高考數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

1.元素與集合的關(guān)系

x￡A=xe,xeCclAu>x仁A.

2.德摩根公式

Cv(An8)=CVAuCVB-CV(AU8)=C^A^B.

3.包含關(guān)系

B=AA\JB=B<^>AQ.B<=>C(JBQ,C11A

=4門，8=中OC04U6=R

4.容斥原理

card(AU8)=cardA+cardB-card(AClB)

card(AU8UC)=cardA+cardB+cardC-card(AAB)

-card(APlB)-card(BDC)-card(CD4)+card(AClBDC).

5.集合｛q,出，…,%｝的子集個數(shù)共有2"個；真子集有2"-1個；非空子集有2"-1個；非空的真子集

有2"-2個.

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式/(x)=ax2+bx+c(a豐0);

(2)頂點(diǎn)式/(x)=a(x-h)2+k(a^0);

⑶零點(diǎn)式f（x）=a（x-玉）（x-x2）（aw0）.

7.解連不等式N</（x）<M常有以下轉(zhuǎn)化形式

,,,、M+N,M-N

"(x)———1<^—

11

=-------->-------

f(x)-NM-N

8.方程/（x）=0在（匕，右）上有且只有一個實(shí)根,與f（kjf氏）<0不等價(jià),前者是后者的一個必要而不是

充分條件.特別地，方程ax2+bx+c=0（。H0）有且只有一個實(shí)根在的，七）內(nèi)，等價(jià)于/（匕）/（七）<0，或

/（&I）=0且&]<--<，或/（%2）=0且<--<七.

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)/（》）=辦2+區(qū)+，（。/0）在閉區(qū)間值司上的最值只能在》=-二處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具

2a

體如下：

⑴當(dāng)a>0時(shí)，若.1=-丁w[p,q],則/（x）min=/（一?。?/（x）1rax｛/（P）J（q）｝；

X=-?史[p，q]，/(X)max=max{/(P)J(4)}，/(初血=min{/(P)，/⑷}?

2a

〃

⑵當(dāng)a<0時(shí)，若x=-『e[p,q],則/(初檢=min{/(p)，/⑷},若％=-丁h任[p,q],則

2a2a

/(x)max=max{/(p),/(q)},/U)min=min{/(p),/(^)}.

10.一元二次方程的實(shí)根分布

依據(jù)：若/（⑼/（〃）<0,則方程/（x）=0在區(qū)間（加,“）內(nèi)至少有一個實(shí)根.

設(shè)/(3)=々+px+q,則

/72-4<y>0

（1）方程/（x）=O在區(qū)間（〃7,+8）內(nèi)有根的充要條件為/（，”）=0或?n；(2)方程/(x)=O在

——>m

[2

/(機(jī))=0/(〃)=0

區(qū)間（加,〃）內(nèi)有根的充要條件為/（加）/（〃）<0或,p2-4q20或，或“

,?/,(?)>0af(m)>0'

p

m<---<n

[2

p2-4q>0

（3）方程/（x）=O在區(qū)間（-8,〃）內(nèi)有根的充要條件為/（機(jī)）<0或p

---<m

I2

11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

⑴在給定區(qū)間（-00,+8）的子區(qū)間L（形如陵⑶，（-00,^],卜+8）不同）上含參數(shù)的二次不等式

/（x,f）20（f為參數(shù)）恒成立的充要條件是f（x,t）min>0（x仁L）.

（2）在給定區(qū)間（-8,+8）的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式/（x,f）20（，為參數(shù)）恒成立的充要條件是

（皿）.

a>Q

a<0

⑶/(x)=ax4+bx2+c>0恒成立的充要條件是<〃20或<

b2-4ac<0

c>0

12.真值表

Pq非PP或qp且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常見結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個一個也沒有

都是不都是至多有一個至少有兩個

大于不大于至少有〃個至多有（〃-1）個

小于不小于至多有〃個至少有（〃+1）個

對所有X,存在某X,

成立不成立p或q—?p且一\([

對任何X,存在某X,

不成立成立，且4或-1g

14.四種命題的相互關(guān)系

15.充要條件

(1)充分條件：若pnq,則P是<7充分條件.

(2)必要條件：若qnp,則p是q必要條件.

