（全國(guó)版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第5講 直線、平面垂直的判定及性質(zhì)學(xué)案-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)學(xué)案

第5講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)

考點(diǎn)回顧考綱解讀考向預(yù)測(cè)

考點(diǎn)分值

年份卷型題號(hào)2019年證明垂直的題型預(yù)計(jì)有兩

能理解并掌握空間中線面垂直的有類：①線面垂直的判定與證明；②利用

I面面垂直18121.

2017關(guān)性質(zhì)和判定定理.線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直或面面

111線線垂直19122.會(huì)用直線與平面垂直的判定定理和垂直.

性質(zhì)定理證明一些空間圖形的位置證明垂直問(wèn)題，可以利用常規(guī)法證

2016II線線垂直1912

關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.明，也可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，

2015I面面垂直1812利用向量數(shù)量積進(jìn)行證明.

板塊一知識(shí)梳理?自主學(xué)習(xí)

［必備知識(shí)］

考點(diǎn)1直線與平面垂直

1.直線和平面垂直的定義

直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說(shuō)直線/與平面a互相垂直.

2.直線與平面垂直的判定定理

\文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

一條直線與一1

判

個(gè)平面內(nèi)的畫

定

定條相交直線都

理l±a「/L

垂直，則該直線E7

LYb

與此平面垂直

3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

性b

垂直于同一個(gè)

質(zhì)

定平面的兩條直

理

線平行

考點(diǎn)2平面與平面垂直

1.平面與平面垂直的判定定理

文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判一個(gè)平面過(guò)另一

定個(gè)平面的一條垂

定

理級(jí)，則這兩個(gè)平

面垂直

2.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

兩個(gè)平面互相

性垂直，則一個(gè)平

質(zhì)

定面內(nèi)垂直于交

理

線的直線垂直

于另一個(gè)平面

［必會(huì)結(jié)論］

直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論

(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線.

(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

(4)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.

(5)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.

［考點(diǎn)自測(cè)］

1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.()

(2)若兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行.()

(3)若平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面B內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則()

(4)二面角是指兩個(gè)相交平面構(gòu)成的圖形.()

(5)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.()

答案⑴義(2)X(3)X(4)X(5)X

2.［2018?浙江模擬］設(shè)勿，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，下列命

題正確的是()

A.若mLn,n//a,則niLa

B.若m//P,萬(wàn)_La,則ml.a

C.若8,z?±S,nX.a,則mA.a

D.若加_L〃，￡_La,則ZB_La

答案C

解析對(duì)于選項(xiàng)A,B,D,均能舉出z?_L。的反例；對(duì)于選項(xiàng)C,若zzd_￡,a_L￡,則

m//n,又Z7±a,/.ml.a.故選C.

3.［課本改編］若勿，〃是兩條不同的直線，a,J3,y是三個(gè)不同的平面，則下列命

題正確的是()

A*若歸￡,aJ_￡，則ml.a

B.若aCly=m,6rly=n,m//n,則a//B

C.若/d￡,m//a,則aJ.￡

D.若a_L7,a,F,則/

答案C

解析A中山與a的位置關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤；B中。，￡可能平行或相交，故錯(cuò)誤;

由面面垂直的判定定理可知C正確；D中6，7平行或相交，所以D錯(cuò)誤.故選C.

4.在如圖所示的四個(gè)正方體中，能得出48，。的是()

解析A中，CDLAB；B中，四與G9成60°角；C中，相與切成45°角；D中，AB

與切夾角的正切值為故選A.

板塊二典例探究?考向突破

考向”有關(guān)垂直關(guān)系的判斷

例1[2017?廣州模擬]設(shè)面，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，下列

命題中正確的是()

A.若a_L￡,me:a,〃u￡,則以_L〃

B.若必_La,m//n,/?〃￡,貝I]a_L￡

C.若僅L〃，//2Ca,K.8,貝！1a_L￡

D.若?！ā?me.a,〃u￡,則如〃〃

答案B

解析若a_L￡,歸a,〃u￡,則卬與〃相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；

m//n,：.nLa,又：〃〃萬(wàn)，；.a_L￡,故B正確；

若0_La,/nca,nuB,貝1]a與￡的位置關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤；

若a//^,maa,nu￡,則/?〃〃或必，n異面,故D錯(cuò)誤.故選B.

