中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（四川專用）專題23 幾何綜合（解析版）

專題23幾何綜合一、選擇題1．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連結(jié)，交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，連結(jié)．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可由定理證，即可判定是等腰直角三角形，進(jìn)而可得，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得；由此即可判斷①正確；再根據(jù)，可判斷③正確，進(jìn)而證明，可得，結(jié)合，即可得出結(jié)論④正確，由隨著長(zhǎng)度變化而變化，不固定，可判斷②不一定成立．

【詳解】解：∵正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，，∵，∴，∵，∴，∴，故①正確；又∵,,∴,∴，∵，即：，∴，∴，故③正確，又∵，∴，∴，又∵，∴，故④正確，∵若，則，又∵，∴，而點(diǎn)E是上一動(dòng)點(diǎn)，隨著長(zhǎng)度變化而變化，不固定，而，則故不一定成立，故②錯(cuò)誤；綜上，正確的有①③④共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合，涉及了正方形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形＂三線合一＂的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把以為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為射線、的交點(diǎn)．若，．以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，；④在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)線段最短時(shí)，的面積為．其中正確結(jié)論有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】證明即可判斷①，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出②，證明得出，即可判斷③；以為圓心，為半徑畫圓，當(dāng)在的下方與相切時(shí)，的值最小，可得四邊形是正方形，在中，然后根據(jù)三角形的面積公式即可判斷④．【詳解】解：∵和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，，故①正確；設(shè)，∴,∴，∴，故②正確；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示

∵，，∴∴∵，．∴，∴∴，故③正確；④如圖所示，以為圓心，為半徑畫圓，

∵，∴當(dāng)在的下方與相切時(shí)，的值最小，∴四邊形是矩形，又，∴四邊形是正方形，∴，∵，∴，在中，∴取得最小值時(shí)，∴故④正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，的直徑，是弦，，，，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②是的切線；③B，E兩點(diǎn)間的距離是；④．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】連接、、，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，于．①根據(jù)已知、垂徑定理和圓內(nèi)接四邊形證，，即可得到；②根據(jù)已知、垂徑定理、中垂線定理證，推出，不垂直，即可判斷不是的切線；③證，結(jié)合、，計(jì)算出、、，最后根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；④先計(jì)算出，推理出，設(shè)，用含的代數(shù)式表示和，代入求解即可．【詳解】如圖，連接、、，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，于

的直徑，，，，，，是弦，，，（垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的?。?，，即，，，，（圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角），，故結(jié)論①正確，，又（同弧所對(duì)圓周角是圓心角的一半），，，，于，，，，，，故結(jié)論③正確，，，，平分（垂直于弦的直徑平分弦），是的中垂線，，，，，，即，是弦，是銳角，是鈍角，是鈍角，，不垂直，不是的切線，故結(jié)論②不正確，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，解得：，，故結(jié)論④不正確綜上，①和③這2個(gè)結(jié)論正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考差了圓的性質(zhì)綜合，結(jié)合判斷切線、勾股定理、三角函數(shù)解直角三角形知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握、綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)推理證明和計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），DE與AC交于點(diǎn)F，連結(jié)CE．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④在內(nèi)存在唯一一點(diǎn)P，使得的值最小，若點(diǎn)D在AP的延長(zhǎng)線上，且AP的長(zhǎng)為2，則．其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】證明，即可判斷①，根據(jù)①可得，由可得四點(diǎn)共圓，進(jìn)而可得，即可判斷②，過(guò)點(diǎn)作于,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即可判斷③，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，得到，則是等邊三角形，根據(jù)當(dāng)共線時(shí)，取得最小值，可得四邊形是正方形，勾股定理求得，根據(jù)即可判斷④．【詳解】解：和都是等腰直角三角形，，故①正確；四點(diǎn)共圓，故②正確；如圖，過(guò)點(diǎn)作于,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，,，,設(shè)，則，，則AH∥CE，則；故③正確如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，得到，則是等邊三角形，，當(dāng)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)，此時(shí)，，，，，，，平分，，四點(diǎn)共圓，

