2025屆高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)測評第三章3.2利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性理含解析北師大版

PAGE10-核心素養(yǎng)測評十四利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.函數(shù)y=f(x)=x3-x2+QUOTE的圖像大致是 ()【解析】選A.因為f(0)=QUOTE,所以解除C;因為f′(x)=3x2-2x,令f′(x)>0,所以x∈(-∞,0)或x∈QUOTE時f(x)單調(diào)遞增,令f′(x)<0,所以x∈QUOTE時f(x)單調(diào)遞減,解除B,D.2.下列函數(shù)中,在(0,+∞)上為增函數(shù)的是 ()A.f(x)=sin2x B.f(x)=xexC.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+lnx【解析】選B.對于A,f(x)=sin2x的單調(diào)遞增區(qū)間是QUOTE(k∈Z);對于B,f′(x)=ex(x+1),當x∈(0,+∞)時,f′(x)>0,所以函數(shù)f(x)=xex在(0,+∞)上為增函數(shù);對于C,f′(x)=3x2-1,令f′(x)>0,得x>QUOTE或x<-QUOTE,所以函數(shù)f(x)=x3-x在QUOTE和QUOTE上單調(diào)遞增;對于D,f′(x)=-1+QUOTE=-QUOTE,令f′(x)>0,得0<x<1,所以函數(shù)f(x)=-x+lnx在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增.3.函數(shù)f(x)=cosx-x在(0,π)上的單調(diào)性是 ()A.先增后減 B.先減后增C.單調(diào)遞增 D.單調(diào)遞減【解析】選D.易知f′(x)=-sinx-1,x∈(0,π),則f′(x)<0,所以f(x)=cosx-x在(0,π)上遞減.4.若函數(shù)f(x)=QUOTE在(0,+∞)上單調(diào)遞增,那么實數(shù)a的取值范圍是()A.a≥0 B.a>0C.a≤0 D.a<0【解析】選A.因為f(x)=QUOTE=ax-QUOTE,所以f′(x)=a+QUOTE.因為函數(shù)f(x)=QUOTE在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f′(x)=a+QUOTE≥0在(0,+∞)上恒成立且不恒為零,即a≥-QUOTE在(0,+∞)上恒成立且不恒為零,所以a≥0.【變式備選】若函數(shù)f(x)=kex+x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,則k的范圍為 ()A.k≥-1 B.k≤-1C.k≥1 D.k≤1【解析】選B.f′(x)=kex+1.由題意得kex+1≤0在(0,+∞)上恒成立,即k≤-QUOTE,x∈(0,+∞).當x∈(0,+∞)時,-QUOTE∈(-1,0),所以k≤-1.5.(2024·南昌模擬)已知函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù),當x∈(1,+∞)時,函數(shù)f(x)=sinx-x,設a=fQUOTE,b=f(3),c=f(0),則a,b,c的大小關(guān)系為 世紀金榜導學號()A.b<a<c B.c<a<bC.b<c<a D.a<b<c【解析】選A.因為函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,所以a=fQUOTE=fQUOTE,b=f(3),c=f(0)=f(2).又因為當x∈(1,+∞)時,函數(shù)f(x)=sinx-x,所以當x∈(1,+∞)時,f′(x)=cosx-1≤0,即f(x)=sinx-x在(1,+∞)上為減函數(shù),所以b<a<c.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖像如圖所示,則不等式xf′(x)≥0的解集為________________.

【解析】由f(x)圖像特征可得,在QUOTE和[2,+∞)上f′(x)≥0,在QUOTE上f′(x)<0,所以xf′(x)≥0等價于QUOTE或QUOTE解得0≤x≤QUOTE或x≥2,所以xf′(x)≥0的解集為QUOTE∪[2,+∞).答案:QUOTE∪[2,+∞)【變式備選】設函數(shù)y=f(x),x∈[a,b]其導函數(shù)的圖像如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________________.

【解析】因為函數(shù)y=f(x)的減區(qū)間是導函數(shù)小于零的區(qū)間,由題干圖知函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(x2,x4).答案:(x2,x4)7.已知函數(shù)f(x)=ax+lnx,則當a<0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________________,單調(diào)遞減區(qū)間是________________.

【解析】由已知得f(x)的定義域為(0,+∞).當a<0時,因為f′(x)=a+QUOTE=QUOTE,所以當x>-QUOTE時,f′(x)<0,當0<x<-QUOTE時,f′(x)>0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE,單調(diào)遞減區(qū)間為QUOTE.答案:QUOTEQUOTE8.(2024·西安模擬)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2的圖像經(jīng)過點M(1,4),曲線在點M處的切線恰好與直線x+9y=0垂直.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,m+1]上單調(diào)遞增,則m的取值范圍是________________. 世紀金榜導學號