(3)充要條件：若p=>q,且q=>p,則〃是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

16.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)玉?x26［a,/?］』Hx2那么

(七一》2)［/(為)一/(々)］〉00>0。/⑴在［。力］上是增函數(shù)；

U1-x2)［/U1)-/(x2)］<0?/在月/口<0o/(x)在［。用上是減函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果((x)>0,則/(x)為增函數(shù)；如果尸(x)<0,則/(x)為

減函數(shù).

17.如果函數(shù)/(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減函數(shù)；如果函數(shù)

y=/(〃)和〃=g(x)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)y=〃g(x)］是增函數(shù).

18.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那

么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).

19.若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，貝ij/(x+a)=/(—x—a)；若函數(shù)y=/(x+a)是偶函數(shù)，則

/(x+a)=/(_x+a).

20.對于函數(shù)y=/(x)(xw/?),f(x+a)=/g—x)恒成立,則函數(shù)/(x)的對稱軸是函數(shù)x=g女；兩

個函數(shù)>=/。+4)與〉=/0—》)的圖象關(guān)于直線x=對稱.

21.若/(x)=—”—x+a),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)弓,0)對稱；若/(x)=，貝U函數(shù)

)，=/(x)為周期為2a的周期函數(shù).

22.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)=anx"++…+4的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)。尸(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)=P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

23.函數(shù)y=/(x)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱。f(a+x)=f(a-x)

<=>/(2a-x)=/(x).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線8=審對稱=/(a+mx)=f(h-mx)

of(a+b-mx)-f(mx).

24.兩個函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對稱.

(2)函數(shù)y=f(mx-a)與函數(shù)y=/(。一"x)的圖象關(guān)于直線x=-對稱.

2m

(3)函數(shù)y=/。)和、=/T(X)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

25.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移。、上移b個單位，得到函數(shù)y=/(x-a)+6的圖象；若將曲線

/(x,y)=0的圖象右移a、上移b個單位，得到曲線/(工一。廣一》)=0的圖象.

26.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系

f(a)=b<=>f''(b)=a.

27.若函數(shù)y=/(乙+匕)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y=H/T(x)—6],并不是y="T(kx+b),而函數(shù)

k

y=[/t(點(diǎn)+b)是y=-[fM-b]的反函數(shù).

k

28.幾個常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)/(x)=ex,f{x+y)=f{x}+/(y),/⑴=c.

(2)指數(shù)函數(shù)f(x)=ax,f(x+y)=/(x)/(y),/(D=a*0.

⑶對數(shù)函數(shù)/(x)=logox,/(xy)=/(x)+/(y),/(a)=l(a>0,aW1).

(4)嘉函數(shù)f(x)=x",f(xy)=/(x)/(y),/'(l)=a.

(5)余弦函數(shù)f(x)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),

x->0x

29.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),則/(x)的周期T=a；

(2)f(x)=f(x+a)=0,

或f(x+a)=—^―(/(x)w0),

fix')

^/(x+a)=--^—(/(x)^0),

/(x)

或;+J/(x)-/2(x)=/(x+a),(/(x)e[0,l]),則/(x)的周期T=2a；

(3)/(x)=1---1—(/(x)豐0),則/(x)的周期T=3a；

f(x+a)

(4)/(x,+x2)=/與匕像且f⑷=l(/(x,)?/(x2)聲1,0"—/l<2a),則f(x)的周期T=4a;

(5)f(x)+f(x-l-a)+f(x+2a)f(x+3a)-l-f(x+4ci)

=f(x)/(x+tz)f(x+2d)/(x+3a)/(x+4z),則于(x)的周期T=5a；

(6)f(x+a)=/(%)-f(x+a),則f(x)的周期T=6a.

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

巴1

(1)an--f=(tz>0,m,nsN",且〃>1).

nIm

7a

-"1

(2)a"(a>O,m,neN*,且〃>1)?

an

31.根式的性質(zhì)

(1)(Vaf=a.

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，而=a；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，U"=lal=<

-a,a<0

32.有理指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)

(1)優(yōu)=a』(a>O,r,seQ).

(2)(優(yōu))'=a"(a>O,r,se。).

