2023湘教版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊同步練習-第4章 計數(shù)原理測評卷

第4章計數(shù)原理

（滿分150分，考試用時120分鐘）

一、單項選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符

合題目要求的）

1.計算《+讖+讖=（）

AGB.C|C.C,D.At

2.北斗七星自古是人們辨別方向、判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、天磯、天

權(quán)、玉衡、開陽、搖光,其中玉衡最亮，天權(quán)最暗.一名天文愛好者從七顆星中隨機選兩顆進行觀

測，則玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為（）

A10R11「11D5

A?五B.五C.-D.-

3.已知的展開式中第6項與第8項的二項式系數(shù)相等，則含xi°項的系數(shù)是（）

A.-8B.8C.4D.-4

4.某旅游公司為了推出新的旅游產(chǎn)品項目，派出五名工作人員前往重慶的三個網(wǎng)紅景點

——“洪崖洞夜景、輕軌穿樓、長江索道”進行團隊游的可行性調(diào)研.若每名工作人員只去一

個景點，每個景點至少有一名工作人員前往，其中工作人員甲、乙需要到同一景點調(diào)研，則不同的

人員分配方案種數(shù)為（）

A.18B.36C.54D.72

5.

A.3B.4C.5D.6

6.2021年4月24日是第六個“中國航天日”，今年的主題是“揚帆起航，逐夢九天”.為了制作

一期展示我國近年來航天成就的展板，某?？破招〗M的6名同學計劃分“神舟飛天”“嫦娥奔

月”“火星探測”3個展區(qū)制作展板,每人只負責一個展區(qū)，每個展區(qū)至少有一人負責，則不同的

任務(wù)分配方案有（）

A.990種B.630種

C.540種D.480種

7.2020年4月22日是第51個世界地球日，今年的活動主題是“珍愛地球，人與自然和諧共生”.

某校5名大學生到A,B,C三個社區(qū)做宣傳，每個社區(qū)至少分配一人,每人只能去一個社區(qū)宣傳.

若甲、乙要求去同一個社區(qū)且不去A社區(qū)，則不同的安排方案共有（）

A.20種B.24種C.30種D.36種

8.以長方體ABCD-AiBiCiDi的任意三個頂點為頂點作三角形,從中隨機取出2個，則這2個三角

形不共面的情況種數(shù)為（）

A.l480B.1468C.1516D.1492

二、多項選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.下列等式正確的是（）

ApmR\m+l\

-九+icn+ln-/in+l—11^n-l

C.A肝nA氏D.nC4C怙1+k喋

10.某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科

目，下列說法正確的是（）

A.若任意選擇三門課程，則選法種數(shù)為35

B.若物理和化學至少選一門,則選法種數(shù)為30

C.若物理和歷史不能同時選,則選法種數(shù)為30

D.若物理和化學至少選一門，且物理和歷史不能同時選，則選法種數(shù)為20

11.關(guān)于（?-1）2⑼及其二項展開式，下列說法正確的是（）

A.該二項展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為22021

007

B.該二項展開式中第8項為021x*

C.當x=100時除以100的余數(shù)是9

D.該二項展開式中不含有理項

12.下列說法正確的是（）

A.某班4位同學從文學、經(jīng)濟和科技三類不同的圖書中各任選一類，不同的選法共有64種

B.用1,2,3三個數(shù)字可以組成9個三位奇數(shù)

C.從集合A={a,b,c,d}中任取2個元素組成集合B,則集合B中含有元素b的概率為，

D.兩個男生和兩個女生隨機排成一列，則兩個女生不相鄰的概率是，

三'填空題（本題共4小題,每小題5分，共20分）

13.已知（證的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，則n=，展開式中的常數(shù)項

為.

14.現(xiàn)有甲、乙等5名教師要帶3個興趣小組外出學習，要求每個興趣小組都有帶隊教師，且?guī)ш?/p>

教師至多2人，但甲教師和乙教師均不能單獨帶隊,則不同的帶隊方案有種.（用數(shù)字作

答）

15.在（X2-X-2）5的展開式中,X3的系數(shù)為.

