西藏拉薩中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第六次月考試題理含解析

PAGE19-西藏拉薩中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第六次月考試題理（含解析）（滿分：150分，考試時間：120分鐘．請將答案填寫在答題卡上）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合為整數(shù)集，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：，所以，故選D.考點(diǎn)：集合的交集運(yùn)算.2.已知非零向量滿意，且，則與的夾角為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查利用平面對量數(shù)量積計(jì)算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角．【詳解】因?yàn)?，所?0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．【點(diǎn)睛】對向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，留意向量夾角范圍為．3.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由及即可得解.【詳解】由，可得.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)復(fù)數(shù)滿意，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算5.設(shè)函數(shù)f（x）=cosx+bsinx（b為常數(shù)），則“b=0”是“f（xA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)定義域?yàn)镽的函數(shù)為偶函數(shù)等價于進(jìn)行推斷.【詳解】時，,為偶函數(shù)；為偶函數(shù)時，對隨意的恒成立，，得對隨意的恒成立，從而.從而“”是“為偶函數(shù)”的充分必要條件，故選C.【點(diǎn)睛】本題較易，留意重要學(xué)問、基礎(chǔ)學(xué)問、邏輯推理實(shí)力的考查.6.命題“，使得”的否定形式是（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得【答案】D【解析】試題分析：的否定是，的否定是，的否定是．故選D．【考點(diǎn)】全稱命題與特稱命題的否定．【方法點(diǎn)睛】全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．對含有存在（全稱）量詞的命題進(jìn)行否定須要兩步操作：①將存在（全稱）量詞改成全稱（存在）量詞；②將結(jié)論加以否定．7.在棱長為2的正方體中，點(diǎn)O在底面ABCD中心，在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P則點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1的概率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】本題考查幾何概型，空間幾何體的體積，空間想象實(shí)力.到點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)在以點(diǎn)為球心，1為半徑的半球內(nèi)；其體積為正方體體積為則在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于1的概率為故選B8.設(shè)為常數(shù)，動點(diǎn)分別與兩定點(diǎn)，的連線的斜率之積為定值，若點(diǎn)的軌跡是離心率為的雙曲線，則的值為（）A.2 B.-2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意可分別表示出動點(diǎn)P與兩定點(diǎn)的連線的斜率，依據(jù)其之積為定值，求得x和y的關(guān)系式，對的范圍進(jìn)行分類探討，當(dāng)時，方程的軌跡為雙曲線，依據(jù)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可推斷出離心率，從而求得λ的值．【詳解】依題意可知，整理得，當(dāng)時，方程的軌跡為雙曲線，即，，，，.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：由指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可知，，即，選A考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)10.在“一帶一路”學(xué)問測驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對成果進(jìn)行預(yù)料．甲：我的成果比乙高．乙：丙的成果比我和甲的都高．丙：我的成果比乙高．成果公布后，三人成果互不相同且只有一個人預(yù)料正確，那么三人按成果由高到低的次序?yàn)锳.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙【答案】A【解析】【分析】利用逐一驗(yàn)證的方法進(jìn)行求解.【詳解】若甲預(yù)料正確，則乙、丙預(yù)料錯誤，則甲比乙成果高，丙比乙成果低，故3人成果由高到低依次為甲，乙，丙；若乙預(yù)料正確，則丙預(yù)料也正確，不符合題意；若丙預(yù)料正確，則甲必預(yù)料錯誤，丙比乙的成果高，乙比甲成果高，即丙比甲，乙成果都高，即乙預(yù)料正確，不符合題意，故選A．【點(diǎn)睛】本題將數(shù)學(xué)學(xué)問與時政結(jié)合，主要考查推理推斷實(shí)力．題目有肯定難度，留意了基礎(chǔ)學(xué)問、邏輯推理實(shí)力的考查．11.如圖所示，點(diǎn)從點(diǎn)動身，按逆時針方向沿邊長為的正三角形運(yùn)動一周，為△的中心，設(shè)點(diǎn)走過的路程為，△的面積為（當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，記面積為0），則函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】當(dāng)時,，為一次遞增函數(shù),去掉B；當(dāng)(BC中點(diǎn))時為一次遞減函數(shù)，去掉C,D；所以選A.