一個水池水位自動控制系統(tǒng)如圖11所示試簡述系統(tǒng)工作原

第一章例1-1一個水池水位自動控制系統(tǒng)如圖1-1所示。試簡述系統(tǒng)工作原理，指出主要變量和各環(huán)節(jié)的構(gòu)成，畫出系統(tǒng)的方框圖。圖1-1水池水位控制系統(tǒng)原理圖解在這個水位控制系統(tǒng)中，水池的進(jìn)水量來自由電機(jī)控制開度的進(jìn)水閥門，出水量隨意變化的情況下，保持水箱水位在希望的高度上不變。希望水位高度由電位器觸頭A設(shè)定，浮子測出實際水位高度。由浮子帶動的電位計觸頭B的位置反映實際水位高度。A、B兩點的電位差反映希望水位的偏差。當(dāng)實際低于希望水位時，。通過放大器驅(qū)動電動機(jī)轉(zhuǎn)動，開大進(jìn)水閥門，使進(jìn)水量增加，從而使水位上升。當(dāng)實際水位上升到希望位置時，A、B兩個觸頭在同一位置，，電動機(jī)停止轉(zhuǎn)動，進(jìn)水閥門開度不變，這時進(jìn)水量和出水量達(dá)到平衡位置。若實際水位高于希望水位，，則電動機(jī)使進(jìn)水閥門關(guān)小，使進(jìn)水量減少，實際水位下降。這個系統(tǒng)是個典型的鎮(zhèn)定系統(tǒng)，在該系統(tǒng)中：控制量希望水位的設(shè)定值被控制量實際水位擾動量出水量被控對象水池測量元件浮子比較元件電位器放大元件放大器執(zhí)行元件電動機(jī)、減速器、進(jìn)水閥門系統(tǒng)的方框圖如圖1-2所示?？刂葡到y(tǒng)中各元件的分類和方框圖的繪制不是唯一的，只要能正確反映其功能和運動規(guī)律即可。圖1-2水池水位控制系統(tǒng)方框圖例1-2圖1-3所示為發(fā)電機(jī)電壓調(diào)節(jié)系統(tǒng)，試分析系統(tǒng)的工作原理，畫出方框圖并指出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點。解發(fā)電機(jī)在電樞轉(zhuǎn)速和激磁電壓恒定不變時，負(fù)載變化將引起輸出電壓和電樞回路電流的改變。當(dāng)負(fù)載增大時，將引起電樞電壓下降和電樞電流增大，因此，電樞回路的電流在電阻上的電壓增大，也增大，由于與的極性一致，因而發(fā)電機(jī)的激磁電壓上升，使輸出電壓增大。這種由擾動產(chǎn)生附加控制作用的系統(tǒng)是擾動控制系統(tǒng)（本系統(tǒng)是將負(fù)載變化作為擾動輸入的。圖1-3所示的電壓調(diào)節(jié)方式只能克服負(fù)載變化對發(fā)電機(jī)輸出電壓的影響）。系統(tǒng)方框圖如圖1-4所示。圖1-3發(fā)電機(jī)電壓調(diào)節(jié)系統(tǒng)圖1-4系統(tǒng)方框圖第二章圖2-1例2-1圖【例2-1】求圖2-1所示矩形脈沖的象函數(shù)圖2-1例2-1圖【解】圖中的矩形脈沖函數(shù)可用解析式表示為所以，可以看作兩個函數(shù)的疊加即可求得其象函數(shù)或直接運用拉氏變換定義式求取【例2-2】求的拉氏反變換?！窘狻康牟糠址质綖榍笙禂?shù)、【例2-3】求下面象函數(shù)的原函數(shù)【解】的部分分式為由等式相等，所以可知解得；；的部分分式可求得注：則的拉氏反變換為【例2-4】求下列象函數(shù)的拉氏反變換。【解】運用部分分式展開法，有求得待定系數(shù)的部分分式為分別查表可求得的拉氏反變換為【例2-5】解方程，其中，【解】將方程兩邊取拉氏變換，得將代入，并整理，得所以【例2-6】將非線性方程在原點附近線性化?！窘狻扛鶕?jù)式（2-3），線性化后的方程應(yīng)為而，，故線性化后的方程為分析：本題方程中只有是非線性項，只要將在原點線性化就可以了。在原點線性化的結(jié)果是所以，線性化后原方程式右邊只剩下前三項線性項?！纠?-7】求圖2-2所示系統(tǒng)輸入為，輸出為時的傳遞函數(shù)（a）（b）圖2-2無源電網(wǎng)絡(luò)【解】根據(jù)基爾霍夫定律，采用運算阻抗的方法，所以傳遞函數(shù)為（a）（b）【提示】基爾霍夫定律的時域表示式為：對任一結(jié)點，；對任一回路，。電阻的運算阻抗就是電阻本身，電感的運算阻抗是，電容的運算阻抗是，其中為拉氏變換的復(fù)參量。把普通電路中的電阻、電感、電容全換成相應(yīng)的運算阻抗，把電流和電壓全換成相應(yīng)的拉氏變換式和，因此可得到根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)而得出基爾霍夫定律的運算形式為：；對任一回路，。于是我們可以采用普通的電路定律，如歐姆定律、基爾霍夫定律和電壓定律，經(jīng)過簡單的代數(shù)運算，就可求解、及相應(yīng)的傳遞函數(shù)。采用運算阻抗的方法又稱為運算法，相應(yīng)的電路圖稱為運算電路?！纠?-8】求圖2-3所示有源電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)，圖中、分別是輸入和輸出電壓。（a）（b）圖2-3有源電網(wǎng)絡(luò)【解】（a）由圖（1）求得，根據(jù)理想運算放大器反相輸入時的特性，有這也是PID控制器。（b）設(shè)電壓如圖所示。由得得由此可得最后聯(lián)立上述方程，解得這是PID控制器。提示：上述傳遞函數(shù)是在理想運算放大器及理想的電阻、電容基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的，對于實際元件來說，它只是在一定的限制條件下才成立?！纠?-9】如圖2-4所示電樞控制式直流電動機(jī)，試以為輸入量，為輸出量的建立微分方程。圖2-4電樞控制式直流電動機(jī)其中：是電動機(jī)電樞輸入電壓，是電動機(jī)輸出轉(zhuǎn)角，是電樞繞組的電阻，是電樞繞組的電感，是流過電樞繞組的電流，是電動機(jī)感應(yīng)電勢，是電動機(jī)轉(zhuǎn)矩，是電動機(jī)及負(fù)載折合到電動機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動慣量，是電動機(jī)及負(fù)載折合到電動機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)。【解】根據(jù)基爾霍夫定律，有根據(jù)磁場對載流線圈的作用定律，有其中，是電動機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)。根據(jù)電磁感應(yīng)定律，有其中，是反電勢常數(shù)。根據(jù)牛頓第二定律，有得得電樞電感通常較小，若忽略不計，系統(tǒng)微分方程可簡化為當(dāng)電樞電感，電阻均較小，都忽略時，系統(tǒng)微分方程可進(jìn)一步簡化為【例2-10】試求圖2-5所示機(jī)械平動系統(tǒng)輸入為，輸出為時的傳遞函數(shù)（a）（b）圖2-5機(jī)械平動系統(tǒng)【解】（a）根據(jù)牛頓第二定律，列寫動力學(xué)微分方程即進(jìn)行拉氏變換并整理得（b）設(shè)B點位移為，根據(jù)B、C點力平衡關(guān)系列寫方程對于B點對于C點上面兩個方程兩邊同時進(jìn)行拉氏變換（初始條件為0），有解上述方程組，得【提示】機(jī)械系統(tǒng)的建模可根據(jù)牛頓第二定律或達(dá)朗伯原理推導(dǎo)。牛頓第二定律：一物體的加速度與其所受的合外力成正比，與其質(zhì)量成反比，而且加速度與合外力同方向。達(dá)朗伯原理：作用在物體上的合外力與該物體的慣性力構(gòu)成平衡力系。達(dá)朗伯原理用公式可表示為：，其中，是作用在物體上的合外力；是物體的加速度；是物體的質(zhì)量；是物體的慣性力。對于機(jī)械系統(tǒng)的建模，取質(zhì)量、彈簧、阻尼之間相關(guān)的連接點進(jìn)行受力分析，并根據(jù)牛頓第二定律建立該點處的力平衡方程；當(dāng)有些連接點處的運動未知時，可認(rèn)為是中間參考點，聯(lián)立方程后即可消去?！纠?-11】齒輪傳動的動力學(xué)分析。設(shè)有如圖2-6a所示的齒輪傳動鏈，由電動機(jī)M輸入的扭矩為，L為輸出端負(fù)載，TL為負(fù)載扭矩。圖中所示的為各齒輪齒數(shù)，J1、J2、J3及1、2、3分別為各軸及相應(yīng)齒輪的轉(zhuǎn)動慣量和轉(zhuǎn)角。(a)原始輪系(b)等效輪系圖2-6齒輪傳動鏈【解】假設(shè)各軸均為絕對剛性，即，可得如下動力學(xué)方程式中、、傳動中各軸及齒輪的粘性阻尼系數(shù)；——齒輪對的反轉(zhuǎn)矩；——對的反轉(zhuǎn)矩；——對的反轉(zhuǎn)矩；——對的反轉(zhuǎn)矩；——輸出端負(fù)載對的反轉(zhuǎn)矩，即負(fù)載轉(zhuǎn)矩。由齒輪傳動的基本關(guān)系可知于是可得稱為等效轉(zhuǎn)動慣量；稱為等效阻尼系數(shù)；稱為等效輸出轉(zhuǎn)矩。將上式改為則圖2-6a所示的傳動裝置可簡化為圖2-6b所示的等效齒輪傳動?！纠?-12】畫出下列RC電路的方框圖。圖2-7一階RC網(wǎng)絡(luò)【解】利用基爾霍夫電壓定律及電容元件特性可得，對其進(jìn)行拉氏變換得因此圖2-7即可轉(zhuǎn)換為圖2-8運算電路形式。圖2-8一階RC網(wǎng)絡(luò)運算電路由此分別得到圖2-9a和2-9b，將圖2-9a和2-9b組合起來即得到圖2-9c，圖2-9c為該一階RC網(wǎng)絡(luò)的方框圖。（a）（b）（c）圖2-9一階RC網(wǎng)絡(luò)的方框圖【例2-13】畫出下列RC網(wǎng)絡(luò)的方框圖，并求傳遞函數(shù)。圖2-10兩級RC濾波器電路【解】（1）首先根據(jù)電路定理列出方程，寫出對應(yīng)的拉氏變換，也可直接將上圖轉(zhuǎn)化成運算電路圖的形式，如下圖圖2-11兩級RC濾波器電路（2）根據(jù)列出的4個式子作出對應(yīng)的框圖。（3）根據(jù)信號的流向?qū)⒏鞣娇蛞来芜B接起來。根據(jù)上述公式，畫出方框圖所以傳遞函數(shù)為由圖清楚地看到，后一級網(wǎng)絡(luò)作為前級網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載，對前級-網(wǎng)絡(luò)的輸出電壓產(chǎn)生影響，這就是負(fù)載效應(yīng)。如果在這兩極RC網(wǎng)絡(luò)之間接入一個輸入阻抗很大而輸出阻抗很小的隔離放大器，如圖2-11所示。圖2-11帶隔離放大器的兩級RC網(wǎng)絡(luò)則圖2-11電路的方框圖為【例2-14】試化簡如圖2-12所示系統(tǒng)的方框圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。圖2-12例2-14圖【解】用方框圖等效變換法求解，A點后移，得所以，傳遞函數(shù)為【提示】：等效變換時，應(yīng)將分支點（相加點）向另外的分支點（相加點）移動，一般不宜向另外的相加點（分支點）移動?！纠?-15】化簡下面方框圖，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。圖2-13方框圖【解】方法一：設(shè)變量如上圖所示。由此可列寫出下列方程組上述方程組中，一共有4個方程，5個未知量，消去中間變量即可得出與之間的關(guān)系方法二：采樣梅遜公式，有4條前向通道和5個回環(huán)。4條前向通道，，，對應(yīng)的余因子5個回環(huán)特征式由此可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為可見，結(jié)果與方法一相同。方法三：用方框圖等效變換方法化簡如下：可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為結(jié)果與方法一、二均相同。梅遜公式的作用，可以校驗方框圖化簡的結(jié)果是否正確?！纠?-16】某復(fù)合控制系統(tǒng)的動態(tài)方框圖如圖2-14所示，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖2-14方框圖【解】用梅遜公式求解。本題有6條前向通路，其中第6條前向通路很容易被漏掉，需特別注意。有3個回環(huán)，回環(huán)間均有接觸。