11.4用樣本估計(jì)總體學(xué)案文含解析

第四節(jié)用樣本估計(jì)總體【知識(shí)重溫】一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．頻率分布直方圖(1)通常我們對(duì)總體作出的估計(jì)一般分成兩種．一種是用樣本的①________估計(jì)總體的分布．另一種是用樣本的②________估計(jì)總體的數(shù)字特征．(2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示③________，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長(zhǎng)方形的④________表示．各小長(zhǎng)方形的面積總和⑤________.(3)連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．隨著⑥________的增加，作圖時(shí)所分的⑦_(dá)_______增加，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計(jì)中稱之為⑧________________，它能夠更加精細(xì)地反映出總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的⑨________.(4)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時(shí)記錄，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來(lái)方便．2．眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)(1)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)⑩________的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在?________位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的?________.(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)．即eq\x\to(x)＝?__________.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該?________.3．樣本方差，標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])，其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項(xiàng)，n是樣本容量，eq\x\to(x)是?________.標(biāo)準(zhǔn)差是反映總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，樣本方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方．通常用樣本方差估計(jì)總體方差，當(dāng)樣本容量?________總體容量時(shí)，樣本方差越接近總體方差．二、必明1個(gè)易誤點(diǎn)不要把直方圖錯(cuò)認(rèn)為條形圖，兩者的區(qū)別在于條形圖是離散隨機(jī)變量，縱坐標(biāo)刻度為頻數(shù)或頻率，直方圖是連續(xù)隨機(jī)變量，縱坐標(biāo)刻度為頻率/組距，連續(xù)隨機(jī)變量在某一點(diǎn)上是沒(méi)有頻率的．【小題熱身】一、判斷正誤1．判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率．()(2)頻率分布直方圖中各個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和為1.()(3)莖葉圖中的數(shù)據(jù)要按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．()(4)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．()(5)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大．()二、教材改編2．四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是()A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2B．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C．平均數(shù)為2，方差為D．中位數(shù)為3，方差為3．已知一組數(shù)據(jù)，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．三、易錯(cuò)易混4．把樣本容量為20的數(shù)據(jù)分組，分組區(qū)間與頻數(shù)如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，則在區(qū)間[10,50)上的數(shù)據(jù)的頻率是()A．0.05B．C．0.5D．5．若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝5，方差s2＝2，則數(shù)據(jù)3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)和方差分別為_(kāi)_______．四、走進(jìn)高考6．[2019·全國(guó)卷Ⅱ]演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù)B．平均數(shù)C．方差D．極差eq\x(考點(diǎn)一)樣本的數(shù)字特征[自主練透型]1．[2018·江蘇卷]已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為_(kāi)_______．2．[2021·甘肅、青海、寧夏聯(lián)考]從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高(單位：厘米)分布情況匯總?cè)缦拢荷砀?100,110](110,120](120,130](130,140](140,150]頻數(shù)535302010由此表估計(jì)這100名小學(xué)生身高的中位數(shù)為(結(jié)果保留4位有效數(shù)字)()A．119.3B．C．123.3D．3．[2021·惠州市調(diào)研考試試題]某工廠為了解產(chǎn)品的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取了100個(gè)產(chǎn)品為樣本．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x100的方差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x100－1的方差為()A．8B．15C．16D．32悟·技法眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的意義及計(jì)算公式(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明地描述，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)的大?。?2)平均數(shù)、方差的公式推廣．①若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.(ⅰ)數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；(ⅱ)數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.(3)方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式．s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.考點(diǎn)二莖葉圖[自主練透型]4．[2021·廣東廣雅中學(xué)、江西南昌二中聯(lián)考]某市重點(diǎn)中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人，分為兩個(gè)小組，在一次階段考試中兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是88，乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是89，則m＋n的值是()A．10B．11C．12D．135．[2021·陜西商洛質(zhì)檢]在一次千米的自行車(chē)個(gè)人賽中，25名參賽選手成績(jī)(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示，現(xiàn)將參賽選手按成績(jī)由好到差編為1～25號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取5人，已知選手甲的成績(jī)?yōu)?5分鐘，若甲被選取，則被選取的其余4名選手的成績(jī)的平均數(shù)為()A．95B．96C．97D．98悟·技法莖葉圖的應(yīng)用(1)莖葉圖中的“莖”上的數(shù)字代表十位上的數(shù)字，“葉”上的數(shù)字代表個(gè)位上的數(shù)字(若沒(méi)有則表示該數(shù)據(jù)不存在)；(2)解題時(shí)，可把莖葉圖中的數(shù)字按大小順序轉(zhuǎn)化為總體的個(gè)體數(shù)字再求解.考點(diǎn)三頻率分布直方圖[互動(dòng)講練型][例1][2020·天津卷]從一批零件中抽取80個(gè)，測(cè)量其直徑(單位：mm)，將所得數(shù)據(jù)分為9組：[5.31,5.33)，，5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的個(gè)數(shù)為()A．