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第4章小學數(shù)學學習過程教學目標1.理解小學中數(shù)學概念、數(shù)學運算、數(shù)學結論的基本特點和兒童的學習過程,了解數(shù)學問題解決的幾種模式,理解問題解決的學習過程2.培養(yǎng)基于兒童的思維特點和數(shù)學概念、數(shù)學運算、數(shù)學結論和問題解決等學習心理過程,分析兒童數(shù)學學習的困難,提升基于學習路徑的教學設計能力。3.提升關愛兒童、尊重兒童的育人觀念,確立研究兒童、為了兒童的數(shù)學教育情意,做新時代高素質(zhì)專業(yè)化創(chuàng)新型人民教師。教學資源1.認識11-20各數(shù)(教學視頻)2.小數(shù)除法(教學視頻)3.三角形內(nèi)角和(教學視頻)教學內(nèi)容情境導入在學習分數(shù)的意義之后,學生常常出現(xiàn)率和量不分的錯誤。例如,把有一根8米的長繩平均分成5份,每份占全長的幾分之幾?每份長幾分之幾米?學生的回答有時兩問都是。對此,作為新時代的高素質(zhì)專業(yè)化創(chuàng)新型教師,我們要問自己:兒童是怎么建構分數(shù)概念的?更一般的,小學數(shù)學概念的學習過程是怎樣的?小學數(shù)學運算的學習過程是怎樣的?小學數(shù)學結論的學習過程是怎樣的?小學數(shù)學問題解決的過程是怎樣的?4.1小學數(shù)學概念的學習過程小學數(shù)學中有很多概念,這些概念是構成小學數(shù)學基礎知識的重要組成部分,是學習其它數(shù)學知識(定律、性質(zhì)、法則、公式等)的基礎。4.1.1數(shù)學概念的含義數(shù)學概念是人們對現(xiàn)實對象的數(shù)量關系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式,是一種非?;A又極其重要的數(shù)學思維形式。也可以這樣說,如果數(shù)學是一個生物有機體,那么數(shù)學概念則是構成這個有機體的細胞。在一定程度上可以說,數(shù)學概念是每一個數(shù)學新知識的起點。我們常說的定理、推論、性質(zhì)、公式等,在某種程度上是數(shù)學概念的特征和之間關系的描述。例如,“三角形”的內(nèi)涵是“由三條線段圍成”“每相鄰兩條線段的端點相連”“圖形”,外延是所有的鈍角三角形、銳角三角形和直角三角形。正偶數(shù)概念的內(nèi)涵是“能被2整除”“正整數(shù)”,外延是{2,4,6,8,……}。數(shù)學概念的科學理解就是要明確概念的內(nèi)涵和外延兩個方面。4.1.2小學數(shù)學概念的學習過程由于小學生的思維以具體形象思維為主,逐步向抽象邏輯思維過渡,但是邏輯思維又是初步的。因此,小學數(shù)學概念的嚴謹性和抽象性處于比較初級的階段,在一定程度上根據(jù)直觀進行抽象。1.概念形成概念形成,是指從大量同類對象或者事實從發(fā),發(fā)現(xiàn)共性、抽象概括,歸納得到本質(zhì)屬性,得到概念的過程。這是學生學習數(shù)學概念的主要方式,通常需要經(jīng)歷“感知具體對象—嘗試建立表象—抽象本質(zhì)屬性—語言符號表示—運用到同類中”五個階段。根據(jù)小學生的思維特點和年齡、性格特征,教師在概念形成的教學中要注意以下幾點。第一、要提供大量同類事物或現(xiàn)象,只有一個事例不能抽象出數(shù)學概念。第二、提供的正例應具有代表性或典型性,便于小學生證實概念的本質(zhì)特征。正例就是正確的例子,包括標準形式和改變非本質(zhì)屬性所形成的變式。第三、提供的反例要恰當。第四、學生的感知方式要多元。