(3)(ab\-a'br(a>0,b>O,reQ).

注：若a>0,p是一個無理數(shù)，則針表示一個確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)黑的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)

賽都適用.

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

log〃N=boa"=N(a>0,a",N>0).

34.對數(shù)的換底公式

102N

k>g“N=——-—(a〉0,且awl,機(jī)>0,且他wl,N>0).

log,”a

Yl

推論loghn=—log,b(a〉0,且a>1,加,〃>0,且加w1,〃w1,N〉0).

"m

35.對數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a>0,aWLM>0,N>0,貝(J

(1)log”(MN)=log”M+k)g“N;

M

⑵!ogfl—=log?M-logfl^;

⑶log“Mn=nlog?M(neR).

36.設(shè)函數(shù)/(x)=log,,,(ax2+bx+c)僅H0),記A=從一4ac.若/(x)的定義域?yàn)镽,則。〉0,且△<();

若/(x)的值域?yàn)镽,則a>0,且△20.對于a=0的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).

37.對數(shù)換底不等式及其推廣

若a>0">0,x>0,則函數(shù)ydog/bx)

a

⑴當(dāng)a>b時(shí)，在(0」)和(L+8)上y=log”,3x)為增函數(shù).

aa

,(2)當(dāng)。<b時(shí),在(0,-)和(L+oo)上y=logat(bx)為減函數(shù).

aa

推論:設(shè)〃>機(jī)>1，/?>0<a>0，且awl，貝II

⑴log,“+/,(〃+P)<log“"

⑵10g(,7M10gflrt<10ga.

38.平均增長率的問題

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為〃，則對于時(shí)間x的總產(chǎn)值y,有丫='(1+2)\

39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

5.,n-1

c（數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)的和為,=%+。2+…

s“一%」，〃N2

40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=ax+(〃一l)d=dn+a1-d(neN*)；

其前n項(xiàng)和公式為

〃(q+a“),n(n-l)

s,=----!------=na.+---------a

n2*12

d2/1

=—M+（兄—d）n.

22

41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=%q""=S-q"(nsN*)；

q

其前n項(xiàng)的和公式為

i-q

navq-\

‘幺乜q—l

或s〃=<\-q.

叫,q=1

42.等比差數(shù)列{an}:atl+l=qa〃+d,q=伙qwO)的通項(xiàng)公式為

b+(n—l)d,q=1

z>qw]

lq-i

其前n項(xiàng)和公式為

幾b十幾(n一l)d,(q=1)

$〃=,八d、i-q"上d-

31——)——----小(qWl)

1-qq-\\-q

43.分期付款(按揭貸款)

每次還款X=元(貸款。元,〃次還清，每期利率為b).

(1+6)"-1

44.常見三角不等式

乃

(1)若xE(0,—),則sinx<x<tanx.

2

（2）若元￡（0,工），貝!jl<sinx+cosx4亞.

2

（3）IsinxI+1cosxl>1.

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin2^4-cos20-\ytan。二包且，tan6-cotO=1.

cos9

46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號看象限）

./兀、(T/sina,(n為偶數(shù))

sin(—+6Z)=<7

[(-IVcosa,s為奇數(shù))

n

(n為偶數(shù))

/R7C(一l)2(:osa,

cos(——+a)-

2H+l

(n為奇數(shù))(-1)2sina,

47.和角與差角公式

sin(a±6)=sinacos[3±cosasin(3;

cos(a±/?)=cosacos￡干sinasinB;

/,小tana±tanJ3

tan(cr±J3)=---------.

1+tanatanft

sin(a+0sin(。一夕)=sin2a-sin20(平方正弦公式)；

cos(a+p)cos(a-〃)=cos2a-sin2/7.

asina+bcosa=J^"7P\in(a+0)(輔助角°所在象限由點(diǎn)(〃1)的象限決定，tan^=—).

a

48.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2cr-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

2tana

tan2a-

1-tan2a

49.三倍角公式

jrjr

sin3。=3sin夕一4sin3，=4sin^sin(y一0)sin(y+0).

