湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程3-1橢圓課件

平面上到兩個定點F1,F2的距離之和為常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫作橢圓.

這兩個定點F1,F2叫作橢圓的焦點,兩個焦點之間的距離|F1F2|叫作焦距.3.1橢圓1|橢圓的定義2

|

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程

+

=1(a>b>0)

+

=1(a>b>0)范圍-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a對稱性對稱軸為x軸、y軸;對稱中心為(0,0)頂點A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長長軸長為2a,短軸長為2b離心率e=

(0<e<1)

1.橢圓的通徑過橢圓的焦點且垂直于長軸的直線被橢圓所截得的弦叫作橢圓的通徑,其長

度為

.2.焦點弦過焦點的弦,焦點弦中通徑最短.3.焦半徑橢圓上的點P(x0,y0)與左(下)焦點F1或右(上)焦點F2之間的線段叫作橢圓的焦

半徑,記r1=|PF1|,r2=|PF2|.(1)

+

=1(a>b>0),則r1=a+ex0,r2=a-ex0;(2)

+

=1(a>b>0),則r1=a+ey0,r2=a-ey0.1.點P(x0,y0)與橢圓

+

=1(a>b>0)的位置關(guān)系點P在橢圓上?

+

=1;點P在橢圓內(nèi)部?

+

<1;點P在橢圓外部?

+

>1.2.代數(shù)法判斷直線與橢圓的位置關(guān)系把橢圓方程與直線方程聯(lián)立,消去y(x),整理得到關(guān)于x(y)的方程Ax2+Bx+C=0

(Ay2+By+C=0),該一元二次方程根的判別式為Δ,①若Δ>0,則直線與橢圓相交;②若

Δ=0,則直線與橢圓相切;③若Δ<0,則直線與橢圓相離.3|

點與橢圓、直線與橢圓的位置關(guān)系3.弦長公式設(shè)直線y=kx+b與橢圓有兩個公共點M(x1,y1),N(x2,y2),則弦長公式為|MN|=

或|MN|=

(k≠0).1.平面內(nèi)到兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)2a的點的軌跡一定是橢圓嗎?不一定.當(dāng)2a>|F1F2|時,是橢圓;當(dāng)2a=|F1F2|時,是線段;當(dāng)2a<|F1F2|時,點的軌跡不存

在.2.橢圓的離心率e越大,橢圓就一定越扁嗎?一定.e越大,橢圓越扁;e越小,橢圓越圓.知識辨析1.定義法根據(jù)橢圓的定義確定a,b的值,結(jié)合焦點位置寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.2.待定系數(shù)法.其步驟為:(1)作判斷.由題意判斷焦點在x軸還是y軸上,還是都有可能.(2)設(shè)方程.依據(jù)判斷設(shè)方程,特別地,如果中心在原點,焦點位置不明確時方程可設(shè)

為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).(3)找關(guān)系.由條件找關(guān)系,建立方程組.(4)求解.解方程組,代入所設(shè)方程即可.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解3.兩種特殊方程的設(shè)法(1)與橢圓

+

=1(a>b>0)有相同離心率的橢圓的方程可設(shè)為

+

=k1(k1>0,a>b>0)或

+

=k2(k2>0,a>b>0).(2)與橢圓

+

=1(a>b>0)有相同焦點的橢圓的方程可設(shè)為

+

=1(k<b2<a2).

典例求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)過點(

,-

),且與橢圓

+

=1有相同的焦點;(2)焦點在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過兩點(2,-

),

.解析

(1)解法一:因為所求橢圓與橢圓

+

=1的焦點相同,所以所求橢圓的焦點在y軸上,且c2=25-9=16.設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1(a>b>0).因為c2=16,且c2=a2-b2,所以a2-b2=16.①因為點(

,-

)在橢圓上,所以

+

=1,即

+

=1.②由①②得b2=4,a2=20,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.解法二:設(shè)所求橢圓的方程為

+

=1(λ>-9),因為點(

,-

)在橢圓上,所以

+

=1,化簡得λ2+26λ+105=0,解得λ=-5或λ=-21(舍去).所以所求橢圓的方程為

+

=1.(2)解法一:若焦點在x軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1(a>b>0).由已知條件得

所以

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.若焦點在y軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1(a>b>0).由已知條件得

解得

則a2<b2,與題設(shè)中a>b>0矛盾,舍去.綜上,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.解法二:設(shè)橢圓的方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).由已知條件得

解得

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.1.橢圓上異于長軸端點的點P與橢圓的兩個焦點F1,F2構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點三

角形.解關(guān)于橢圓的焦點三角形問題,通常要利用橢圓的定義,再結(jié)合正弦定理、

余弦定理等知識求解.2橢圓的焦點三角形問題2.焦點三角形的常用結(jié)論(1)焦點三角形的周長C=2a+2c.(2)設(shè)P(xP,yP),焦點三角形的面積

=c|yP|=

|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan

.(3)設(shè)∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,則e=

.

