高中數(shù)學(xué)數(shù)列分類典型試題答案

精選高中數(shù)學(xué)數(shù)列分類典型試題及答案

【典型例題】

〔一〕研究等差等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)

1.研究通項(xiàng)的性質(zhì)

例題1,數(shù)列｛“，，｝滿足q=1，。"=3"'+an_t(M>2)

⑴求。2，。3；

3"-1

〔2〕證明：0"~2.

2

解：[1]*.*tZ]=l,.\a2=3+1=4,6^=3+4=13

⑵證明：由氏一4-1=3"T,故=（4一一/_2）+…+（/一卬）

.、3"-13H-1

+a=3"-,+3,,-2+---+3+l=-~-a

2,所以證得"2.

例題2.數(shù)列｛"J的前〃項(xiàng)和記為S”,q=l,a“+i=2S“+1(〃21)

〔I〕求｛4｝的通項(xiàng)公式；

〔D〕等差數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)為正，其前〃項(xiàng)和為了"，且n=15,又q+々，4+62，%+4

成等比數(shù)列，求乙.

解：〔I〕由%M=2S“+1可得a,,=2S,T+1(〃N2),

兩式相減得：4+|一%=2%,a,,”=3a?(〃22),

又叼=2S|+1=3...a2=3a,故｛%｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列

.?.%=卡

〔n〕設(shè)｛2｝的公比為人由nT5得，可得4+偽+4=15,可得仿=5

故可設(shè)=5-(1力3=5+d,又q=1,々2=3,q=9

由題意可得(5-1+D(5+d+9)=(5+3)2,解得4=2,4=10

..等差數(shù)列也｝的各項(xiàng)為正，,d>0=4=2

Tn=3〃+?(7)><2="+2〃

例題3.數(shù)列｛“"｝的前三項(xiàng)與數(shù)列｛"”｝的前三項(xiàng)對(duì)應(yīng)一樣，且4+2g+2%-*■-??

+2”&=8〃對(duì)任意的〃eN*都成立，數(shù)列h+i-4｝是等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝與也｝的通項(xiàng)公式；

⑵是否存在ZeN*,使得4一%€(0,1),請(qǐng)說(shuō)明理由.

點(diǎn)撥：〔1〕4+24+2%3+“-+2'1?！?8〃左邊相當(dāng)于是數(shù)列｛2"%,,｝前〃項(xiàng)和的形式,

可以聯(lián)想到S"求4"的方法，當(dāng)“N2時(shí)，S“-S,I=4

〔2〕把打一4看作一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的思想方法來(lái)研究外一出的取值情況.

解：⑴4+2%+2&+…+2"%"=8"("€N*〕①

〃N2時(shí),%+2%+2~&+…+2"~a“_i=8(〃-1)(〃eN*)②

①-②得，2"飛=8,求得％=2j,

在①中令〃=1,可得得4=8=24\

所以q=2,“("€N*〕.

由題意4=8,4=4,4=2,所以打一⑥尸-4,瓦-瓦=-2,

:.數(shù)列｛b“+i-的公差為一2-(-4)=2,

二%一"=-4+(〃-1)x2=2n-6,

b?=瓦+(為一々)+(4一4)+…+(2-2-1)

=(-4)4-(—2)H--i-(2n-8)—7/1+14(〃￡N*〕.

〔2〕4-4=7^+14-2j,

77

當(dāng)上24時(shí)，’出一伏一萬(wàn))+124-?單調(diào)遞增，且/(4)=1,

24k

所以上24時(shí)，f(k)=k-Jk+l4-2->\y

又/⑴=/(2)=/(3)=。，

所以，不存在&wN*,使得%一4w(0,1).