教師可以通過看一看、摸一摸、畫一畫、想一想等教學活動,使小學生通過視覺、動作、圖像、表象等多種表征方式在感知的過程中逐步構建概念。2.概念同化概念同化,是指學習者利用認知結構中原有的概念理解新概念,再經(jīng)過對比、分析、推理等方法,辨析新概念與原有概念的異同,從而掌握新概念。學生只有在具備一定的數(shù)學能力、掌握一定的數(shù)學基本概念之后,才有可能用概念同化的方式學習。教師在概念同化的教學中要注意以下幾點:①教師要了解學生已有的知識基礎和經(jīng)驗,因為概念同構需要具備足夠的已有概念和知識經(jīng)驗;②教師要從更宏大的背景下看待新概念,即做到“跳出概念看概念”,找到新、舊概念之間真正的、內(nèi)在的聯(lián)系;③教師要突出新概念的關鍵特征,關鍵特征突出的越明顯,學生越容易迅速地聯(lián)系上已經(jīng)學過的相關知識。3.兩者聯(lián)系概念形成和概念同化兩種方式既有區(qū)別又相互滲透。前者強調(diào)對概念學習過程的認識,后者則強調(diào)新、舊概念之間的異同辨析。當小學生的數(shù)學概念有一定的積累或者學習水平達到一定的階段時,概念同化就成為一種重要的獲得概念的方式。在小學數(shù)學實際教學的中,常常將兩種方式結合起來使用。在概念同化為主的教學中,也會存在概念形成。例如,人教版六年級下冊“比例的意義”一節(jié)課,根據(jù)教材呈現(xiàn)內(nèi)容可以設計如下的教學過程。首先,探討操場上和教室里的兩面國旗長和寬的比值有什么關系?由此,引出定義“表示兩個比相等的式子叫做比例”。其次,回憶這個定義中已經(jīng)學過的重要概念“比”“相等”“式子”,引導學生辨析新概念“比例”和以前學過的概念“比”之間的區(qū)別和聯(lián)系。最后,列舉幾個例子強化對新概念的理解(例如,5:103=2.4:1.6,60:40=5:10上述教學過程中,學生獲得概念的方式主要是概念同化。但在概念同化的同時,又有概念形成的方式??梢姡處熗ㄟ^學校里的一個比較直觀易懂的實例引入,便于學生理解、掌握和運用。4.2小學數(shù)學運算的學習過程小學數(shù)學運算是理解和運用數(shù)學的工具。因此,我們要高度重視小學數(shù)學運算的教學,其前提是理解小學數(shù)學運算是什么、有什么。4.1.1數(shù)學運算的表現(xiàn)層次就小學生而言,數(shù)學運算的表現(xiàn)差異很大,可以分為技能、能力和素養(yǎng)三個層次。下面我們以計算為例,對這三個層次進行說明。1技能層次處于技能層次的學生,能夠快速的進行計算,過程很流暢、結果非常正確。主要表現(xiàn)為計算結果正確,且計算速度快。運算技能高的人看到,直接想到相當于計算250÷875,那就列豎式進行計算,很快就得到正確答案0.285714285714…。2能力層次運算能力強的學生,利用已有的運算性質(zhì)和運算律,把問題變得更好計算一些。這時的計算,而在于計算的原理和方法的掌握和運用,當然要保證結果正確。運算能力強的人,看到會想到利用運算律和性質(zhì),把計算變得簡單一些。0.25乘4等于1,利用商不變的性質(zhì),被除數(shù)和除數(shù)同時乘4,。再用豎式計算,就好計算多了。3素養(yǎng)層次運算素養(yǎng)強的學生,會先仔細觀察,預想不同的計算方法,并比較各種方法可能的結果,進而選擇比較合適的方法進行計算。運算素養(yǎng)強的人,看到會發(fā)現(xiàn)這是一個小數(shù)除法計算題,有三種計算方法:①直接用小數(shù)計算,但計算量很大;②化成整數(shù)除法,計算量會減少很多,但還有可能不好計算;③化成分數(shù)計算,計算量會大大減少(請注意:方法③已經(jīng)改變了運算對象,原來是小數(shù),現(xiàn)在改變成了分數(shù))。