觸類旁通

判斷垂直關(guān)系需注意的問(wèn)題

(1)作圖要熟練，借助幾何圖形來(lái)說(shuō)明線面關(guān)系要做到作圖快、準(zhǔn).

(2)善于尋找反例，若存在反例，結(jié)論就被駁倒了.

(3)要思考完整，反復(fù)驗(yàn)證所有可能的情況，必要時(shí)要運(yùn)用判定或性質(zhì)定理進(jìn)行簡(jiǎn)單說(shuō)

明.

【變式訓(xùn)練1】[2018?北京東城模擬]已知力和〃是兩條不同的直線，。和￡是兩

個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出如，￡的是()

A.，且gaB.m//n,且〃_L￡

C.a_L￡,且加〃aD.mA.n,且〃〃￡

答案B

解析因?yàn)閍_L萬(wàn)，/zca,則加，￡的位置關(guān)系不確定，可能平行、相交、w在B面

內(nèi)，故A錯(cuò)誤；由線面垂直的性質(zhì)定理可知B正確；若a_L￡,z?〃a,則如￡的位置關(guān)

系也不確定，故C錯(cuò)誤；若小n,n//B,則如￡的位置關(guān)系也不確定，故D錯(cuò)誤.故選

考向2直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

?俞題角一度」…利用線線垂直證明線面垂直

例2[2018?湖北宜昌模擬]在正三棱柱4?。一/歸G中，BC=

鏡必，E,凡材分別為4G,仍，%的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面驅(qū)CC

(2)求證：阮1平面49成

證明(1)連接4員BQ.

因?yàn)槠涫謩e為4G,45的中點(diǎn),

所以廠為48的中點(diǎn)，所以加〃8G.

因?yàn)?Gu平面微6C,￡區(qū)平面能CC,

所以牙〃平面BBGC.

(2)在矩形8CG笈，BC=@B\,

所以tan/CSG=羋,tan/B聞B=W

所以tanN灰?tanN尻姐=1.

所以/惻+/尻監(jiān)=方所以BGA.BxM.

因?yàn)镋F〃BQ,所以廳工尻”

在正三棱柱ABC-A\B\Ci中，底面平面BBCC.

因?yàn)?為比'的中點(diǎn)，AB^AC,所以如吐6c

因?yàn)槠矫鍭BCQ平面期GC=BC,

所以4月_平面BBCC

因?yàn)?Gu平面初GG所以4月一陽(yáng)

因?yàn)镋F〃BC\,所以比L4K

又因?yàn)?團(tuán)1尻M=M,4仁平面4尻M,尻化平面/仇伙所以阮L平面45也

?施題角一度2.利用線面垂直證明線線垂直

例3[2017?江蘇高考]如圖，在三棱錐/一靦中，ABA.AD,

BCLBD,平面4劭，平面比2點(diǎn)反F（E與A,。不重合）分別在棱4。，刃上，且跖

VAD.

A

C

求證：（1）跖〃平面4%7；

（2）/〃UC

證明（1）在平面4S9內(nèi)，因?yàn)??_L49,EFVAD,

所以EF//AB.

又因?yàn)橛钠矫?5G4七平面46C,

所以川〃平面45C

（2）因?yàn)槠矫鍵fiEL平面BCD,

平面ABDQ平面BCD=BD,

8Cu平面BCV,BCA,BD,

所以8nL平面ABD.

因?yàn)槠矫?加，所以比」被

又ABLAD,BCCAB=B,16u平面4舐at平面4陽(yáng)

所以4LL平面ABC.

又因?yàn)?化平面ABC,

所以49J_IC

觸類旁通

證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵

(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a〃方，a

J.a=6_L。)；③面面平行的性質(zhì)(aJ.a,a〃￡=aJ,￡)；④面面垂直的性質(zhì).

(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).

3

例4[2017?全國(guó)卷I]如圖，在四棱錐P—ABCD中,AB//CD,且/BAP=NCDP^90；

(1)證明：平面為叫L平面門切：

O

②若PA=PD=AB=DC,/APD=90°,且四棱錐X靦的體積為可，求該四棱錐的側(cè)

O

面積.

解(1)證明：由已知/物A=/av90°,

得血4P,CDLPD.

由于四〃S&ABLPD,從而四，平面目〃

又46u平面PAB,

所以平面A48J_平面PAD.

(2)如圖，在平面必。內(nèi)作阻L/L9,垂足為笈

由(1)知，4員L平面處〃故.ABLPE,ABVAD,

可得用_L平面/6G9.