【解析】因為f(x)=ax3+bx2的圖像經(jīng)過點M(1,4),所以a+b=4,①f′(x)=3ax2+2bx,則f′(1)=3a+2b.由題意可得f′(1)·QUOTE=-1,即3a+2b=9.②聯(lián)立①②兩式解得a=1,b=3,所以f(x)=x3+3x2,f′(x)=3x2+6x.令f′(x)=3x2+6x≥0,得x≥0或x≤-2.因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,m+1]上單調(diào)遞增,所以[m,m+1]?(-∞,-2]∪[0,+∞),所以m≥0或m+1≤-2,即m≥0或m≤-3.答案:(-∞,-3]∪[0,+∞)三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的圖像過點P(1,2),且在點P處的切線斜率為8.(1)求a,b的值.(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)因為函數(shù)f(x)的圖像過點P(1,2),所以f(1)=2.所以a+b=1.①又函數(shù)圖像在點P處的切線斜率為8,所以f′(1)=8.又f′(x)=3x2+2ax+b,所以2a+b=5.②解由①②組成的方程組,可得a=4,b=-3.(2)由(1)得f′(x)=3x2+8x-3,令f′(x)>0,可得x<-3或x>QUOTE;令f′(x)<0,可得-3<x<QUOTE.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-3),QUOTE,單調(diào)減區(qū)間為QUOTE.10.設函數(shù)f(x)=xex+QUOTEax2+ax(a∈R).探討函數(shù)f(x)的單調(diào)性. 世紀金榜導學號【解析】f′(x)=ex+xex+ax+a=(x+1)(ex+a),①當a≥0時,由f′(x)>0得x>-1,由f′(x)<0得x<-1,所以f(x)在(-∞,-1)上遞減,在(-1,+∞)上遞增.②當-QUOTE<a<0時,由f′(x)>0得x<ln(-a)或x>-1,由f′(x)<0得ln(-a)<x<-1,所以f(x)在(ln(-a),-1)上遞減,在(-∞,ln(-a)),(-1,+∞)上遞增.③當a=-QUOTE時,f′(x)≥0,所以f(x)在R上遞增.④當a<-QUOTE時,由f′(x)>0得x<-1或x>ln(-a),由f′(x)<0得-1<x<ln(-a),所以f(x)在(-1,ln(-a))上遞減,在(-∞,-1),(ln(-a),+∞)上遞增.(15分鐘35分)1.(5分)(2024·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)=xsinx,x1,x2∈QUOTE,且f(x1)<f(x2),那么 ()A.x1-x2>0 B.x1+x2>0C.QUOTE-QUOTE>0 D.QUOTE-QUOTE<0【解析】選D.由f(x)=xsinx,得f′(x)=sinx+xcosx=cosx(tanx+x),當x∈QUOTE時,f′(x)>0,即f(x)在QUOTE上是增加的,又因為f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),所以當f(x1)<f(x2)時,有f(|x1|)<f(|x2|),所以|x1|<|x2|,QUOTE-QUOTE<0.2.(5分)(2024·東莞模擬)已知函數(shù)f(x)=e|x|-ax2,對隨意x1<0,x2<0,且x1≠x2,都有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))<0,則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由題意可知函數(shù)f(x)是(-∞,0)上的單調(diào)遞減函數(shù),且當x<0時,f(x)=e-x-ax2,f′(x)=-QUOTE-2ax=-QUOTE≤0,可得:2axex+1≥0,即a≤QUOTE恒成立,令g(x)=xex(x<0),則g′(x)=ex(x+1),據(jù)此可得函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增,函數(shù)g(x)的最小值為g(-1)=-QUOTE,則QUOTE=QUOTE,故實數(shù)a的取值范圍是QUOTE.3.(5分)已知y=f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(2)=5,對隨意的x都有f′(x)<QUOTE,則f(x)<QUOTEx+4的解集是________________.

【解題指南】構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-QUOTEx-4,則F′(x)<0,故而F(x)為減函數(shù),且F(2)=0,從而得出F(x)<0的解集,即f(x)<QUOTEx+4的解集.【解析】設F(x)=f(x)-QUOTEx-4,則F′(x)=f′(x)-QUOTE<0,所以F(x)是減函數(shù),因為F(2)=f(2)-5=0,所以當x>2時,F(x)<0,即f(x)<QUOTEx+4,當x<2時,F(x)>0,即f(x)>QUOTEx+4.答案:(2,+∞)【變式備選】函數(shù)f(x)的定義域為R,f(-1)=2,對隨意x∈R,f′(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為________________.

【解析】由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,設F(x)=f(x)-2x-4,則F′(x)=f′(x)-2,因為f′(x)>2,所以F′(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上單調(diào)遞增,而F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等價于F(x)>F(-1),所以x>-1.答案:(-1,+∞)4.(10分)已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1. 世紀金榜導學號(1)若f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù),求a的取值范圍.(2)若f(x)在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù),求a的取值范圍.(3)若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1),求a的值.【解析】(1)因為f′(x)=3x2-a,且f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù),所以f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3,即a的取值范圍是(-∞,3].(2)由題意得f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,所以a≥3x2在(-1,1)上恒成立.因為-1<x<1,所以3x2<3,所以a≥3,即當a的取值范圍是[3,+∞)時,f(x)在(-1,1)上為減函數(shù).(3)由題意知a>0.因為f(x)=x3-ax-1,所以f′(x)=3x2-a.由f′(x)=0,得x=±QUOTE,因為f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減,所以QUOTE=1,即a=3.5.(10分)已知函數(shù)f(x)=QUOTEx2+(a+1)x+2ln(x-1). 世紀金榜導學號(1)若曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線與直線2x-y+1=0平行,求出這條切線的方程.(2)探討函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)f′(x)=ax+a+1+QUOTE,得切線斜率為k=f′(2)=3a+3,據(jù)題設,k=2,所以a=-QUOTE,故有f(2)=QUOTE,所以切線方程為y-f(2)=2(x-2),即6x-3y-10=0.(2)f′(x)=ax+a+1+QUOTE=QUOTE=QUOTE(x>1).當a=0時,f′(x)=QUOTE,由于x>1,所以f′(x)=QUOTE>0,可知函數(shù)f(x)在定義區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,當a≠0時,f′(x)=QUOTE.若a>0,則QUOTE<1,可知當x>1時,有f′(x)>0,函數(shù)f(x)在定義區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,若a<0,則QUOTE>1,得當x∈QUOTE時,f′(x)>0;當x∈QUOTE時,f′(x)<0.所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增,在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞減.綜上,當a≥0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞);當a<0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為QUO