2016考研數(shù)學(xué)真題及答案解析

2016考研數(shù)學(xué)(-)真題及答案解析

考研復(fù)習(xí)最重要的就是真題，所以跨考教育數(shù)學(xué)教研室為考生提供2016考研數(shù)學(xué)一的真

題、答案及部分解析，希望考生能夠在最后沖刺階段通過真題查漏補(bǔ)缺，快速有效的備考。

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在套題紙指定位置上.

(1)設(shè)｛玉｝是數(shù)列下列命題中不正確的是()

(A)若則lim々A=lim%2〃+i=。

“TOO”TOO

(B)若limx2n=limx2n+]=a,則limxn=a

/i—>oon—>OGn—>co

(C)若limxn=af則limx3n=limx2n_｝=a

n—>oort—>oo/i—>a>

(D)若limx3〃=limx3〃_]=a,則

H—>007J—>00

【答案】(D)

(2)設(shè)y=+(x—g)e”是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程yn+ay'+by=cex的一個(gè)特

解，則

(A)a=—3,/?=29c=-1

(B)a==2,c=—1

(C)a=-3,b=2,c=\

(D)Q=3,〃=2,c=l

【答案】(A)

【解析】將特解代入微分方程，利用待定系數(shù)法，得出。=—3,〃=2,c=-L故選A。

00江：

(3)若級(jí)數(shù)在》=2處條件收斂，則％=百與x=3依次為累級(jí)數(shù)D"的

n=\?)=1

()

(A)收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)

(B)收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)

(C)發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)

(D)發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)

【答案】(A)

00

【解析】因?yàn)榧?jí)數(shù)在x=2處條件收斂，所以R=2,有幕級(jí)數(shù)的性質(zhì)，

n=\

x

Z"—1)”的收斂半徑也為R=2,即此一1|<3,收斂區(qū)間為-1<X<3,則收斂域?yàn)?/p>

〃=1

8

-l<x<3,進(jìn)而x=與x=3依次為哥級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)，故選A。

M=i

(4)下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是()

yJL

(A)QI1

n=l&

(B)ln(l+-)

n

q(-1)〃+1

(C)

￡Inn

(D)洋

n=\n

【答案】（C）

12n

【解析】(A)S“=%+%+…+〃”=—?—+…H——,

88~8"

Ic/1、22/77C111n「川=知-5）號(hào)

8〃8838向8"8828〃8"

Q

吧S”=而存在，則收斂。

1,1、181

(B)〃“=—T=1H(1H—)F=收斂，所以（B）收斂。

n〃5I”

81

〃881

C、)S(TIn)n"+Ia(—D+y——因?yàn)閦口一，z—分別是收斂和發(fā)散，所以

In/I“2Inn?=2Innn=2Inn

發(fā)散，故選（C）。

“=2ln〃

_n\

（D）〃“e-'<\,所以收斂。

n

（5）設(shè)矩陣A,若集合C={1,2},則線性方程組Ax=人有無窮多

解的充分必要條件為()

(A)。任O,a宏O

(B)。任C,awO

(C)。wa任O

(D)。￡O,awO

【答案】（D）

【解析】Ax=Z?有無窮多解or(A)=r(N)<3,n|A|=0,即(a—2)(〃-1)=0,從而

a=1或a=2

q111>p111、

當(dāng)〃=1時(shí)，A—121af010a-\

a2J[o00

J41ct~-3a+2,

從而a2—3a+2=0=>或。=2時(shí)Ax=b有無窮多解

,1111Af1111、

當(dāng)。=2時(shí)，A=122a—011a-\

22

J44a、000a-36z+2>

從而a?-3。+2=0=>a=l或a=2時(shí)Ax二人有無窮多解

所以選D.

（6）二次型/'（4和不）在正交變換x=Py下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y；+y；-y；,其中

2=（。］,。2，已3），若。=9”一。3,4），/（%,工2，工3）在正交變換x=Q>'下的標(biāo)準(zhǔn)型為（)

(A)2才一￡+考

(B)2才+父一大

(C)2y；-y；-y；

(D)2y；+y；+y；

【答案】(A)

【解析】由已知得fa,孫玉)=上尸"7*=2%+貨一員,Q=PE23E2(-l),

從而

與七)=Y^AQY=片或(一1)弓37尸7尸4馬(一1?

