高中數(shù) 1.2.4.2兩平面垂直的判定同步訓練 蘇教版必修2

【創(chuàng)新設計】-版高中數(shù)學1.2.4.2兩平面垂直的判定同步訓練蘇教版必修2eq\a\vs4\al\co1(雙基達標限時15分鐘)1．下列說法中，正確的是________．①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補；③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內作射線所成角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系．解析本題主要考查二面角的有關知識，關鍵是熟練把握二面角及其平面角的有關知識，由二面角定義可知，①不正確，實質上它共有4個二面角；由a、b均垂直于兩個面，則a、b都垂直于二面角的棱，故②正確；③中所作的射線不一定垂直于二面角的棱；故③不正確；由定義知④正確．故正確的為②④.答案②④2．給出下列四個命題：①經(jīng)過平面外一點有且僅有一個平面與已知平面垂直；②如果一條直線和兩個垂直平面中的一個垂直，它必和另一個平行；③過平面外的一條直線可作無數(shù)個平面與已知平面垂直；④如果平面α與平面β不垂直，則α內一定不存在垂直于平面β的直線．其中正確的是________．解析過平面外一點可作一條直線與平面垂直，過該直線的任何一個平面都與已知平面垂直，①不對；若α⊥β，a⊥α，則a?β或a∥β，②不對；③當平面外的直線是平面的垂線時，可以作無數(shù)個，否則只能作一個，③不對；若存在一條，則α⊥β，與已知矛盾，④對．答案④3．如圖所示，已知PA垂直于圓O所在平面．AB是圓O的直徑，C是圓周上一點．則圖中面面垂直的共有________對．解析∵PA⊥面ABC，PA?面PAC，PA?平面PAB，∴面PAC⊥面ABC，面PAB⊥面ABC.又BC⊥AC，PA⊥BC，∴BC⊥面PAC.又BC?面PCB，∴面PCB⊥面PAC.∴共3對．答案34．設m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若m⊥n，m⊥α，n?α，則n∥α；②若m∥α，α⊥β，則m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，則m∥α或m?α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β.則其中正確命題的序號為________．解析②中可能有m∥β，故②不正確．答案①③④5．一個平面與正方體的6個面所成的二面角都相等，則這個二面角的余弦值為________．解析如圖，平面A1BD與正方體各面所成的二面角都相等，設為α，取BD中點O，連接A1O，易證∠A1OA為所求，∴cosα＝eq\f(AO,A1O)＝eq\f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(6),2)a)＝eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)6．如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點．求證：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA.證明(1)如圖所示，取BC的中點F，連接DF.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BC，又由已知易得DF∥BC，∴DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵EF＝eq\f(1,2)EC＝BD.且由已知易得FD＝BC＝AB.∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故ED＝DA.(2)取CA的中點N，連接MN，BN，則MN綉eq\f(1,2)CE.又BD綉eq\f(1,2)CE∴MN∥BD，∴N點在平面BDM內．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，CA∩EC＝C，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MBD內，∴平面BDM⊥平面ECA.eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時30分鐘)7．已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則下列說法：①β內必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直；②β內不一定存在直線與m平行，也不一定存在直線與m垂直；③β內不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直；④β內必存在直線與m平行，但不一定存在直線與m垂直其中正確的是________．解析若β內存在直線n與m平行，由m⊥α知n⊥α.從而α⊥β，但α與β相交卻不一定垂直，又設α∩β＝a，由m⊥α知m⊥a，從而β內必有直線與m垂直．答案③8．已知a、b是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：①若a⊥α，a⊥β，則α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β③若α∥β，a?α，b?β，則a∥b；④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a∥b.其中正確命題的序號是________．解析垂直于同一直線的兩平面平行，①正確；α⊥β也成立，故②不正確；a、b也可異面，故③不正確；由面面平行性質知，a∥b，故④正確．答案①④9．已知α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出下列四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題________．解析eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,n⊥β))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥n,m⊥α))?m⊥n.同理，①③④?②.答案②③④?①(或①③④?②)10．如圖，已知點O在二面角α-AB-β的棱上，點P在α內，且∠POB＝45°，若對于β內異于O的任意一點Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α-AB-β的大小是________．解析由∠POB＝45°，∠POQ≥45°知PO與平面β成45°角．若作PQ⊥β于Q點，則∠POQ＝45°，∴Q∈AB.又PQ?α，∴α⊥β.答案90°11．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.過BD作與PA平行的平面，交側棱PC于點E，作DF⊥PB，交PB于點F.(1)證明：點E是PC的中點；(2)證明：PB⊥平面EFD；(3)求二面角C-PB-D的大小．(1)證明連接AC，交BD于點O，則O為AC的中點，連接EO.∵PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝OE，∴PA∥OE.∴點E是PC的中點．(2)證明∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形．而DE是斜邊PC的中線，∴DE⊥PC.∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，CD⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而DE?平面PDC，∴BC⊥DE.∴DE⊥平面PBC.∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB，又DF⊥PB且DE∩DF＝D，∴PB⊥平面EFD.(3)解由(2)知，PB⊥EF，已知PB⊥DF.故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，由(2)知，DE⊥EF，PD⊥DB.設正方形ABCD的邊長為a，∴PD＝DC＝a，BD＝eq\r(2)a，PC＝eq\r(2)a，DE＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△PDB中，DF＝eq\f(PD·BD,PB)＝eq\f(a·\r(2)a,\r(3)a)＝eq\f(\r(6),3)a.在Rt△EFD中，sin∠EFD＝eq\f(DE,DF)＝eq\f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(6),3)a)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠EFD＝60°，∴二面角C-PB-D的大小為60°.12．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是A1B1，BC，C1D1和B1C(1)求證：平面MNF⊥平面ENF；(2)求MF與平面ENF所成角的余弦值；(3)求二面角M-EF-N的平面角的正切值．(1)證明連接MN，∵N，F(xiàn)均為所在棱的中點，∴NF⊥平面A1B1C1D1而MN?平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN∵M，E均為所在棱的中點，∴△C1MN和△B1NE均為等腰直角三角形．故∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE，∴MN⊥平面NEF，而MN?平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.(2)解由(1)知，點M在平面EFN上的射影為點N，∴直線MF與平面NEF所成的角為∠MFN.設正方體的棱長為2，在Rt△MNF中，MN＝eq\r(2)，NF＝2，∴MF＝eq\r(6)，∴cos∠MFN＝eq\f(FN,MF)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3)，∴MF與平面ENF所成角的余弦值為eq\f(\r(6),3).(3)解過點N在平面NEF中，作NG⊥EF于點G，連接MG，易證MG⊥EF，∴∠MGN為二面角M-EF-N的平面角．在Rt△NEF中，NG＝eq\f(NE·NF,EF)＝eq\f(2\r(3),3)，∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝eq\f(MN,NG)＝eq\f(\r(2),\f(2\r(3),2))＝eq\f(\r(6),2).∴二面角M-EF-N的平面角的正切值為eq\f(\r(6),2).13．(創(chuàng)新拓展)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°.點D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)是否存在點E使得二面角A－DE－P為直二面角？并說明理由．(1)證明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又PA∩AC＝A，∴