設(shè)AB=x,則由已知可得AD=y[2xfPE=--x.

故四棱錐尸一/犯9的體積

113

VP-AHCD=-AB?AD?PE=-X.

?Ju

1o

由題設(shè)得鼻f=鼻，故x=2.

Jo

從而結(jié)合已知可得見(jiàn)=外=四=%=2,AABC=2?PB=PC=2?

可得四棱錐尸-4?切的側(cè)面積為

^PA?PD+^PA-AB+^PD?〃C+“sin60。=6+273.

觸類旁通

判定面面垂直的方法

(1)面面垂直的定義：

(2)面面垂直的判定定理(a_L￡,auana_L￡).

【變式訓(xùn)練2】如圖，正方形44中與梯形4?切所在的平面互相垂直，AB//CD,ABL

BC,點(diǎn)"在線段旅上.

(1)證明：平面放歸"平面川奶

⑵若AE//平面MDB,求三棱錐￡一被獷的體積.

解（1）證明：'：DC=BC=\,DCIBC,:.B片也.

在梯形/版中，AD=取,AB=2,

：.AG^BG=A&,：.ZADB=90°.

J.ADVBD.

又平面/應(yīng)力_平面ABCD,

平面ADEFC\平面ABCD=AD,

,平面ADEF.

又BIE平面BDM,

，平面被歸_平面ADEF.

⑵如圖，連接ACHBD=0,連接機(jī)）,

:平面必CA平面MBD=MO,四〃平面MDB,AEu平面EAC,

J.AE//OM.

又AB//CD,

C

2

->f=

221

XX1X

3--3-2-A

丁力廢尸為正方形，J.EDLAD.

又???平面ADEFV平面ADCB,

???瓦〃_平面力比〃。比平面力的，：.DELBC.

*：AB〃CD,ABLBQC.BCLCD,

又EDCDC=D,???6C_L平面口C

11應(yīng)X1=應(yīng)

??VE-BDH=%-￡ZW=§5k剛＞3X-9,

(--------------------------------------------------------------------------------------------------1代幺師寶記?UI加領(lǐng)悟I

IktlN?(MUmjlC^fiVINALINCiWl

核心規(guī)律

轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

判定

判定判定}

線線垂直線面垂直面面垂直

.性質(zhì)性質(zhì)I

性質(zhì)

在證明兩平面垂直時(shí)一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存

在，則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決.

。滿分策略

1.在用線面垂直的判定定理證明線面垂直時(shí)，考生易忽視說(shuō)明平面內(nèi)的兩條直線相交，

而導(dǎo)致被扣分，這一點(diǎn)在證明中要注意.口訣：線不在多，重在相交.

2.面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù).我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通

常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可.

板塊三啟智培優(yōu)?破譯高考

題型技法系列12——等體積法求點(diǎn)到平面的距離

[2018?內(nèi)蒙古模擬]如圖，在直三棱柱四C一頌中，底面被7的棱，且

BC=2.點(diǎn)、G,〃在側(cè)棱"'上，且CH=HG=GF=1.

(1)證明：平面46G；

（2）求點(diǎn)C到平面/仇；的距離.

解題視點(diǎn)（1）證明直線與平面垂直的常用方法為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都

垂直；（2）等體積法是求解點(diǎn)到平面的距離的常用方法.

解（1）證明：?.36C一應(yīng)尸是直三棱柱，

平面18G而｛氏平面47G：.FCLAB.

又?：ABLBC,BCCFC=C.

；.A9_L平面BCFE,

又?：址平面BCFE,：.ABLEH.

由題設(shè)知△仔7/與△6CG均為直角三角形，

?：EF=2=FH,BC=2=CG,

7m=45°,NBGC=45；

設(shè)BGCEH=P,則N67W=90°,HPEHVBG.

又ABCBG=B,敬1平面4%.

②■：AB=BC=2,ABVBC,

S^ABC《ABXBC=2.

14

,.,CG_L平面ABCtVG-ABC—~^S^ABC^CG—~Z.

oJ

由（1）知4員L%,CG=2=BC,

BG=7Bd+C?=7*+2'=2M,

：.5kw=56X6G=24.