點(diǎn)睛：(1)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)探討函數(shù)圖像時，先要正確理解和把握函數(shù)相關(guān)性質(zhì)本身的含義及其應(yīng)用方向.(2)在運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)特殊是奇偶性、周期、對稱性、單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時，要留意用好其與條件的相互關(guān)系，結(jié)合特征進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化探討.如奇偶性可實(shí)現(xiàn)自變量正負(fù)轉(zhuǎn)化，周期可實(shí)現(xiàn)自變量大小轉(zhuǎn)化，單調(diào)性可實(shí)現(xiàn)去，即將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化自變量大小關(guān)系12.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對隨意，都有成立，若，則滿意不等式的的范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，求得，則函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，把不等式，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】由題意，對隨意，都有成立，即，令，則，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)椴坏仁剑?，因?yàn)?，所以，所以不等式的解集為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)點(diǎn)運(yùn)算，以及利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，其中解答中依據(jù)選項(xiàng)及已知條件合理構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔試題.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.代數(shù)式的最小值為_________.【答案】【解析】試題分析：原代數(shù)式變形為：，令，因?yàn)椋瑒t原式（當(dāng)且僅當(dāng)“即”時取“”），所以的最小值為：.考點(diǎn)：1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；2.換元法；3.基本不等式求最值.14.已知是等差數(shù)列，公差不為零．若，，成等比數(shù)列，且，則，．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意列出關(guān)于、的方程組，即可解出這兩個量的值.【詳解】由題可得，，故有，又因?yàn)?，即，所?【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是依據(jù)題意列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組進(jìn)行求解，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中等題.15.已知點(diǎn)在函數(shù)（且）圖象上，對于函數(shù)定義域中的隨意，（），有如下結(jié)論：①；②；③；④．上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是．【答案】（1），（4）【解析】【詳解】試題分析：點(diǎn)在函數(shù)（且）圖象上，即∵對于函數(shù)定義域中的隨意的有∴結(jié)論（1）正確；又，∴結(jié)論（2）錯誤；又是定義域上的增函數(shù)，∴對隨意的不妨設(shè)，則，∴結(jié)論（3）錯誤，結(jié)論；又∴結(jié)論（4）正確；綜上，正確的結(jié)論是（1），（4）；16.已知為定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時，，若關(guān)于的方程()有且僅有6個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性作出函數(shù)的圖象，利用換元法推斷函數(shù)的根的個數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)論．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖：則在和上遞增，在和上遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值；當(dāng)時，取得微小值，關(guān)于的方程()有且僅有6個不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)，則當(dāng)，方程有個根，當(dāng)，方程有個根，當(dāng)或，方程有2個根，當(dāng)，方程有4個根，當(dāng)，方程有0個根．則必有兩個根、，則有兩種狀況符合題意：①，且，此時，則；②，，此時同理可得，綜上可得a的范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程，考查函數(shù)的表示法以及一次函數(shù)和二次函數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯思維實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于?？碱}.三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比數(shù)列，求cosB的最小值．【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡，再利用誘導(dǎo)公式變形即可得證；（Ⅱ）由a，bc成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosB，將得出的關(guān)系式代入，并利用基本不等式變形即可確定出cosB的最小值試題解析：（Ⅰ）∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b=a+c，利用正弦定理化簡得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立，∴cosB的最小值為．考點(diǎn)：余弦定理；正弦定理18.