例題4.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列㈤｝和佃｝滿足：%、bn,an+1成等差數(shù)列，bn、5bn+i

成等比數(shù)列，且為=1,bj=2,a2=3,求通項(xiàng)An,bn，

解：依題意得：

=

2bn+ian+i+&+2①

a'+i二bnbn+i②

由②得“〃+1=也〃+1'々〃+2=也?+2

許、丁為正教,

J"〃+i得：24“什[=y[b^+」b〃+2

代人①并同除以

｛揚(yáng):｝為等差數(shù)列

Q

=結(jié)’,則"=—

Vb.=2,…,2,

M=及+(〃-1)(需一揚(yáng)=*(〃+1),也=(〃；1)

V222

[7-7-〃(〃+1)

a“=?也1=-------

當(dāng)n>2時(shí),2

〃(〃+1)

=

又ai=l,當(dāng)n=l時(shí)成立，/.2

2.研究前n項(xiàng)和的性質(zhì)

例題5.等比數(shù)列｛"，，）的前〃項(xiàng)和為E，=a,2”+b,且4=3

〔1〕求。、。的值及數(shù)列伍"的通項(xiàng)公式；

b=—

⑵設(shè)n”,求數(shù)列的前〃項(xiàng)和I，.

解：⑴時(shí),%=S“一S"_|=2"|而｛《,｝為等比數(shù)列，得卬=2一.。=。，

又％=3,得a=3,從而“，，=3.2"［又=2。+/?=3,."=-3.

b-n-n,1“23〃、

⑵"NF?,小^+萬(wàn)+/+…+廣）

為2(、馬+3+...+二+2為J1+LM…+占-勺

2"3222232"-'2"〕，得2”32222'-'2",

“J1〃)

下y-西)

2

1

例題6.數(shù)列,J是首項(xiàng)為1000,公比為10的等比數(shù)列，數(shù)列,"｝滿足

%=%Qgq+lg%+…+'4)(kGN*)

⑴求數(shù)列｛'J的前〃項(xiàng)和的最大值;⑵求數(shù)列(也』｝的前八項(xiàng)和S“.

解：〔1〕由題意：%=1(產(chǎn)"，，電。"=4一”,二數(shù)列｛1g。,,｝是首項(xiàng)為3,公差為—1的等

差數(shù)列，

.,1..k(k-y),16〃(/1—I17-H

1g+愴4+…+愴%=3k-------bn=-[3n----^]=——

/.2,n22

2。21

<S=S—

由也+i<0,得6W〃W7,.?.數(shù)列｛b,J的前〃項(xiàng)和的最大值為6-7-2.

〔2〕由〔1〕當(dāng)“W7時(shí)，”20,當(dāng)〃>7時(shí)，勿<°,

27一〃

,J7—1913

_S'=〃+"+???+〃,=(-------)n=——n2+—n

.,.當(dāng)7時(shí)，~244

當(dāng)〃〉7時(shí)，

1213

S,'=4+優(yōu)+…+4—4—d-----b“=2S「(b\+b2+--+b?)=-n--—H+21

1213

——n~H----n(?<7)

44

sn'=

「13

—n~---鹿+21O15>7)

144

例題7.遞增的等比數(shù)列｛a“｝滿足％+%+4=28,且為+2是%,%的等差中項(xiàng).

〔1〕求｛%｝的通項(xiàng)公式%；〔2〕假設(shè)S“=4+%+…+勿求使

5?+n-2"*i>30成立的n的最小值.

解：〔1〕設(shè)等比數(shù)列的公比為g”>1]，由

街q+團(tuán)/+?,=28,團(tuán)/團(tuán),二2〔?/+2〕，得:a=2,歹2或a=32,q=2〔舍〕

「.&二2-231]=2n

logI2"

〔2〕2,.-.S?=-〔1-2+2-22+3?23+---+n-2")

23n+123n+,n+,

：.2Sn=-[1?2+2?2+---+n-2),.?.S?=2+2+2+---+2-n-2"=-〔〃一1〕-2

—2,

假設(shè)￡+〃〃川》？。成立，那么2小〉32,故”>4,二”的最小值為5.

例題8.數(shù)列他"｝的前〃項(xiàng)和為S,”且T，S“M”I成等差數(shù)列，〃eN*,q=l函數(shù)

/(x)=log3x

Cl)求數(shù)列伍，J的通項(xiàng)公式；

bn=-----------1-----------

[II]設(shè)數(shù)列仍，，｝滿足"("+3)[/(a“)+2|,記數(shù)列也,｝的前n項(xiàng)和為籌,試比擬

Z與

12312的大小.

解：〔I〕,?,T，S"，a“+i成等差數(shù)列，①當(dāng)〃22時(shí)，2s1小q一1②.

.?.久=3.