，又,，，則四邊形是菱形，又，四邊形是正方形，，則，，，，

，，則，，，，故④不正確，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，費(fèi)馬點(diǎn)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，四邊形為正方形，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)，，在同一直線上，與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，可判斷①正確；利用三角形相似的判定及性質(zhì)可知②正確；證明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再證明即可求出可知③正確；過(guò)點(diǎn)E作交FD于點(diǎn)M，求出，再證明，即可知④正確．【詳解】解：∵旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵為正方形，，，在同一直線上，∴，∴，故①正確；∵旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∵，∴，故③正確；過(guò)點(diǎn)E作交FD于點(diǎn)M，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，故④正確綜上所述：正確結(jié)論有4個(gè)，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合圖形求解．6．（2022·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰△ABC的面積為2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE，過(guò)點(diǎn)E作PE的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，M是線段EF的中點(diǎn)．那么，當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】當(dāng)P與A重合時(shí)，點(diǎn)F與C重合，此時(shí)點(diǎn)M在N處，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，如圖，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段MN．求出CF的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接CE，∵AB=AC，∴BD=DC=BC=1，∵AE=BC，∴AE=DC=1，∵AE∥BC，∴四邊形AECD是矩形，∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，∴AD=2，則CE=AD=2，當(dāng)P與A重合時(shí)，點(diǎn)F與C重合，此時(shí)點(diǎn)M在CE的中點(diǎn)N處，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，如圖，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段MN．∵BC=2，CE=2，由勾股定理得BE=4，cos∠EBC=，即，∴BF=8，∴CF=BF-BC=6,∵點(diǎn)N是CE的中點(diǎn)，點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，∴MN=CF=3，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的軌跡、矩形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)會(huì)利用起始位置和終止位置尋找軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．7．（2021·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，，把邊AB沿對(duì)角線BD平移，點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B．給出下列結(jié)論：①順次連接點(diǎn)，，C，D的圖形是平行四邊形；②點(diǎn)C到它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的距離為48；③的最大值為15；④的最小值為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法判斷①，再利用等積法得出點(diǎn)C到BD的距離，從而對(duì)②做出判斷，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷③，如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于連接，過(guò)作于分別交于證明是最小值時(shí)的位置，再利用勾股定理求解，對(duì)④做出判斷．【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得AB//且AB=∵四邊形ABCD為矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴//CD且=CD∴四邊形CD為平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)B'與D重合時(shí)，四邊形不存在，故①錯(cuò)誤在矩形ABCD中，BD===25過(guò)A作AM⊥BD，CN⊥BD，則AM=CN∴S△ABD=AB·CD=BD·AM∴AM=CN==12∴點(diǎn)C到的距離為24∴點(diǎn)C到它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的距離為48∴故②正確∵∴當(dāng)在一條直線時(shí)最大，此時(shí)與D重合∴的最大值==15∴故③正確，如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于連接，過(guò)作于分別交于則為的中位線，，由可得，此時(shí)最小，由②同理可得：設(shè)則由勾股定理可得：整理得：解得：（負(fù)根舍去），∴故④正確故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作的垂線交正方形外角的平分線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，連接交邊于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】在AD上截取連接GE，延長(zhǎng)BA至H，使連接EN，可得出，進(jìn)而推出得出，設(shè)則用勾股定理求出由可列方程解出x，即CN的長(zhǎng)，由正切函數(shù)，求出BM的長(zhǎng)，由即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖所示：在AD上截取連接GE，延長(zhǎng)BA至H，使連接EN，為正方形外角的平分線，在和中，在和中，在和中，設(shè)則在中，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的準(zhǔn)確選擇．9．（2021·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰直角中，，、分別為、上的點(diǎn)，，為上的點(diǎn)，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作輔助線，構(gòu)建矩形，得P是MN的中點(diǎn)，則MP＝NP＝CP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可解答．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥BC于M，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥AC于N，連接CG交MN于H，∴∠GMC＝∠ACB＝∠CNG＝90°，∴四邊形CMGN是矩形，∴CH＝CG＝MN，∵PC＝MN，存在兩種情況：如圖，CP＝CP1＝MN，①P是MN中點(diǎn)時(shí)，∴MP＝NP＝CP，∴∠CNM＝∠PCN＝50°，∠PMN＝∠PCM＝90°?50°＝40°，∴∠CPM＝180°?40°?40°＝100°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵∠CPB＝117°，∴∠BPM＝117°?100°＝17°，∵∠PMC＝∠PBM＋∠BPM，∴∠PBM＝40°?17°＝23°，∴∠ABP＝45°?23°＝22°．②CP1＝MN，∴CP＝CP1，∴∠CPP1＝∠CP1P＝80°，∵∠BP1C＝117°，∴∠BP1M＝117°?80°＝37°，∴∠MBP1＝40°?37°＝3°，而圖中∠MBP1＞∠MBP，所以此種情況不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，作出輔助線構(gòu)建矩形CNGM證明P是MN的中點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．二、填空題10．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）在中，，，在邊上有一點(diǎn)，且，連接，則的最小值為___________．【答案】【分析】如圖，作的外接圓，圓心為，連接、、，過(guò)作于，過(guò)作，交的垂直平分線于，連接、、，以為圓心，為半徑作圓；結(jié)合圓周角定理及垂徑定理易得，再通過(guò)圓周角定理、垂直及垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理易得，從而易證可得即勾股定理即可求得在中由三角形三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：如圖，作的外接圓，圓心為，連接、、，過(guò)作于，過(guò)作，交的垂直平分線于，連接、、，以為圓心，為半徑作圓；，為的外接圓的圓心，，，，，，，在中，，，，即，由作圖可知，在的垂直平分線上，，，又為的外接圓的圓心，，，，，，，，即，，在中，，在中，，即最小值為，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，三角形三邊之間的關(guān)系；解題的關(guān)鍵是結(jié)合的外接圓構(gòu)造相似三角形．11．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）將形狀、大小完全相同的兩個(gè)等腰三角形如圖所示放置，點(diǎn)D在AB邊上，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，腰DF和底邊DE分別交△CAB的兩腰CA，CB于M，N兩點(diǎn)，若CA=5，AB=6，AB=1：3，則MD+的最小值為．【答案】【分析】先求出AD=2，BD=4，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，然后求出∠AMD=∠BDN，從而得到△AMD和△BDN相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得，求出MA?DN=4MD，再將所求代數(shù)式整理出完全平方的形式，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出最小值即可．【詳解】∵AB=6，AB=1：3，∴AD=6×=2，BD=6﹣2=4，∵△ABC和△FDE是形狀、大小完全相同的兩個(gè)等腰三角形，∴∠A=∠B=∠FDE，由三角形的外角性質(zhì)得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，∴∠AMD=∠BDN，∴△AMD∽△BDN，∴，∴MA?DN=BD?MD=4MD，∴MD+=MD+=，∴當(dāng)，即MD=時(shí)MD+有最小值為．故答案為．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；最值問(wèn)題；綜合題．12．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，以的邊、為腰分別向外作等腰直角、，連結(jié)、、，過(guò)點(diǎn)的直線分別交線段、于點(diǎn)、，以下說(shuō)法：①當(dāng)時(shí)，；②；③若，，，則；④當(dāng)直線時(shí)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．正確的有_________．(填序號(hào))