通過對這三種方法的預測和比較,采用第三種方法計算,會比較合適4.2.2小學數(shù)學運算的學習過程面對具體運算,學生需要經(jīng)歷問題解決和推理的過程。這是一個比較復雜的思維過程,大致需要經(jīng)歷四個階段,即理解運算符號、理解與表征數(shù)、尋求計算方法、做計算出結果。下面我們以12+25為例,來說階段示例理解運算符號這個算式是加法,即求和。因為12>0,25>0,所以12+25>12,12+25>2理解與表征數(shù)①借助小數(shù)來理解分數(shù),12=0.5,2②利用通分理解分數(shù),12=24③利用畫圖理解分數(shù),即圖形表征。尋求計算方法可以如何計算呢?實際上上面每一種表征就對應著相應的方法。第一種理解,化成小數(shù),計算方法就是小數(shù)加法。第二種理解,通分,就是尋找同分母分數(shù)進行計算。第三種方法,畫圖,可以借助圖形把陰影部分合并在一起,看看最終結果是多少。做計算出結果①12+2②1212③畫圖如下。4.3小學數(shù)學結論的學習過程小學數(shù)學中的規(guī)律主要包括法則、定理、運算律、公式、性質(zhì)等,它們是數(shù)學知識的重要組成部分。4.3.1數(shù)學結論的特點小學數(shù)學的結論很多,如運算結果、運算律、運算規(guī)則、數(shù)的特性、圖形性質(zhì)、圖形度量公式、圖形變換的結論、常見量之間的進率、簡單概率與統(tǒng)計問題的結論、方程的同解原理等。數(shù)學結論是數(shù)學內(nèi)容的重要組成部分,有它自身的諸多特點,比如嚴謹性、簡潔性、實用性等。嚴謹性是數(shù)學科學的基本特點,它要求數(shù)學結論的敘述必須精煉、準確,而對結論的推理論證和系統(tǒng)闡述都要求既嚴格又周密。學生對數(shù)學結論的嚴謹性要求,要有一個逐步適應、逐步深化的過程,尤其是在小學階段的訓練基礎。學生在初期對一些較精確的數(shù)學語言,如“只有”“任意”“非0整數(shù)”“存在”“唯一”“一定”等,往往缺乏足夠的理解。實用性是指數(shù)學結論能夠被應用到數(shù)學學科和現(xiàn)實生活當中,并且能夠起到一定的積極作用和具有一定的影響力、說服力。教師要創(chuàng)設運用數(shù)學知識的條件給學生以實際活動的機會,使學生在實踐活動中加深對新學知識的鞏固理解。簡潔性是指數(shù)學結論的內(nèi)容簡練,表述的語言簡樸。例如,“對頂角相等”就是“如果兩個角是對頂角,那么這兩個角相等”的簡要表達。4.3.2小學數(shù)學結論的學習過程人們掌握客觀結論一般有兩種模式。一種是歸納模式,另一種是演繹模式。有論者認為,前一種對應的是發(fā)現(xiàn)學習,后一種對應的是接受學習。學生學習數(shù)學結論,要經(jīng)歷探索與發(fā)現(xiàn)的過程,因而一般采用歸納模式。由于認知能力的差異和數(shù)學規(guī)律的潛隱程度不同,學生在學習時經(jīng)歷的過程會有一些差異。但總體上會經(jīng)歷“分析情境→發(fā)現(xiàn)表述→驗證證明→鞏固運用”四個基本階段。階段示例分析情境教師提出問題:同學們的校服,每件上衣62元,每條褲子37元,大家算一算,咱們班35個人,每人一套校服,需要花多少錢?學生解答:每一套校服的錢乘總的套數(shù),(62+37)×35=3465。所有上衣的錢加上所有褲子的錢,62×35+37×35=3465。教師在黑板上寫下(62+37)×35=62×35+37×35、然后教師再出示兩個類似的問題,用類似的方法得到兩個等式,例如,(4+2)×25=4×25+2×25,(10+8)×50=10×50+8×50。