①一②得：2⑸一S,i)=a"+1—a“，；.3a,=a“+|,an

a,=3,.'.-—3,

當(dāng)0=1時(shí)，由①得?,?2S|=2q=%-],又4=1，一4

?〔｛a”｝是以1為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，.

fx=lx",

[II]?.()°g3,.1./(a?)=log3a?=log33"=71-1,

,111,11、

b=-----------------------=-----------------=—(----------------)

5+3)[/(?！?+2]("+1)(〃+3)2〃+1〃+3

__1111111111111.

'224354657n〃+2n+1n+3

211__1______j_52〃+5

-22+3-n+2-n+3122(n+2)(n+3))

丁與2"±5

比擬”12312的大小，只需比擬25+2)5+3)與312的大小即可.

又2(〃+2)(〃+3)-312=2(/+5n+6-156)=2(/+5/7-150)=2(n+15)(〃-10)

Z—口廿2(“+2)(〃+3)<312,即

：.?.當(dāng)且"wN時(shí)，12312

2(〃+2)(〃+3)=312,即7；=/蜉;

當(dāng)胃=10時(shí),

、/2(〃+2)(n+3)>312,即

當(dāng)〃>10且A“eN時(shí)，"12312.

3.研究生成數(shù)列的性質(zhì)

例題9.⑴數(shù)列匕｝,其中C，，=2"+3",且數(shù)列｛C“+I—Pg｝為等比數(shù)列，求常數(shù)P；

〔II〕設(shè)｛4｝、也，｝是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，%=/+，，證明數(shù)列匕｝不是等

比數(shù)列.

解：〔I〕因?yàn)椋?L0是等比數(shù)列,故有

〔+1一?！橙齉一。+1〕〔一。_|〕，

將=2"+3"代入上式，得

[2n+,+3n+,-p〔2"+3"〕]2

=[2"+2+3n+2-p〔2-+3什1〕]?[2"+3"一p〔2"T+3”T〕],

即[〔2-p〕2"+〔3一0〕3'『

=[(,2-p)2n+1+〔3—p〕3"i][〔2-p〕2n-'+〔3—p〕3n-1],

整理得U〔2—0〕〔3一0〕■2"-3"=0,

解得片2或片3.

〔U〕設(shè)｛%｝、｛2｝的公比分別為0、q,p/q,=a“+b”.

為證｛｝不是等比數(shù)列只需證W力6?e

事實(shí)上,。2=[ap+biq〕2=a\/+仇/+2a、b\pq,

c\'c3=Oi+Aj〔幻(+瓦才〕="i/?+1/+4一〔尸+才J.

由于pKg,(^+(f>2pq,又均、力不為零，

2

因此,2Nq?C3,故｛｝不是等比數(shù)列.

例題10.r?〔n>4j個(gè)正數(shù)排成n行n列：其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等

以-1_a=3__

比數(shù)列，并且所有公比相等224=1,4~84316

求S=a”+Q2+的3+…+ann?

解：設(shè)數(shù)列｛%/｝的公差為d,數(shù)列｛〃法｝[i=l,2,3,…，nJ的公比為q.

那么％=知+[k-1]d,akk=[an+[k-1]d]qi.

'24=(?n+3d)q=1

〃42=(011+d)q3——■

o

3￡

。43(即+21)/=k

1O

依題意得：I解得：aH=d=q=±2

又E個(gè)數(shù)都是正數(shù),

r11

S=-F2x---F3x---F???+nx

222232〃

1c1rle11

——S——r-4-2x--+3x——H-------1-nx——

22223242”

5=2-J---

兩式相減得：2"T2n,

例題11.函數(shù)f(x)=l°g3(奴+b)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)42,1)和8(5,2),記a“=”,neN.