10B．18C．20D．36悟·技法1.繪制頻率分布直方圖時(shí)的2個(gè)注意點(diǎn)(1)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來(lái)檢驗(yàn)該表是否正確．(2)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是eq\f(頻率,組距)，而不是頻率．2．由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，需掌握的2個(gè)關(guān)系式(1)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．(2)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，此關(guān)系式的變形為eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù).[變式練]——(著眼于舉一反三)1．[2021·長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試]某學(xué)校對(duì)本校高三500名學(xué)生的視力進(jìn)行了一次調(diào)查，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，得到的頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，則估計(jì)本校高三這500名學(xué)生中視力在以上(含4.8)的人數(shù)為()A．185B．180C．195D．200eq\x(考點(diǎn)四)扇形圖與折線圖[互動(dòng)講練型][例2](1)[2018·全國(guó)卷Ⅰ]某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅狀圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半(2)[2021·山東濟(jì)寧模擬]如圖為某市國(guó)慶節(jié)7天假期的樓房認(rèn)購(gòu)量與成交量的折線圖，小明同學(xué)根據(jù)折線圖對(duì)這7天的認(rèn)購(gòu)量(單位：套)與成交量(單位：套)作出如下判斷，其中判斷正確的是()A．日成交量的中位數(shù)是26B．日成交量超過(guò)日平均成交量的有2天C．認(rèn)購(gòu)量與日期正相關(guān)D．10月7日認(rèn)購(gòu)量的增幅大于10月7日成交量的增幅悟·技法(1)通過(guò)扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚的表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．(2)折線圖可以顯示隨時(shí)間(根據(jù)常用比例放置)而變化的數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì).[變式練]——(著眼于舉一反三)2．[2021·開(kāi)封市第一次模擬考試]某省普通高中學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)由高分到低分按人數(shù)所占比例依次分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)，A等級(jí)15%，B等級(jí)30%，C等級(jí)30%，D，E等級(jí)共25%.其中E等級(jí)為不合格，原則上比例不超過(guò)5%.該省某校高二年級(jí)學(xué)生都參加學(xué)業(yè)水平考試，先從中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示．若該校高二年級(jí)共有1000名學(xué)生，則估計(jì)該年級(jí)拿到C等級(jí)及以上級(jí)別的學(xué)生人數(shù)為()A．45B．660C．880D．9003．某市氣象部門(mén)根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值(單位：℃)數(shù)據(jù)，繪制如下折線圖：那么，下列敘述不正確的是()A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)B．全年中，2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有5個(gè)D．從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢(shì)第四節(jié)用樣本估計(jì)總體【知識(shí)重溫】①頻率分布②數(shù)字特征③eq\f(頻率,組距)④面積⑤等于1⑥樣本容量⑦組數(shù)⑧總體密度曲線⑨百分比⑩最多?最中間?中位數(shù)?eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)?相等?平均數(shù)?接近【小題熱身】1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．答案：C3．解析：5個(gè)數(shù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\＋＋＋＋,5)＝，所以它們的方差s2＝eq\f(1,5)－5.1)2＋－5.1)2＋－5.1)2＋－5.1)2＋－5.1)2]＝0.1.答案：4．解析：由題意知，在區(qū)間[10,50)上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)是2＋3＋4＋5＝14，故其頻率為eq\f(14,20)＝0.7.答案：D5．解析：∵x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5，∴eq\f(x1＋x2＋x3＋…＋xn,n)＝5，∴eq\f(3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xn,n)＋1＝3×5＋1＝16，∵x1，x2，x3，…，xn的方差為2，∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.答案：16,186．解析：記9個(gè)原始評(píng)分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的順序排列)，易知e為7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A.答案：A課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一1．解析：這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)分別是89,89,90,91,91，因此這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為eq\f(89＋89＋90＋91＋91,5)＝90.答案：902．解析：本題考查中位數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．由題意知身高在(100,110]，(110,120]，(120,130]的頻率依次為，前兩組頻率和為，組距為10，設(shè)中位數(shù)為x，則(x－120)×eq\,10)＝，解得x≈123.3.故選C.答案：C3．解析：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x100的方差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x100－1的方差為22×8＝32，故選D.答案：D考點(diǎn)二4．解析：∵甲組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是88，∴由莖葉圖可知78＋86＋84＋88＋95＋90＋m＋92＝88×7，∴m＝3，∵乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是89，∴n＝9，∴m＋n＝12.故選C.答案：C5．解析：由系統(tǒng)抽樣法及已知條件可知被選中的其他4人的成績(jī)分別是88,94,99,107，故平均數(shù)為eq\f(88＋94＋99＋107,4)＝97，故選C.答案：C考點(diǎn)三例1解析：由題知[5.43,5.45)與[5.45,5.47)所對(duì)應(yīng)的小矩形的高分別為，所以[5.43,5.47)的頻率為＋5.00)×＝，所以直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的個(gè)數(shù)為80×＝18，故選B.答案：B變式練1．解析：由題意得頻率分布直方圖前三組的頻率依次為，所以前三組的頻數(shù)依次為3,7,27，則后四組的頻數(shù)和為90，又后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，所以后四組的頻數(shù)依次為27,24,21,18，所以視力在以上(含4.8)的頻率為39%，故本校高三這500名學(xué)生中視力在以上(含4.8)的人數(shù)約為500×39%＝195.選C.答案：C考點(diǎn)四例2解析：(1)設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入為a，則新農(nóng)村建設(shè)后，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入為2a.新農(nóng)村建設(shè)前后，各項(xiàng)收入的對(duì)比如下表：新農(nóng)村建設(shè)前新農(nóng)村建設(shè)后新農(nóng)村建設(shè)后變化情況結(jié)論種植收入60%a37%×2a＝74%a增加A錯(cuò)其他收入4%a5%×2a＝10%a增加了一倍以上B對(duì)養(yǎng)殖收入