【答案】①②④【分析】①當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，根據(jù)等角對(duì)等邊，以及三角形的內(nèi)角和定理即可得出，進(jìn)而判斷①；證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷②；作直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，，，即可得是的中點(diǎn)，故④正確，證明，可得，在中，，在中，，得出，在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，∴∴∵等腰直角、，∴∴∴；故①正確；②∵等腰直角、，∴，∴∴∴；故②正確；④如圖所示，作直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，∴，又，∴又∵，∴同理得，，∴，，，∵，，，∴，∴，即是的中點(diǎn)，故④正確，∴，設(shè)，則在中，在中，∴∴解得：∴，∴，∴∴在中，∴,故③錯(cuò)誤故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接，，分別交對(duì)角線于點(diǎn)P，Q．點(diǎn)E，F(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終保持，連接，，．以下結(jié)論：①；②；③；④為等腰直角三角形；⑤若過(guò)點(diǎn)B作，垂足為H，連接，則的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____．【答案】①②④⑤【分析】連接BD，延長(zhǎng)DA到M，使AM=CF，連接BM，根據(jù)正方形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)定理即可判斷①正確；通過(guò)證明，，可證明②正確；作，交AC的延長(zhǎng)線于K，在BK上截取BN=BP，連接CN，通過(guò)證明，可判斷③錯(cuò)誤；通過(guò)證明，，利用相似三角形的性質(zhì)即可證明④正確；當(dāng)點(diǎn)B、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH的值最小，分別求解即可判斷⑤正確．【詳解】如圖1，連接BD，延長(zhǎng)DA到M，使AM=CF，連接BM，四邊形ABCD是正方形，垂直平分BD，，，，，故①正確；，，，，，即，，，，，，，故②正確；如圖2，作，交AC的延長(zhǎng)線于K，在BK上截取BN=BP，連接CN，，，，，，即，，故③錯(cuò)誤；如圖1，四邊形ABCD是正方形，，，，，，，，，，為等腰直角三角形，故④正確；如圖1，當(dāng)點(diǎn)B、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH的值最小，，，，，，故⑤正確；故答案為：①②④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，過(guò)點(diǎn)作交對(duì)角線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．若，，則的最大值為_________．【答案】/【分析】延長(zhǎng)DE，交AB于點(diǎn)H，確定點(diǎn)B關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F，由點(diǎn)B，D關(guān)于直線AC對(duì)稱可知QD=QB，求最大，即求最大，點(diǎn)Q，B，共線時(shí)，，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可得最大，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)F重合時(shí)，得到最大值.連接BD，即可求出CO，EO，再說(shuō)明，可得DO，根據(jù)勾股定理求出DE，然后證明，可求BH，即可得出答案．【詳解】延長(zhǎng)DE，交AB于點(diǎn)H，∵，ED⊥CD，∴DH⊥AB．取FH=BH，∴點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)在EF上．由點(diǎn)B，D關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴QD=QB．要求最大，即求最大，點(diǎn)Q，B，共線時(shí)，，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可得最大，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)F重合時(shí)，得到最大值BF．連接BD，與AC交于點(diǎn)O．∵AE=14,CE=18，

∴AC=32，∴CO=16，EO=2．∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，∴∠DEO=∠CDO．∵∠EOD=∠DOC，∴，∴，即，

