高考數(shù)學一輪復習第7章立體幾何第3講平行關(guān)系知能訓練輕松闖關(guān)理北師大版

PAGE第3講平行關(guān)系1．(2016·河北省衡水中學調(diào)研)已知空間直線l不在平面α內(nèi)，則“直線l上有兩個點到平面α的距離相等”是“l(fā)∥α”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B.因為直線l不在平面α內(nèi)，且直線l上有兩個點到平面α的距離相等，所以直線l∥α或l與α相交．當l與α平行時，此時存在兩點到平面α的距離相等．所以“直線l上有兩個點到平面α的距離相等”是“l(fā)∥α”的必要不充分條件．2．設平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中點，當A，B分別在α，β內(nèi)運動時，所有的點C()A．不共面B．當且僅當A，B在兩條相交直線上移動時才共面C．當且僅當A，B在兩條給定的平行直線上移動時才共面D．不論A，B如何移動都共面解析：選D.根據(jù)平面平行的性質(zhì)，不論A，B如何運動，動點C均在與α，β都平行的平面上．3．(2016·惠州模擬)已知兩條不同的直線l，m，兩個不同的平面α，β，則下列條件能推出α∥β的是()A．lα，mα，且l∥β，m∥βB．lα，mβ，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m解析：選C.借助正方體模型進行判斷．易排除選項A，B，D，故選C.4．(2016·東莞模擬)已知m，n是兩條直線，α，β是兩個平面，給出下列命題：①若n⊥α，n⊥β，則α∥β；②若平面α上有不共線的三點到平面β的距離相等，則α∥β；③若m，n為異面直線，nα，n∥β，mβ，m∥α，則α∥β.其中正確命題的個數(shù)是()A．3個 B．2個C．1個 D．0個解析：選B.①若n⊥α，n⊥β，則n為平面α與β的公垂線，則α∥β，故①正確；②若平面α上有不共線的三點到平面β的距離相等，三點可能在平面β的異側(cè)，此時α與β相交，故②錯誤；③若n，m為異面直線，nα，n∥β，mβ，m∥α，根據(jù)面面平行的判定定理，可得③正確．故選B.5．(2016·長沙模擬)用a，b，c表示空間中三條不同的直線，γ表示平面，給出下列命題：①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；②若a∥b，a∥c，則b∥c；③若a∥γ，b∥γ，則a∥b.其中真命題的序號是()A．①② B．③C．①③ D．②解析：選D.若a⊥b，b⊥c，則a∥c或a與c相交或a與c異面，所以①是假命題；在空間中，平行于同一直線的兩條直線平行，所以②是真命題；若a∥γ，b∥γ，則a∥b或a與b相交或a與b異面，所以③是假命題，故選D.6.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點，則()A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形解析：選B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊eq\f(1,5)BD，所以EF∥平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點，所以HG綊eq\f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形．7.如圖，在空間四邊形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是__________．解析：在平面ABD中，eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，所以MN∥BD.又MN?平面BCD，BD平面BCD，所以MN∥平面BCD.答案：平行8．棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點，過C，M，D1作正方體的截面，解析：由面面平行的性質(zhì)知截面與平面AB1的交線MN是△AA1B的中位線，所以截面是梯形CD1MN，易求其面積為eq\f(9,2).答案：eq\f(9,2)9．設α，β，γ是三個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，有下列三個條件：①a∥γ，bβ；②a∥γ，b∥β；③b∥β，aγ.如果命題“α∩β＝a，bγ，且________，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________(把所有正確條件的序號都填上)．解析：由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當b∥β，aγ時，a和b在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，所以平行，③正確．故填入的條件為①或③.答案：①或③10．(2016·周口一模)已知平面α∥平面β，P是α，β外一點，過P點的兩條直線AC，BD分別交α于A，B，交β于C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，則CD的長為________．解析：若P在α，β的同側(cè)，由于平面α∥平面β，故AB∥CD，則eq\f(PA,PC)＝eq\f(PA,PA＋AC)＝eq\f(AB,CD)，可求得CD＝20；若P在α，β之間，則eq\f(AB,CD)＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(PA,AC－PA)可求得CD＝4.答案：20或411.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，H分別為棱A1B1，D1C1上的點，且EH∥A1D1，過EH的平面與棱BB1，CC1相交，交點分別為F，G，求證：FG∥平面ADD1證明：因為EH∥A1D1，A1D1∥B1C1EH?平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG?平面ADD1A1，A1D1平面ADD1A1所以FG∥平面ADD1A112.如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C(1)當eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．解：(1)如圖，取D1為線段A1C1的中點此時eq\f(A1D1,D1C1)＝1.連接A1B交AB1于點O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點O為A1B的中點．在△A1BC1中，點O，D1分別為A1B，A1C1的中點所以OD1∥BC1.又因為OD1平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.所以eq\f(A1D1,D1C1)＝1時，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD).又因為eq\f(A1O,OB)＝1，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.1．(2015·高考安徽卷)已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是()A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面解析：選D.A項，α，β可能相交，故錯誤；B項，直線m，n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯誤；C項，若mα，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯誤；D項，假設m，n垂直于同一平面，則必有m∥n，所以原命題正確，故D項正確．2.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點P是棱AD上一點，且AP＝eq\f(a,3)，過B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________．解析：因為平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥又因為B1D1∥BD，所以BD∥PQ，設PQ∩AB＝M，因為AB∥CD，所以△APM∽△DPQ.所以eq\f(PQ,PM)＝eq\f(PD,AP)＝2，即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB，所以eq\f(PM,BD)＝eq\f(AP,AD)＝eq\f(1,3)，所以PM＝eq\f(1,3)BD，又BD＝eq\r(2)a，所以PQ＝eq\f(2\r(2),3)a.答案：eq\f(2\r(2),3)a3.(2016·山西省調(diào)研)如圖，在四棱錐P-ABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD.(1)求證：AC⊥PD；(2)在線段PA上，是否存在點E，使BE∥平面PCD？若存在，求eq\f(PE,PA)的值；若不存在，請說明理由．解：(1)證明：因為平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，又AC⊥CD，所以AC⊥平面PCD，因為PD平面PCD，所以AC⊥PD.(2)在線段PA上，存在點E，使BE∥平面PCD.因為AD＝3，所以在△PAD中，存在EF∥AD(E，F(xiàn)分別在AP，PD上)，又BC∥AD，所以BC∥EF，且BC＝EF，且使EF＝1，所以四邊形BCFE是平行四邊形，所以BE∥CF，BE?平面PCD，CF平面PCD，所以BE∥平面PCD，因為EF＝1，AD＝3，所以eq\f(EF,AD)＝eq\f(PE,PA)＝eq\f(1,3).4.(2016·阜陽月考)如圖，在三棱錐A-BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OAC＝eq\f(π,6)，AB＝AC＝2，BC＝eq\r(2)，D，E分別為AB，OB的中點．(1)求證：CO⊥平面AOB；(2)在線段CB上是否存在一點F，使得平面DEF∥平面AOC，若存在，試確定F的位置，并證明此點滿足要求；若不存在，請說明理由．解：(1)證明：因為AO⊥平面COB，所以AO⊥CO，AO⊥BO，即△AOC與△AOB為直角三角形．又因為∠OAB＝∠OAC＝eq\f(π,6)，AB＝AC＝2，所以OB＝OC＝1.由OB2＋OC2＝1＋1＝2＝BC2，可知△BOC為直角三角形．所以