四川省仁壽第一中學(xué)北校區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE16-四川省仁壽第一中學(xué)北校區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共計(jì)60分）1.在中，點(diǎn)滿意，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】因?yàn)椋?，即；故選D.2.已知是等差數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】∵是等差數(shù)列，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，即在等差數(shù)列中，若（是正整數(shù)），則，特殊地，則，由此可得前的性質(zhì)：．3.在中，角，，的對(duì)邊分別為，且，，，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理得：，解得，即可求出【詳解】由正弦定理得：，解得，故或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用正弦定理解三角形，考查了計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若則=（）A10 B.20 C.20或-10 D.-20或1【答案】B【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比數(shù)列，所以（S20﹣S10）2＝S10?（S30﹣S20）可解得答案.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比數(shù)列，且公比為∴（S20﹣S10）2＝S10?（S30﹣S20）即解得=20或-10由所以=20故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)，,留意值的取舍，屬于中檔題.5.在△ABC中，A＝60°，且最大邊長(zhǎng)和最小邊長(zhǎng)是方程x2－7x＋11＝0的兩個(gè)根，則第三邊的長(zhǎng)為()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】第三邊即為a,又,故選C.6.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】余弦定理得代入原式得解得則形態(tài)為等腰或直角三角形,選D.點(diǎn)睛：推斷三角形形態(tài)的方法①化邊：通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而推斷三角形的形態(tài)．②化角：通過(guò)三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而推斷三角形的形態(tài)，此時(shí)要留意應(yīng)用這個(gè)結(jié)論．7.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則當(dāng)取最大值時(shí)的值是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】依據(jù)已知條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，表示出，等差數(shù)列的前項(xiàng)和是不含常數(shù)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解，要留意；【詳解】解：，，，，，當(dāng)時(shí)取最大值故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的和的最值的求解，由于數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)，在有關(guān)最值的求解中，要擅長(zhǎng)利用這一性質(zhì)進(jìn)行求解，但要留意為正整數(shù)的限制條件．8.在等差數(shù)列中，若，則的值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)化簡(jiǎn)條件與結(jié)論，即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因此，選A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化求解實(shí)力，屬中檔題.9.一海輪從A處動(dòng)身，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處視察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處視察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A.10海里 B.10海里 C.20海里 D.20海里【答案】B【解析】依據(jù)已知條件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，由正弦定理，有，所以10.故選B.10.已知數(shù)列中，，，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由遞推關(guān)系，結(jié)合，，可求得，，的值，可得數(shù)列是一個(gè)周期為6的周期數(shù)列，進(jìn)而可求的值．【詳解】因?yàn)?，由，，得；由，，得；由，，得；由，，得；由，，得；由，，得由此推理可得?shù)列是一個(gè)周期為6的周期數(shù)列，所以，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查由遞推關(guān)系求數(shù)列中的項(xiàng)，考查數(shù)列周期的推斷，屬基礎(chǔ)題．11.已知點(diǎn)O是內(nèi)部一點(diǎn)，并且滿意，的面積為，的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，確定點(diǎn)O的位置，結(jié)合三角形面積公式求解.【詳解】因?yàn)椋?所以取的中點(diǎn),則,.，即為中線的中點(diǎn),如圖所示，則的面積為，的面積為，,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的應(yīng)用，利用向量的線性運(yùn)算及共線定理確定點(diǎn)的位置是求解本題的關(guān)鍵.12.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，稱(chēng)為數(shù)列，，……，的“志向數(shù)”，已知數(shù)列，，……，的“志向數(shù)”為2004，那么數(shù)列2，，，……，的“志向數(shù)”為（）A.2002 B.2004 C.2006 D.2008【答案】A【解析】【分析】由公式得，數(shù)列，，，的“志向數(shù)”為，從而得；所以數(shù)列2，，，，的“志向數(shù)”為：，得出答案．【詳解】解：依據(jù)題意得，數(shù)列，，，的“志向數(shù)”為，即；數(shù)列2，，，，的“志向數(shù)”為：故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列前項(xiàng)和的公式，即的敏捷應(yīng)用，解題時(shí)要弄清題意，敏捷運(yùn)用所學(xué)學(xué)問(wèn)，解出正確答案．