解得，∴．在Rt△DEO中，．∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，∴，∴，即，解得，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】這是一道根據(jù)軸對(duì)稱求線段差最大的問(wèn)題，考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等，確定最大值是解題的關(guān)鍵．15．（2021·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別為邊CD、BC上的點(diǎn)，且DM＝CN，AM與DN交于點(diǎn)P，連接AN，點(diǎn)Q為AN的中點(diǎn)，連接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，給出以下結(jié)論：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③PQN≌BQN；④PQ＝5．其中正確的結(jié)論有_____（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①④【分析】①正確，證明△ADM≌△DCN（SAS），可得結(jié)論．②③錯(cuò)誤，利用反證法證明即可．④正確，利用勾股定理求出AN，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出PQ，可得結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADM＝∠DCN＝90°，在△ADM和△DCN，，∴△ADM≌△DCN（SAS），∴∠DAM＝∠CDN，∵∠CDN+∠ADP＝90°，∴∠ADP+∠DAM＝90°，∴∠APD＝90°，∴AM⊥DN，故①正確，不妨假設(shè)∠MAN＝∠BAN，在△APN和△ABN中，，∴△PAN≌△ABN（AAS），∴AB＝AP，∵這個(gè)與AP＜AD，AB＝AD，矛盾，∴假設(shè)不成立，故②錯(cuò)誤，不妨假設(shè)△PQN≌△BQN，則∠ANP＝∠ANB，同法可證△APN≌△ABN，∴AP＝AB，∵這個(gè)與AP＜AD，AB＝AD，矛盾，∴假設(shè)不成立，故③錯(cuò)誤，∵DM＝CN＝2，AB＝BC＝8，∴BN＝6，∵∠ABN＝90°，∴AN10，∵∠APN＝90°，AQ＝QN，∴PQAN＝5．故④正確，故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用反證法解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．16．（2021·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，和相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BF交AC于點(diǎn)N．交AB于點(diǎn)E，連接，．有下列結(jié)論：①四邊形為平行四邊形，②；③為等邊三角形；④當(dāng)時(shí)，四邊形DEBF是菱形．正確結(jié)論的序號(hào)______．【答案】①②④．【分析】通過(guò)全等三角形的判定和性質(zhì)，證明EN=FM，EN∥FM，判斷結(jié)論①；通過(guò)證明△AMB∽△BMC，然后利用全等三角形和相似三角形的性質(zhì)判斷結(jié)論②；假設(shè)結(jié)論成立，找出與題意的矛盾之處，判斷結(jié)論③，結(jié)合等腰三角形的判定和性質(zhì)求得DE=BE，可得結(jié)論④【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，CD∥AB∴∠DAN=∠BCM，∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA=∠BMC=90°，在△ADN和△CBM中，∴△ADN≌△CBM，∴DN=BM，又∵DF∥BE，DE∥BF，∴四邊形DFBE是平行四邊形，∴DE=BF，∴DE-DN=BF-BM，即EN=FM，∵NE∥FM，∴四邊形NEMF是平行四邊形，故①正確，∵△ADN≌△CBM，∴AN=CM，∴CN=AM，∵∠AMB=∠BMC=∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBM=90°，∠CBM+∠BCM=90°，∴∠ABM=∠BCM，∴△AMB∽△BMC，∴，∵DN=BM，AM=CN，∴DN2=CM?CN，故②正確，若△DNF是等邊三角形，則∠CDN=60°，即∠ACD=30°，不符合題意，故③錯(cuò)誤，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OD，∵AO=AD，∴AO=AD=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠ADO=∠DAN=60°，∴∠ABD=90°-∠ADO=30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN=ODN=30°，∴∠ODN=∠ABD，∴DE=BE，∵四邊形DEBF是平行四邊形，∴四邊形DEBF是菱形；故④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．17．（2021·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD＝AB，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（到點(diǎn)A即停止），點(diǎn)N是AD上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠MON＝90°，連結(jié)MN．在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，則以下結(jié)論中，①點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度不相等；②存在某一時(shí)刻使；③逐漸減小；④．正確的是________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②③④．【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)與AD＝AB，得到∠ADB=30°，∠ABD=60°，AB=AO=BO，再分類討論，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)N為AD的中點(diǎn)，則：，從而點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度不同，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，，由AM減小的速度比AN增大的速度快，則逐漸減小，當(dāng)點(diǎn)M在AB的中點(diǎn)時(shí)，才滿足，得出結(jié)論．【詳解】解：∵AD＝AB，∴tan∠ADB=，∴∠ADB=30°，∠ABD=60°，∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，∴AB=AO=BO，設(shè)AB=1，則AD=，BD=2．①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)N是BD的垂直平分線與AD的交點(diǎn)，令A(yù)N=x，則BN=DN=，∴，解得：，∴AN=，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)N為AD的中點(diǎn)，則：，從而點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度不同，故①說(shuō)法正確，符合題意；②當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，，故②說(shuō)法正確，符合題意；③由①得到，AM減小的速度比AN增大的速度快，則逐漸減小，故③說(shuō)法正確，符合題意；如圖，延長(zhǎng)MO交CD于M'，∵∠MOB=∠M'OD，OB=OD，∠DBA=∠BDC，∴△OMB≌△OM'D（ASA），∴BM=DM'，OM=OM'，連接NM'，∵NO⊥MM'，則MN=NM'，∵NM'2=DN2+DM'2，∴MN2=BM2+DN2，故④正確，故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵在于確定特殊情況，求出兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程，確定邊之間的關(guān)系，得出結(jié)論．