設(shè)點(diǎn)C到平面4%的距離為h,則

二心4=斗仁—4

即點(diǎn)C到平面4%的距離為［I

答題啟示（1）證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直

的性質(zhì)；（2）用等體積法求點(diǎn)到平面距離時(shí)，通過(guò)換頂點(diǎn)和底面轉(zhuǎn)化為底面積和高易求的錐

體體積是關(guān)鍵.

/跟蹤訓(xùn)練

已知三棱錐4一"/中，△/灰是等腰直角三角形，^ACLBC,BC=2,4a平面比》,

AD=l.

（1）求證：平面平面〃%

（2）若匯為18的中點(diǎn)，求點(diǎn)力到平面物的距離.

解（1）證明：因?yàn)槠矫骒t，8比平面靦，所以又因?yàn)?/p>

—A,所以比U_平面4切，8Cu平面MC,所以平面46cl,平面4czz

（2）由已知可得徵=十，取切中點(diǎn)為R連接戰(zhàn)由于ED=EC=%8=yfi,所以△

曲為等腰三角形，從而"=坐，S△『唱由（1）知比工平面所以少到平面/徵

的距禺為1>S^AC,P=^^~,令力到平面CED的距匿|為"，有小-皿=§?SnECD?d=%一偌>=1,5k

ACO*1,解得d—V".

板塊四模擬演練?提能增分

［A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］

1.［2016?浙江高考］已知互相垂直的平面。，￡交于直線/.若直線〃，〃滿足小〃。，

n_L8,則（）

A.m//1B.m//nC.nA.1D.mln

答案C

解析?:aCB=l,：.luB,；n_L6,故選C.

2.［2015?福建高考］若/,卬是兩條不同的直線，/垂直于平面。，則“八加’是"1

〃?！钡模ǎ?/p>

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由“mla且/，必”推出“l(fā)ua或/〃a”，但由“0J.a且/〃a”可推出u1

W,所以“AL4'是"/〃的必要而不充分條件，故選B.

3.［2017?天津河西模擬］設(shè)/是直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的

是（）

A.若/〃。，/〃￡,則?！ā闎.若/〃*118,則a_L￡

C.若a_L尸，則/〃￡D.若aJ.尸，/〃。，則IL￡

答案B

解析對(duì)于A,若/〃a,/〃￡,則a〃￡或。與￡相交，故A錯(cuò)誤；易知B正確；

對(duì)于C,若。，萬(wàn)，1±a,則/〃月或/u戶，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,若aVP,1//a,則

/與￡的位置關(guān)系不確定，故D錯(cuò)誤.故選B.

4.［2018?濟(jì)南模擬］己知如圖，六棱錐產(chǎn)一48徵方的底面是正六邊形，序，平面］靦a:

則下列結(jié)論不正確的是（）

A.如〃平面必夕

B.加1平面為b

C.6F〃平面9

D.”平面必〃

答案D

解析A中，因?yàn)楸亍?，4t平面川/,GW平面門㈤所以⑦〃平面序尸成立；

B中，因?yàn)?EC應(yīng)F為正六邊形,所以DFL4F,

又因?yàn)閷O，平面4%7姐所以必_LZF,

又因?yàn)橛肅M尸=4所以加讓平面月仍成立；

C中，因?yàn)?〃/8,47u平面為8,函平面序8,所以"'〃平面為3；而D中。；'與49

不垂直.故選D.

5.已知/?,〃為異面直線，以_1_平面a,平面￡.直線/滿足/_1_卬，ILn,IQa,

KS,則（）

A."〃￡且/〃a

B.a,萬(wàn)且/J.￡

C.。與￡相交，且交線垂直于1

D.a與￡相交，且交線平行于1

答案D

解析若?！ㄊ?，則m//n,這與m、n為異面直線矛盾，所以A不正確，。與萬(wàn)相交.將

已知條件轉(zhuǎn)化到正方體中，易知。與￡不一定垂直，但。與￡的交線一定平行于1,從

而排除B,C.故選D.

6.己知。為園所在平面外一點(diǎn)，且以，PB,AC兩兩垂直，則下列命題：

?PALBC-,②PB1AC；③PCLAB；?ABVBC.

其中正確的個(gè)數(shù)是一,

答案3

解析如圖所示.：必_L/T,PALPB,PCCPB=P,：,PA工平面PBC.

又,..旌:平面W,...為_(kāi)L8C同理陽(yáng)_L/GPCLAB.

但48不一定垂直于BC.

