江蘇省啟東市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

PAGEPAGE14江蘇省啟東市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題(考試時間：120分鐘滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，若，則由實(shí)數(shù)a的全部可能的取值組成的集合為（▲）

A．B．C．D．2．“”是“”的（▲）條件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要3．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（▲）

A．B．C．D．4．《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬．設(shè)是正八棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正八棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是（▲）A．8B．16C．24D．285．設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（▲）A．－512B．－8C．－2D．－16．若實(shí)數(shù)a，b，c滿意，，，則（▲）A．B．C．D．7．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（▲）A．B．C．D．8．設(shè)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（▲）A．B．C．D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。9．對于隨意向量a，b，c，下列命題正確的是（▲）A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．若a·b＝b·c，則a＝cC．若a＝b，b＝c，則a＝cD．若|a－b|＝|a＋b|，則a·b＝010．設(shè)正實(shí)數(shù)滿意，則下列說法正確的是（▲）A．的最小值為4B．的最大值為C．的最小值為D．的最小值為11．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，可在全球范圍內(nèi)為各類用戶供應(yīng)全天候、全天時、高精度、高定位、導(dǎo)航、授時服務(wù)，2024年7月31日上午，北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)正式開通，北斗導(dǎo)航能實(shí)現(xiàn)“天地互通”的關(guān)鍵是信號處理，其中某語言通訊的傳遞可以用函數(shù)近似模擬其信號，則下列結(jié)論中正確的是（▲）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．對隨意x∈R，都有D．函數(shù)的最小值為－312．已知正方體的棱長為4，點(diǎn)M，N分別是棱A1D1，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)，點(diǎn)Q在線段BN上，若，則（▲）A．點(diǎn)P的軌跡的長度為2πB．線段MP的軌跡與平面的交線為圓弧C．PQ長度的最小值為D．PQ長度的最大值為2EQ\r(,5)＋2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。請把答案干脆填寫在答題卡相應(yīng)位置上。13．已知函數(shù)，則▲．14．在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”，已知三棱柱是一個“塹堵”，其中，，則這個“塹堵”的外接球的表面積為▲．15．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，則＝▲．16．已知函數(shù)f(x)＝(x2－x)(x2＋mx＋n)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，則m＋n＝▲；f(x)的最小值為▲．（本題第一空2分，其次空3分）四、解答題：本題共6小題，共70分。請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(本小題滿分10分)在①；②；③這三個條件中任選一個，回答下列問題，已知等差數(shù)列滿意▲．（假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和，以及使得取得最大值時的值．18．(本小題滿分12分)DBAC(第18題)如圖，在△ABC中，CD⊥AB于DBAC(第18題)（1）若，求角A的大小；（2）若，求的值．19．(本小題滿分12分)如圖，在正三棱柱中，，D，E，F(xiàn)分別為線段AC，A1A，C1B的中點(diǎn).（1）證明：EF∥平面ABC；（2）求直線C1B與平面BDE所成角的正弦值.BBB1C1DFEA1CA(第19題)20．(本小題滿分12分)如圖所示的某種容器的體積為18πdm3，它是由半球和圓柱兩部分連接而成，半球的半徑與圓柱的底面半徑都為rdm，圓柱的高為hdm．已知頂部半球面的造價為，圓柱的側(cè)面造價為，圓柱底面的造價為．（1）將圓柱的高h(yuǎn)表示為底面半徑r的函數(shù)，并求出定義域；(第20題)（2）當(dāng)容器造價最低時，圓柱的底面半徑r為多少？(第20題)21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為x＋y－3＝0．（1）求和的值；（2）對，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）求的最值；（2）設(shè)函數(shù)有且只有2個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2024～2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)試題及評分建議(考試時間：120分鐘滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，若，則由實(shí)數(shù)a的全部可能的取值組成的集合為（▲）

A．B．C．D．【答案】D2．“”是“”的（▲）條件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B3．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（▲）

