15．（2023秋·高二課前預習）已知圓O的直徑，動點M與點A的距離是它與點B的距離的M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關系.題型2：由圓的位置關系求參數(shù)21．（2023·全國·高二隨堂練習）已知圓，圓．試求為何值時，兩圓：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內含．22．（2023秋·河北邢臺·高二河北南宮中學?？茧A段練習）已知圓與圓相交，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．23．（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知圓與圓，則“”是“圓與圓外切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件24．（2023·全國·高三專題練習）若圓上存在點P，且點P關于y軸的對稱點Q在圓上，則r的取值范圍是.25．（2023秋·江西九江·高二九江市同文中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，已知圓與圓相交于，兩點，若，則實數(shù)的值為（

）A． B．0 C．1 D．226．（2023秋·天津武清·高二天津市武清區(qū)楊村第一中學校考階段練習）已知點，若圓上存在點，使得線段的中點也在圓上，則實數(shù)的取值范圍是.27．（2023秋·江西上饒·高二校考階段練習）已知圓：上總存在兩個點到原點的距離均為，則的取值范圍是.28．（2023秋·山東菏澤·高二?？茧A段練習）已知圓，圓，如果這兩個圓有且只有一個公共點，則常數(shù).29．（2023秋·江西九江·高二九江市同文中學?？茧A段練習）經(jīng)過點，且與圓相切于原點的圓的方程為.210．（2023·全國·高二隨堂練習）已知圓與圓外切，并且與直線相切于點，求圓的方程．（二）圓與圓相交有關的問題1．圓系方程一般地過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓的方程可設為：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他條件求出λ，即可得圓的方程．2．兩圓相交時，公共弦所在的直線方程若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.3．公共弦長的求法(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．4.求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程：經(jīng)過兩圓的圓心的直線方程．題型3：求兩圓公共弦方程及公共弦長31．（2023秋·四川雅安·高二?？茧A段練習）圓和圓的公共弦所在的直線方程為．32．（2023秋·山西運城·高二校聯(lián)考階段練習）圓與圓相交于兩點，則等于（

）A． B． C． D．33．（2023秋·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）已知圓與圓(1)求經(jīng)過圓與圓交點的直線方程：(2)求圓與圓的公共弦長．34．（2023秋·江蘇·高二鹽城市伍佑中學校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系中，已知四點，，，.(1)求過，，三點的圓方程，并判斷點與圓的位置關系；(2)求圓與圓的公共弦長.35．【多選】（2023秋·江蘇連云港·高二贛榆一中校考階段練習）若圓與圓的交點為，則（

）A．線段中垂線方程為B．公共弦所在直線方程為C．公共弦的長為2D．在過A，B兩點的所有圓中，面積最小的圓是圓36．（2023秋·山東德州·高二?？茧A段練習）設點為直線上的點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，當四邊形的面積取得最小值時，此時直線的方程為.37．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習）過點作圓的兩條切線，設切點分別為A，B，則的面積為（

）A． B． C． D．（三）圓與圓的位置關系的應用1．公切線的條數(shù)：由圓與圓的位置關系求解.2．公切線的方程：由圓心到切線的距離d=r求解.3.與圓有關的最值問題：利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．題型4：兩圓的公切線的條數(shù)41．（2023秋·陜西西安·高二校聯(lián)考階段練習）圓與圓的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條42．（2023·全國·高二專題練習）若圓和有且僅有一條公切線，則；此公切線的方程為43．（2023秋·山西運城·高二校聯(lián)考階段練習）已知圓與圓只有一條公切線，則.44．（2023·江蘇·高二專題練習）已知兩圓，，當圓與圓有且僅有兩條公切線時，則的取值范圍.45．（2023秋·四川眉山·高三仁壽一中?？奸_學考試）已知圓.若圓與圓有三條公切線，則的值為.題型5：兩圓的公切線方程51．（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）寫出圓：與圓：的公切線方程．52．（2023·江蘇·高二專題練習）寫出與圓和都相切的一條直線方程．53．（2023·全國·高二課堂例題）證明圓與圓內切，并求它們的公切線方程．54．（2023秋·上海普陀·高三曹楊二中校考開學考試）已知圓和圓，則過點且與，都相切的直線方程為．55．（2024·全國·高三專題練習）已知圓，圓，則下列不是，兩圓公切線的直線方程為（）A． B．C． D．題型6：兩圓的公切線長61．（2023秋·全國·高二專題練習）若直線與圓，圓都相切，切點分別為、，則（

）A． B． C． D．62．【多選】（2023·全國·高二專題練習）已知圓，圓，則（

）A．圓與圓相切B．圓與圓公切線的長度為C．圓與圓公共弦所在直線的方程為D．圓與圓公共部分的面積為63．【多選】（2023秋·吉林長春·高二長春市第二實驗中學?？茧A段練習）圓與圓相交于，兩點，則（