-100-

T(-V)E.PTAPEE2yf-yj+y^其中/=

=YE222i2(-1)7=001,

010

100

E2(-l)=0-10均為初等矩陣，所以選A。

001

(7)若A,8為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則

(A)P(AB)<P(A)P(B)

(B)P(AB)>P(A)P(B)

(C)P(g?竺遜

(D)rd"?

【答案】(C)

【解析】排除法。若AB=(D,則尸(AB)=O,而P(A),P(3)未必為0,故

尸(A)+P(B)

P(A)P(B)>P(AB\>P(AB),故區(qū)。錯(cuò)。

2

若AuB,則P(AB)=尸(A)NP(A)((5),故A錯(cuò)。

(8)設(shè)總體X?3(以9),%,*2，乂3為來自該總的簡單隨機(jī)樣本，因?yàn)闃颖揪担瑒t

E之(工一區(qū))2=

-i=l.

(A)

(B)m(n—1)0(1-0)

(C)(m-1)(?—1)^(1-0)

(D)mn6(T-6)

【答案】(B)

【解析】

二、填空題(9?14小題，每小題4分，共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上).

In(cosx)

(9)lim------——

x->o￡

【答案】---

2

sin尤

?立刀..Incosx..cosx1sinx

［解4析4】rhm——-—=hmc。』=—lim---------

2

XTOxXT。2x2s°xcosx2

sinx

(10)

1+cosx

71

【答案】—

4

【解析】

7izrn7t2

sinx

1+cosx2上i、21II

(11)若函數(shù)z=z(x,y)有方程e3+.+x+cosx=2確定，則dz|(oj)=

【答案】一dx

【解析】對(duì)e'+孫z+x+cosx=2兩邊分別關(guān)于x,y,z求偏導(dǎo)，并將(0,1)這個(gè)代入，得到

勺(0.1)=—L豹(0J)=°，所以回(0J)=-dx。

ox'oy'

(12)設(shè)C是由x+y+z=l與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的空間區(qū)域，則

JJJ(x++3zylxdydz=

【答案】-

4

【解析】由對(duì)稱性,

其中

Dz為平面z=z截空間區(qū)域C所得的截面

其面積為-(l-z)

所以：

2y+3zRxdydz=6*zdxdydz=61z—(1-z)2dz=(z3-2z2+z^dz=—

00

nQ24

2002

-1202

(13)〃階行列式=_______

0022

00-12

【答案】2,1+1-2

【解析】按第一行展開得

(14)設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)服從正態(tài)分布N(I,O；I,I；O),則p{xy-y<o}=

【答案】

2

p{xy-y<o}=尸{(x-i)y<o}

=p{(x-i)<o,y>o}+p{(x-i)>o,r<o}

【解析】由夕xy=0,故乂,丫獨(dú)立。=p{(x-i)<o}p{y>o}+p{(x-i)>o}p{y<o}.

三、解答題：15—23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在客施屈指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟.

(15)設(shè)函數(shù)/'(X)=x+?ln(l+x)+/?xsinx,g(x)=kx3,若/(x)與g(x)在x—>0時(shí)為等價(jià)

無窮小，求a,小一的值。

【解析】由題意，

(16)計(jì)算二重積分JJx(x+y)公6儀，其中￡>={(1,丁),2+丁242,丁2/}。

D

【解析】

,=JJ+y)dxdy=jjx2dxdy+jjxydxdy=l^^dxdy,

DDDD\

2

其中D[={(1/)卜2+)2<2,y>x,x>01,

則/=JJx(x+y)dxdy=2jjx2dxdy-"xj：x2dy=———1.

D0t°45

(17)已知函數(shù)/(x,y)=x+y+孫，曲線C:f+y2+孫=3,求y)在曲線C上的最

大方向?qū)?shù)

【解析】因?yàn)閒(x,y)沿著梯度的方向的方向?qū)?shù)最大，且最大值為梯度的模

gradfXx,y)={1+y,1+x},模為Jq+yt+(l+x)2,

此題目轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)

22

g(x,y)=J(l+y)2+(l+x)2在約束條件C:x+y+xy^3,

下的最大值，即為條件極值問題。本問題可以轉(zhuǎn)化為對(duì)

d{x,y)=(1+y)2+(1+x)2在約束條件C-.x1+y2+xy=3,

下的最大值，構(gòu)造函數(shù)

故最大值為3.