求解過程如下：故【例2-17】用梅遜公式求圖2-15所示控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖2-15例2-17控制系統(tǒng)信號流圖【解】此系統(tǒng)有7個單獨回環(huán)，即，，，，，和因此兩個互不接觸的回環(huán)有3種組合，即，及，所以三個互不接觸的回環(huán)只有1種組合，即由此可求特征式從源節(jié)點到匯節(jié)點有5條前向通道，由于5條前向通道與所有的回環(huán)均有接觸，因此將以上結(jié)果代入梅遜公式，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)【例2-18】用梅遜公式求圖2-16所示系統(tǒng)信號流圖的傳遞函數(shù)及。圖2-16例2-18系統(tǒng)信號流圖【解】現(xiàn)用梅遜公式求取對應(yīng)于同一個源節(jié)點圖2-16例2-18系統(tǒng)信號流圖此系統(tǒng)有3個單獨回環(huán)，即兩個互不接觸的回環(huán)有1種組合，即由此可求特征式從源節(jié)點到匯節(jié)點B有1條前向通道，因此將以上結(jié)果代入公式，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)從源節(jié)點到匯節(jié)點D有2條前向通道，因此將以上結(jié)果代入梅遜公式，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)【例2-19】已知下列方程組：圖2-17信號流圖試求傳遞函數(shù)圖2-17信號流圖【解】可先根據(jù)方程組畫出信號流圖如圖2-17所示，然后由梅遜公式就可求解。此系統(tǒng)有8個單獨回環(huán)，即兩個互不接觸的回環(huán)有6種組合，即三個互不接觸的回環(huán)只有1種組合，即由此可求特征式有5條前向通道，因此將以上結(jié)果代入梅遜公式，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)【例2-20】控制系統(tǒng)方框圖如圖2-18所示，求：（1）由方框圖設(shè)置狀態(tài)變量，直接確定狀態(tài)空間表達(dá)式；（2）求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，建立規(guī)范型狀態(tài)空間表達(dá)式。圖2-18控制系統(tǒng)方框圖【解】（1）由方框圖設(shè)置狀態(tài)變量直接確定狀態(tài)空間表達(dá)式，需要將方框圖進(jìn)行適當(dāng)變換，從而得到系統(tǒng)的狀態(tài)圖，進(jìn)而得到狀態(tài)空間表達(dá)式。為此，須對系統(tǒng)中的各組成環(huán)節(jié)進(jìn)行適當(dāng)處理，如圖2-19、圖2-20和圖2-21所示。圖2-19慣性環(huán)節(jié)的狀態(tài)圖圖2-20超前滯后環(huán)節(jié)的狀態(tài)圖圖2-21二階環(huán)節(jié)的狀態(tài)圖進(jìn)而可以得到圖2-18對應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)圖，如圖2-22。圖2-22控制系統(tǒng)狀態(tài)圖按圖2-22所示的狀態(tài)變量，可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為（2）根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖或由系統(tǒng)狀態(tài)圖利用梅遜公式，或由系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式利用，均可以求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。由此可以得到該系統(tǒng)的能控規(guī)范型狀態(tài)空間表達(dá)式和能觀規(guī)范型狀態(tài)空間表達(dá)式【例2-21】設(shè)描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程為（1）若選狀態(tài)變量為，，試建立系統(tǒng)狀態(tài)方程；（2）若重選一組狀態(tài)變量和，使得，，試建立系統(tǒng)在坐標(biāo)系中的狀態(tài)方程。【解】（1）由系統(tǒng)微分方程可知矩形形式為系統(tǒng)矩陣A為友矩陣。（2）兩組狀態(tài)變量之間的關(guān)系為因此非奇異變換矩陣，，此時狀態(tài)方程為對角線標(biāo)準(zhǔn)型。提示：該例說明了狀態(tài)變量和動態(tài)方程的非唯一性?！纠?-22】設(shè)控制系統(tǒng)的微分方程為試寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式?！窘狻科渲?。則有因此，可得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式【例2-23】已知控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為其中，，，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣?！窘狻扛鶕?jù)式（2-27）即可求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。（1）求（2）求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣第三章【例3.1】溫度計的傳遞函數(shù)為。現(xiàn)用該溫度計測量某容器中的水溫，發(fā)現(xiàn)經(jīng)1分鐘后才能指示出實際水溫的96%，問：（1）該溫度計的指示從實際水溫的10%變化到90%所需的時間是多少？（2）如果給該容器加熱，使容器內(nèi)水溫以0.1的速度均勻上升，當(dāng)定義時，溫度計的穩(wěn)態(tài)指示誤差有多大？解：（1）溫度計是一個一階環(huán)節(jié)，指示實際水溫的10%變化到90%所需的時間就是溫度計指示值的上升時間。為此，必須首先計算溫度計的時間常數(shù)。溫度計的測溫指示過程為單位階躍響應(yīng)，已知，故。所以。（2）水溫以0.1的速度均勻上升，表示輸入信號為斜坡信號，該一階系統(tǒng)是穩(wěn)定的，故可以用拉式變換的終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差。由可得所以【例3.2】某控制系統(tǒng)的微分方程為其中，，。設(shè)初始條件為0，試求：（1）系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)以及時的；（2）與時間對應(yīng)的系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)和單位斜坡響應(yīng)的值。解：（1）由于初始條件為0，對微分方程取拉氏變換可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)當(dāng)輸入為單位脈沖函數(shù)時，，，所以由，可得（2）系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為，所以系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)為，所以例【3.3】三個二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式都是它們的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-7中的1、2、3。其中是系統(tǒng)1、2的調(diào)整時間，是峰值時間。在同一平面上畫出三個系統(tǒng)的閉環(huán)極點的相對位置，并說明理由。解設(shè)3個系統(tǒng)對應(yīng)的閉環(huán)極點分別是、、、、、。由圖知，故，且(3-15)、在同一阻尼比線上。因，故有(3-16)可見離虛軸比遠(yuǎn)。由式(3-15)和式(3-16)可給出、、、的相對位置，如例圖3-8所示。圖3-7二階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線圖圖3-8閉環(huán)極點相對位置因，故有(3-17)與的虛部相同。因，故，且(3-18)根據(jù)式(3-17)和式(3-18)可繪出、，如例圖3-8所示。圖3-9系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)注：本題主要是加深對二階系統(tǒng)性能指標(biāo)的理解。圖3-9系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)例【3.4】典型二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-9所示。試確定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解依題意，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)形式為由圖3-9可見，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值為2，所以系統(tǒng)峰值時間，超調(diào)量所以解得所以注：需要特別注意的是最大超調(diào)量的求取，另外二階系統(tǒng)最大超調(diào)量只與阻尼比有關(guān)，利用最大超調(diào)量求出，根據(jù)可求得，從而求得最終結(jié)果圖3-10系統(tǒng)方框圖例【3.5】系統(tǒng)方框圖如圖3-10所示，要求超調(diào)量，峰值時間，求與。圖3-10系統(tǒng)方框圖解由，，可求得，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為故可以求得,例【3.6】設(shè)某控制系統(tǒng)方框圖如圖3-11所示，欲保證阻尼比和響應(yīng)單位斜坡函數(shù)的穩(wěn)態(tài)誤差，試確定系統(tǒng)參數(shù)、圖3-11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解由圖3-11求得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖3-11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖(3-19)根據(jù)圖3-11及式(3-19)，計算作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(3-20)按題意，由式(3-20)得(3-21)根據(jù)圖3-11及式(3-19)求得給定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(3-22)由式(3-22)求得(3-23)(3-24)按題意，由式(3-24)求得(3-25)最終由式(3-21)及式(3-25)解出待確定參數(shù)【例3.7】某控制系統(tǒng)如圖3-12所示。圖3-12控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（1）當(dāng)時，求系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)；（2）為使系統(tǒng)具有阻尼比，試確定的值，并計算單位階躍輸入時的超調(diào)量、上升時間、調(diào)整時間和穩(wěn)態(tài)誤差[定義誤差]。解：（1）當(dāng)時，控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其脈沖響應(yīng)函數(shù)為（2）當(dāng)時，控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其特征方程為由得。