18．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)O是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，連接、，交于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③；④為定值；⑤．以上結(jié)論正確的有________（填入正確的序號(hào)即可）．【答案】①②③⑤【分析】由題意易得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，對(duì)于①：易知點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，然后可得∠AFP=∠ABD=45°，則問(wèn)題可判定；對(duì)于②：把△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則有DE=BH，∠DAE=∠BAH，然后易得△AEF≌△AHF，則有HF=EF，則可判定；對(duì)于③：連接AC，在BP上截取BM=DP，連接AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易證△AOP∽△ABF，進(jìn)而問(wèn)題可求解；對(duì)于④：過(guò)點(diǎn)A作AN⊥EF于點(diǎn)N，則由題意可得AN=AB，若△AEF的面積為定值，則EF為定值，進(jìn)而問(wèn)題可求解；對(duì)于⑤由③可得，進(jìn)而可得△APG∽△AFE，然后可得相似比為，最后根據(jù)相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，①∵，∴由四邊形內(nèi)角和可得，∴點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，∴∠AFP=∠ABD=45°，∴△APF是等腰直角三角形，∴，故①正確；②把△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，如圖所示：∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE，∴，∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴HF=EF，∵，∴，故②正確；③連接AC，在BP上截取BM=DP，連接AM，如圖所示：∵點(diǎn)O是對(duì)角線的中點(diǎn)，∴OB=OD，，∴OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，∴，由①可得點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴△AOP∽△ABF，∴，∴，∵，∴，故③正確；④過(guò)點(diǎn)A作AN⊥EF于點(diǎn)N，如圖所示：由②可得∠AFB=∠AFN，∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF，∴△ABF≌△ANF（AAS），∴AN=AB，若△AEF的面積為定值，則EF為定值，∵點(diǎn)P在線段上，∴的長(zhǎng)不可能為定值，故④錯(cuò)誤；⑤由③可得，∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG，∴△APG∽△AFE，∴，∴，∴，∴，故⑤正確；綜上所述：以上結(jié)論正確的有①②③⑤；故答案為①②③⑤．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．19．（2021·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且，按以下步驟操作：第一步，沿直線翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則線段的長(zhǎng)為_______；第二步，分別在上取點(diǎn)M，N，沿直線繼續(xù)翻折，使點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，則線段的長(zhǎng)為_______．【答案】1【分析】第一步：設(shè)EF與AA’交于點(diǎn)O，連接AF，易證明△AOE△ADC，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得到OA=2OE，由勾股定理可求出OE=，從而求得OA及OC；由AD∥BC，易得△AOE∽△COF，由對(duì)應(yīng)邊成比例可得AE、FC的關(guān)系式，設(shè)BF=x，則FC=8-x，由關(guān)系式可求得x的值；第二步：連接NE，NF，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到NF=NE，設(shè)B’N=m，分別在Rt△和Rt△中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出結(jié)果．【詳解】如圖所示，連接AF，設(shè)EF與AA’交于點(diǎn)O，由折疊的性質(zhì)得到AA’⊥EF，∵四邊形ABCD是矩形∴∠ADC=90°，CD=AB=4，AD∥BC∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC∴△AOE△ADC，∴，∴OA=2OE，在直角△AOE中，由勾股定理得：，∴OE=，∴OA=，在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC=，∴OC=，令BF=x，則FC=8-x，∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，∴，即7AE=3FC∴3(8-x)=7×3解得：,∴的長(zhǎng)為1．連接NE，NF，如圖，根據(jù)折疊性質(zhì)得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE，設(shè)B’N=m，則，解得：m=3，則NF=，∵EF=，∴MF=，∴MN=，故答案為：1，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練運(yùn)用這些知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵，本題還涉及到方程的運(yùn)用．20．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊中，過(guò)點(diǎn)C作射線，點(diǎn)M，N分別在邊，上，將沿折疊，使點(diǎn)B落在射線上的點(diǎn)處，連接，已知．給出下列四個(gè)結(jié)論：①為定值；②當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形；③當(dāng)點(diǎn)N與C重合時(shí)，；④當(dāng)最短時(shí)，．其中正確的結(jié)論是________（填寫序號(hào)）【答案】①②④【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，由此即可判斷①正確；先解直角三角形可得，從而可得，然后根據(jù)平行線的判定可得，根據(jù)菱形的判定即可得②正確；先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)即可判斷③錯(cuò)誤；當(dāng)最短時(shí)，則，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，先利用勾股定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，再利用勾股定理可得，，然后根據(jù)建立方程，解一元二次方程可得的值，由此即可判斷④正確．【詳解】解：是等邊三角形，且，，，由折疊的性質(zhì)得：，，是定值，則結(jié)論①正確；當(dāng)時(shí)，則，在中，，，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，四邊形為平行四邊形，又，四邊形為菱形，則結(jié)論②正確；如圖，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，則結(jié)論③錯(cuò)誤；當(dāng)最短時(shí)，則，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，，，，由折疊的性質(zhì)得：，設(shè)，則，在中，，即，解得，，