(18)設(shè)函數(shù)/(x)在定義域/上的導(dǎo)數(shù)大于0,若對(duì)任意的/e/,曲線y=/(x)在點(diǎn)

(天),/(用))處的切線與直線》=玉)及％軸所圍成區(qū)域的面積恒為%且/(0)=2,求/(x)的

表達(dá)式。

【解析】y-r(x0)=/'(x0)(x-x0)

解得：3y2=蟲

ax

分離變量可得：-L=3X+C

y

因?yàn)镴(o)=2

所以c=一，

2

綜上/(%)=7匚

l-6x

19、已知曲線L的方程為<z=J2—廠—丁，起點(diǎn)為A(O,、/Q,O),終點(diǎn)為3(0,—拒,0),計(jì)

z=X

算曲線積分/=Jjy+z)公+Q2-*2+y)辦，+(%2+丁2)龍

x=cos6

【解析】由題意假設(shè)參數(shù)方程,y=&sine,6:工一>—工

22

Z=cos0

(20)向量組q,a2M3是R"的一個(gè)基，仇=2flI+2履3，%=2a2，%=4+(攵+1)%，

(I)證明仇，％,名為爐的一個(gè)基;

(II)當(dāng)k為何值時(shí)，存在非零向量e在基2M3與基仇，。2,名下的坐標(biāo)相同，并求所有

的e.

【解析】(I)證明：

%,a2M3是內(nèi)的一個(gè)基

/,a2M3線性無關(guān)，即廠(％,。2，。3)=3

201

又020=4?0

2k0k+1

'201、

「(用，夕2,￡3)=「020=3

30左+1,

仇功2，%線性無關(guān)，為K的一個(gè)基

(II)由已知設(shè)e=3]+k2a2+33=@i+k2b2+&3,e?0

伏、

有非零解，即(%+2版3，&2，a\+^?3)&=0有非零解

101

所以卜1+2上3，02，+必3|=|。1。2,43|010=0

2k0k

從而k{ax+k2a2+a%=0

一02-3--1-20'

(21)設(shè)矩陣A=-13-3相似于矩陣B=0b0。

1-2a03I

(1)求a,b的值。

(2)求可逆矩陣P,使P-'AP為對(duì)角矩陣。

【解析】(1)

1-2-20

\B-AE\=0b-A0=(1-2)2(/?-2)=0

031-2

=>4=4=1,4=6

-A2-3

\A-AE\=-13-2-3

1-2。一九

由=(1-4)[方一(a+2)4+2a_3]

A,3特征值相同

.?.22-(a+2)2+2a-3=(/l-l)[2-(2?-3)],

得”4，4=5,故人=5

'02-3'

(2)由(1)得A=—13—3,其中特征值4=4=1,々=5,

1-24

當(dāng)4=4=1時(shí)，解(A-E)x=0方程的基礎(chǔ)解系為名

當(dāng)4=5時(shí)，解(A—5E)x=0方程的基礎(chǔ)解系為03=

”]

從而(/4,，/4%，4。3)=31，0；2,5%)=＞4，，&2，＜23)=(%，0；2,0；3)1，

、5,

-2-3-1-

因?yàn)樗?。2，。3線性無關(guān)，所以令「二四,七，%可逆，即。=10-1＞使得

011

(\、

p-'Ap=1。

、5,

(22)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/(x)=＜之；n2對(duì)x進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測，直

到第2個(gè)大于3的觀測值出現(xiàn)為止，記丫的觀測次數(shù)。

(1)求丫的概率分布。

(2)求EY?

【解析】

2"rln2,x>0

⑴/&)=〈

0,x<0

"-2(2、〃一2

I=(f《7

所以丫的概率分布為p{y=n}=Ci,〃=2,3

887

2

(2)母=￡〃(〃-1)

n=2(I)?DM)

令

x2

S(x)=Z〃(〃—l)x"-2S|(x)=>nx'：";S2(x)=J；S?)df=￡x"

n=2n=2n=21—X

f、^4S(x)=S；(x)=2(1-力一+2尤(2-力

&(%)=

1-x,(1)2，(if

1

0<x<{入

(23)設(shè)總體X的概率密度為7(x；6)=《1—(9,其中。為未知參數(shù),

0其他

x?x2,...,x“為隨機(jī)樣本。

(i)求。的矩陣估計(jì)量；

(2)求。的最大似然估計(jì)量。

【解析】

(1)