兀兀

cos3。=4cos3。一3COS6=4COS0COS(y-0)COS(y+0)

cc3tantan3八,式八、,兀小

tan3。=-------；-----=tan0tan(---0)tan(—+0).

l-3tan2^33

50.三角函數(shù)的周期公式

27r

函數(shù)y=sin(691+"),x￡R及函數(shù)y=COS(GX+0),X￡R(A,a,0為常數(shù)，且AWO,s>0)的周期T=—；

CD

jrIT

函數(shù)y=tan(0x+°),+—eZ(A,夕為常數(shù)，且AWO,3>0)的周期7=—.

2CD

51.正弦定理

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=b2+c~-2bccosA;

b2-c2+a2-2cacosB;

c2-a2+b2-labcosC.

53.面積定理

(1)S=-ah=-bh=-ch(A>為、區(qū)分別表示a、b、c邊上的高).

22b2c

(2)S=—tzfesinC=—/?csin?l=—casing.

222

⑶"師際FW.

54.三角形內(nèi)角和定理

在AABC中，有A+5+C—7iu>C—71—(A+B)

=G=ZL-A±O=2C=27-2(A+8).

222

55.簡單的三角方程的通解

sinx=6T<=>x=%萬+(—1)，arcsina(攵eZ,la\<l).

cosx=a=x=2Z乃士arccosa(攵GZ,la\<l).

tanx=a=>x=k?+arctanQ(ZGZ.ae/?).

特別地，有

sina=sin/<=>a=攵)+(-1)A(3{keZ).

cosa=cos。=a=2k兀土(3(kGZ).

tana=tan〃na=攵〃+/7(左￡Z).

56.最簡單的三角不等式及其解集

sinx>a(\a\<l)<=>xe(2k/i+arcsina,2k乃+萬一arcsina).kGZ.

sinx<6/(1<2l<1)<=>xG(2左乃-7t-arcsina,2k兀+arcsina),keZ.

cosx>a(\a\<l)oxe(2左乃-arccosa,2k/r+arccosa),keZ.

cosx<6/(1al<1)<=>xG(2&乃+arccosa,2k兀+2乃一arccostz),keZ.

7t

tanx>a(aG/?)=>xe(kn4-arctana.kzr+-keZ.

2

71

tanx<a(aG/?)=>xe(KK--,k7V+arctana).keZ.

57,實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

設(shè)入、口為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：入(口a)=(入P)a;

(2)第一分配律：(X+u)a=Xa+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)a?b=b?a(交換律)；

(2)(2a)?b=A(a?b)=Aa?b=a?(2b);

(3)(a+b)?c=a?c+b?c.

59.平面向量基本定理

如果&、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)人】、入

使得a二入161+入202.

不共線的向量&、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

60.向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)好(西，%)，1)=02，%)，且bWO,則ab(bW0)=8%一々%=。.

53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a?b=|a||b|cos。.

61.a-b的幾何意義

數(shù)量積a?b等于a的長度lai與b在a的方向上的投影Iblcos0的乘積.

62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴設(shè)a=(再，y，，b=。2，%)，則a+b=(玉+%2，/+%)?

⑵設(shè)好(斗，%)，1)二氏，、2)，則a-b=($-々，弘一為)?

(3)設(shè)A(%，M),Ba2,%)，則A6=。6-。4=(>2-芯，>2一X)?

(4)設(shè)a=(x,y),4￡R,貝ij4a=(Xx,4y).

⑸設(shè)a=(X[,%),b=。2,y2),則a?b=(x/+?%)?

63.兩向量的夾角公式

COSe=II2_/2(a=(X],X),b=(々，%))?

64.平面兩點(diǎn)間的距離公式

dAB=\~AB\=

二/每一玉產(chǎn)+5一/if(AO”％),B(x2,y2)).

65.向量的平行與垂直

設(shè)a=a，M),b=(X2，y2)，且bHO,則

A||bOb=Xaxty2-x2y,=0.

aJ_b(aH0)<=>a,b=0<=>x/,+yty2=0.

66.線段的定比分公式

設(shè)《(Xi，》)，P2(x2,y2),P(x,y)是線段的分點(diǎn)，2是實(shí)數(shù)，且m=2反，則

Xj+AX

x=2

1+20P+AOP

oOP}2

1+2

y=

1+2

oOP=tOP^(\-tSOP1(r=—

1+X

67.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(X],y])、B(x2,y2)>Ch，y?),則△ABC的重心的坐標(biāo)是

x,+x+x兄+%+%\

G(--2—3，---).

