北京市懷柔區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE14-北京市懷柔區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）第Ⅰ卷（選擇題，共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.拋物線y2=4x的焦點坐標是A.（0,2） B.（0,1） C.（2,0） D.（1,0）【答案】D【解析】試題分析：的焦點坐標為，故選D.【考點】拋物線的性質(zhì)【名師點睛】本題考查拋物線的定義．解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要分支，圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，它們的定義、標準方程、簡潔幾何性質(zhì)是我們要重點駕馭的內(nèi)容，肯定要熟記駕馭．2.假如，那么下面肯定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)及不等式的性質(zhì)即可推斷每個選項的正誤，從而找出正確的選項．【詳解】∵，∴，∴A錯誤；∵當(dāng)時，且，∴成立；當(dāng)時，且，成立，當(dāng)時，且，.∴B錯誤；∵，∴正確，∴C正確；∵，∴，∴D錯誤．故選：C【點睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查了計算實力，屬于基礎(chǔ)題．3.雙曲線的漸近線方程為A. B. C. D.【答案】B【解析】焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程為，由得，，則雙曲線的漸近線方程為，故選B.4.過點拋物線的標準方程為（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】由題意設(shè)出拋物線方程為或，結(jié)合拋物線過點（﹣1，1）分類求得a的值即可．【詳解】由題意可設(shè)拋物線方程為或，∵拋物線過點（﹣1，1），∴當(dāng)拋物線方程為時，得a＝﹣1；當(dāng)拋物線方程為時，得a＝1．∴拋物線的標準方程是或.故選：D【點睛】本題考查拋物線標準方程的求法，考查了分類探討的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題．5.已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下面不肯定成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的單調(diào)性即可推斷．【詳解】利用等差數(shù)列的單調(diào)性可得：若，所以公差，所以等差數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，成立，∴A，B正確；則不肯定成立，例如時不肯定成立，∴D不肯定成立；若，則，所以成立，∴C正確.故選：D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．6.已知橢圓與雙曲線的焦點相同，且橢圓上隨意一點到兩焦點的距離之和為，那么橢圓的離心率等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：因為雙曲線的焦點在x軸上,所以設(shè)橢圓的方程為,因為橢圓上隨意一點到兩焦點的距離之和為,所以依據(jù)橢圓的定義可得,則,,選B考點：橢圓定義離心率7.若是直線的方向向量，是平面的法向量，則直線與平面的位置關(guān)系是（）A.直線在平面內(nèi) B.平行 C.相交但不垂直 D.垂直【答案】C【解析】【分析】先推斷與是否共線或垂直，即可得出結(jié)論．【詳解】∵，，假設(shè)存在實數(shù)，使得，則，即無解.不存在實數(shù)，使得成立，因此l與α不垂直．由，可得直線l與平面α不平行．因此直線l與平面α的位置關(guān)系是相交但不垂直．故選：C【點睛】本題考查了向量共線定理、數(shù)量積運算性質(zhì)、線面位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．8.已知，，則、之間的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式求出m的最小值，一次函數(shù)的性質(zhì)推斷n的最大值，進而比較大小即可．【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.∵，∴在上遞增，∴，∴.故選：A【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查基本學(xué)問的理解與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．9.不等式的解集是____________.【答案】【解析】【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組或，利用一元一次不等式的解法求解即可.【詳解】依題意，不等式可化為不等式組或，解得.故答案為：.【點睛】本題主要考查不等式解法，關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化為特定的不等式去解，屬于基礎(chǔ)題．10.雙曲線的實軸長為______，離心率為______．【答案】(1).4(2).【解析】【分析】利用雙曲線方程求解實軸長，離心率即可．【詳解】雙曲線的，，＝，可得實軸長，＝.故答案為：4，【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，實軸長和離心率，屬于基礎(chǔ)題．11.若，均為正數(shù)，且1是，的等差中項，則的最大值為______．【答案】1【解析】【分析】依據(jù)題意，，利用基本不等式求出即可．【詳解】若，均為正數(shù)，且1是，的等差中項，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)取等號.故答案為：1【點睛】本題考查等差中項的定義，也考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12.在數(shù)列中，是它的第_______項．【答案】6【解析】【分析】依據(jù)題意，可得數(shù)列的通項公式，進而解＝可得的值，即可得答案．【詳解】依據(jù)題意，數(shù)列…中，其通項公式，令＝，解得，即是數(shù)列的第6項.故答案為：6【點睛】本題考查數(shù)列的表示方法，留意數(shù)列通項公式的定義，屬于基礎(chǔ)題．13.已知平面的一個法向量是，且點在平面上，若是平面上隨意一點，則向量______，點的坐標滿意的方程是______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】由題意，利用向量坐標運算法則能求出向量，再由平面的一個法向量是，得到＝0，由此能求出點的坐標滿意的方程．【詳解】∵平面α的一個法向量是，且點在平面上，是平面上隨意一點，∴向量＝，∴＝，∴點的坐標滿意的方程是．故答案為：，【點睛】本題考查向量的求法，考查平面對量坐標運算法則、法向量等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題．14.在平面直角坐標系中，曲線是由到兩個定點和點的距離之積等于的全部點組成的．對于曲線，有下列四個結(jié)論：①曲線是軸對稱圖形；②曲線中心對稱圖形；③曲線上全部的點都在單位圓內(nèi)；其中，全部正確結(jié)論的序號是__________．【答案】①②【解析】【分析】由題意曲線是平面內(nèi)與兩個定點和的距離的積等于常數(shù)，設(shè)動點坐標為，得到動點的軌跡方程，然后由方程特點即可加以推斷．