⑴求數(shù)列｛6J的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)2"_，假設(shè)＜，＜‘"(meZ),求加的最小值；

(1+—)(1+—)???(1+—)＞py/2n+i

〔3〕求使不等式《生對(duì)一切"eN*均成立的最大

實(shí)數(shù)P.

log3(2a+b)=lJ,a=2

Jog3(5a+")=2,解得%

解：〔1〕由題意得b=-l

l0S3(2n1)

/./(x)=log3(2x-l)an=3-=2?-l,neAf*

,2n-l.1352n-32n-]

b—.?T—.+o++…++

⑵由⑴得〃T,w2'22232'i2〃①

132n-52H—32〃一l

-T-------|--------F??,H---------------+--------------d--------------

2"22232"T2"2rt+l②①一②得

122222n-l11111、

IT—+++***+[+I--i+Z(i+△+?,,+e+)

2n2122232n-12n2n+12121222n-22n-1

2n-1_312n—112n—12n+3

：----------------------/.J=3--------------=3-------

2什1

22門(mén)一]2門(mén)十]門(mén)2n-22n2n

/(〃)=^±2,”eN*

設(shè)2"，那么由

2〃+5

11

/(n+1)2〃+511<-+-<

--------=-------=----------=—?--------一25

f(n)2〃+32(2〃+3)22〃+3

2n

//、2〃+3…

f(n)-------￡N

得2"隨〃的增大而減小

.?.當(dāng)〃f+8時(shí)，T"-3又7；</M(/"eZ)恒成立，...，%min=3

1

p<r—(1+—)(1+—)???(1+上)對(duì)〃eN*

⑶由題意得，2〃+14a2an恒成立

F(")-/1(1+—)(1+--)■,,(1+—)

記A/2〃+1qa2an,那么

/1-(1+2)(1+—),,?(1+,)(1+

F(n+1)V2n+3a,a2anan+,

F(n)i1(1+-)(1+—)■?■(1+—)

J2n+1a,a2an

2n+2_2(n+l)>2(n+l)

J(2n+l)(2n+3)74(n+1)2-(n+1)2(n+0

F(n)>0,.-.F(n+1)>F(n),即f(〃)是隨〃的增大而增大

;Pax=1V3

口,、/?(D=-V3n)

產(chǎn)(〃)的最小值為33,即3

〔二〕證明等差與等比數(shù)列

1.轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列.

例題12.數(shù)列｛4｝中，a\=8,%=2且滿足a.=2a,+i-a”,HGN*.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)S“=|。1|+|。2I+…+1。"?,求S";

]

，

(ne^),Tn^bl+b2+---+b?(neN),是否存在最大的整數(shù)加，使得

m

對(duì)任意〃eN",均有32成立？假設(shè)存在，求出團(tuán)的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：〔1〕由題意，%+2一氏+1=%+1一%，；?｛%｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為

由題意得2=8+3d=Q=_2,?-an=8—2(/?-1)=10—2M

〔2〕假設(shè)1°-2〃N0貝瓦。5,〃<5時(shí),S〃=|。/+|。21+…+1?！↖

8+10-2/1n2

=q+/+,??+4=---------x〃=9〃一〃,

n>6時(shí)，Sn=a\+a2+…+〃5_。6-a7---an

2

=55-(5-S5)=2S5-S=H-977+40

9n-n2

Sn=\5

故[n2-9n+40?>g

.b-_----1----—_■,1—_—1(J——，1、j

[3]〃n(12-an)2n(n+1)2n〃+l

_lLJ1、JL/I1、/1二〃

.T“=/-rzl5)+(5-§)+(1/+…+(有二)+(丁Q)]-2(〃+l).

Tmnm

*‘,〉

假設(shè)”32對(duì)任意〃eN’成立，即〃+116對(duì)任意"wN*成立，

..」L(〃eN*)-

?+1的最小值是2,162'??.小的最大整數(shù)值是7.

T>%

即存在最大整數(shù)加=7,使對(duì)任意〃wN*,均有"32

例題13.等比數(shù)列｛〃,｝與數(shù)列｛%｝滿足“=3"",〃eN*.

〔1〕判斷是何種數(shù)列，并給出證明；

⑵假設(shè)％+%=九求他2?

ana

解：〔1〕設(shè)｛2｝的公比為q,■-bn^r-,3'-q-'=3"=>an=a,+(n-l)log3qo

所以｛%｝是以log,夕為公差的等差數(shù)列.

[2]外+?,3所以由等差數(shù)列性質(zhì)可得4+%)=%+?13=m,

_(?i+?,o)x2O_

a｝+a2+a3+...十%。一-15〃=4仇…“二變小七+…Q=3皿"

2.由簡(jiǎn)單遞推關(guān)系證明等差等比數(shù)列

例題14.數(shù)列｛4J和｛"J滿足：4=1,%=2,b”=J%%〔〃eN*〕,

且仍"｝是以4為公比的等比數(shù)列.