設(shè)，則，，，，，，解得或（不符合題意，舍去），，則結(jié)論④正確；綜上，正確的結(jié)論是①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形、菱形的判定、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正方形邊的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，線段以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為___________．

【答案】【分析】連接，將以中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，由的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，可得：的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，再根據(jù)“圓外一定點(diǎn)到圓上任一點(diǎn)的距離，在圓心、定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，三點(diǎn)共線時(shí)定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間的距離最短”，所以當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，可求，從而可求解．【詳解】解，如圖，連接，將以中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，

的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，如圖，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，四邊形是正方形，，，是的中點(diǎn)，，，由旋轉(zhuǎn)得：，，，的值最小為．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段最小值問(wèn)題，掌握相關(guān)的性質(zhì)，根據(jù)題意找出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．三、解答題22．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐．

(1)提出問(wèn)題．如圖1，在和中，，且，，連接，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O．①的度數(shù)是___________．

②__________．(2)類比探究．如圖2，在和中，，且，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)O．①的度數(shù)是___________．

②___________．(3)問(wèn)題解決．如圖3，在等邊中，于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段上（不與A重合），以為邊在的左側(cè)構(gòu)造等邊，將繞著點(diǎn)A在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖4，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)．①試說(shuō)明為等腰三角形．②求的度數(shù)．【答案】(1)①．②(2)①．②(3)①見(jiàn)解析；②【分析】（1）①證明得到，進(jìn)而證明，即可求出；②由全等三角形的性質(zhì)可得，則；（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，進(jìn)而證明，得到，推出，則；②由相似三角形的性質(zhì)可得；（3）①連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)O，證明分別是、的中位線，得到，再證明，得到，則，由此即可證明為等腰三角形；②由全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而求出，則，再由平行線的性質(zhì)可得．【詳解】（1）解：①，∴，即，又∵，∴，∴，∵即，∴，即∴，故答案為：；②∵，∴，∴，故答案為：；（2）解：①∵在和中，，且，∴，，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：；②∵，∴，故答案為：；（3）解：①連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)O在等邊中，于點(diǎn)D，為的中點(diǎn)又為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，