16.A,B,C,D,E五個人站成一排,A和C分別站在B的兩邊（可以與B相鄰，也可以與B不相鄰）的

不同站法共有種.

四,解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）甲、乙、丙、丁四名同學報名參加A,B,C三個智力競賽項目,每個人都要報名參加.分

別求在下列情況下的不同報名方法的種數(shù).

（1）甲、乙報同一項目，丙不報A項目；

⑵甲不報A項目，且B,C項目報名的人數(shù)相同.

18.(12分)設(shè)(x+l)(2%2-i)5=ao+aix+a2x2+…+aux”.

⑴求a6的值；

(2)求ao+22a2+2,a4+…+2叫10的值.

19.(12分)已知(3%-為%6+)的展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是1：3.

(1)求n的值；

(2)求展開式中各二項式系數(shù)的和以及各項系數(shù)的和；

(3)求展開式中系數(shù)絕對值最大的項.

20.(12分)2020年1月29日，寧德市援鄂醫(yī)療隊首批8名醫(yī)護人員抵達武漢，投入疫情防控和治

療工作，其中3人安排到重癥科室，其余5人安排到呼吸、感染、檢驗三個科室.

(1)從8名醫(yī)護人員中選出3人到重癥科室，共有多少種不同的選法？

(2)將5名醫(yī)護人員安排到呼吸、感染、檢驗三個科室，要求每個科室至少有1人,共有多少種不

同的安排方法？

(3)抗擊疫情勝利后,8名醫(yī)護人員站成一排合影留念,A,B兩人要站在相鄰位置，且不站在隊伍兩

端，共有多少種不同的站位方法？

21.(12分)在高三一班元旦晚會上，有6個演唱節(jié)目,4個舞蹈節(jié)目.

(1)當4個舞蹈節(jié)目接在一起時,有多少種不同的安排順序？

(2)當每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時,有多少種不同的安排順序?

⑶若已定好節(jié)目單,后來情況有變，需加上詩歌朗誦和快板2個節(jié)目，但不能改變原來節(jié)目的相

對順序，有多少種不同的安排順序？

22.(12分)從1,3,5,7中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6,8中任取2個數(shù)字，用這四個數(shù)字組成無重復數(shù)字

的四位數(shù)，所有這些四位數(shù)構(gòu)成集合M.

⑴求集合M中不含有數(shù)字0的元素的個數(shù)；

(2)求集合M中含有數(shù)字0的元素的個數(shù)；

⑶從集合M中隨機選擇一個元素，求這個元素能被5整除的概率.

答案與解析

1.A因為CT+CT+i=C^i,所以C%+C>C於讖+C/+C於C3+C於C>C機故選A.

2.B玉衡和天權(quán)都沒有被選中的概率為軍替,所以玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為

Cy21

1101147、生二

1-五二五.故r選B.

3.D由條件可知瑞=以,所以n=12,(%-2)12的展開式的通項為

12r

Tr+i=C[2x-?(4),=(-丁/xi2汽令122=10,解得r=l,所以含xi°項的系數(shù)是(4?Cj2=-4,

故選D.

4.B若甲、乙到同一景點調(diào)研(無其他人)，則有髭A418種方法，若甲、乙與另一人到同一景點

調(diào)研(三人一起)，則有最Ag=18種方法，共有18+18=36種不同的人員分配方案，故選B.

4444rrr+14

5.C(X-(1-x)=x(1-x)-i(1-x),x(1-x)的展開式的通項為Tr+i=xCi(-x)=CJ(-l)x,(-^(l-x)

的展開式的通項為Tk+]=[c*X)k=-CtGDkxk-l^｛；；[=，可得｛；二;因此展開式中X3的系數(shù)

為C%第=5.故選C.