屬于中檔題．第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分）13.已知，且三點(diǎn)共線，則__________．【答案】【解析】【分析】由三點(diǎn)共線，得，依據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求.【詳解】三點(diǎn)共線，.，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.14.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知，，，則的面積為_(kāi)___.【答案】【解析】【分析】由已知條件可得,，依據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】在中,，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積公式，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15.已知數(shù)列中，，，為前n項(xiàng)和，則______【答案】【解析】【分析】由得出，的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是公差為2的等差數(shù)列，求得，然后利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行分組求和即可得出結(jié)論.【詳解】解：由得，的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.16.等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)的積為，并且滿意，給出下列結(jié)論①；②；③是中最大的；④使得成立的最大的自然數(shù)是4018.其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)__.（將你認(rèn)為正確的全部填上）【答案】①②④【解析】詳解】，或，假如,那么，假如,那么,又應(yīng)與異號(hào)，即和前面假設(shè)沖突了，,又或者,，那么應(yīng)當(dāng)大于1，又沖突了，因此，綜上所述，故①正確；，故②正確；由結(jié)論①可知數(shù)列從2010項(xiàng)起先小于1，所以為最大項(xiàng)，故③不正確；由結(jié)論①可知數(shù)列從2010項(xiàng)起先小于1，，因?yàn)閿?shù)列從2010項(xiàng)起先小于1，所以當(dāng)時(shí)，成立的最大的自然數(shù)，求得，故④正確，故答案為①②④.三、解答題（本題共6道小題，第1題10分，第2題12分，第3題12分，第4題12分，第5題12分，第6題12分，共70分）17.在△ABC中，內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大??；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值【答案】（1）B=60°（2）【解析】（1)由正弦定理得【考點(diǎn)定位】本題主要考察三角形中的三角函數(shù)，由正余弦定理化簡(jiǎn)求值是真理18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2），利用錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列的和.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，，滿意上式，故.（2），則，，兩式相減得到：，化簡(jiǎn)整理得到：.【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.19.如圖，在矩形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上.（1）若點(diǎn)F是上靠近C的三等分點(diǎn)，試用，表示；（2）若有向量滿意，點(diǎn)是上靠近C的四等分點(diǎn)，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）以向量作為基底向量，結(jié)合向量的加法運(yùn)算，得出；（2）建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算，得出的值.【詳解】（1）（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系設(shè)則，，解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了用基底表示向量以及已知向量共線求參數(shù)，屬于中檔題.20.六安市某棚戶(hù)區(qū)改造，四邊形為擬定拆遷棚戶(hù)區(qū)，測(cè)得,千米，千米，工程規(guī)劃用地近似為圖中四邊形的外接圓內(nèi)部區(qū)域.（Ⅰ）求四邊形的外接圓半徑；（Ⅱ）求該棚戶(hù)區(qū)即四邊形的面積的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）由題得：在，由余弦定理，求得，再由正弦定理，即可求解的值.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，由余弦定理得，進(jìn)而得到，即可得到結(jié)論.試題解析：（Ⅰ）由題得：在所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，由余弦定理得：即所以(當(dāng)且僅當(dāng)PB=PC時(shí)等號(hào)成立)而故21.已知數(shù)列滿意，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1),變形可得，利用累乘法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)由(1)可知，則利用放縮法可知，再利用裂項(xiàng)相消即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由得，即，∴即，∵，所以，又滿意，所以（2）證明：∵，.∴.故.【點(diǎn)睛】本題考查累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式，考查利用放縮法和裂項(xiàng)相消求和證明數(shù)列不等式，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力與推理實(shí)力，屬于中檔題.22.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿意.，（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）若不等式，對(duì)隨意恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；（2）.【解析】【分析】（1）由與關(guān)系，得出的遞推關(guān)系，再用等差數(shù)列的定義，證明為等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)，即可求得的通項(xiàng)公式；（2）不等式，對(duì)隨意恒成立，分別參