7.設(shè)a,8為不重合的兩條直線，a,萬(wàn)為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：

①若a//a,b//B,且a〃￡,則a//b；

②若a_La,且a_L￡,則a〃￡；

③若則一定存在平面Y，使得r-L丫上8;

④若a工B,則一定存在直線/，使得1//P.

上面命題中，所有真命題的序號(hào)是.

答案②③④

解析①中a與6可能相交或異面，故不正確.②垂直于同一直線的兩平面平行，正確.③

中存在Y，使得7與。，￡都垂直.④中只需直線。且就可以.

8.[2018?廣東模擬]如圖，在三棱錐廳4%■中，若AB=CB,AD=CD,￡是47的中點(diǎn)，

則下列命題中正確的有一（寫出全部正確命題的序號(hào)）.

①平面】比2平面ABD-,

②平面45ZLL平面BCD；

③平面平面BDE,且平面〃》_!_平面BDEx

④平面46UL平面ACD,且平面力切_1平面BDE.

答案③

解析由M=CB,AD=CD知ACLDE,ACLBE,從而女工平面比上故③正確.

9.如圖所示，在四棱錐46（/中，用J_底面仍Q,ABLAD,ACLCD,NABC=60°,

PA=AB=BC,￡是AC的中點(diǎn).求證:

p

⑴如_L4￡；

⑵如，平面ABE.

證明⑴；為，底面ABCD,平面ABCD,

J.CDLPA.

又CD,AC,PAQAC^A,

故微1平面為C,力比平面為C

故CDLAE.

⑵?：PA=AB=BC,N4BC=60°,故為=4C

???￡是用的中點(diǎn)，故/吐AC

由⑴知CDX.AE,由于PCCCD=C,

從而也，平面也?，故.AELPD.

易知胡_L如，故如J_平面｛配：

10.[2018?湖南永州模擬]如圖，四棱錐S—4%為中，AB//CD,BCVCD,側(cè)面相8為等

邊三角形，AB=BC=2,CD=SD=\.

S

(2)求四棱錐S一力腿的高.

解(1)證明：如圖，取的中點(diǎn)￡,連接應(yīng)；DB,

則四邊形式笳為矩形，

:、DE=CB=2,

/.AD=BD=#.

??,側(cè)面以3為等邊三角形，AB=2,

：.SA=SB=AB=2.

又1s9=1,

???豺+初=4,SE+SG=B4,

：.ZDSA=ZDSB=90°,即以L5XSDLSB,SADSB=S,

，M_L平面SAB.

（2）設(shè)四棱錐S—/四的高為力，則力也是三棱錐S—4劭的高.

由（1）,知幼_L平面S1笈

=

由%T8D=VD-SABJAUD*h~^S^SAH*SD,

.SdSABeSD

??h=7.

O^ABD

「11

又S^=-AB?應(yīng)=]X2X2=2,

5ks初=坐4#=乎X2?=4,SD=\,

.S4SAB。SD小XI也

??h=z-=o-

O^AHD/o乙

故四棱錐s-4?切的高為平.

[B級(jí)知能提升]

1.[2018?青島質(zhì)檢]設(shè)a,6是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，則能得

出a_L。的是（）

A.ala,b〃B,。IBB.aJ_。,6_L￡,?！ā?/p>

C.au4,8J_￡,4〃￡D.aua,，〃￡,aJ,￡

答案c

解析對(duì)于C項(xiàng)，由a"B,au?？傻胊〃￡,又6_L￡,得a_Lb.故選C.

2.[2018?河北唐山模擬]如圖，在正方形4灰力中，E,尸分別是8a徵的中點(diǎn)，G是

）的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿力￡,4尸及跖把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使6,C,〃三點(diǎn)重合，

重合后的點(diǎn)記為〃，那么，在這個(gè)空間圖形中必有（）

答案B

解析根據(jù)折疊前、后川1LHE,AHLHP不變,

二/憶平面以以B正確；；過(guò)4只有一條直線與平面反加垂直，，A不正確；'JAG1.

EF,EFVGH,AGCG4G,皿平面胡G,又母七平面4旗，.?.平面陰GJ_平面力fiS過(guò)〃

作直線垂直于平面4方尸，一定在平面胡G內(nèi)，...C不正確；由條件證不出陰，平面力甌；.D

不正確.故選B.

3.如圖，刈，。。所在平面，46是。。的直徑，C是。0上一點(diǎn)，AELPC,AFLPB,給

出下列結(jié)論：①