教師再次提問:觀察這三個等式,它們有什么特點?發(fā)現(xiàn)表述教師提問:觀察三個算式,你有什么發(fā)現(xiàn)?請用自己的話說一說。學生有不同的表述:(甲數(shù)十乙數(shù))×丙數(shù)=甲數(shù)×丙數(shù)十乙數(shù)×丙數(shù);(△+□)×○=△×○+□×○;(a+b)×c=a×c+b×c;兩個數(shù)的和與第三個數(shù)相乘,等于每個加數(shù)分別與第三個數(shù)相乘,再把所得的積加起來。驗證證明教師提出問題:以(a+b)×c=a×c+b×c為例,怎么說明這個結論是正確的?有的學生可能用乘法的定義來進行說明:(a+b)×c可以看做c個(a+b)連加;也就是c個a連加,再加上c個b連加;可以看做a×c+b×c。還有的學生會采用長方形面積進行解釋。鞏固運用教師總結:我們把這個規(guī)律叫作乘法分配律。下面請大家用乘法分配律計算25×(10+8)和37×(20+3),并用豎式計算25×18和37×23,看看你有什么發(fā)現(xiàn)?學生計算后領悟:豎式的算法就是來源于乘法分配律(具體解釋,略)。教師再次提問:如果計算38×102,你打算怎么算?學生思考后回答:把38×102寫成38×(100+2),再用乘法分配律計算,這樣比較簡單。也可以直接列豎式計算,當然這樣會比較麻煩。在數(shù)學結論的學習四階段中,驗證證明是學習的難點之一,這個過程不可或缺,因為這是學生發(fā)展邏輯思維能力、論證能力、推理能力和獲取數(shù)學思想方法的重要途徑。教師需要提供一些引導,來幫助學生進行數(shù)學結論的證明。4.4數(shù)學問題解決的學習過程問題是數(shù)學的心臟,解決問題是數(shù)學的核心。20世紀80年代以來,問題解決(ProblemSolving)在國際數(shù)學教育界受到普遍重視。一些國家和地區(qū)的數(shù)學課程標準對問題解決做了特別的規(guī)定,使得其含義非常豐富。4.4.1問題與問題解決1.問題在數(shù)學教育中,“問題”是一個外來詞,是根據(jù)英文翻譯過來的。“問題”對應的英文單詞有三個,分別是題目(Question)、疑問(Problem)和猜想(Conjecture)??梢姡瑪?shù)學教育中的問題,主要對應我們在《現(xiàn)代漢語詞典》中常使用前面兩種,并對其進行引申。2.問題解決問題解決,就是面對一個問題,經(jīng)歷一段探究思考,確定其是否可以解答,在能解答的情況下尋求一個或者多個解答,或者探究解決的途徑。從心理學的角度講,問題解決是指通過一系列有目的、有指向的認知操作序列以達到目標的過程。問題解決有兩種類型:一類是常規(guī)性問題解決,即使用已有的方法和程序去解決問題;另一類是創(chuàng)造性問題解決,即運用新的方法和程序去解決問題。4.4.2數(shù)學問題解決的學習過程數(shù)學教育家喬治·波利亞提出了數(shù)學問題解決的“啟研”模式,揭示了問題解決的心路歷程,被西方譽為“自我啟發(fā)解決問題的經(jīng)典概括”。闡述該模式的專著《怎樣解題》(HOWTOSOLVEIT)成為數(shù)學教育領域的經(jīng)典之作,并引導了20世紀數(shù)學教育中“問題解決”的熱潮。波利亞關于數(shù)學問題解決的“啟研”模式由四個部分構成,即理解題意、擬定計劃、執(zhí)行計劃和回顧反思。值得注意的是,國外有研究表明,解題的新手和專家在解決問題上的差別是很明顯的。新手看到問題就開始嘗試解答,解答失敗后就放棄了。而專家遇到問題,則先明確已知和目標,然后花很長時間擬定解題計劃,而實施解題的時間則比較短。專家在解決問題后,會花大量時間進
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