2

1Xi+e--

EX=J對(duì)'(x;9)dx=￡x-―—dx=——=>0=2EX-1=>0=2X-1o

1-0~202

(2)設(shè)X”X2,…,X〃為觀測值，則

11

n0<x<l,z=

L(e)=n/(%/)=n"百一"6)”i

/=1

0其他

JinL(0)-1〃八■

InL{0}=-〃ln(l-e),。vx,vl,i=1,2,...,〃,------=-n——=——>0,取

dO\-0\-0

6=min{XJo

2016年考研數(shù)學(xué)二真題與解析

一、選擇題1一8小題.每小題4分，共32分.

1,當(dāng)x->O+0寸，若lna(l+2x),(l-cosx)a均是比X高階的無窮小，則a的可能取值

范圍是()

(A)(2,+oo)(B)(1,2)(C)(-,1)(D)

21-2

LWW)lna(l+2x)~2axar,是。階無窮小，(l-cosx)a~二工。是一階無窮小，由題

-a

2a

a>1

意可知《2

—>1

a

所以a的可能取值范圍是(1,2),應(yīng)該選(B).

2.下列曲線有漸近線的是

(A)y=x+sinx(B)y—x2+sinx(C)y-x+sin—(D)y=x2+sin—

xx

【詳解】對(duì)于y=x+sin，,可知lim上=1且=J=0,所以有斜漸近

XX-*30XXT8x->00X

線？=X

應(yīng)該選(C)

3.設(shè)函數(shù)/(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，8(*)=/(0)(1-*)+八1)*,則在［0,1］上()

(A)當(dāng)/'(x)NO時(shí)，f(x)>g(x)(B)當(dāng)/'(x)NO時(shí)，f(x)<g(x)

(C)當(dāng)/"(x)NO時(shí)，f(x)>g(x)(D)當(dāng)/"(x)NO時(shí)，f(x)<g(x)

【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法.

【詳解1】如果對(duì)曲線在區(qū)間［a,加上凹凸的定義比較熟悉的話，可以直接做出判斷.顯然

g(x)=/(O)(l-x)+/(l)x就是聯(lián)接(0,7(0)),(1,/(1))兩點(diǎn)的直線方程.故當(dāng)/"(x)N0

時(shí)，曲線是凹的，也就是f(x)4g(x),應(yīng)該選(D)

【詳解2】如果對(duì)曲線在區(qū)間［a,加上凹凸的定義不熟悉的話，可令

F(x)=f(x)-g(x)=/(x)-/(0)(l-x)-/(l)x,則尸(0)=/(1)=0,且

F"(x)=/"(x),故當(dāng)/"(x)N0時(shí)，曲線是凹的，從而歹(x)Wb(0)=b(1)=0,即

F(x)=/(x)-g(x)<0,也就是/(x)Wg(x),應(yīng)該選(D)

x=J+7,

4.曲線《上對(duì)應(yīng)于f=l的點(diǎn)處的曲率半徑是（)

y=t2+4t+l

VT6Vio

(A)------(B)——(OIOVTO(D)5V10

50100

lyl曲率半徑/?=".

【詳解】曲線在點(diǎn)（x,/（x））處的曲率公式K=*

Va+y2）3

2

=2f,包=2f+4,所以電=411=1+2d2y1

本題中

dtdx2t7’dx22r3

ij"li

對(duì)應(yīng)于f=l的點(diǎn)處V=3,y"=-1,所以K=—；=,曲率半徑

7(1+/2)3IOVTO

/?=-i=iovr6.

應(yīng)該選(C)*

5.設(shè)函數(shù)/(x)=arctaiw,若/(x)=x/'C),則lim^v=()

3x-

,211

(A)I(B)-(C)-(D)-

323

xf0時(shí),arctanx=x-g/+0(x*).

【詳解】注意⑴?。?門,(2)

由于?。〆q所以可知rd表=號(hào)=變詈,

x-arctanr

(arctanr)2

53

■,x—arxt^nxx-(x--x)+o(x)

=lim----------------=lim---------------------------

1。x(arctanr)x->0x，3

6.設(shè)〃(x,y)在平面有界閉區(qū)域力上連續(xù)，在D的內(nèi)部具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足

2

du八nd2ud-u

及h歲"則().

dxdy

(A)iz(x,y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的邊界上;

(B)w(x,y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域。的內(nèi)部；

(C)iz(x,y)的最大值點(diǎn)在區(qū)域。的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在區(qū)域。的邊界上;

(D)i/(x,y)的最小值點(diǎn)在區(qū)域。的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在區(qū)域。的邊界上.

