8.6.1直線與直線垂直-高一數(shù)學(xué)下學(xué)期課件檢測卷(人教A版2019必修第二冊)

8.6.1直線與直線垂直定理

如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).等角定理

如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個角相等.等角定理EE1ABCA1B1C1DD11.回顧如圖，在正方體中，直線與直線AB，直線與直線AB都是異面直線，直線與相對于直線AB的位置相同嗎？如果不同，如何表示這種差異呢？一條直線相對于另一條直線的傾斜程度不同用角度來表示這種差異

在平面內(nèi),兩條直線相交成四個角,其中不大于90°的角稱為它們的夾角,如圖.O思考：異面直線有沒有夾角呢？若有，那如何找出這個夾角？如圖所示，a，b是兩條異面直線，在空間中任選一點(diǎn)O，過O點(diǎn)分別作a，b的平行線a′和b′，abPa′b′O

則這兩條線所成的銳角θ(或直角)，θ

稱為異面直線a，b所成的角(或夾角)。Oa′若兩條異面直線所成角為90°，則稱它們互相垂直。異面直線a與b垂直也記作a⊥bθ的取值范圍：

θ∈(0°,90°]2.兩條異面直線所成的角例1如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′.求直線BA′與CC′所成的角大小;求直線BA′與AC所成的角大小;(3)求直線BA′與DC′所成的角大小;(4)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？45°60°90°下底面有：AB，AD，BC，CD，上底面有：A′B′，A′D′，B′C′，C′D′，兩條直線所成的角具有平移不變性例2長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成的角的余弦值.解法一（平移法）：∠AOM(或補(bǔ)角)是直線A1C1與BD1所成的角?！嘀本€A1C1與BD1所成的角的余弦值為

.解法二（補(bǔ)形法）：∠A1C1E(或補(bǔ)角)是直線A1C1與BD1所成的角。ABCDA1B1C1D1OMABCDA1B1C1D1EFE1F11221.如圖，在正方體ABCD－EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，求：同步檢測(1)BE與CG所成的角；解∵CG∥FB，∴∠EBF是異面直線BE與CG所成的角.在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE與CG所成的角為45°.(2)FO與BD所成的角.解連接FH，∵FB∥AE，F(xiàn)B＝AE，AE∥HD，AE＝HD，∴FB＝HD，F(xiàn)B∥HD，∴四邊形FBDH是平行四邊形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其補(bǔ)角是FO與BD所成的角，連接HA，AF，則△AFH是等邊三角形，又O是AH的中點(diǎn)，∴∠HFO＝30°，∴FO與BD所成的角為30°.反思感悟求兩異面直線所成角的三個步驟(1)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角.(2)證：證明作出的角就是要求的角.(3)計算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二證三計算”來概括.同時注意異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°.2.

如圖所示，在長方體ABCD－EFGH中，AB＝AD＝

，AE＝2.(1)求直線BC和EG所成的角；解連接AC(圖略).∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角.∴tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°，∴直線BC和EG所成的角是45°.(2)求直線AE和BG所成的角.解∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角.∴∠FBG＝60°，∴直線AE和BG所成的角是60°.3.

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，CD1與DC1相交于點(diǎn)O，求證：AO⊥A1B.證明如圖，∵ABCD－A1B1C1D1是正方體，∴A1D1綉B(tài)C，∴四邊形A1D1CB是平行四邊形，∴A1B∥D1C，∴直線AO與A1B所成角即為直線AO與D1C所成角，連接AC，AD1，易證AC＝AD1，又O為CD1的中點(diǎn)，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B.反思感悟要證明兩異面直線垂直，應(yīng)先構(gòu)造兩異面直線所成的角.若能證明這個角是直角，即得到兩直線垂直.4.

如圖，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E為棱AC的中點(diǎn)，AB＝BB′＝2.求證：BE⊥AC′.證明取CC′的中點(diǎn)F，連EF，BF，∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角∠BEF∵E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC′的中點(diǎn)，在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.5.垂直于同一條直線的兩條直線一定A.平行B.相交C.異面D.以上都有可能√6.在三棱錐S－ABC中，與SA是異面直線的是A.SB B.SC

C.BC D.AB√7.在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是A.相交 B.異面

C.平行 D.垂直√解析如圖，在正方體AC1中，∵A1B∥D1C，∴A1B與D1C可以確定平面A1BCD1，又∵EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，∴直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是相交.8.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，AD的中點(diǎn)，∠GEF＝120°，則BD與AC所成角的度數(shù)為________.60°解析依題意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其補(bǔ)角即為異面直線AC與BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以異面直線BD與AC所成的角為60°.9.在如圖所示的正方體中，M，N分別為棱BC和CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC和MN所成的角為_______.60°解析連接BC1，AD1，∵M(jìn)N∥BC1∥AD1，∴∠D1AC或其補(bǔ)角是異面直線AC和MN所成的