A．B．C．D．【答案】A4．《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬．設(shè)是正八棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正八棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是（▲）A．8B．16C．24D．28【答案】C5．設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（▲）A．－512B．－8C．－2D．－1【答案】B6．若實(shí)數(shù)a，b，c滿意，，，則（▲）A．B．C．D．【答案】D7．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（▲）A．B．C．D．【答案】A8．設(shè)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（▲）A．B．C．D．【答案】C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。9．對于隨意向量a，b，c，下列命題正確的是（▲）A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．若a·b＝b·c，則a＝cC．若a＝b，b＝c，則a＝cD．若|a－b|＝|a＋b|，則a·b＝0【答案】CD10．設(shè)正實(shí)數(shù)滿意，則下列說法正確的是（▲）A．的最小值為4B．的最大值為C．的最小值為D．的最小值為【答案】ABD11．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，可在全球范圍內(nèi)為各類用戶供應(yīng)全天候、全天時、高精度、高定位、導(dǎo)航、授時服務(wù)，2024年7月31日上午，北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)正式開通，北斗導(dǎo)航能實(shí)現(xiàn)“天地互通”的關(guān)鍵是信號處理，其中某語言通訊的傳遞可以用函數(shù)近似模擬其信號，則下列結(jié)論中正確的是（▲）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．對隨意x∈R，都有D．函數(shù)的最小值為－3【答案】BCD12．已知正方體的棱長為4，點(diǎn)M，N分別是棱A1D1，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)，點(diǎn)Q在線段BN上，若，則（▲）A．點(diǎn)P的軌跡的長度為2πB．線段MP的軌跡與平面的交線為圓弧C．PQ長度的最小值為D．PQ長度的最大值為2EQ\r(,5)＋2【答案】AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。請把答案干脆填寫在答題卡相應(yīng)位置上。13．已知函數(shù)，則▲．【答案】EQ\F(1,2)14．在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”，已知三棱柱是一個“塹堵”，其中，，則這個“塹堵”的外接球的表面積為▲．【答案】9π15．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，則＝▲．【答案】16．已知函數(shù)f(x)＝(x2－x)(x2＋mx＋n)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，則m＋n＝▲；f(x)的最小值為▲．（本題第一空2分，其次空3分）【答案】5；－EQ\F(9,4)四、解答題：本題共6小題，共70分。請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(本小題滿分10分)在①；②；③這三個條件中任選一個，回答下列問題，已知等差數(shù)列滿意▲．（假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和，以及使得取得最大值時的值．【解】（1）選條件①．因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，得，……………3分所以．……………5分選條件②．因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，由得，得，……………3分以下同①.選條件③．因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，由得，解得，……………3分以下同①．（2）由（1）知=，……………7分當(dāng)時，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，最大．……………10分18．(本小題滿分12分)如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，且．（1）若，求角A的大??；（2）若，求的值．DDBAC【解】（1）設(shè)，則，，因?yàn)?又因?yàn)?，所以，…………?分即，所以，因?yàn)?，所以，所?……………6分（2）因?yàn)?，，所以，…………?分又因?yàn)椋?，所以，，…………?0分又因?yàn)椋裕?2分19．(本小題滿分12分)如圖，在正三棱柱中，，D，E，F(xiàn)分別為線段AC，A1A，C1B的中點(diǎn).（1）證明：EF∥平面ABC；（2）求直線C1B與平面BDE所成角的正弦值.BBBB1C1DFEA1CAGDFECBA【解】（1）如圖，取的中點(diǎn)G，連結(jié)，．在△BCC1中，因?yàn)镕為的中點(diǎn)，所以∥．……………2分在三棱柱中，∥，且E為的中點(diǎn)，所以∥.所以四邊形是平行四邊形.所以∥.……………4分因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面．…………?分（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)樗詚yxDzyxDFECBA所以，……………8分設(shè)平面的的一個法向量為，則，即取，則，所以，……………10分所以，直線與平面所成角為，則與或它的補(bǔ)角互余，所以.……………12分20．(本小題滿分12分)如圖所示的某種容器的體積為18πdm3，它是由半球和圓柱兩部分連接而成，半球的半徑與圓柱的底面半徑都為rdm，圓柱的高為hdm．已知頂部半球面的造價為，圓柱的側(cè)面造價為，圓柱底面的造價為．（1）將圓柱的高h(yuǎn)表示為底面半徑r的函數(shù)，并求出定義域；（2）當(dāng)容器造價最低時，圓柱的底面半徑r為多少？【解】（1）因?yàn)榘肭虻陌霃脚c圓柱底面半徑都為，所以半球體積為圓柱的體積為．……………2分因?yàn)樗运?……………4分因?yàn)樗?因此.所以，定義域?yàn)椋?分（2）半球的表面積，圓柱的側(cè)面積，圓柱底面積為．容器總造價為．……………8分令，則，令，得，當(dāng)時，，在上為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時，，在上為單調(diào)增函數(shù)．……………10分因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值27，有最小值元.所以，總造價最低時，圓柱的底面半徑為．……………12分21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為x＋y－3＝0．（1）求和的值；（2）對，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解】（1）因?yàn)?，所以，由函?shù)的圖象在處的切線方程為x＋y－3＝0，知，，得.……………3分（2）因?yàn)閷?，成立，所以恒成立，令則，……………5分設(shè)，，則，從而，……………7分因?yàn)?，，所以，因?yàn)榈膱D象在上是不間斷的，所以，滿意，……………9分當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．從而在時取得最大值，所以的取值范圍為．……………12分法二：因?yàn)閷Γ闪ⅲ院愠闪?，即恒成立，…………?分記，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．從而在時取得最大值，……………9分記，則，，所以，因?yàn)榈膱D象在上是不間斷的，所以，滿意，即，使成立．所以有最大值3，從而．……………12分22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）求的最值；（2）設(shè)函數(shù)有且只有2個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解】（1）因?yàn)椋?，即，所以，列表如下：x－1－＋↘微小值↗……………2分所以在遞減，在遞增，所以當(dāng)時，有最小值，無最大值.……………4分（2），留意到，則，當(dāng)時，，