_2

[I]證明：q，+2=a,"；

〔II〕假設(shè)q，=“2,1+2a2",證明：數(shù)歹4｛，,｝是等比數(shù)列；

111111

----1-----1-----1-----1_...-J________I_____

〔III〕求和：a1a2a3a4^hn-la2n.

a2

解法1：[I]證：由a，有V",/.an+2=anq(n€N*)

[II]證：；an=an-2Q",

22n-220n-2

,?a2n-\=a2n-3^=…=%q,a2n=a2n-2q=，，，=a2Cl,

222

Cn=+2a2“=qq"-2+^a2q"~=(4+2a,對(duì)7=5/”

，｛C"｝是首項(xiàng)為5,公比為二的等比數(shù)列.

—=-2-2n1.1。2-2〃

?消一J，于是

〔III〕解：由［II］得。2時(shí)］%

"+―=」+—+(3+…+口

%。2a2n%。3%%a2n

」(1+與+[+...+i、i八i1■+六)

，〃一2)+-a+-r+-r+

%qqq/①q

—+—+…+—=-(1+—+—+???+=-n

當(dāng)4=1時(shí)，qa2a2n2qqq2

1113111、

—+—+…+—=+-+—+

當(dāng)4工1時(shí)，4%a2n2qqq

=3工)=々qJ】

2\-q-

3

一〃，q=1,

1112

-----1-------F…H-------=

%a2q”.-1

[2X(.])],q手1.

故

解法2：口〕同解法ia〕.

%+i_4"+1+2%,+2==丁(〃6N")

〔II〕證：°“4”-1+2。2”出"-|+2。2",又q=4+24=5,

二｛c，J是首項(xiàng)為5,公比為二的等比數(shù)列.

[III]由解法1中〔II〕的類似方法得%"T+4”=(6=3q"2,

1.1.,1_4+4,%+4,—%

----1------1-…H----------------1-----------b…H--------------

4a2a2n4a2a3a4&21a2〃,

..42人]+a2k_3q_3g-2A+2

a2k-\a2k2q2,Z=L2,…，n,

—+—+???+—!—=—(l+q-2+…+q-2n+2)

a

.3|a22n2

例題15.設(shè)數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為s〃，且S〃=（1+丸）-布〃,其中4工-1,0

〔1〕證明：數(shù)列伍"是等比數(shù)列；

〔2〕設(shè)數(shù)列伍"的公比《=數(shù)列也｝滿足伉=,bn=f[nGN*n>2),

求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

⑶設(shè)2=1,6=勺(1-1),求數(shù)列｛C,J的前〃項(xiàng)和7,,

b?

〔1〕證明：由S“=(1+4)—=5〃_]=(1+幾)一曲〃_](〃之2)

相減得：4=-而“+九*，，'=」7("22),.?.數(shù)列｛《,｝是等比數(shù)列

an-\?+“

⑵解：/⑷=與.鵬=吃=*=j

1+41+&-1匕"*

是首項(xiàng)為!=2,公差為1的等差數(shù)列，，；=2+(〃-1)="+1.

”,伉b?〃+1

⑶解：4=1時(shí)，見(jiàn)=C“=a"(：T)=(；)"T〃

??.一=1+2(1)+3(權(quán)+...+?(1)?-'①

.=；+25+3(；)3+...+心*②

①一②得:3=1+；+夕+夕+…+5》今

所以：?；,=4(1-(l)n)-2?(^)n.

例題16.AO3C的各個(gè)頂點(diǎn)分別為(0,0),(1,0),(0,2),設(shè)耳為線段BC的中點(diǎn)，鳥(niǎo)為線段

0c的中點(diǎn)，8為線段。《的中點(diǎn).對(duì)每一個(gè)正整數(shù)”,《+3為線段E/,+i的中點(diǎn).令心的坐標(biāo)

為(匕，X,),y“+%+i+片+2?

⑴求4，々，%及4,(〃eN*)；

〔2〕證明：%M=1—.,(〃eN')

⑶記〉=%+4-%,伽"*),證明：電｝是等比數(shù)列.