【詳解】由題意，設(shè)動點坐標為，利用題意及兩點間的距離公式的得：，對于①，分別將方程中的被﹣代換不變，被﹣代換不變，方程都不變，故關(guān)于軸對稱和軸對稱，故曲線是軸對稱圖形，故①正確對于②，把方程中的被﹣代換且被﹣代換，方程不變，故此曲線關(guān)于原點對稱，曲線是中心對稱圖形，故②正確；對于③，令＝0可得，，即2=1+，此時對應(yīng)的點不在單位圓2+2=1內(nèi)，故③錯誤．故答案為：①②【點睛】本題考查了利用干脆法求出動點的軌跡方程，考查了運算實力和轉(zhuǎn)化實力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15.已知等差數(shù)列滿意，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿意，，問：與數(shù)列的第幾項相等？【答案】（1）；（2）第31項【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知條件列出關(guān)于，的方程組，解出即可；（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知條件列出關(guān)于，的方程組，解出即可．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，且，所以，解得，．所以．（2）由（1）題意可得，設(shè)數(shù)列的公比為，因為，且，所以，解得，，所以．由，得.∴與數(shù)列的第31項相等．【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．16.在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，，，，為中點．（1）求證：；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）詳見解析；（2）．【解析】【分析】（1）以為原點，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，計算得，即可證明結(jié)論；（2）先求出，再利用向量夾角公式即可得出.【詳解】（1）由題意在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，以為原點，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，，，，．因為為中點，所以，所以，，所以，所以．（2）由（1）得，，，，，所以與所成角的余弦值為．【點睛】本題考查了異面直線所成的角、向量夾角公式、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．17.已知橢圓的右焦點，且點在橢圓上．（1）求橢圓的標準方程；（2）過點且斜率為1的直線與橢圓相交于、兩點，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由題意可得a，c的值，由a，b，c的關(guān)系可得b，進而得到橢圓方程；（2）過點F且斜率為1的直線方程設(shè)為y＝x﹣，聯(lián)立橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，可得|MN|，再由點到直線的距離公式可得O到MN的距離d，運用三角形的面積公式，計算可得所求值．【詳解】（1）由題意，橢圓焦點且過點，得，．又，所以橢圓方程為．（2）由題意得，直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，得，得，則，又，所以．設(shè)原點到直線的距離為，．所以的面積．【點睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，也考查點到直線的距離公式和三角形的面積求法，屬于中檔題．18.已知數(shù)列滿意，，數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）由已知條件得an+1﹣an＝2，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出an；且，當(dāng)時，bn＝Sn﹣Sn﹣1，當(dāng)n＝1時，，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出bn；（2）由（1）得，利用分組求和求和即可.【詳解】（1）因為，，所以為首項是1，公差為2的等差數(shù)列，所以．又當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，①②由得，即（），所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故．（2）由（1）得，所以．【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、分組求和方法，屬于基礎(chǔ)題．19.如圖，在直三棱柱中，，，點，，分別為棱，，的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。唬?）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成的角為？假如存在，求出線段的長；假如不存在，說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）點存在，即的中點，．【解析】【分析】（1）以為原點，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，求出和平面的法向量為，得，進而證出結(jié)論；（2）求出平面的法向量為，平面法向量，得，進而得出結(jié)論；（3）設(shè)，利用直線與平面所成的角為，結(jié)合向量夾角公式列出關(guān)于的方程解出即可.【詳解】（1）在直三棱柱中，平面，又因為，以為原點，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系．由題意得，，，，，．所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，于是．又因為，所以．又因為平面，所以平面．（2）設(shè)平面的法向量為，，，，即，令，得，，于是，平面法向量，．所以二面角的大小為．（3）．設(shè)直線與平面所成角為，則，設(shè)，則，，所以，解得或（舍），所以點存在，即的中點，．【點睛】本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、法向量的應(yīng)用、向量夾角公式、數(shù)量積運算性質(zhì)，屬于中檔題．20.已知橢圓（1）求橢圓標準方程和離心率；（2）是否存在過點的直線與橢圓相交于，兩點，且滿意．若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1），；（2）存在，7x﹣+3＝0或7x+﹣3＝0【解析】【分析】（1）將橢圓方程化為標準方程，可得a，b，c，由離心率公式可得所求值；（2）假設(shè)存在過點P（0，3）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且滿意，可設(shè)直線l的方程為x＝m（y﹣3），聯(lián)立橢圓方程，消去x可得y的二次方程，運用韋達定理和判別式大于0，再由向量共線的坐標表示，化簡整理解方程，即可推斷是否存在這樣的直線．詳解】（1）由，得，進而，；（2）假設(shè)存在過點P（0，3）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且滿意，可設(shè)直線l的方程為x＝m（y﹣3），聯(lián)立橢圓方程x2+2y2＝4，可得（2+m2）y2﹣6m2y+9m2﹣4＝0