為了預(yù)防某種流感擴(kuò)散，某校醫(yī)務(wù)室實(shí)行主動的處理方式，對感染者進(jìn)行短暫隔離直到康復(fù)．假設(shè)某班級已知6位同學(xué)中有1位同學(xué)被感染，須要通過化驗(yàn)血液來確定被感染的同學(xué)，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性即被感染，呈陰性即未被感染．下面是兩種化驗(yàn)方案．方法甲：逐個化驗(yàn)，直到能確定被感染的同學(xué)為止．方案乙：先任取3個同學(xué)，將他們的血液混在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性則表明被感染同學(xué)為這3位中的1位，后再逐個化驗(yàn)，直到能確定被感染的同學(xué)為止；若結(jié)果呈陰性，則在另外3位同學(xué)中逐個檢測．（1）求方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)等于方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；（2）表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)，表示方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，假設(shè)每次化驗(yàn)的費(fèi)用都相同，請從經(jīng)濟(jì)角度考慮哪種化驗(yàn)的方案最佳．【答案】（1）（2）方案乙最佳．【解析】【分析】（1）設(shè)表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)為i次，表示方案乙所需化驗(yàn)的次數(shù)為j次，分別求得甲乙兩種方案各需化驗(yàn)次數(shù)的概率，即可求得兩種方案所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；（2）由題意可知的可能取值為1，2，3，4，5．的可能取值為2，3．分別求得兩種化驗(yàn)方案的期望，即可比較.【詳解】設(shè)表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)為次，表示方案乙所需化驗(yàn)的次數(shù)為j次，方案甲與方案乙相互獨(dú)立．（1），，，，用事務(wù)D表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)等于方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，則（2）的可能取值為1，2，3，4，5．的可能取值為2，3．由（1）知，所以，，.所以．因?yàn)?，所以從?jīng)濟(jì)角度考慮方案乙最佳．【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量期望的求法及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19.在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，四邊形是矩形，平面平面，，，，為的中點(diǎn)，為線段上的一點(diǎn).（1）求證：；（2）若二面角大小為，求的值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）連接DB，由已知可得△ABD為等邊三角形，得到DE⊥AB，則DE⊥DC，再由ADNM為矩形，得DN⊥AD，由面面垂直的性質(zhì)可得DN⊥平面ABCD，得到DN⊥DE，由線面垂直的推斷可得DE⊥平面DCN，進(jìn)一步得到DE⊥CN；（2）由（1）知DN⊥平面ABCD，得到DN⊥DE，DN⊥DC，又DE⊥DC，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DE、DC、DN分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，λ∈[0，1]，分別求出平面PDE與平面DEC的一個法向量，由二面角P﹣DE﹣C的大小為列式求得λ即可．【詳解】（1）連接.在菱形中，，，為等邊三角形.又為的中點(diǎn)，.又，.四邊形矩形，.又平面平面，平面平面，平面，平面.平面，.又平面平面，.（2）由（1）知平面，平面，。兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.由圖形知，平面的一個法向量為，則，即，即.，解得，的值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，考查了線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)的應(yīng)用，考查空間想象實(shí)力與思維實(shí)力，訓(xùn)練了利用空間向量求解線面角，是中檔題．20.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上（1）求的方程（2）直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C的方程.（II）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立得,所以于是.試題解析：解：（Ⅰ）由題意有解得,所以橢圓C的方程為.（Ⅱ）設(shè)直線,,把代入得故于是直線OM的斜率即,所以直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.考點(diǎn)：本題主要考查橢圓方程、直線與橢圓及計(jì)算實(shí)力、邏輯推理實(shí)力.21.已知函數(shù).(1)求證：；(2)若對恒成立，求的最大值與的最小值.【答案】（1）詳見解析；（2）的最大值為，的最小值為1.【解析】試題分析：（1）求，由，推斷出，得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而；（2）由于，“”等價于“”，“”等價于“”，令，則，對分；；進(jìn)行探討，用導(dǎo)數(shù)法推斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定當(dāng)對恒成立時的最大值與的最小值.（1）由得，因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而.（2）當(dāng)時，“”等價于“”，“”等價于“”，令，則，當(dāng)時，對隨意恒成立，當(dāng)時，因?yàn)閷﹄S意，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而對隨意恒成立.當(dāng)時，存在唯一的使得，、在區(qū)間上的狀況如下表：

因?yàn)?/p>