68.點(diǎn)的平移公式

x-x+hx=x-h---:—?—：

<.o<0OP=0P+PP.

y=y+ky=y-k

注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x,y)在平移后圖形/上的對應(yīng)點(diǎn)為P(x,y),且港的坐標(biāo)為(〃水).

69.“按向量平移”的幾個結(jié)論

⑴點(diǎn)P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點(diǎn)P(x+h,y+k).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象C按向量a=(〃#)平移后得到圖象C',則C的函數(shù)解析式為y=f(x-h)+k.

(3)圖象C'按向量a=(/z,A)平移后得到圖象。，若。的解析式y(tǒng)=/(x),則C?的函數(shù)解析式為

y=f(x+h)-k.

(4)曲線C:/(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后得到圖象C‘，則C’的方程為/(x-九y-幻=0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(/z,A)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)。為A48C所在平面上一點(diǎn)，角A,8,C所對邊長分別為a,b,c,則

(1)。為AABC的外心分次2=麗，=無]

(2)。為A4BC的重心=函+礪+歷=0.

(3)。為AA8C的垂心o次?麗=礪灰=麗方.

(4)。為AABC的內(nèi)心次+。歷+c1=0.

(5)。為AA8C的44的旁心oa/=b9+c反.

71.常用不等式：

a,beR^a2+b2>lab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=”號).

a,bwR*"叱之.(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=”號).

2

(3)a3+b3+c3>3abc(a>0,b>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,a,b,c,deR.

(5),z|-W+b\<|a|+1&|.

72.極值定理

已知都是正數(shù)，則有

(1)若積盯是定值p,則當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值2萬；

._1,

(2)若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)積盯有最大值7s2.

推廣已知則有(x+y)?=(X-y)2+2孫

(1)若積盯是定值，則當(dāng)lx-yl最大時(shí),lx+yl最大；

當(dāng)lx—yl最小時(shí),lx+yl最小.

(2)若和lx+yl是定值，則當(dāng)lx-yl最大時(shí)，1到1最小;

當(dāng)lx-yl最小時(shí)，Ixyl最大.

73.一元二次不等式ax?+bx+c〉0(或<0)(a工0,A=A：-4ac>0),如果a與。/+%無+。同號，則其

解集在兩根之外；如果。與a/+加:+c異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之

間.

玉<x<x2O(X-%1)(x-X2)<0(Xj<x2)；

X<尤]，或X>x2<=>(X-Xj)(j-X2)>0(Xj<尤2).

74.含有絕對值的不等式

當(dāng)a>0時(shí)，有

\x\<aoX2<a2o-a<x<a.

\x\>aox2>a2<=>x>ax<-a.

75.無理不等式

f/(x)>0

⑴"(x)>Jg(x)O.g(x)N0.

f(x)>g(x)

/(x)>0,

―/w>o

(2)Jt——/(x)>g(x)o(g(x)N?；?.

,g(x)<0

"(x)>[g(x)]28

/W>0

⑶"(x)<g(x)=<g(x)>0.

J(x)<[g(x)f

76.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式

(1)當(dāng)a>l時(shí)，

—8⑸o/(x)>g(x);

7(x)>0

log”/(x)>log”g(x)=<g(x)〉0.

/(x)>g(x)

(2)當(dāng)0<a<l時(shí)，

afM>agW<=>/(x)<g(x);

7(x)>o

log“/(x)>log。g(x)o<g(x)>。

J(x)<g(x)

77.斜率公式

k=b~~—（々（X|，x）、P2（x2,y2））.

X2~X\

78.直線的五種方程

（1）點(diǎn)斜式y(tǒng)—v=k（x—%）（直線/過點(diǎn)《（AM）,且斜率為女）.

（2）斜截式y(tǒng)=fcc+b（b為直線/在y軸上的截距）.

（3）兩點(diǎn)式~~工=（必，%）（e（X］，H）、鳥（々，力）（玉?！?

力一為々一』

（4）截距式e+工=1（4、b分別為直線的橫、縱截距，a、b=0）

ab

（5）一■般式Ax+8y+C=0（其中A、B不同時(shí)為0）.