6.C分成三類:①一組1人，一組2人，一組3人，不同的分配方案有GC式M>360（種）;②一組4

人，其他兩組各1人,不同的分配方案有《?警?A>90（種）;③每組都是2人，不同的分配方案

A?

有龕|直?A|=90（種），故不同的分配方案共有360+90+90=540（種）.故選C.

A3

7.B分2步進行分析:⑴安排甲和乙，有2種方法;（2）安排剩余的三人，可分為兩類，①三個社區(qū)各

安排一個，有Ag種方法，②安排在其他兩個社區(qū)，有瑪A芻種方法.故共有2（Ag+C協(xié)辦=24種不同的

安排方案.故選B.

8.B長方體ABCD-AiBiCiDi的八個頂點中任意三個均不共線,故任取三個均可構(gòu)成1個三角

形，共有C卜56（個），從中任選兩個,共有釐6=1540種情況.長方體有六個面，六個對角面，每個面（對

角面）的四個頂點共確定4個不同的三角形，故隨機取出2個，則這2個三角形不共面的情況共有

1540-12x^=1468（種），故選B.

9.BC嚕（：公1=嚕?"1）!=_^?川小2m半C化故A錯

n+1"十，n+1m!（n+l—m）!n-m+1m!（n-m）!n-m+1C""

誤.A留-A肝器洋湍六瑞12A此故B正確皿止鬻化故C正

確&+i+k胎y，！卜］甯!…+kC卜警武+kC"n（X故D錯誤.故選BC.

10.ACD對于A,選法種數(shù)為0=35,故A正確.對于B,若物理和化學選一門，其余兩門從剩余的

五門中選,有的釐=20種選法;若物理和化學都選，剩下一門從剩余的五門中選,有廢心=5種選法.

故共有20+5=25種選法，故B錯誤.對于C,物理和歷史同時選,有喘瑪=5種選法，故不同時選的選

法種數(shù)為35-5=30,故C正確.對于D,只選物理，不選化學,則歷史也不選，有第=6種選法;只選化學,

不選物理，有釐=10種選法;若物理、化學都選，則歷史不選，有禺=4種選法.故共有6+10+4=20種

選法，故D正確.故選ACD.

11.BC偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為22。2。,故A錯誤;展開式中第8項為T7+1=C；021（夜）2

01472021202）20212

?（-1）=-CZ023叫故B正確;當x=100Ht,（V%-l）=（10-l）=C5021?10-C1021?10

c2o19o2Oo211o

)22o212o21-o21-1o19-o212

?10+C^21o)

o19+c2o2Oo2O

-o212o21o21101-1=20209=20200+9,除以100的余數(shù)是9,.,.當

x=100時,（4-1）2021除以100的余數(shù)是9,故C正確;（《-1）2021的展開式的通項為

2021—r7091-r

Tr+i=C5021?(?嚴I-QDN-D?021%^^，當；為整數(shù)，即r=l,3,5,…,2021時,Tr+i為有

理項，故D錯誤.故選BC.

12.CD對于A,第1位同學可以從三類不同的圖書中任選一類，有3種選法洞理,其他的3位同

學也都各有3種選法，則不同的選法共有3x3x3x3=81（種），故A錯誤；

對于B,個位數(shù)字可以放1,3,十位數(shù)字和百位數(shù)字都可以放1,2,3,所以可以組成2x3x3=18個三

位奇數(shù)，故B錯誤；

對于C,從集合A中任取2個元素可得到集合B的個數(shù)為鬣，含有元素b的個數(shù)為禺,其概率

P=登日，故C正確；

對于D,兩個女生和兩個男生隨機排成一歹U,總的排法有A%24（種），

兩個女生不相鄰的排法有A觸上12（種）,所以兩個女生不相鄰的概率P=H=|>D正確.故選CD.

13.答案12;-1760

解析由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得>1=7,得n=12.（版-I）"的展開式的通項為

12—T/oxV12—4r

r^

Tr+尸C：2久==（-2）C[2x^,^12-4r=o,得r=3,故常數(shù)項為T4=-l760.