13

⑴解：因?yàn)榱Χ二%二1,為二二，75=-所以得^1=3=^=2.

242

1l

又由%+3=%~2yM,對(duì)任意的正整數(shù)〃有

y，"+

產(chǎn);%+i+y?+2+%+3=gy?+\+%+2+"2''=g%+"+|+y‘+2="

恒成立，且a=2,所以｛冬｝為常數(shù)數(shù)列，品=2,〔〃為正整數(shù)〕

⑵證明：根據(jù)笫+4=2，及]“+加+%+2=a.=2,易證得％+4=1

〔3〕證明：因?yàn)?"尸y4n+8—y4n+4=〔1一乎〕一〔1一號(hào)〕=~\,

444

又由b=y_丫4=1一~~~y^=~~，

｝844

所以｛》｝是首項(xiàng)為4,公比為4的等比數(shù)列.

【模擬試題】

一、填空題

1.在等差數(shù)列｛a"｝中，a，=2,a2+a3=13,那么a4+a5+a6等于=.

2.數(shù)列的通項(xiàng)為=-5〃+2,那么其前〃項(xiàng)和S”=.

3.首項(xiàng)為一24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開(kāi)場(chǎng)為正，那么公差"的取值圍是.

4.在等比數(shù)列也"｝中，的和。5是二次方程X?+丘+5=0的兩個(gè)根，那么。2。4。6

的值為.

5.等差數(shù)列｛%｝中，a】=l,a3+a5=14,其前n項(xiàng)和S^lOO,那么n=.

6.等差數(shù)列｛狐｝的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)的和為100,求它的前3m項(xiàng)的和為

7n■+45%

7.兩個(gè)等差數(shù)列｛《J和的前〃項(xiàng)和分別為A”和紇，且B“n+3,b]=

an

,假設(shè)1為正整數(shù)，n的取值個(gè)數(shù)為o

8,數(shù)列｛%｝對(duì)于任意P，4eN*,有4+假設(shè)"'一§,那么見(jiàn)6=.

9.記數(shù)列｛%｝所有項(xiàng)的和為Ai),第二項(xiàng)及以后各項(xiàng)的和為12),第三項(xiàng)及以后各項(xiàng)的

和為5⑶，…，第〃項(xiàng)及以后各項(xiàng)的和為S(%假設(shè)S。)=2,S⑵=1,⑶-5'…，

S=J-

<")一2"-2'…，那么明等于.

10.等差數(shù)列僅"｝共有2〃+1項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為319,偶數(shù)項(xiàng)之和為290,那么其中間

項(xiàng)為.

11.等差數(shù)列｛《J中，7°,假設(shè)m>1且Ji一%+%,+1=°,$2吁|=38,那么小的

值為.

12.設(shè)S”為等差數(shù)列｛七｝的前〃項(xiàng)和.56=36,S?=324,S?_6=144（n>6）；那么〃等于

13.函數(shù)/（X）定義在正整數(shù)集上，且對(duì)于任意的正整數(shù)》,都有f（x+2）=2f（x+l）

一/。），且/⑴=2J（3）=6,那么/（2005）=.

14.三個(gè)數(shù)a*，。成等比數(shù)列，且a+"c=，"（，〃>0）,那么b的取值圍是.

15.等差數(shù)列｛6,｝中，前〃項(xiàng)和為S“，首項(xiàng)4=4,Sg=O.

〔1〕假設(shè)?！?S〃=—1。，求力

〔2〕設(shè)2=2同，求使不等式4+么+…+2>2007的最小正整數(shù)〃的值.

點(diǎn)撥：在等差數(shù)列中a“，S”,〃,d知道其中三個(gè)就可以求出另外一個(gè)，由可以求出首項(xiàng)為

與公差d,把a(bǔ)“，S”分別用首項(xiàng)4與公差d,表示即可.對(duì)于求和公式"=,

Sn="4+”（<）”采用哪一個(gè)都可以，但是很多題目要視具體情況確定采用哪一個(gè)可能更

簡(jiǎn)單一些.例如：%>O,4o<O,a,+qo>°，判斷S17,耳g,Sjo的正負(fù).問(wèn)題2在思考時(shí)要注意加

了絕對(duì)值時(shí)負(fù)項(xiàng)變正時(shí)，新的數(shù)列首項(xiàng)是多少，一共有多少項(xiàng).