因為，所以由得。在單位階躍輸入下，系統(tǒng)輸出響應(yīng)的超調(diào)量為上升時間為取誤差帶為穩(wěn)態(tài)值的時，調(diào)整時間為系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)誤差為例【3.8】單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為若系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)以的頻率振蕩，試確定振蕩時的和值。解依題意，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)()，閉環(huán)系統(tǒng)必有一對純虛根對應(yīng)在勞斯表中必然出現(xiàn)某一行的第一列元素或該行全部元素為零的情況。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為列勞斯表令第3行第1列元素為0，有(3-26)由第2行元素構(gòu)成輔助方程解出(3-27)聯(lián)立方程式(3-26)和式(3-27)，解出,圖3-13系統(tǒng)框圖例【3.9】系統(tǒng)方框圖如圖3-13所示。希望所有特征根均位于平面上的左側(cè)，且。用陰影線表示出特征根在平面上的分布范圍，并求出相對應(yīng)的、的取值范圍。圖3-13系統(tǒng)框圖解令，則特征根的分布范圍見例圖3-14所示令，得由特征方程知，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是特征根的實部是，令，得由此可繪出所要求得參數(shù)范圍，如圖3-15所示。圖3-14特征根分布范圍圖3-15參數(shù)取值范圍例【3.10】單位負(fù)反饋系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時穩(wěn)定，試確定和的范圍，并在的直角坐標(biāo)圖上標(biāo)出穩(wěn)定區(qū)域。解系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為列勞斯表圖3-16參數(shù)取值范圍圖圖3-16參數(shù)取值范圍圖閉環(huán)穩(wěn)定時，應(yīng)有故有從而、的取值范圍見圖3-16的陰影所示?！纠?.11】某單位反饋隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試計算閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)和值。解：這是一個高階系統(tǒng)，我們注意到極點-500離虛軸的距離較極點，離虛軸遠(yuǎn)得多，這個極點對閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)性能的影響很小，因此，可以忽略該極點，而使系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)。近似原則如下：（1）保持系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值不變；（2）瞬態(tài)性能變化不大。根據(jù)這個原則，原開環(huán)傳遞函數(shù)近似為近似后的閉環(huán)傳遞函數(shù)為所以則提示：該例為高階系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)的方法，請注意近似原則。例【3.12】討論特征方程問其中有多少根的實部落在開區(qū)間內(nèi)？解分析系統(tǒng)特征根有3個。首先用勞斯判據(jù)判斷有幾個根不在左半平面，然后再作代換，判斷有幾個根不在之左面，便可得出結(jié)論。列勞斯表可見在右半平面不存在不穩(wěn)定根。令代入特征方程整理后有列勞斯表可見第一列元素變號3次，3個根全部位于的右面。因此得出結(jié)論：3個根得實部全部位于開區(qū)間之內(nèi)。例【3.13】已知圖3-17所示系統(tǒng)，定義誤差。（1）問當(dāng)時，系統(tǒng)對是幾型的？（2）若使系統(tǒng)對為I型，試選擇的值。解系統(tǒng)是非單位反饋的，在結(jié)構(gòu)圖上誤差不能直接得到。因此需要構(gòu)造一個與原系統(tǒng)等價的單位反饋系統(tǒng)，如圖3-18所示。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)等價的單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，則要使系統(tǒng)成為I型，應(yīng)有所以另外，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有，，圖3-17系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖3-18系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖【例3.14】設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時值的范圍；（2）若要閉環(huán)特征方程的根的實部均小于－1，問的取值范圍。解：閉環(huán)特征方程為即（1）列勞斯陣如下欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，只需解得（2）若要求特征根實部均小于，可令，將平面映射為平面，只要特征根全部位于平面的左半平面即可。整理得列勞斯表欲使的根全處于的左半平面，則要求解得即值處于這個范圍，可使的根實部全小于－1。此時可以認(rèn)為系統(tǒng)具有1的穩(wěn)定裕度。提示：該例顯示了利用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的方法?！纠?.15】設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-19所示，試確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖3-19系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為可見：閉環(huán)系統(tǒng)有一個極點在右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。注意：本題若用下式求特征多項式那么特征多項式只有一個左半平面的根（）可判得閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但這是錯誤的因為這時出現(xiàn)了和零點、極點抵消的情況，抵消的結(jié)果使閉環(huán)系統(tǒng)丟失了一個極點（）。因此在判斷閉環(huán)穩(wěn)定性時，碰到有零點、極點抵消的情況，不要抵消，否則，就會出現(xiàn)錯誤的結(jié)果?！纠?.16】閉環(huán)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-20所示。試求滿足下列條件的三階開環(huán)傳遞函數(shù)，應(yīng)滿足的條件：（1），為開環(huán)放大系數(shù)；（2）由單位階躍函數(shù)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差為零；（3）閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為。圖3-20系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：由單位階躍引起的誤差為由題意知穩(wěn)態(tài)誤差為所以則分母的常數(shù)項應(yīng)為零。設(shè)則閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為特征方程式為比較系數(shù)得，，，即【例3.17】有一位置隨動系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖如圖3-21所示。，。（1）求系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)極點；（2）當(dāng)輸入量為單位階躍函數(shù)時，求系統(tǒng)的自然振蕩角頻率，阻尼比和系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)，，。圖3-21系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為和（1）開環(huán)極點為，令解得閉環(huán)極點為（2）將閉環(huán)傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)形式有，解得，系統(tǒng)的動態(tài)指標(biāo)為提示：該例顯示了典型二階系統(tǒng)極點、系統(tǒng)參數(shù)和動態(tài)性能指標(biāo)的計算方法?！纠?.18】某單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為確定使系統(tǒng)閉環(huán)輸出響應(yīng)為持續(xù)振蕩時的值及響應(yīng)的振蕩頻率。解：（1）求值。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為列出勞斯表欲使系統(tǒng)保持閉環(huán)持續(xù)振蕩，行的元素應(yīng)全為0，即從而解得。（2）求振蕩頻率。振蕩角頻率可由輔助方程求得?！纠?.19】已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下。試求其靜態(tài)位置、速度和加速度誤差系數(shù)，并求當(dāng)輸入信號為（a）；（b）；（c）；（d）時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（1）（2）解：首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為1型，開環(huán)放大系數(shù)為?？梢郧蟮渺o態(tài)誤差系數(shù)為所以給定輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差計算如下：（a）；（b）；（c）；（d）。（2）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。因此不能定義靜態(tài)誤差系數(shù)，也談不上求穩(wěn)態(tài)誤差。說明：可以利用終值定理計算（1）中的穩(wěn)態(tài)誤差。在第一個系統(tǒng)中，誤差信號可以表示為以斜坡輸入為例，，所以第四章例4-1設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。解漸近線與實軸的交點漸近線與實軸正方向的夾角為分離點與會合點由得可以驗證這兩個點均為根軌跡上的點。從而根軌跡圖如圖4-1所示。注意該題的根軌跡不要畫成圖4-2的形式圖4-1圖4-2例4-2已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試分別畫出時系統(tǒng)的根軌跡。解：（1）根軌跡基本情況分析。開環(huán)傳遞函數(shù)有3個極點為0，0和，1個零點為。所以實軸上的根軌跡在區(qū)間之內(nèi)。一般情況下，根軌跡應(yīng)有3支，其中2支趨向于無窮遠(yuǎn)。因此在區(qū)間可能有分離點、會合點。（2）求分離點、會合點的存在條件。特征方程可以改寫為由，得，即，經(jīng)整理得解得所以分離點、會合點存在的條件是，即或（3）的情形。此時的分離點、會合點為。根軌跡如圖4-3(a)所示（4）的情形。此時的分離點、會合點為。根軌跡如圖4-3(b)所示（5）的情形。此時沒有分離點和會合點。根軌跡如圖4-3?所示。（6）的情形。此時極點和零點相消，開環(huán)傳遞函數(shù)化簡為。