【詳解】?(x,j)在平面有界閉區(qū)域。上連續(xù)，所以w(x,y)在D內(nèi)必然有最大值和最小

值.并且如果在內(nèi)部存在駐點(diǎn)(/Jo)，也就是縱=合=0,在這個(gè)點(diǎn)處

oxoy

A=上,C=駕,B=^-=^~,由條件，顯然4。-32<0,顯然〃(x,y)不是

dx-dy-dxdydydx

極值點(diǎn)，當(dāng)然也不是最值點(diǎn)，所以“(x,y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域。的邊界上.

所以應(yīng)該選(A).

0ab0

a00b

7.行列式八，八等于

0cd0

c00J

(A)(ad■-be)-(B)—(ad-bc)~(C)a~d~—b~c~(D)—a~d~+b~c~

【詳解】

應(yīng)該選(B).

8.設(shè)四,42，43是三維向量，則對(duì)任意的常數(shù)無/，向量a+上。3，。2+/。3線性無關(guān)是向

量6,七,內(nèi)線性無關(guān)的

(A)必要而非充分條件(B)充分而非必要條件

(C)充分必要條件(D)非充分非必要條件

【詳解】若向量?！薄?，內(nèi)線性無關(guān)，則

「0、

(a{+ka3,a-,+la3)=(a],a2,a3)01=(ai,a2,a3)K,對(duì)任意的常數(shù)無,/,矩陣

7

K的秩都等于2,所以向量四+加4，。2+/。3一定線性無關(guān)?

T9、山—,…線性

而當(dāng)a=0,a2=

無關(guān)，但線性相關(guān)；故選擇（A）.

二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把

答案填在題中橫線上）

9.[—；—----dx=_______.

J-0°x-+2x+5

【詳解】

f11,f1dx1x+1?1(%萬)3%

J-0°X2+2X+5J(X+1)+422-82142J8

10.設(shè)/(x)為周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且f'(x)=2(x-l),xe[0,2],則

/(7)=.

【詳解】當(dāng)XG[0,2]時(shí)，/(x)=J2(x-1)dx=x2-2x+C,由/(0)=0可知。=0,

即/(X)=X2-2X；/(x)為周期為4奇函數(shù)，故/⑺=/(-1)=/⑴=1.

7

11.設(shè)z=z(x,y)是由方程e2"+x+/+z=一確定的函數(shù)，則

4

如圖二-------

7

【詳解】設(shè)尸(x,y,z)=e2"+x+y2+z-[,

,.1

2yz2yz

Fx=l,Fy=2ze+2y,Fz=2ye+1,當(dāng)x=y=]時(shí)，z=(),

dzFx1dzPy1g”?1.1.

不=一京=一彳，￡=一京=一不，所以dz%])=-jdx-jdy.

firFz2dyFz2l?d22

冗冗

12.曲線L的極坐標(biāo)方程為r=。，則L在點(diǎn)（r,6）=處的切線方程

為.

x=r(0)cos0=^cos^八n

【詳解】先把曲線方程化為參數(shù)方程4,于是在e=一處,

y=r(6)sin6=6sin62

八ndy,sin^+6cos612.八、n冗

x=0,j=—,—=------------------=----,則nlLr在點(diǎn)(zr,6)=處的切線方程

2dx\cos0-0sin0"冗

7t22萬

為y—_=——(x-0),即y=一一X+-.

2萬7T2

13.一根長為1的細(xì)棒位于x軸的區(qū)間［o,l］上，若其線密度）（X）=-X2+2X+1,則該細(xì)棒

的質(zhì)心坐標(biāo)x=

u

32

j'xp(x)dx1'(-x+2x+x)dx一11

=

【詳解】質(zhì)心坐標(biāo)》=1522-o-

2

^p(x)dx￡(-x+2x+l)dx3一

14.設(shè)二次型/（項(xiàng)，％2，*3）=X：一X；+為玉”3+4*2*3的負(fù)慣性指數(shù)是1，則。的取值范

圍是.