79,兩條直線的平行和垂直

⑴若4:y=k}x+b\,l2-y=k2x+b2

①乙II4=仁=k"b\。b2；

②4J_，2=k?2=—1?

（2）若4:A/++G=。,4：+8）y+C?=0,且A］、A2、B］、B?都不為零,

①“心一冬=空箱；

AB2C2

②4u0=0；

80.夾角公式

⑴tana=1

1+左2左1

（4：），+々,12：了=卜.+憶用20一1）

(2)tana=1

4A?+

(4:4x+gy+G=O,"：4%+82丁+。2=。，44+B162。0)?

TT

直線4時(shí)，直線/1與，2的夾角是].

81.4到4的角公式

(l)tana=—~.

\+k2ky

儲：y=A|X+伉，l2\y^k2x+b2,kyk2=一1)

A,BQ-B,

(2)tana------—.

4A，2+B[B?

(4:AjX+8],+G=0,4：+巴丁+G=。，+B[B)w0).

TT

直線4JJ,時(shí)，直線/1到，2的角是生.

2

82.四種常用直線系方程

(1)定點(diǎn)直線系方程:經(jīng)過定點(diǎn)4(%,打)的直線系方程為y-X)=Z(x-X。)(除直線X=X。)，其中人是待定

的系數(shù)；經(jīng)過定點(diǎn)1(x0,為)的直線系方程為A(x—%)+6(y-％)=0,其中A,8是待定的系數(shù).

(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線4：4x+4y+C1=0,/2：4工+82>+。2=0的交點(diǎn)的直線系方程為

(4》+4)，+￡)+/1(4工+82丁+。2)=0(除4)，其中入是待定的系數(shù).

(3)平行直線系方程：直線+匕中當(dāng)斜率k一定而b變動時(shí)，表示平行直線系方程.與直線

Ar+8y+C=0平行的直線系方程是Ax+8y+/l=0(4*0),人是參變量.

(4)垂直直線系方程：與直線Ax+8y+C=0(AWO,B#0)垂直的直線系方程是—Ay+4=0,人

是參變量.

83.點(diǎn)到直線的距離

d=坐+“。+5(點(diǎn)p(x°,%)，直線/：Ax+By+C^0).

VA2+B2

84.4》+5)，+。>0或<0所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線/:Ai+6)，+C=0,則Ax+6y+C>0或<0所表示的平面區(qū)域是：

若BwO,當(dāng)B與Ax+By+C同號時(shí)，表示直線/的上方的區(qū)域；當(dāng)B與Ax+By+C異號時(shí)，表示直線/

的下方的區(qū)域.簡言之，同號在上，異號在下.

若6=0,當(dāng)A與Ax+By+C同號時(shí)，表示直線/的右方的區(qū)域；當(dāng)A與4+6)，+。異號時(shí)，表示直線/

的左方的區(qū)域.簡言之，同號在右，異號在左.

85.(A/+4y+G)(4x+鳥>+C?)>°或<°所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線C:(4x+B/+G)(A2X+B2y+G)=0(AtA2B.B2^0),貝U

(A/+Bty+C.XAx+B2y+C2)>0^4<0所表示的平面區(qū)域是：

(A}x+Bty+C,)(A2X+B2y+C2)>0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；

(A,x+6/+GXax+B2y+C2)<0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).

x=a+rcos0

(3)圓的參數(shù)方程《

y-b+rsmO

(4)圓的直徑式方程“一七)(工一了2)+0-〉])(＞一＞2)=0(圓的直徑的端點(diǎn)是4(%,%)、Bl/,%)).

87.圓系方程

(1)過點(diǎn)4蒞,以)，8(X2，%)的圓系方程是

(x-x1)(x-x2)+(y-y,)(y-y2)+/l[(x-x1)(y1-y2)-(y-y1)(x1-x2)]=0

O(x-X])(x-X2)+(y-M)(y-y2)+4(ax+Ay+c)=0,其中ax+by+c=0是直線AB的方程，X是待定的

系數(shù).

(2)過直線/:Ax+By+C=0與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F-0的交點(diǎn)的圓系方程是

x2+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=0,X是待定的系數(shù).