如圖4-3(d)所示，根軌跡是與虛軸重合的直線。不過需要注意的是，盡管位于的極點和零點相消，但并不意味著系統(tǒng)已經(jīng)失去這些極點和零點。開環(huán)系統(tǒng)中可以相消的極點和零點永遠(yuǎn)是閉環(huán)系統(tǒng)的極點和零點。所以根軌跡的第3條分支退化成位于的一個點。(a)(b)(c)(d)圖4-3系統(tǒng)根軌跡圖說明：（1）在可變參數(shù)的某些變化區(qū)間，參數(shù)微小的變化可能導(dǎo)致根軌跡很大的變化。本例參數(shù)在附近變化時，根軌跡就有根本的不同。所以在徒手畫根軌跡而又無十分把握時，不要想當(dāng)然，最好代入幾個試驗點核實一下。（2）分離點、會合點意味著重極點。在的根軌跡圖中，處有3支根軌跡進(jìn)入該點，有3支根軌跡離開該點，進(jìn)入和離開該點的根軌跡分支間隔排列，切線方向的夾角為。這樣的分離點和會合點代表3重極點。進(jìn)入和離開該點的根軌跡切線方向的夾角為。例4-3已知一單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試以為變量證明部分根軌跡為圓，并求分離點和會合點。解分析：該題主要是考察根軌跡的幅值條件和相角條件，只有滿足以上條件的點才是根軌跡上的點。按相角條件即等式兩邊取得圖4-4系統(tǒng)根軌跡圖圖4-4系統(tǒng)根軌跡圖化簡上式，得整理后得此式表明，部分根軌跡為圓心在，半徑為的圓。由以上圓的方程得分離點為會合點為根軌跡圖如圖4-4所示。此題也可按式求根軌跡方程將代入得由，得化簡上式得即與按相角條件求得的結(jié)果相同。例4-4某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定得開環(huán)增益范圍。解分析該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，就是在右側(cè)具有開環(huán)零、極點的系統(tǒng)。反之如果系統(tǒng)的所有開環(huán)零、極點都位于平面的左側(cè)，則稱為最小相位系統(tǒng)。繪制非最小相位系統(tǒng)根軌跡的法則不變（1）開環(huán)零、極點，，（）（2）實軸上的根軌跡，（3）漸近線（4）分離點可見分離點方程為高次，求解困難，可用估算法進(jìn)行分析。方程中第3項和第4項（即和）較小，可以忽略，則分離點方程經(jīng)整理可得解得，而準(zhǔn)確值為和，誤差為在工程上是允許的。（5）起始角由對稱性得（6）與虛軸交點用勞斯判據(jù)求解，系統(tǒng)特征方程為列勞斯表圖4-5系統(tǒng)根軌跡圖圖4-5系統(tǒng)根軌跡圖1)令第1列中項系數(shù)為零，可以得到系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時的值，即解得，2)由勞斯表中一行的系數(shù)組成輔助方程，可以求得根軌跡與虛軸的交點值。輔助方程為解得（對應(yīng)時）（對應(yīng)時）則繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖4-5所示。又所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍是即評注（1）若要正確繪制根軌跡圖，只要按照基本法則計算即可。再上圖中，出發(fā)的兩條根軌跡，其形狀可由起始角和分離點決定；由出發(fā)的兩條根軌跡，其形狀可由與虛軸的交點和漸近線決定（2）凡開環(huán)增益或在某一范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。例4-5已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）繪制系統(tǒng)的根軌跡圖；（2）為使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)呈現(xiàn)衰減振蕩形式，試確定值范圍。解分析繪制系統(tǒng)根軌跡圖不難，可以利用繪制規(guī)則進(jìn)行繪制，本題中需要注意的是，繪制根軌跡圖的開環(huán)傳遞函數(shù)是利用寫成零極點形式的開環(huán)傳遞函數(shù)，所以本題首先需要進(jìn)行變換，然后利用繪制規(guī)則進(jìn)行繪制；系統(tǒng)的階躍響應(yīng)出現(xiàn)衰減振蕩的形式也就是說，系統(tǒng)的根軌跡處于復(fù)平面時對應(yīng)的值范圍。(1)繪制系統(tǒng)的根軌跡系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中，1）開環(huán)極點（）：，，；無開環(huán)零點；因此3條根軌跡分支將趨于無窮遠(yuǎn)點。2）實軸上根軌跡為區(qū)間段。3）漸近線與實軸夾角為漸近線與實軸交點為4）分離點，根據(jù)，可得，解得，可以驗證不滿足相角條件，所以為系統(tǒng)分離點，對應(yīng)的5）根軌跡與虛軸交點，利用勞斯判據(jù)系統(tǒng)特征方程式為列勞斯表圖4-6系統(tǒng)根軌跡圖第一列出現(xiàn)零時，即時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定，其對應(yīng)的臨界開環(huán)增益為圖4-6系統(tǒng)根軌跡圖相應(yīng)的輔助方程為對應(yīng)的求交點也可用如下方法令，代入特征方程得，解得根據(jù)以上條件，可以繪制出系統(tǒng)根軌跡圖如圖4-6所示。(2)系統(tǒng)具有衰減振蕩時的值即為根軌跡在復(fù)平面內(nèi)時對應(yīng)的范圍系統(tǒng)根軌跡處于分離點時（與虛軸相交時，所以，系統(tǒng)具有衰減振蕩時值范圍為例4-6應(yīng)用根軌跡法確定如圖4-7所示系統(tǒng)無超調(diào)響應(yīng)的值范圍。解從圖求得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖4-7系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖4-7系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得式中從而可以利用根軌跡繪制規(guī)則，繪制根軌跡（1）系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點；以及一個開環(huán)零點。因為，系統(tǒng)具有兩條根軌跡其中一條趨于無窮遠(yuǎn)處。（2）漸近線與實軸正方向的夾角（3）計算根軌跡在實軸上的分離點和會合點坐標(biāo)。由計算根軌跡在實軸上的分離點與會合點坐標(biāo)的關(guān)系式求得圖4-8系統(tǒng)根軌跡圖式中為分離點或會合點坐標(biāo)。因為分離點與會合點均位于實軸，所以為實數(shù)。圖4-8系統(tǒng)根軌跡圖將、及代入上式，經(jīng)整理得解得分離點坐標(biāo)及會合點坐標(biāo)。給定系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-8所示，它的一部分是一個以零點為圓心、以零點到分離點（或會合點）的距離為半徑的圓。（4）確定給定系統(tǒng)無超調(diào)響應(yīng)的值范圍。系統(tǒng)無超調(diào)響應(yīng)意味著系統(tǒng)的特征根全部為實數(shù)。為此，首先寫出系統(tǒng)特征方程式從圖4-8可見，在根軌跡圖上的0至段及至段。兩個區(qū)段對應(yīng)的值分別為0至及至，其中為分離點對應(yīng)的值，而為會合點對應(yīng)的值。顯然，及為會合點對應(yīng)的值。顯然，及是使系統(tǒng)無超調(diào)響應(yīng)時取值范圍的兩個邊界值。由特征方程式解出分別將及代入上式，求得邊界值由此求得系統(tǒng)無超調(diào)響應(yīng)的值范圍是例4-7已知某負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求：（1）繪制根軌跡并證明復(fù)平面上根軌跡部分為圓；（2）系統(tǒng)呈現(xiàn)欠阻尼狀態(tài)時的開環(huán)增益范圍；（3）系統(tǒng)最小阻尼比時的閉環(huán)極點。解（1）繪制根軌跡1）開環(huán)零極點，，，（）2）實軸上根軌跡3）分離點會合點由，根據(jù)得可以求得，令為根軌跡上任意一點，代入特征方程則有整理得做出的根軌跡如圖4-9所示。由圖可見復(fù)平面根軌跡為圓，圓心坐標(biāo)為，半徑為。（2）求系統(tǒng)欠阻尼時的范圍。先由特征方程求出分離點處的圖4-9系統(tǒng)根軌跡圖圖4-9系統(tǒng)根軌跡圖解得，因為所以對應(yīng)的開環(huán)增益分別為，即欠阻尼狀態(tài)時的開環(huán)增益范圍為（3）求最小阻尼比時的閉環(huán)極點。在根軌跡圖上作圓的切線于A點（A點即為所求極點位置），由相似三角形關(guān)系得又所以故對應(yīng)最小阻尼狀態(tài)時得閉環(huán)極點為例4-8已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，要求系統(tǒng)的閉環(huán)極點有一對共軛復(fù)極點，其阻尼比為。試確定開環(huán)增益，并近似分析系統(tǒng)的時域性能。解，；根軌跡分離點為，對應(yīng)的與虛軸的交點為，對應(yīng)的，其根軌跡圖見圖4-10所示設(shè)復(fù)極點為根據(jù)阻尼比要求圖4-10系統(tǒng)根軌跡圖先試湊性地取，得；此時圖4-10系統(tǒng)根軌跡圖不滿足相角條件，因為，所以要使加大，使與開環(huán)極點形成的角度加大。取，則，此時；繼續(xù)加大，取，則，此時。因此共軛復(fù)數(shù)極點為，此時根據(jù)根軌跡的根之和規(guī)則可得另一極點為，由此可以認(rèn)為是系統(tǒng)的主導(dǎo)極點。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可近似的表示為可以近似地運用典型二階系統(tǒng)估算系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)超調(diào)量調(diào)節(jié)時間例4-9一具有單位反饋的電液伺服系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）試?yán)L制從0變化到時的根軌跡（2）求阻尼比時，系統(tǒng)的主導(dǎo)極點及其對應(yīng)的開環(huán)增益為何值解（1）繪制根軌跡根軌跡對稱實軸：，有四條根軌跡分支，分別起始于；終止于無窮遠(yuǎn)，因為沒有有限的零點。實軸上的根軌跡：在0，3之間存在根軌跡。漸近線：有四條漸近線與實軸夾角為與實軸交點為分離點：系統(tǒng)特征方程可改寫為由，得，即，解得和因為位于實軸起始于0，的根軌跡上，故必為分離點。而不滿足幅角條件，故不是分離點分離點對應(yīng)的值為離開復(fù)數(shù)極點的起始角：離開復(fù)數(shù)極點的起始角為故的起始角根軌跡與虛軸交點：利用勞斯判據(jù)校驗始于的兩條軌跡是否與虛軸相交。已知系統(tǒng)特征方程為列勞斯表可見，根軌跡分支在值為的情況下，與虛軸相交。由此得圖4-11系統(tǒng)根軌跡圖時，由行得系數(shù)構(gòu)成得輔助方程為圖4-11系統(tǒng)根軌跡圖由此得根據(jù)上述求得的數(shù)據(jù)，繪制在圖4-11中，即得到系統(tǒng)的根軌跡。由圖可見，當(dāng)時，平面的右半部有兩個閉環(huán)極點，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。（2）求時系統(tǒng)的主導(dǎo)極點及系統(tǒng)開環(huán)增益由，求得作與負(fù)實軸成角的阻尼線（線），與根軌跡相交于點，處于根軌跡線上的點亦滿足幅角條件。所以該點，即為系統(tǒng)主導(dǎo)極點。該主導(dǎo)極點對應(yīng)的參變量，即根軌跡增益值：各極點到該點距離的乘積所以對應(yīng)主導(dǎo)極點處的系統(tǒng)開環(huán)增益為例4-10已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制以為參變量的參量根軌跡的大致圖形。