【詳解】由配方法可知

由于負(fù)慣性指數(shù)為1,故必須要求4一a?NO,所以a的取值范圍是［-2,21.

三、解答題

15.（本題滿分10分）

1

jr(/2(ez-1)-/)<//

求極限lim

x—>+oo

X2lnQ+-)

x

【分析】.先用等價(jià)無窮小代換簡化分母，然后利用洛必達(dá)法則求未定型極限.

【詳解】

16.(本題滿分10分)

已知函數(shù)y=y(x)滿足微分方程/+曠，'=1一y',且y(2)=0,求1y(x)的極大值和極小

值.

【詳解】

解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得到(l+y2)i=l-*2,這是一個(gè)可分離變量的一階微分方程，兩

ii2

邊分別積分可得方程通解為：-j3+j=x--x3+C,由y(2)=0得C=§,

即gy3+y=X_g*3+.

令包=j「=0,得工=±1,且可知d2y-2x(1+j2)2—2y(l—x2)2

dx1+j2(1+/)3

當(dāng)x=l時(shí)，可解得y=l,/'=-1<0,函數(shù)取得極大值y=l；

當(dāng)了=-1時(shí)，可解得y=0,V'=2>0,函數(shù)取得極小值y=0.

17.(本題滿分10分)

xsin(萬J/+/)

設(shè)平面區(qū)域O={(x,j)|1<X2+J2<4,X>0.J>0}.計(jì)算JJ----------------dxdy

Dx+y

【詳解】由對(duì)稱性可得

18.(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)/(〃)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，z=/(e、cosy)滿足

—4+-^=(4z+cosj)e2x.若/(0)=0,/'(0)=0,求/(〃)的表達(dá)式.

oxoy

【詳解】

設(shè)"=e*cosy,則々=f(u)=f(excosy),

dza27°

―7=f"(u)e2xcos2y+f'(u)excosy；

ox

f=-r"siny,g=/”(")*s心一r*cos,；

由條件—7----=(4z+e*cos,

dx2dy2

可知

這是一個(gè)二階常用系數(shù)線性非齊次方程.

對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：

2u2u

/(?)=Cte+C2e-其中G，g為任意常數(shù)?

對(duì)應(yīng)非齊次方程特解可求得為)*=-；”.

2u2u

故非齊次方程通解為/(a)=C]e+C2e-一；".

將初始條件/(o)=o,r(o)=o代入，可得G=上，。2=-?

1616

所以/(〃)的表達(dá)式為f(u)=-e2u--e-2-,--u.

16164

19.(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)/(x),g(x)在區(qū)間[。㈤上連續(xù)，且/(x)單調(diào)增加，04g(x)41,證明:

(1)0<Jg(t)dt<x-a,xe[a,Z>]；

ra+fg(t)dtfh

(2)￡"f(x)dx<jf(x)g(x)dx.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)?4g(x)Wl,所以g(t)dt<j\dtxe[a,Z>].

即OMJg(t)dt<x-a,xe\a,b\.

(2)令尸(x)=

則可知/(。)=0,且F'(x)=/(x)g(x)-g(x)/(a+[g(f)df),

因?yàn)?4Jg(t)dt<x-a,且/(x)單調(diào)增加，

所以/(a+J*g(f)山)4f(a+x-a)=/(x).從而

尸(x)=/(x)g(x)-g(x)/(a+N/(x)g(x)-g(x)/(x)=0,

xG[a,ft]

也是尸(x)在[a,句單調(diào)增加，則尸(份N/(a)=0,即得到

￡"f(x)dx<￡f(x)g(x)dx.

20.(本題滿分11分)

設(shè)函數(shù)/(X)=上，X€[0,l],定義函數(shù)列

1+X

/1(x)=/(x),/2(x)=/(/,(x)),???,/?(X)=/(/?_,(X)),--■

設(shè)S“是曲線y=f,(x),直線x=l,y=0所圍圖形的面積.求極限lim〃S”.

【詳解】

x

X/l(x)1+XX

fl(x)=--,f2(x>

1+Z(X)1+2x

1+X

利用數(shù)學(xué)歸納法可得f?(x)=-------

1+nx

JoJ()

J0i+nxn14-nxnn

1?ClnQ+〃))

IIITIHS”=linj1-------------=1.

n-xx>?->oolfiJ

21.(本題滿分11分)

已知函數(shù)/(x,y)滿足g=2(y+l),且/(y,y)=(y+l)2-(2-y)lny,求曲線

dy

f(x,y)=0所成的圖形繞直線j=-l旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

【詳解】

由于函數(shù)/(x,y)滿足g=2(y+l),所以/(x,y)=y2+2y+C(x),其中C(x)為待定

小

的連續(xù)函數(shù).