16.等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5“，%=1+6,53=9+3應(yīng)

⑴求數(shù)列｛""｝的通項(xiàng)凡與前〃項(xiàng)和為s“；

〔II〕設(shè)"n〔〃wN〕，求證：數(shù)列｛2｝中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.

17.在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列1（飛，））修（打必）…，匕（x”,y”）…，對(duì)一切正整數(shù)〃，點(diǎn)4位

y_3工+_135--

于函數(shù)一4的圖象上，且鳥(niǎo)的橫坐標(biāo)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，―1為公差的等差數(shù)列｛4｝.

⑴求點(diǎn)匕的坐標(biāo)；

⑵設(shè)拋物線列。，°2，。3,…中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于刀軸，第〃條拋物線,”的

頂點(diǎn)為K,且過(guò)點(diǎn)。,（°，〃2+1）,設(shè)與拋物線以相切于。，的直線的斜率為左”，求：

111

---+----+…+------

⑶設(shè)S=｛x|x=2x“,MeNd｝,T=3y=4y“,〃21｝,等差數(shù)列｛4｝的任一項(xiàng)

“"eScT,其中4是ScT中的最大數(shù)，一265<演<一125,求｛%｝的通項(xiàng)公式.

18,數(shù)列｛4｝滿足4=1，%+1=2%+1（〃eN）,

〔1〕求數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式；

⑵假設(shè)數(shù)列｛叫滿足*'4……44T=（a“+l）"”（〃eN*）〔a必〕，證明：間是等

差數(shù)列.

【試題答案】

1.42

n（5n+1）

2.2-

3.（P3]

4.±575

5.10

6.210

7.8.5;5個(gè)

s=（4+4,）"

解法一：點(diǎn)撥利用等差數(shù)列的求和公式”-2及等差數(shù)列的性質(zhì)

a=^L

"假設(shè)2"2=/7+4，機(jī)，。，＜7€1"'）*,那么2"

（q+演）力3

工―X13J

江（々*Jxl3一匹一萬(wàn)

解析：4=2

解法2:點(diǎn)撥利用“假設(shè)｛%｝為等差數(shù)列，那么這個(gè)結(jié)論，根據(jù)條件

找出a,t和"〃的通項(xiàng).

解析：可設(shè)4=而(7〃+45),紇=-5+3),那么=以14〃+38),

%?14x7+38)17

btl=k(2n+2),那么e=k(2x7+2)2

%女(14〃+38)1212

―/?____

由上面的解法2可知“=乂2"+2)”+1,顯然只需使〃+1為正整數(shù)即可，

故〃=1,2,3,5,11,共5個(gè).

點(diǎn)評(píng)：對(duì)等差數(shù)列的求和公式的幾種形式要熟練掌握，根據(jù)具體的情況能夠靈活應(yīng)用.

反思：解法2中，假設(shè)是填空題，比例常數(shù)k可以直接設(shè)為1.

8.4

〃_q_q=j_____1___L

9解:”(n)(n+1)2"-22"T2"T

(n+l)a=319

*ll+l

10.M：依題意，中間項(xiàng)為%+1,于是有I叫,+1=290解得%=29

a

11.解：由題設(shè)得="-<+《"M=2am,而4“*°,=2,又S2m_}-38,

.38=(q+%"2吁1)=2a,"l)=

22"2=10.

12.解：S6+(S,「S,M)=6(4+%)=36+(324—144)=216,q+a“=36

片幽—24

n=180

13.解：由/(x+2)+/(x)=2/(x+l)知函藪f(x)(xeN)當(dāng)％從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)

的一系列函數(shù)值組成一個(gè)等差數(shù)列，ADJ?)，…"(2005)形成一個(gè)首項(xiàng)為2,公差為4的

等差數(shù)列，7(2005)=2+(1003-1)x4=4010

bb.,，八1,m

a=—,c=bq—+力+。9=小,,.?力w0,「.一+夕+1=一

14.解：設(shè)q，那么有qqb.

ml?

-=-+q+\>3:.0<