解（1）可以求得給定系統(tǒng)的特征方程式為進(jìn)一步整理，用不含的多項式除方程的兩邊，得式中上式已經(jīng)具有常規(guī)根軌跡的標(biāo)準(zhǔn)形式，可以利用常規(guī)根軌跡的繪制法則，繪制系統(tǒng)根軌跡。（2）系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)，，故給定系統(tǒng)對于具有三條根軌跡及三條漸近線。三條漸近線在實軸上交點的坐標(biāo)為三條漸近線與實軸正方向的夾角分別為。（3）根據(jù)方程式圖4-12系統(tǒng)根軌跡圖圖4-12系統(tǒng)根軌跡圖計算根軌跡與實軸相交處（分離點）的坐標(biāo)，得（4）在給定系統(tǒng)得特征方程式中，令，求得方程組可以解出根軌跡與虛軸相交處的值為從而解得給定系統(tǒng)參量根軌跡的大致圖形如圖4-12所示。從圖可見，參量時的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例4-11（華中科技大學(xué)出版社）設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出變化時閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡；（2）求出系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定和臨界阻尼時的值；（3）求出當(dāng)時，閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解（1）系統(tǒng)的特征方程為以不含的項除方程兩邊，得該方程可進(jìn)一步改寫成圖4-13系統(tǒng)根軌跡圖式中圖4-13系統(tǒng)根軌跡圖系統(tǒng)得等效開環(huán)傳遞函數(shù)為由此可畫出為變量的廣義根軌跡。由方程可知，該廣義根軌跡滿足相角條件。實軸上的根軌跡為，令代入相角條件有兩邊取正切，得兩邊取正切，得整理并配方，得上式為一圓方程，故復(fù)平面上得根軌跡是以極點為圓心，以為半徑得圓周。根軌跡如圖4-13所示。用同樣的方法可以證明：由兩個極點（或零點）和一個實數(shù)零點（或極點）構(gòu)成的開環(huán)系統(tǒng)，只要零點（或極點）不在這兩個極點（或零點）之間，則復(fù)平面上的根軌跡是一個以零點（或極點）為圓心，零點（或極點）到分離點的距離為半徑的圓或圓弧。（2）由勞斯判據(jù)可求出系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時的兩個根，相應(yīng)的。系統(tǒng)臨界阻尼時的閉環(huán)極點可以由分離點方程求出，此題也可在圓方程中，令，得到解得，，這兩個點就是根軌跡的分離點。（3）時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為單位階躍響應(yīng)為例4-12已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為要求：（1）繪出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡（）（2）判斷點是否在根軌跡上；（3）由根軌跡求出使閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比時的值解（1）本題給出的是閉環(huán)傳遞函數(shù)，所以系統(tǒng)閉環(huán)特征多項式為圖4-14系統(tǒng)根軌跡圖圖4-14系統(tǒng)根軌跡圖構(gòu)造等效開環(huán)傳遞函數(shù)畫出根軌跡如圖4-14所示。它是以原點為圓心，半徑為4的圓弧。（2）點到原點的距離為故不在根軌跡上。（3）令，得例4-13設(shè)某正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制該系統(tǒng)根軌跡的大致圖形。解因為系統(tǒng)為正反饋系統(tǒng)，所以需按根軌跡繪制法則來繪制給定正反饋系統(tǒng)的根軌跡。系統(tǒng)具有三個開環(huán)極點，以及一個開環(huán)零點（1）根據(jù)根軌跡繪制法則，實軸上的段及段為根軌跡的一部分。（2）由于開環(huán)極點數(shù)與開環(huán)零點數(shù)之差為2，所以根軌跡具有兩條漸近線，其與實軸正方向的夾角可按下式計算（3）根軌跡始于開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點的出射角為（4）根軌跡與實軸相交點（會合點）距離虛軸距離可由下式計算上列方程式的唯一實數(shù)解，因此，根軌跡與實軸會合點坐標(biāo)為（5）根軌跡與虛軸交點坐標(biāo)及相應(yīng)開環(huán)增益值的計算。由給定系統(tǒng)的特征方程式圖4-15系統(tǒng)根軌跡圖圖4-15系統(tǒng)根軌跡圖令，解出可以求得對應(yīng)的開環(huán)增益為上式說明，當(dāng)開環(huán)增益在范圍內(nèi)取值時，給定正反饋系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)時，該系統(tǒng)將變?yōu)椴环€(wěn)定。圖4-16系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖例4-14已知含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)框圖如圖所示。試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。圖4-16系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解延遲系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程為因此，延遲系統(tǒng)的幅值條件（4-9）幅角條件（4-10）式中，于是上式又可寫成（4-11）首先求時的根軌跡，此時幅角條件又可寫成（4-12）具體步驟如下（1）求根軌跡漸近線。由式（4-9）可知：在或時，。此時漸近線由式（4-12）可得所以故漸近線即為實軸。而在時，,此時漸近線方程為所以（2）求實軸上的根軌跡由式（4）可知，當(dāng)時，只要，均滿足幅角條件，所以在實軸上原點已左是根軌跡。（3）求根軌跡在實軸上的分離點令則（4）求根軌跡與虛軸的交點由于含有滯后環(huán)節(jié)，開環(huán)傳遞函數(shù)是超越函數(shù)，故一般只能用試湊法求取。該題由于形式簡單，可以根據(jù)幅值條件進(jìn)行求解。若根軌跡在虛軸上，則有故（5）求平面上其它各點軌跡其它各點可根據(jù)式（4-12）幅角條件求取。由于、均為未知數(shù)，只要規(guī)定了其中任何一個，另一個便可由幅角條件求解出。例如，設(shè)計，在處作一條平行于實軸的直線，然后再作一與實軸成夾角的直線，則兩直線的交點就是根軌跡上的點。這樣，根據(jù)上面求得的數(shù)據(jù)就可繪制出延遲系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-17（a）所示。這一時的根軌跡稱之為主導(dǎo)根軌跡。根軌跡上任何一點的值可根據(jù)幅值條件求得，即因此，系統(tǒng)穩(wěn)定的邊界條件是。（6）當(dāng)取時，延遲系統(tǒng)將有無限多個根軌跡分支，作法與時相同。圖4-17（b）繪出了時相應(yīng)的根軌跡圖。對于時，由系統(tǒng)穩(wěn)定條件所確定的分別是?？梢姡瑢τ谡麄€延遲系統(tǒng)來說，穩(wěn)定的最大值應(yīng)為。由此可見時的根軌跡對系統(tǒng)的性能影響起著主導(dǎo)作用，而其它根軌跡分支則不大重要，可以忽略。因此，一般在分析和設(shè)計系統(tǒng)時，只考慮主導(dǎo)根軌跡。圖4-17含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)根軌跡(a)時延遲系統(tǒng)根軌跡(b)延遲系統(tǒng)根軌跡圖第五章【例5.1】已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，當(dāng)輸入信號頻率，振幅時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差。解由題意可知輸入信號為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為幅頻及相頻特性為則根據(jù)頻率特性可得：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差圖5-1例5.2伯德圖【例5.2】已知一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖5-1例5.2伯德圖試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖。解：開環(huán)頻率特性為幅頻特性相頻特性【例5.3】一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求：(1)時系統(tǒng)的相位裕度和幅值增益裕度。(2)要求通過增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕度為20dB，相位裕度滿足。解：(1)幅值增益裕度相角穿越頻率，即，利用解得＝10，則相位裕度幅值穿越頻率，即解得，＝1(2)由題意知，解得驗證是否滿足相角裕度的要求，根據(jù)求得＝4根據(jù)得不難看出就能同時滿足相位裕度和增益裕度的要求?！纠?.4】設(shè)一單位反饋系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖5-3所示(最小相位系統(tǒng))。(1)寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；(2)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性；(3)如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則求時的穩(wěn)態(tài)誤差。解(1)有圖5-3得解得開還傳遞函數(shù)為(2)由于是最小相位系統(tǒng)，因而可通過計算相位裕度是否大于零來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由圖可知＝1則得，系統(tǒng)穩(wěn)定。(3)單位斜坡輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為圖5-2例5.4開環(huán)對數(shù)幅頻特性【例5.5】某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和幅相曲線如圖5-3(a)，(b)所示。圖中試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定閉環(huán)特征方程正實數(shù)根的個數(shù)。圖5-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及幅相曲線解由圖5-3(a)可寫出內(nèi)回路開環(huán)傳遞函數(shù)其幅相曲線如圖5-4所示，可見不包圍點，由奈氏判據(jù)，內(nèi)回路小閉環(huán)在右半平面極點數(shù)為0，故內(nèi)環(huán)穩(wěn)定。圖5-4內(nèi)環(huán)幅相曲線由圖5-3(b)可見系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線包圍點圈數(shù)為，開環(huán)系統(tǒng)右半平面極點數(shù)，所以閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面極點數(shù)為，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個根在右半平面。