又因?yàn)閒(y,y)=(y+l)2-(2-j)lnj,從而可知C(y)=l—(2—y)Iny,

22

得至Uf(x9y)=y+2j+C(x)=j+2j+l—(2—x)lnx.

令f(x,y)=0,可得(y+l)?=(2—x)lnx.且當(dāng)y=-1時(shí)，，X)=l,x2=2.

曲線f(x9j)=0所成的圖形繞直線j=-1旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

22.（本題滿分11分）

‘1-23-4、

設(shè)4=01-11E為三階單位矩陣.

J203,

(1)求方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系;

(2)求滿足A3=E的所有矩陣.

得到方程組AX=0同解方程組

，-1、

2

得到AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。.

(2)顯然B矩陣是一個(gè)4x3矩陣，設(shè)B=-

“3%小

對(duì)矩陣(AE)進(jìn)行進(jìn)行初等行變換如下:

由方程組可得矩陣B對(duì)應(yīng)的三列分別為

其中為任意常數(shù).

23.(本題滿分11分)

'111、<001、

11…10???02

證明〃階矩陣：：與,..相似

10…0n

J1…1,）

11???A’001、

111002

【詳解】證明：設(shè)4=，B=

1-U(0o

分別求兩個(gè)矩陣的特征值和特征向量如下:

X—1-1??-1

-1A—1,?-1

健-A|==(2-nUrt-'

-14—1

所以A的"個(gè)特征值為4==4=…兒,=°；

0

而且A是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以一定可以對(duì)角化.且4~

所以B的〃個(gè)特征值也為/=M,A2=2,='??/1?=0；

對(duì)于〃一1重特征值4=(),由于矩陣(0E—5)=—3的秩顯然為1,所以矩陣B對(duì)應(yīng)”-1重

特征值;I=0的特征向量應(yīng)該有n-\個(gè)線性無關(guān),進(jìn)一步矩陣B存在〃個(gè)線性無關(guān)的特征向

%

0

量，即矩陣B一定可以對(duì)角化，且

111’001、

1110???02

從而可知〃階矩陣與相似.

U1-u(0???0n)

2016年考研數(shù)學(xué)(三)真題

一、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

sinX

⑴若lim(cosx-b)=5,則a,b=

x->0e

⑵設(shè)函數(shù)/(“，v)由關(guān)系式/[xg(y),y]=x+g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微,且g(y)?0,則

d2f

dudv

⑶設(shè)/(x)='2.2,貝1)公=

-1

I,x>2-5

(4)二次型/,(X],X2，X3)=(2+々)2+(%2一/)2+(%3+玉)2的秩為____-

(5)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則P{X>/51}=.

(6)設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(/4,),總體丫服從正態(tài)分布N(〃2,。2),X1,X2,…X,“和

匕，匕,--工,分別是來自總體x和丫的簡單隨機(jī)樣本，則

_4fh_

+￡化-歹)

E，=lj=1________

4+小一2

二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符

合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))

(7)函數(shù)/(幻=?次」in(x—2)下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界

x(^x—l)(x—2)

(A)(?1,0).(B)(0,1).(C)(l,2).(D)(2,3).[]

沖,XH0,則

(8)設(shè)y(x)在(?？，+?)內(nèi)有定義，且lim/(x)=a,g(x)=<

X—>80,x=0

(A)x=0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B)x=0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).

(C)x=0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).

(D)g(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān).[]

(9)設(shè)“x)=|x(l?x),,則

(A)x=0是/(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)不是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).

(B)x=0不是/(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).

(C)x=0是/(x)的極值點(diǎn)，且(0,0)是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).

(D)x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).[〕

(10)設(shè)有下列命題：

0000

(1)若+42〃)收斂，則收斂.

n=\n=\

0000

⑵若￡町收斂，則Z〃”+iooo收斂.

n=\〃=1

00

⑶若lim如＞1,則Yun發(fā)散.

W-8Un,,=1

000000

(4)若