22

(3)過圓C,:V+V+Ax+Eiy+K=。與圓q.x+y+D2x+E2y+F2=0的交點(diǎn)的圓系方程是

222

x+y+D]X+￡,y+K+2(x+/+02尤++工)=0,人是待定的系數(shù).

88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)尸(為,先)與圓(%-?)2+(y-b)2=產(chǎn)的位置關(guān)系有三種

若d=J(a—x())2+(/?一%)2,貝ij

d＞r=點(diǎn)/3在圓夕卜；d=r=點(diǎn)P在圓上；d＜ru＞點(diǎn)P在圓內(nèi).

89.直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+%+C=0與圓(x—a)?+(y-加2=/2的位置關(guān)系有三種:

d>r=相離=△<();

d=r=相切<=>A=0;

d<r=相交?！?gt;().

|/lii+Bb+C|

其中d=

\]A2+B-

90.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為01,02,半徑分別為n,r2,\0102\^d

J>r(+r2<=>夕卜離<=>4條公切線；

d-r}+r2o外切o3條公切線；

|r(-r2|<J<r,+r2<=>相交o2條公切線；

d=|八-臼=內(nèi)切o1條公切線；

0cdeh-rj=內(nèi)含o無公切線.

91.圓的切線方程

(1)已知圓x2+y2+Dx+Ey+F=0.

①若已知切點(diǎn)(x°,%)在圓上，則切線只有一條，其方程是

D(x+x)[￡()'?+y),,

V+yy+nr0

Q22

￡(V

當(dāng)(x°,九)圓外時(shí)，x0x++個+')+y~+P=0表示過兩個切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程.

②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為y-%=女。-/)，再利用相切條件求k,這時(shí)必有兩條切線，注意不

要漏掉平行于y軸的切線.

③斜率為k的切線方程可設(shè)為y=H+b,再利用相切條件求b,必有兩條切線.

(2)已知圓/+)2=r2.

1

①過圓上的4(%,光)點(diǎn)的切線方程為x(}x+y()y=r;

②斜率為A-的圓的切線方程為y=kx+ryjl+k2.

1*2X—ClCOS0

92.橢圓?+彳=1(。>b>0)的參數(shù)方程是.八.

ab[y=/?sin夕

?2

93.橢圓x—+v==1(?！等恕?)焦半徑公式

ah

22

\PFA=e(x+—),\PF2\=e(--x).

cc

94.橢圓的的內(nèi)外部

2222

(1)點(diǎn)P(XO,%)在橢圓——+=1(。>。>0)的內(nèi)部<=>—T-<1.

ahb

222

(2)點(diǎn)F(x0,y0)在橢圓—7+=1(。>/?>0)的外部<=>—y+j-y>1.

95.橢圓的切線方程

22

(1)橢圓之+4=1(?！礲〉0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是誓+誓=1.

aha

22

(2)過橢圓j+與=1(。>6〉0)外一點(diǎn)P(x0,%)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

ab~

至+里=]

a2b2

22

(3)橢圓「+3=13＞8＞0)與直線4*+8)：+。=0相切的條件是屋/+82〃=。2.

ab

X1y2

96.雙曲線二一七=1(?！?/〉0)的焦半徑公式

ab~

|Pf；|=le(x+—)1,\PF2\=ie(---x)l.

cc

97.雙曲線的內(nèi)外部

2222

(1)點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線一^一斗~=1(。＞0,b＞0)的內(nèi)部=—r--＞1.

abab

2222

(2)點(diǎn)尸(x0,%)在雙曲線——二=1(。＞0/＞0)的外部=烏一冬＜1.

ab"ab~

98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

2222

(1)若雙曲線方程為0-上=1=＞漸近線方程：3—2=0°y^±-x.

ab~ba

22

(2)若漸近線方程為y=±2x=￡±￡=0n雙曲線可設(shè)為二一==九.

aaba

2222

(3)若雙曲線與占一2r=1有公共漸近線，可設(shè)為1一烏=九(九＞0,焦點(diǎn)在X軸上，九＜0,焦點(diǎn)在

a2b2a2b2

y軸上).

99.雙曲線的切線方程

22

(1)雙曲線二一與