【例5.6】已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸近線如圖5-5所示，位于二個轉(zhuǎn)折頻率的幾何中心。試估算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度、超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間。圖5-5對數(shù)幅頻特性解由圖5-5可寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由于位于轉(zhuǎn)折頻率1和5的幾何中心，即有由圖中作低頻段的斜率的延長線與軸交點的值為，于是則有解得從低頻段漸近線的斜率可知系統(tǒng)為Ⅱ型，系統(tǒng)的靜態(tài)位置、速度和加速度誤差系數(shù)分別為，，，則系統(tǒng)對單位加速度信號的穩(wěn)態(tài)誤差為本系統(tǒng)為三階，故按高階系統(tǒng)估算。系統(tǒng)的相角裕度為按經(jīng)驗公式【例5.7】單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試求時的值。解(1)解析法。系統(tǒng)的頻率特性幅頻特性為相頻特性為相角裕度，即在處，解得＝14.89，(2)伯德圖法。系統(tǒng)伯德圖如圖5-6所示。圖5-6例5-7的伯德圖從的精確特性對應(yīng)的來看，其漸近特性修正值為3dB，所以環(huán)節(jié)的漸近特性對應(yīng)的轉(zhuǎn)折頻率處的幅值為-3dB而開環(huán)放大系數(shù)，所以在處的，于是有下式解得此時所以與解析法求得的結(jié)果一致。【例5.8】設(shè)負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性函數(shù)的極坐標(biāo)圖如圖5-7所示，開環(huán)放大倍數(shù)為，s右半平面無開環(huán)傳遞函數(shù)的極點和零點。試確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。圖5-7例5-8的極坐標(biāo)圖解設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中，為系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)，為系統(tǒng)的型次，為有理分式，其分子分母都是常數(shù)項為1的關(guān)于s的多項式，因此。由圖5-7可知。設(shè)極坐標(biāo)圖與負(fù)實軸交點對應(yīng)的頻率為，且。則有當(dāng)變化時，極坐標(biāo)與負(fù)實軸交點的各個頻率不變，但交點位置沿負(fù)實軸移動。設(shè)時，極坐標(biāo)圖在與實軸交于，即圖5-7中與負(fù)實軸相交于的點右移到，則有同理可得極坐標(biāo)圖在與實軸交于－1的增益為，在與實軸交于的增益為。如圖5-8所示。圖5-8例5-8變化時的極坐標(biāo)圖現(xiàn)對各種情況分析閉環(huán)穩(wěn)定性：(1)時，，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個右半平面的根；(2)時，，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；(3)時，，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個右半平面的根；(4)時，，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。綜上所述，使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為和。【例5.9】已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)時，系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性，試確定系統(tǒng)參數(shù)。解系統(tǒng)交接頻率依次為。根據(jù)對數(shù)幅頻漸近特性的表達(dá)式，對于慣性環(huán)節(jié)對于振蕩環(huán)節(jié)對于一階微分環(huán)節(jié)由于在交接頻率和之間，故根據(jù)已知條件解得【例5.10】系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5-9所示，當(dāng)輸入時，測得輸出為，試確定參數(shù)。解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)圖5-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)幅頻與相頻特性為由已知得即可寫成時幅頻和相頻的綜合表達(dá)式：整理得【例5.11】控制系統(tǒng)如圖5-10所示，，設(shè)參考輸入信號，干擾信號。要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不大于，試確定值可調(diào)范圍。圖5-10控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解在穩(wěn)定性分析中，討論穩(wěn)態(tài)誤差問題首先要考慮系統(tǒng)穩(wěn)定性；當(dāng)系統(tǒng)為二階負(fù)反饋時，各結(jié)構(gòu)參數(shù)大于零，即可保證系統(tǒng)穩(wěn)定，故。(1)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差由于系統(tǒng)為Ⅰ型，正向通道積分環(huán)節(jié)數(shù)為1，故在作用下穩(wěn)態(tài)誤差＝0(2)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為正弦干擾信號，誤差的穩(wěn)態(tài)值亦為同頻率正弦信號，系統(tǒng)擾動誤差傳遞函數(shù)為則誤差的穩(wěn)態(tài)振蕩幅值由頻率特性定義可直接寫出將代入(即)得(3)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的最大值根據(jù)所給條件有解得或(4)綜合系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)精度的要求得或從系統(tǒng)閉環(huán)特征式推算，當(dāng)將使系統(tǒng)阻尼比過小，對動態(tài)響應(yīng)不利；而取時，系統(tǒng)具有最佳阻尼比，故有效。第六章【例6.1】某一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，設(shè)計一個超前校正裝置，使校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)，相位裕度，增益裕度不小于10dB。解：(1)根據(jù)對靜態(tài)速度誤差系數(shù)的要求，確定系統(tǒng)的開環(huán)增益K。，當(dāng)時，未校正系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為(2)繪制未校正系統(tǒng)的伯特圖，如圖6-18所示。由該圖可知未校正系統(tǒng)的相位裕度為也可通過計算求取未校正系統(tǒng)的相位裕度：令解得，圖6-18未校正系統(tǒng)的伯德圖(3)根據(jù)相位裕度的要求確定超前校正網(wǎng)絡(luò)提供的最大相位超前角(4)確定值(5)確定校正后系統(tǒng)的截止頻率超前校正裝置在處的幅值為，據(jù)此，在未校正系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅值為對應(yīng)的頻率，這一頻率就是校正后系統(tǒng)的截止頻率*也可通過計算求得(6)計算超前校正網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)折頻率，為了補(bǔ)償因超前校正網(wǎng)絡(luò)的引入而造成系統(tǒng)開環(huán)增益的衰減，必須使附加放大器的放大倍數(shù)為a=4.2。(7)校正后系統(tǒng)的框圖如圖6-19所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)為圖6-19校正后系統(tǒng)的框圖(8)畫出校正后系統(tǒng)的伯德圖，驗算系統(tǒng)的相角裕度。由圖6-20可見，校正后系統(tǒng)的相位裕度為，增益裕度為，均已滿足系統(tǒng)設(shè)計要求。基于上述分析，可知串聯(lián)超前校正有如下特點：這種校正主要對未校正系統(tǒng)中頻段進(jìn)行校正，使校正后中頻段幅值的斜率為-20dB/dec，且有足夠大的相位裕度。超前校正會使系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的速度變快。由例6-1知，校正后系統(tǒng)的截止頻率由未校正前的6.3增大到9。這表明校正后，系統(tǒng)的頻帶變寬，瞬態(tài)響應(yīng)速度變快；但系統(tǒng)抗高頻噪聲的能力變差。對此，在校正裝置設(shè)計時必須注意。超前校正一般雖能較有效地改善動態(tài)性能，但未校正系統(tǒng)的相頻特性在截止頻率附近急劇下降時，若用單級超前校正網(wǎng)絡(luò)去校正，收效不大。因為校正后系統(tǒng)的截至頻率向高頻段移動。在新的截止頻率處，由于未校正系統(tǒng)的相角滯后量過大，因而用單級的超前校正網(wǎng)絡(luò)難以獲得較大的相位裕度。圖6-20系統(tǒng)的伯特圖【例6-2】控制系統(tǒng)如圖6-21所示。若要求校正后的靜態(tài)速度誤差系數(shù)等于，相位裕度不低于，幅值裕度不小于10dB，截止頻率不小于2.3rad/s，設(shè)計串聯(lián)校正裝置。圖6-21控制系統(tǒng)方框圖解：(1)首先確定開環(huán)增益K(2)未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)取畫出未校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻漸近特性曲線，如圖6-22所示。圖6-22例6-2未校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻漸近特性曲線由圖6-22得，算出說明未校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，且截止頻率遠(yuǎn)大于要求值。在這種情況下，采用串聯(lián)超前校正是無效的?？梢宰C明，當(dāng)，，而截止頻率也向右移動?？紤]到本例題對系統(tǒng)截止頻率值要求不大，故選用串聯(lián)滯后校正，可以滿足需要的性能指標(biāo)。(3)求出未校正系統(tǒng)Bode圖上相角裕度為處的頻率在圖6-22可查得時，，可滿足要求。由于指標(biāo)要求，故值可在范圍內(nèi)任取。考慮到取值較大時，已校正系統(tǒng)響應(yīng)速度較快；滯后網(wǎng)絡(luò)時間常數(shù)T值較小，便于實現(xiàn)，故選取。然后，在圖6-22上查出，也可計算。(4)計算滯后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，繪制校正后系統(tǒng)伯德圖b=0.09bT=3.7s則滯后網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)圖6-23為系統(tǒng)校正后的Bode圖。圖6-23系統(tǒng)伯德圖(5)驗算指標(biāo)(相位裕度和幅值裕度)滿足要求。校正前的相位穿越頻率校正后的相位穿越頻率。