分別是、的中位線∵都是等邊三角形，∴，

在和中，為等腰三角形．

②，∵，∴，∴，∴，∴又，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，三角形內(nèi)角和定理等等，正確理解題意通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．23．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點(diǎn)，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作的垂線交直線于點(diǎn)F．

【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請(qǐng)寫出證明過(guò)程．【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)，且點(diǎn)F在線段上時(shí)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；②請(qǐng)通過(guò)類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運(yùn)用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點(diǎn)為M．若，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①，證明過(guò)程略；②當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，(3)【分析】（1）連接，當(dāng)時(shí)，，即，證明，從而得到即可解答；（2）①過(guò)的中點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，再根據(jù)，，即可得到；②分類討論，即當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，畫出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；（3）如圖，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，可得的軌跡長(zhǎng)度即為的長(zhǎng)度，可利用建系的方法表示出的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)公式求出，最后利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

當(dāng)時(shí)，，即，，，，,，，即，，，在與中，，，，；（2）①證明：如圖，過(guò)的中點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，即，是的中點(diǎn)，，，，，，，是等腰直角三角形，且，，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，；故線段之間的數(shù)量關(guān)系為；②解：當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，如圖，在上取一點(diǎn)使得，過(guò)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

同①，可得，，，，，同①可得，，即線段之間數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，在上取一點(diǎn)使得，過(guò)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接

同（1）中原理，可證明，可得，，，，，同①可得，即線段之間數(shù)量關(guān)系為,綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，；（3）解：如圖，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，可得的軌跡長(zhǎng)度即為的長(zhǎng)度，

如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)，

，，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，根據(jù)（2）中的結(jié)論，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地畫出圖形，作出輔助線，找對(duì)邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．24．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)M作直線MN交AC于點(diǎn)N，且保持∠NMC=45°，再過(guò)點(diǎn)N作AC的垂線交AB于點(diǎn)F，連接MF，將△MNF關(guān)于直線NF對(duì)稱后得到△ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△ENF與△ANF重疊部分的面積為y（cm2）．（1）在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否使得四邊形MNEF為正方形？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說(shuō)明理由；（2）求y關(guān)于t的函數(shù)解析式及相應(yīng)t的取值范圍；（3）當(dāng)y取最大值時(shí)，求sin∠NEF的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【詳解】試題分析：（1）由已知得出CN=CM=t，F(xiàn)N∥BC，得出AN=8﹣t，由平行線證出△ANF∽△ACB，得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出NF=AN=（8﹣t），由對(duì)稱的性質(zhì)得出∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，由正方形的性質(zhì)得出OE=ON=FN，得出方程，解方程即可；（2）分兩種情況：①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，由三角形面積得出；②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，作GH⊥NF于H，由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，得出GH=NF=（8﹣t），由三角形面積得出（2＜t≤4）；（3）當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上時(shí)，y取最大值，連接EM，則EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，得出方程，解方程求出CN=CM=2，AN=6，得出BM=2，NF=AN=3，因此EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，由勾股定理求出EB==，求出EF=EB=，由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出DF的長(zhǎng)，在Rt△DEF中，由三角函數(shù)定義即可求出sin∠NEF的值．試題解析：解：（1）能使得四邊形MNEF為正方形；理由如下：連接ME交NF于O，如圖1所示：∵∠C=90°，∠NMC=45°，NF⊥AC，∴CN=CM=t，F(xiàn)N∥BC，∴AN=8﹣t，△ANF∽△ACB，∴=2，∴NF=AN=（8﹣t），由對(duì)稱的性質(zhì)得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，∵四邊形MNEF是正方形，∴OE=ON=FN，∴t=×（8﹣t），解得：t=；即在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能使得四邊形MNEF為正方形，t的值為；（2）分兩種情況：①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，y=×（8﹣t）×t=，即（0＜t≤2）；②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如圖2所示：作GH⊥NF于H，由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，∴GH=NF=（8﹣t），∴y=NF′GH=×（8﹣t）×（8﹣t）=，即（2＜t≤4）；綜上所述：．（3）當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上時(shí)，y取最大值，連接EM，如圖3所示：則EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，∵BM=4﹣t，∴2t=2（4﹣t），解得：t=2，∴CN=CM=2，AN=6，∴BM=4﹣2=2，NF=AN=3，∴EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，則EB===，△DNF是等腰直角三角形，∴EF=EB=，DF=NF=，在Rt△DEF中，sin∠NEF===．點(diǎn)睛：本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、三角形面積的計(jì)算、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．25．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖①，在矩形的邊上取一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在上處，若，求的值；

（2）如圖②，在矩形的邊上取一點(diǎn)，將四邊形沿翻折，使點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上處，若，求的值；（3）如圖③，在中，，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，且滿足，直接寫出的值．【答案】（1）；（2）5；（3）【分析】（1）由矩形性質(zhì)和翻折性質(zhì)、結(jié)合勾股定理求得，設(shè)則，中利用勾股定理求得，則，，進(jìn)而求解即可；（2）由矩形的性質(zhì)和翻折性質(zhì)得到，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求得，則，在中，利用勾股定理求得，進(jìn)而求得，可求解；（3）證明得到，則；設(shè)，，過(guò)點(diǎn)D作于H，證明得到，在中，由勾股定理解得，進(jìn)而可求得，在圖③中，過(guò)B作于G，證明，則，，再證明，在中利用銳角三角函數(shù)和求得即可求解．【詳解】解：（1）如圖①，∵四邊形是矩形，∴，，，由翻折性質(zhì)得，，在中，，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，，∴；（2）如圖②，∵四邊形是矩形，∴，，，由翻折性質(zhì)得，，，，∴∴，∴，∴，即，又，∴，∴，在中，，∴，則，∴；（3）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，則；設(shè)，，過(guò)點(diǎn)D作于H，如圖③，則，∴；

∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，，在中，，在圖③中，過(guò)B作于G，則，∴，∴，∴，，∵，，∴，則，在中，，，∵，∴，則，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、翻折性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，較難，屬于中考?jí)狠S題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加輔助線求解是解答的關(guān)鍵．26．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，已知線段，，線段繞點(diǎn)在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，若，，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求此時(shí)的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）在中，，，且，，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示，在中，求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，根據(jù)（1）的結(jié)論，得出，在中，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．（3）如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，同（1）可得，進(jìn)而得出在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最大，進(jìn)而求得，，根據(jù)得出，過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，分別求得,然后求得，最后根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，且，，∴，，∴，，∴∴∴，故答案為：．（2）∵，且，，∴，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示，

∵，∴，∴在中，，，∴，由（1）可得，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，

同（1）可得則，∵，則，在中，，，∴在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最大，此時(shí)如圖所示，則，

在中，∴,，∵，∴，過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，中，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定義，求圓外一點(diǎn)到圓的距離的最值問(wèn)題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．27．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動(dòng)中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（），連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請(qǐng)你幫忙解答：(1)【初步探究】如圖2，當(dāng)時(shí)，則_____；(2)【初步探究】如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系：_________；(3)【深入探究】如圖4，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)不重合時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出推理過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（），連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)仍然成立，理由見(jiàn)解析(4)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)題意可得，根據(jù)等原三角形的性質(zhì)可得平分，即可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知；（2）證明，可得，根據(jù)等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，過(guò)點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，證明，，可得，即可得出；（4）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，證明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．【詳解】（1）等腰直角三角形和等腰直角三角形，，故答案為：（2）在與中，又重合，故答案為：（3）同（2）可得，過(guò)點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，則，，在與中，，，，是等腰直角三角形，，，，，在與中，，，，，即，（4）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，中，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．28．（2021·四川成都·統(tǒng)考中考真題）在中，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，交于點(diǎn)M，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，連接，直線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值為1【分析】（1）根據(jù)題意利用勾股定理可求出AC長(zhǎng)為4．再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，最后由等腰三角形的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)．（2）作交于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E．由旋轉(zhuǎn)可得，．再由平行線的性質(zhì)可知，即可推出，從而間接求出，．由三角形面積公式可求出．再利用勾股定理即可求出，進(jìn)而求出．最后利用平行線分線段成比例即可求出的長(zhǎng)．（3）作且交延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接．由題意易證明，，，即得出．再由平行線性質(zhì)可知，即得出，即可證明，由此即易證，得出，即點(diǎn)D為中點(diǎn)．從而證明DE為的中位線，即．即要使DE最小，最小即可．根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)最小，且最小值即為，由此即可求出DE的最小值．【詳解】（1）在中，．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，即為等腰三角形．∵，即，∴，∴．（2）如圖，作交于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E．由旋轉(zhuǎn)可得，．∵，∴，∴，∴，．∵，即，∴．在中，，∴．∴．∵，∴，即，∴．（3）如圖，作且交延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接．∵，∴，∵，即，又∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∴在和中，∴，∴，即點(diǎn)D為中點(diǎn)．∵點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，∴DE為的中位線，∴，即要使DE最小，最小即可．根據(jù)圖可知，即當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)最小，且最小值為．∴此時(shí)，即DE最小值為1．【點(diǎn)睛】本題為旋轉(zhuǎn)綜合題．考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，全等三角形的判定和性質(zhì)，中位線的判定和性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，綜合性強(qiáng)，為困難題．正確的作出輔助線為難點(diǎn)也是解題關(guān)鍵．29．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），以C為頂點(diǎn)作，射線交線段于點(diǎn)D，將射線繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線于點(diǎn)E，連接．(1)證明：；（用圖1）(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)度；（用圖2）(3)點(diǎn)A關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)為F，求的最小值．（用圖3）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)2【分析】（1）由條件可證得，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得，即；（2）先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出的長(zhǎng)度，然后作出對(duì)應(yīng)的圖2，可證明，從而得到，設(shè)，，結(jié)合對(duì)應(yīng)邊成比例，得到，則，解方程得到，所以，，再由（1）的結(jié)論，可計(jì)算出．【詳解】（1）證明：已知射線繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線于點(diǎn)E，，，，,，又，，；（2）解：直線，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，如圖2，，，，，，設(shè)，，，，，，即，，，，，，由（1）知：，，（3）解：如圖3，由對(duì)稱得：,則動(dòng)點(diǎn)F在以O(shè)為圓心，以為半徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)F在y軸上，此時(shí)在B的正上方，的值最小，如圖4，此時(shí)，即的最小值是2．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題、軸對(duì)稱圖形特征、圓的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)中的最短距離問(wèn)題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，采用數(shù)形結(jié)合，利用相似比列方程求線段長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．30．（2021·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）已知，在中，．（1）如圖1，已知點(diǎn)D在邊上，，連結(jié)．試探究與的關(guān)系；（2）如圖2，已知點(diǎn)D在下方，，連結(jié)．若，，，交于點(diǎn)F，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，已知點(diǎn)D在下方，連結(jié)、、．若，，，，求的值．【答案】（1），理由見(jiàn)詳解；（2）；（3）【分析】（1）由題意易得，則易證，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求解；（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，由題意易得，，然后可得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得，設(shè)，則，易得，則有，所以，最后問(wèn)題可求解；（3）將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，作DT⊥BC于點(diǎn)T，分別過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交AP于點(diǎn)N，由題意易得，，則有，然后可得，設(shè)，，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可求解x的值，然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．【詳解】解：（1），理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖所示：∵，∴△BAC是等腰直角三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，解得：，∴AF=5；（3）將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，作DT⊥BC于點(diǎn)T，分別過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交AP于點(diǎn)N，如圖所示：∵，，∴△BAC是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∵GM⊥BC，GN⊥AP，AP⊥BC，∴四邊形GMPN是矩形，∴，設(shè)，∴，在Rt△ANG中，，∵，∴，化簡(jiǎn)得：，解得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，易知與相矛盾，∴，∴，∴，∴，∴在Rt△DTC中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．31．（2021·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）在等腰中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連結(jié)．（1）如圖1，若，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，結(jié)，，則________；（2）若，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．①在圖2中補(bǔ)全圖形；②探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若，且，試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）30°；（2）①見(jiàn)解析；②；見(jiàn)解析；（3），見(jiàn)解析【分析】（1）先根據(jù)題意得出△ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計(jì)算即可（2）①按要求補(bǔ)全圖即可②先根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，再證明，即可得出（3）先證明，再證明，得出，從而證明，得出，從而證明【詳解】解：（1）∵，∴△ABC是等邊三角形∴∠B=60°∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)∴AB⊥DE，∴故答案為：；（2）①補(bǔ)全圖如圖2所示；②與的數(shù)量關(guān)系為：；證明：∵，．∴為正三角形，又∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴，，∵，，∴，∴，∴．（3）連接．∵，，∴．∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，．∵，∴．又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的證明及性質(zhì)、全等三角形的證明及性質(zhì)、三角形的外角、軸對(duì)稱，熟練進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，相似三角形的證明是重點(diǎn)32．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)（含端點(diǎn)A、B），過(guò)點(diǎn)B作垂直于射線，垂足為E，點(diǎn)F在射線上，且，連接、．（1）求證：；（2）如圖2，連接，點(diǎn)P、M、N分別為線段、、的中點(diǎn)，連接、、．求的度數(shù)及的值；（3）在（2）的條件下，若，直接寫出面積的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；；（3）【分析】（1）根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等判定即可．（2）的值可以根據(jù)中位線性質(zhì)，進(jìn)行角轉(zhuǎn)換，通過(guò)三角形內(nèi)角和定理求解即可，的比值轉(zhuǎn)換為的比值即可求得.（3）過(guò)點(diǎn)作垂直于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，將相關(guān)線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為CE，可得關(guān)系，觀察圖象，當(dāng)時(shí)，可得最大值．【詳解】（1）證明：∵，∴,∵垂直于射線,∴又∵∴,∵即：又∵∴（2）解：∵點(diǎn)P、M、N分別為線段、、的中點(diǎn)∴，，∴,∴又∵∴又∵∴∴又∵∴又∵又∵∴∴（3）如下圖：過(guò)點(diǎn)作垂直于的延長(zhǎng)線于點(diǎn),又∵∴∴∴當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，在以的中點(diǎn)為圓心，為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最大，∴，【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形相似和判定、以及三角形面積最大值的求法，根據(jù)題意找見(jiàn)相關(guān)的等量是解題關(guān)鍵．33．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是射線上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上（不與點(diǎn)A重合），．(1)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．(2)當(dāng)點(diǎn)M為邊中點(diǎn)時(shí)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N．求證：．(3)點(diǎn)Q在邊上，，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)為直角三角形，理由見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)或12【分析】（1）由點(diǎn)O是的中點(diǎn)，可知，由等邊對(duì)等角可以推出；（2）延長(zhǎng)AM，BC交于點(diǎn)E，先證，結(jié)合（1）的結(jié)論得出PC是直角斜邊的中線，推出，進(jìn)而得到，再通過(guò)等量代換推出，即可證明；（3）過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，得到兩個(gè)K型，證明，，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列等式求出QF，F(xiàn)P，再通過(guò)即可求出DM．【詳解】（1）解：為直角三角形，理由如下：∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴為直角三角形；（2）證明：如圖，延長(zhǎng)AM，BC交于點(diǎn)E，由矩形的性質(zhì)知：，，∴，∵點(diǎn)M為邊中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，即C點(diǎn)為BE的中點(diǎn)，由（1）知，∴，即為直角三角形，∴，∴，又∵，，∴，∴；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，由已知條件，設(shè)，，則，，．∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．同理，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．∴，解得，∴，將代入得，整理得，解得或．∵，，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)M在DC的延長(zhǎng)線上，綜上，的長(zhǎng)為或12．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，第3問(wèn)有一定難度，解題關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造K字模型．34．（2021·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A是⊙O的直徑BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求證：直線AC是⊙O的切線；（2）求△ABC的面積；（3）點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線，與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于直徑BD對(duì)稱時(shí)，求CF的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CF取到最大值，并求出此時(shí)CF的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；