）A．的直線方程為 B．公共弦的長為C．圓與圓的公切線長為 D．線段的中垂線方程為64．【多選】（2023·全國·高二專題練習）已知與相交于A，B兩點，則下列結論正確的是（

）．A．直線AB的方程為B．過A，B兩點，且過點的圓的方程為C．與的公切線的長度為D．以線段AB為直徑的圓的方程為65．（2023秋·全國·高二專題練習）已知圓A的方程為，圓的方程為.(1)判斷圓A與圓是否相交，若相交，求過兩交點的直線方程及兩交點間的距離；若不相交，請說明理由.(2)求兩圓的公切線長.66．（2023秋·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）為測量一工件的內圓弧對應的半徑，工人用三個半徑均為的圓柱形量棒放在與工件圓弧相切的位置上，通過深度卡尺測出卡尺下沿水平面到中間量棒頂側面的垂直深度（如圖所示），則.題型7：與圓有關的最值問題71．（2023秋·江蘇無錫·高二江陰市華士高級中學?？茧A段練習）已知圓與圓外切，點P是圓C上一動點，則點P到直線的距離的最大值為72．（2023·全國·高二專題練習）已知圓C：，圓是以圓上任意一點為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A，B兩點，則當最大時，（

）A．1 B． C． D．273．【多選】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）已知圓：與圓：相交于，兩點，下列說法正確的是（

）A．直線的一般式方程為B．公共弦長C．過，，三點其中點為圓的圓心的圓的一般方程為D．同時與圓和圓相內切的最大圓的方程為74．【多選】（2023·全國·高三專題練習）設圓O，直線，P為l上的動點．過點P作圓O的兩條切線PA，PB，切點為A，B，則下列說法中正確的是（

）A．直線l與圓O相交B．直線AB恒過定點C．當P的坐標為時，最大D．當最小時，直線AB的方程為75．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知圓M的方程為：，（），點，給出以下結論，其中正確的有（

）A．過點P的任意直線與圓M都相交B．若圓M與直線無交點，則C．圓M面積最小時的圓與圓Q：有三條公切線D．無論a為何值，圓M都有弦長為的弦，且被點P平分76．（2023·全國·高二專題練習）已知圓與圓相交于兩點，點位于軸上方，且兩圓在點處的切線相互垂直.(1)求的值；(2)若直線與圓?圓分別切于兩點，求的最大值.一、單選題1．（2023·江蘇·高二專題練習）已知點是圓上的動點，線段是圓的一條動弦，且，則的最大值是（）A． B． C． D．2．（2023秋·內蒙古·高二校聯(lián)考階段練習）圓與圓的位置關系為（

）A．內切 B．相交 C．外切 D．相離3．（2023秋·陜西西安·高二?？茧A段練習）若圓與圓恰有3條公切線，則（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江西宜春·高二江西省豐城中學?？茧A段練習）圓與圓的公共弦所對的圓心角是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·江西撫州·高二江西省撫州市第一中學?？茧A段練習）已知是坐標原點，若圓上有2個點到的距離為2，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2023秋·江西上饒·高二?？茧A段練習）已知點，若圓O：上存在點A，使得線段PA的中點也在圓O上，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2023秋·天津北辰·高二天津市第四十七中學?？茧A段練習）圓與圓的公共弦所在的直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為2，則的值為（

）A． B． C．3 D．3或8．（2023秋·江蘇揚州·高二揚州中學?？茧A段練習）已知圓C：，若點P在直線上運動，過點P作圓C的兩條切線，，切點分別為A，B，則直線過定點坐標為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023秋·江西九江·高二九江市同文中學校考階段練習）已知兩圓，則下列結論正確的是（

）A．若兩圓相切，則B．若兩圓有三條公切線，則C．若兩圓在交點處的切線互相垂直，則D．若兩圓的公共弦所在直線方程為，則10．（2023秋·河北保定·高二定州市第二中學校考階段練習）已知圓和圓相交于兩點，下列說法正確的為（

）A．兩圓有兩條公切線 B．直線的方程為C．線段的長為 D．圓上點，圓上點，的最大值為11．（2023秋·吉林長春·高二長春市第二中學校考階段練習）已知圓，圓，下列說法正確的是（

）A．若，兩圓相交弦所在直線為B．兩圓圓心所在直線為C．過作圓的切線，切點為，，則D．已知兩圓的位置關系是相切，則12．（2023秋·福建三明·高二永安市第九中學?？茧A段練習）已知圓，圓，則下列說法正確的是（

）A．若點在圓的內部，則B．若，則圓的公共弦所在的直線方程是C．若圓外切，則D．過點作圓的切線，則的方程是或13．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習）已知圓：，圓：，則（

）A．兩圓外切B．直線是兩圓的一條公切線C．直線被圓截得的最短弦長為D．過點作圓的切線僅有一條三、填空題14．（2023秋·湖南·高二湘潭縣一中校聯(lián)考階段練習）已知