求幅值裕度由上述例題可總結(jié)出串聯(lián)超前校正和串聯(lián)滯后校正方法的適用范圍和特點：(1)超前校正是利用超前網(wǎng)絡(luò)的相角超前特性對系統(tǒng)進(jìn)行校正，而滯后校正則是利用滯后網(wǎng)絡(luò)的幅值在高頻的衰減特性；(2)用頻率法進(jìn)行超前校正，旨在提高開環(huán)對數(shù)幅頻漸近線在截止頻率處的斜率(-40dB/dec提高到-20dB/dec)和相位裕度，并增大系統(tǒng)的頻帶寬度。頻帶變寬意味著校正后的系統(tǒng)響應(yīng)變快，調(diào)整時間縮短；(3)對同一系統(tǒng)采用超前校正的頻帶寬度一般總大于滯后校正，因此，如果要求校正后的系統(tǒng)具有寬的頻帶和良好的瞬態(tài)響應(yīng)，則采用超前校正。當(dāng)噪聲電平較高時，顯然頻帶越寬的系統(tǒng)抗噪聲干擾的能力也越差。對于這種情況，宜對系統(tǒng)采用滯后校正；(4)超前校正需要增加一個附加的放大器，以補(bǔ)償超前校正網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)增益的衰減；(5)滯后校正雖然能改善系統(tǒng)的靜態(tài)精度，但它促使系統(tǒng)的頻帶變窄，瞬態(tài)響應(yīng)速度變慢。如果要求校正后的系統(tǒng)既有快速的瞬態(tài)響應(yīng)，又有高的靜態(tài)精度，則應(yīng)采用滯后-超前校正?！纠?-3】未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)計校正裝置，使系統(tǒng)滿足下列性能指標(biāo)：在最大指令速度為時，位置滯后誤差不超過；相位裕度為；幅值裕度不低于10dB；過渡過程調(diào)節(jié)時間不超過3s。解：(1)確定開環(huán)增益。。(2)作未校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性漸近曲線，如圖6-24所示。由圖得未校正系統(tǒng)截止頻率，表明未校正系統(tǒng)不穩(wěn)定。圖6-24未校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性漸近曲線(3)分析為何要采用滯后－超前校正？A．如果采用串聯(lián)超前校正，要將未校正系統(tǒng)的相位裕度從，至少選用兩級串聯(lián)超前網(wǎng)絡(luò)。顯然，校正后系統(tǒng)的截止頻率將過大，可能超過25rad/s。利用，，，比要求的指標(biāo)提高了近10倍。還有幾個原因：伺服電機(jī)出現(xiàn)飽和，這是因為超前校正系統(tǒng)要求伺服機(jī)構(gòu)輸出的變化速率超過了伺服電機(jī)的最大輸出轉(zhuǎn)速之故。，，于是，0.38s的調(diào)節(jié)時間將變得毫無意義；系統(tǒng)帶寬過大，造成輸出噪聲電平過高；需要附加前置放大器，從而使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜化。B．如果采用串聯(lián)滯后校正，可以使系統(tǒng)的相角裕度提高到左右，但是對于該例題要求的高性能系統(tǒng)，會產(chǎn)生嚴(yán)重的缺點。滯后網(wǎng)絡(luò)時間常數(shù)太大，，由計算出，T=2000s，無法實現(xiàn)。響應(yīng)速度指標(biāo)不滿足。由于滯后校正極大地減小了系統(tǒng)的截止頻率，使得系統(tǒng)的響應(yīng)遲緩。(4)設(shè)計滯后－超前校正上述分析表明，純超前校正和純滯后校正都不宜采用。研究圖6-25可以發(fā)現(xiàn)（步驟(3)的要求，即-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec的轉(zhuǎn)折頻率作為校正網(wǎng)絡(luò)超前部分的轉(zhuǎn)折頻率）。，,,考慮到中頻區(qū)斜率為-20dB/dec，故應(yīng)在范圍內(nèi)選取。由于-20dB/dec的中頻區(qū)應(yīng)占據(jù)一定寬度，故選，相應(yīng)的（從圖上得到，亦可計算）由a=50，此時，滯后-超前校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)可寫為(5)根據(jù)相角裕度要求，估算校正網(wǎng)絡(luò)滯后部分的轉(zhuǎn)折頻率；(6)驗算精度指標(biāo)。滯后－超前校正系統(tǒng)對數(shù)頻率特性如圖6-25所示。，，滿足要求。圖6-25滯后－超前校正例6-3系統(tǒng)對數(shù)頻率特性【例6-4】已知某一單位反饋控制系統(tǒng)如圖6-26所示。設(shè)計一串聯(lián)校正裝置，使校正后的系統(tǒng)同時滿足下列性能指標(biāo)要求：跟蹤輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為0.1；相位裕度為。圖6-26單位反饋控制系統(tǒng)解：由于II型系統(tǒng)才能跟蹤加速度信號，為此假設(shè)校正裝置為PI控制器，其傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的要求，所以PI控制器傳遞函數(shù)為【例6-5】已知某一控制系統(tǒng)如圖6-27所示，其中為PID控制器，它的傳遞函數(shù)為，要求校正后系統(tǒng)的閉環(huán)極點為和-100，確定PID控制器的參數(shù)。圖6-27例6-5圖解：希望的閉環(huán)特征多項式為校正后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為令，則得由此可見，微分系數(shù)遠(yuǎn)小于比例系數(shù)和積分常數(shù)，這種情況在實際應(yīng)用中經(jīng)常會碰到，尤其是在過程控制系統(tǒng)中。因此，在許多場合用PID調(diào)節(jié)器就能滿足系統(tǒng)性能要求?！纠?-6】已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為。試用根軌跡法設(shè)計一串聯(lián)滯后校正裝置，使系統(tǒng)滿足下述性能指標(biāo)：解(1)繪制未校正系統(tǒng)的根軌跡。如圖6-28虛線所示圖6-28根軌跡圖(2)將指標(biāo)轉(zhuǎn)換為，以確定希望閉環(huán)主導(dǎo)極點在復(fù)平面上的位置。由，求得，??；由，求得希望主導(dǎo)極點(3)校驗未校正系統(tǒng)主導(dǎo)極點所對應(yīng)的參數(shù)在圖6-28上過坐標(biāo)原點作的阻尼線，與未校正系統(tǒng)的根軌跡交點，即為主導(dǎo)極點，應(yīng)用解析法也可獲得精確的。利用幅值條件求主導(dǎo)極點對應(yīng)的及，由此可知主導(dǎo)極點基本滿足的要求，但遠(yuǎn)小于指標(biāo)要求。(4)確定校正裝置參數(shù)。由于原系統(tǒng)暫態(tài)性能滿足要求，而穩(wěn)態(tài)不能滿足要求，應(yīng)引入串聯(lián)滯后校正。穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)應(yīng)增大：倍，取，則考慮到校正裝置造成的開環(huán)增益衰減，需串聯(lián)一個增益為的放大器。校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)式中(5)確定值。繪出校正后系統(tǒng)的根軌跡如圖6-28實線所示。加滯后校正后根軌跡稍向右移。作阻尼線，得閉環(huán)主導(dǎo)極點，，對應(yīng)的根軌跡增益校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(6)檢驗指標(biāo)，滿足要求。檢驗是否是主導(dǎo)極點，由于校正后系統(tǒng)根軌跡由四條分支，當(dāng)時，除之外，有一個閉環(huán)極點應(yīng)在0或(-0.01)到-0.1之間。用試探法可求得，與閉環(huán)零點相距很近形成閉環(huán)偶極子。求，由于，利用與相比遠(yuǎn)離虛軸，所以、對系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響可以忽略不計。為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點，它與希望主導(dǎo)極點很接近?！纠?-7】求圖6-29有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。圖6-29有源網(wǎng)絡(luò)解利用復(fù)阻抗方法求解【例6-8】單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，要求系統(tǒng)響應(yīng)勻速信號的穩(wěn)態(tài)誤差及閉環(huán)幅頻特性的相對諧振峰值。確定串聯(lián)校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。解由得由Bode圖6-30知幅值穿越頻率圖6-30系統(tǒng)伯德圖設(shè)校正后的系統(tǒng)是二階系統(tǒng)，由，得，取。由，得，取取串聯(lián)校正環(huán)節(jié)校正后的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為由圖6-30知，校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，滿足設(shè)計要求?！纠?-9】設(shè)復(fù)合控制系統(tǒng)如圖6-31(a)所示。圖中，為順饋裝置傳遞函數(shù)，為測速發(fā)電機(jī)及分壓器的傳遞函數(shù)；，。試確定，使系統(tǒng)輸出量完全不受擾動的影響，且單位階躍響應(yīng)超調(diào)量，峰值時間。解將圖6-31(a)等效變換為圖6-31(b)。由圖6-31(b)可見，為使系統(tǒng)輸出完全不受擾動影響，應(yīng)使圖6-31復(fù)合控制系統(tǒng)于是得系統(tǒng)對輸入的開環(huán)傳遞函數(shù)為按題意要求解得因而于是【例6-10】某系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-32所示，其中虛線表示校正前的，實線表示校正后的。確定所用串聯(lián)校正裝置的性質(zhì)，并寫出校正裝置的傳遞函數(shù)。圖6-32開環(huán)對數(shù)幅頻特性解由系統(tǒng)校正前、后對數(shù)幅頻特性曲線圖6-32可得校正裝置的對數(shù)幅頻特性。從圖示可看出所用的是串聯(lián)滯后－超前校正。從而得或者，由系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線可知，校正前系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為則校正裝置為可見，所用的是串聯(lián)滯后－超前校正。7.4例題講解例7-1設(shè)三個非線性系統(tǒng)具有相同的非線性環(huán)節(jié)，而線性部分各不相同，它們的傳遞函數(shù)分別為（1）（2）（3）試判斷應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，哪個系統(tǒng)的分析準(zhǔn)確度高。解因為三個系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)相同，所以應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)確度便取決于各自線性部分所具有的低通濾波特性的優(yōu)劣。而濾波特性的優(yōu)劣主要表現(xiàn)在線性部分的慣性上、慣性大者為優(yōu)?；谏鲜龈拍睿捎谙到y(tǒng)（2）的慣性大于系統(tǒng)（1）的慣性，所以系統(tǒng)（2）較系統(tǒng)（1）具有較好的低通濾波特性。系統(tǒng)（3）與系統(tǒng)（2）相比較，系統(tǒng)（3）雖增加了一個時間常數(shù)為的慣性環(huán)節(jié)，但由于它同時還含一個時間常數(shù)為的一階微分環(huán)節(jié)，因此其實際低通濾波特性將較系統(tǒng)（2）為差。