14.答案54

解析若甲教師和乙教師不帶同一組，則共有禺的A>36種不同方案;若甲教師和乙教師帶同一

組，則共有髭At18種不同方案.由分類加法計數(shù)原理可得共有36+18=54種不同的帶隊方案.

15.答案120

解析（x2-x-2）5=（x+l）5（x-2）5,（x+l）5的展開式的通項為Tr+l=cx5-r,（x-2）5的展開式的通項為

Tt+i=Cgx5-t（-2）t,；.x3的系數(shù)為髭醺（-2）5+C]C貫-2）4+C（C貫-2）3+《C貫-2）2=120.

16.答案40

解析按A和C中間人數(shù)分三種情況:（1）A和C中間站1人，必是B,則3人捆綁，與其他2人全

排列，共有A芻Ag=12（種）;（2）A和C中間站2人,一人是B,再選一人，最后一人在最左或最右，故共

有最A觸數(shù)2=16（種）;（3）A和C中間站3人，共有A,Ag=12（種）.綜上，不同的站法有

12+16+12=40（種）.

17.解析（1）把甲、乙看成一個整體.甲、乙在三個項目中任選一個，有最=3種選法;（2分）

丁在三個項目中任選一個，有瑪=3種選法;（3分）

丙在除A項目外的項目中任選一個，有最=2種選法.（4分）

故共有3x3x2=18種報名方法.（5分）

（2）若B,C項目各有一人,有廢禺=6種報名方法;（7分）

若B,C項目各有兩人，有田禺=6種報名方法.（9分）

所以報名方法共有6+6=12（種）.（10分）

18.解析（1）由題意知a6是（x+l）（2x2-l）5的展開式中x6的系數(shù).

（2%2一1）5的展開式的通項為。+1=9（2%2）51_1）三（-1）「25弋，°2（『0,1,?“,5）,（2分）

令102=5,得r=|,舍去;令102=6,得r=2.（4分）

故a6=（-1）2x23義髭=80.（6分）

（2）令x=2,得3x75=ao+2ai+22a2+-+2%11,①（8分）

令x=-2,得-75=ao-2ai+22a2-…-2“aii,②（10分）

由①;②得ao+22a2+24a4+---+2loaio=3X^-7=75.（12分）

19.解析⑴由題意得加：鬣=1：3,nGN+,解得n=7.（2分）

（2）由⑴得原式為（3『專）[

所以展開式中各二項式系數(shù)的和為27=128.（4分）

令x=l,得展開式中各項系數(shù)的和為（3X1-奈"I。分）

⑶（3%-意）7的展開式的通項為Tr+i=C%3x）7-（得）2837-，（一2）嘆/號,（8分）

設(shè)第（r+1）項的系數(shù)的絕對值最大，

設(shè)…X37”,則囂部

即修，X尸？分）

[ax37-rx2r>Cp1x38-rx2r-\

解得與WrW?,又r?N+,所以r=3.

r3x35

故展開式中系數(shù)絕對值最大的項為T4=GX37-3X（-2）3%7-T=_22680X2.（12分）

20.解析（1）由題意得共有最=56種不同的選法.（2分）

（2）5個人按3,1,1分成3組，共有a=10種分法，再分到三個科室，有A§=6種方法，此時共有10x6=60

種安排方法;（4分）

22

5個人按2,2,1分成3組,共有篝=15種分法，再分到三個科室，有Ag=6種方法，此時共有15x6=90

種安排方法.（6分）

故共有60+90=150種不同的安排方法.（7分）

（3）將A,B兩人看成一個整體，且A,B不在兩端，共有5A弓=10種方法,（9分）

剩下6人全排列，有A&=720種方法,（11分）

則共有10x720=7200種不同的站位方法.（12分）

21.解析⑴分兩步:第一步，將4個舞蹈節(jié)目捆綁，與6個演唱節(jié)目全排列，有A>5040種方法;（2

分）

第二步，將4個舞