從上面的分析可見，應(yīng)用描述函數(shù)法分析給定的三個非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，系統(tǒng)（2）的分析準(zhǔn)確度將最高。例7-2若二階非線性系統(tǒng)的微分方程為（1）（2）（3）試求系統(tǒng)的奇點及類型。解（1）奇點坐標(biāo)為線性化方程為：，故奇點為中心點。（2）奇點坐標(biāo)為線性化方程為，故奇點為不穩(wěn)定的焦點。（3）奇點坐標(biāo)為和當(dāng)在點時，線性化方程為，故奇點為穩(wěn)定的焦點。當(dāng)奇點在點時，線性化方程為故，奇點為鞍點。例7-3試確定下列二階非線性運動方程式的奇點及其類別。(7-4)解根據(jù)奇點定義，由解出、及、為運動方程式(7-1)的兩個奇點。（1）在奇點、鄰域，方程式(7-4)可近似為(7-5)方程式(7-5)的特征根為由于特征根均具有負(fù)實部，故奇點、為穩(wěn)定焦點。（2）在極點、處，令(7-6)由式(7-6)解，并代入式(7-4)，得(7-7)在奇點、鄰域，也即在、鄰域，方程式(7-7)可近似為(7-8)由方程式(7-8)解得其特征根為，根據(jù)上述特征根可知奇點、為鞍點。例7-4設(shè)某非線性系統(tǒng)如圖7-1所示。試確定其自振蕩的振幅和頻率。圖7-1非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解如圖7-1所示求得線性部分的傳遞函數(shù)為其幅頻及相頻特性分別為(7-9)(7-10)由于理想繼電器特性的特性為復(fù)平面的整個負(fù)實軸，故如不能求得特性與負(fù)實軸的交點，則該點便是特性與的交點。同時根據(jù)穩(wěn)定性分析可知，該交點代表穩(wěn)定自振蕩。確定特性與負(fù)實軸交點坐標(biāo)的步驟是：首先通過解(7-11)求取自振蕩頻率；其次將求得的代入式(7-9)計算，從而求得特性與負(fù)實軸的交點坐標(biāo)為。式(7-11)可改寫為如下形式(7-12)將式(7-12)等號兩邊同取正切，得由上式解出自振蕩頻率(7-13)將式(7-13)代入式(7-8)，解出即求得特性與負(fù)實軸的交點坐標(biāo)為。對本例來說，由于特性與負(fù)實軸的交點同時也在特性上，因此有其中，，解出自振蕩振幅為圖7-1所示非線性系統(tǒng)的與特性示于圖7-2中。圖7-2與特性圖（提示：確定自振蕩參數(shù)的步驟是：首先求取特性與的交點；其次分析交點的穩(wěn)定性；最后在穩(wěn)定交點處從特性上確定自振蕩頻率，而從特性上確定自振蕩振幅。例7-5非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-3所示：圖7-3非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖試將其簡化為等效線性部分與非線性部分在一個閉環(huán)負(fù)反饋回路中串聯(lián)的形式，并寫出等效線性部分的傳遞函數(shù)，以便進(jìn)行描述函數(shù)分析。解為進(jìn)行描述函數(shù)分析而化簡非線性系統(tǒng)時，我們感興趣的是非線性環(huán)節(jié)的輸入和輸出。可令系統(tǒng)的輸入、。這樣有利于進(jìn)一步化簡。將內(nèi)環(huán)反饋相加點前移至第一個相加點之前，如例圖7-4(a)，7-4(a)在進(jìn)一步化簡為例圖7-4(b)7-4(b)系統(tǒng)的輸出可看成一個可化簡的中間變量，所以系統(tǒng)輸出量處的分支點可以取消，進(jìn)一步化簡如圖7-4(c)所示7-4(c)等效部分的傳遞函數(shù)為例7-6設(shè)含飽和特性的非線性系統(tǒng)如圖7-5所示圖7-5系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖其中飽和非線性的參數(shù)，。（1）試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時線性部分增益的臨界值。（2）試計算時，系統(tǒng)自持振蕩的振幅和頻率。解（1）飽和非線性特性的描述函數(shù)為其負(fù)倒描述函數(shù)為式中當(dāng)時，；當(dāng)時，因此，的軌跡在負(fù)實軸上一段，如例圖7-6所示圖7-6含飽和特性非線性系統(tǒng)的和圖欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，則線性部分軌跡必須不包圍線段。由線性部分傳遞函數(shù)可求得的實部和虛部分別為因為在一段負(fù)實軸上，若與相交，交點也必然在負(fù)實軸上。令可求得與負(fù)實軸相交處的頻率為。將代入，可求得與負(fù)實軸相交處的幅值為當(dāng)軌跡通過點時，則可求得系統(tǒng)穩(wěn)定時的臨界值，即所以（討論飽和、死區(qū)非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù)在負(fù)實軸上一段，其中為非線性環(huán)節(jié)線性區(qū)的增益。若把折算到線性部分，則相對負(fù)倒描述函數(shù)在負(fù)實軸上一段，即右端點點。等效線性部分傳遞函數(shù)為。求線性部分增益的臨界值時，可以利用勞斯判據(jù)。在本例中，將折算到線性部分令列出的勞斯陣列為令有（2）當(dāng)線性部分增益時，與相交，如圖7-6所示，交點為穩(wěn)定點，產(chǎn)生自持振蕩。由求得與相交對應(yīng)著方程于是有可求得交點處的頻率為由可求得交點處的幅值因為或可以求得因此，當(dāng)時，系統(tǒng)自持振蕩的振幅為,頻率為。這個系統(tǒng)中的飽和非線性如果換成一個增益為2的線性放大器，則成為線性系統(tǒng)。這個線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，其響應(yīng)是發(fā)散的。有了飽和非線性環(huán)節(jié)以后，響應(yīng)由發(fā)散變成等幅的自持振蕩，其原因是飽和特性限制了振幅的無限制增加。例7-7設(shè)線性系統(tǒng)如圖7-7所示圖7-7含繼電器特性的非線性系統(tǒng)其中非線性特性為具有死區(qū)的繼電器，飽和輸出，死區(qū)。（1）試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（2）若使系統(tǒng)不產(chǎn)生自持振蕩，繼電器的參數(shù)，應(yīng)該怎樣調(diào)整；（3）在、線性部分增益為2的條件下，加入校正裝置，消除自持振蕩，使系統(tǒng)穩(wěn)定。解（1）具有死區(qū)的繼電器的描述函數(shù)為當(dāng)，時，負(fù)倒描述函數(shù)為在上式中，當(dāng)時，，當(dāng)時，、的極值發(fā)生在處，其值為負(fù)倒描述函數(shù)隨著的增加從處沿著負(fù)實軸從左到右，到達(dá)拐點之后又沿著實軸從右到左趨于，如圖7-8所示圖7-8和軌跡由線性部分傳遞函數(shù)求得令線性部分頻率響應(yīng)的虛部求得曲線與負(fù)實軸交點處的頻率為，將其代入中求得即曲線與負(fù)實軸交點坐標(biāo)為。由于軌跡位于負(fù)實軸上之間，所以與兩條曲線必然相交，在同一個坐標(biāo)點上對應(yīng)著負(fù)倒描述函數(shù)兩個不同的值，由即可求得及。存在兩個振幅值是因為當(dāng)值由1趨于時，由變到；當(dāng)由趨于時，由變到。交點處兩個不同的值對應(yīng)著振幅不同、頻率相同的兩個周期運動。對應(yīng)著隨著的增加，由穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)，因此這個周期運動是不穩(wěn)定的。對應(yīng)著隨著的增加，由不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，這個周期運動是穩(wěn)定的，即產(chǎn)生自持振蕩。因此，系統(tǒng)中實際存在的自持振蕩振幅為，頻率為。（2）為使給定系統(tǒng)不產(chǎn)生自持振蕩，必須保證軌跡與軌跡不相交，改和都能達(dá)到這個目的。的極值，即在負(fù)實軸上的拐點為，為使與不相交，的極值應(yīng)小于與負(fù)實軸的交點坐標(biāo)，即若取，則，不產(chǎn)生自振蕩。取時，若保持，則繼電器的死區(qū)參數(shù)應(yīng)調(diào)整到。（3）具有死區(qū)的繼電器的負(fù)倒描述函數(shù)在負(fù)實軸上的拐點位于。若將拐點折算到點，可利用Bode圖進(jìn)行校正，使系統(tǒng)穩(wěn)定。令有若取，則，將折算到線性部分，則線性部分的等效傳遞函數(shù)為可畫出對數(shù)幅頻特性如圖7-9所示圖7-9對數(shù)幅頻特性圖可借用線性系統(tǒng)校正的方法進(jìn)行綜合校正。如果只要求系統(tǒng)穩(wěn)定，對相對穩(wěn)定性沒有太高要求，可采用一級滯后校正，校正裝置的傳遞函數(shù)可取為校正后系統(tǒng)線性部分實際的傳遞函數(shù)為曲線與不相交。例7-8（李友善）設(shè)有如圖7-10所示的非線性系統(tǒng)。圖7-10含飽和特性非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖試應(yīng)用描述函數(shù)法分析當(dāng)時的系統(tǒng)穩(wěn)定性，并求取增益的臨界穩(wěn)定值。解從圖7-10看出飽和非線性特性的斜率。時，飽和特性的特性為復(fù)平面實軸上區(qū)段。基于應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)，如果線性部分的頻率響應(yīng)不與上述區(qū)段相交，則說明原系統(tǒng)穩(wěn)定；如果與上述區(qū)段相交，又由于該交點是穩(wěn)定交點，則說明原系統(tǒng)將產(chǎn)生穩(wěn)定自振蕩；如果恰好通過點，則說明原系統(tǒng)處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，這時的值便是臨界穩(wěn)定值。上述三種情況示于圖7-11中圖7-11和軌跡綜上所述，的臨界穩(wěn)定值可以通過不考慮飽和因素時的線性系統(tǒng)來確定。這時的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為(7-14)由式(7-14)應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，由下列不等式解出使系統(tǒng)穩(wěn)定的的取值范圍為因此的臨界穩(wěn)定值為。也就是說，應(yīng)具有如下形式從圖7-11可見，對于,由于特性與有穩(wěn)定交點（點），則圖7-10所示的非線性系統(tǒng)中將有穩(wěn)定自振蕩存在。例7-9用等傾線法畫出系統(tǒng)的相平面圖。方程中，解：（1）改寫方程。用等傾線法需要計算滿足的和關(guān)系曲線，所以利用將方程改寫為（2）列等傾線方程。令，則有即（3）計算等傾線。因為，，所以從而可以計算得：當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，由得當(dāng)時，當(dāng)時，（4）畫等傾線及相平面圖。根據(jù)（3）中得到的等傾線方程畫出等傾線，并在等傾線上畫出斜率為的短線代表斜率，它們就稱為相軌跡切線的方向場。若覺得等傾線不夠密，可以補(bǔ)充一些等傾線。當(dāng)?shù)葍A線足夠密時，可以從給定的初始狀態(tài)畫出相軌跡。圖畫出了等傾線、方向場和一條相軌跡。可以看出，運動是衰減振蕩。圖7-12系統(tǒng)的等傾線、方向場和相軌跡說明：（1）對行如的系統(tǒng)，它在平面上的相軌跡總是垂直穿過軸的。這是因為等傾線方程可以改寫為，軸上的點滿足，所以只要在軸上，就一定有。（2）對形如的系統(tǒng)，改寫為兩個一階微分方程時總包括。令，則必有。所以這類系統(tǒng)的奇點總在軸上。由于奇點滿足，故。因此如果系統(tǒng)有奇點，那么在方程中令和，就可以直接計算出奇點的坐標(biāo)。本例中令方程中，可得。所以奇點為。（3）計算并分析奇點的性質(zhì)有利于繪制相平面圖。本例中奇點即為原點。再由就可以