典例設(shè)P是橢圓

+

=1上異于長軸端點的一動點,F1,F2是橢圓的兩個焦點,求cos∠F1PF2的最小值.思路點撥將cos∠F1PF2用|PF1|,|PF2|表示出來

利用基本不等式求最值.解析

由題意得a=3,b=2,c=

,因此|PF1|+|PF2|=2a=6,|F1F2|=2c=2

,所以cos∠F1PF2=

=

=

-1.因為|PF1|·|PF2|≤

=9,當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|=3時取等號,所以cos∠F1PF2≥

-1=-

,所以cos∠F1PF2的最小值為-

.1.當(dāng)a,c易求時,直接代入e=

求解;當(dāng)b,c易求時,利用e=

求解;當(dāng)a,b易求時,利用e=

求解.2.若a,c的值不可求,則可列出只含a,c的齊次方程(不等式),列式時常用公式b=

代替式子中的b,然后將等式(不等式)兩邊同時除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程(不等式)求解即可.此時要注意0<e<1.3求橢圓的離心率

典例已知橢圓

+

=1(a>b>0),F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,橢圓上存在點P使得PF1⊥PF2,則橢圓的離心率的取值范圍為

.思路點撥由條件列出關(guān)于a,c的不等式,將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式,結(jié)合e∈(0,

1)求解.解析

連接OP(O為坐標(biāo)原點).由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c

≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤

c,所以e=

≥

,因為0<e<1,所以

≤e<1.1.求相交弦的長的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點坐標(biāo),用兩點間距離公式求弦長.(2)當(dāng)直線斜率存在時,利用弦長公式求弦長.2.與橢圓中點弦有關(guān)問題的三種題型及解法(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求中點坐標(biāo):聯(lián)立直線和橢圓方程,消去x(y)得到關(guān)于y(x)

的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式求解.(2)利用點差法求直線斜率或方程.其步驟為:①設(shè)點.設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo).②代入.將端點坐標(biāo)代入曲線方程.4直線與橢圓的相交弦問題③作差.兩式相減,利用平方差公式把式子展開.④整理.轉(zhuǎn)化為中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系式求解.(3)利用共線法求直線方程:設(shè)橢圓

+

=1(a>0,b>0)與直線的一個交點為A(x,y),另一個交點為B,如果弦AB的中點為P(x0,y0),則利用中點坐標(biāo)公式可得B(2x0-x,2y0

-y),則有

+

=1,

+

=1,兩式作差即可得所求直線方程.這三種方法中“點差法”最常用,“點差法”體現(xiàn)了“設(shè)而不求,整體代入”的

解題思想;“點差法”還可用于解決對稱問題,因為此類問題一般也與弦的中點

和直線斜率有關(guān).

典例已知橢圓

+

=1和點P(4,2),直線l經(jīng)過點P且與橢圓交于A,B兩點.(1)當(dāng)直線l的斜率為

時,求線段AB的長度;(2)當(dāng)點P恰好為線段AB的中點時,求l的方程.

思路點撥

(1)求出直線方程

聯(lián)立,得方程組

得交點坐標(biāo)

求得弦長.(2)設(shè)A,B的坐標(biāo)

利用“點差法”求出kAB

得出直線l的方程.

解析

(1)由已知可得直線l的方程為y-2=

(x-4),即y=

x.由

得

或

不妨令A(yù)

,B

,所以|AB|=

=3

.所以線段AB的長度為3

.(2)由題意知直線l的斜率存在.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,則有

兩式相減,得

+

=0,整理,得kAB=

=-

.又P(4,2)是線段AB的中點,所以x1+x2=8,y1+y2=4,于是kAB=-

=-

,于是直線l的方程為y-2=-

(x-4),即y=-

x+4.1.解決與橢圓有關(guān)的最大(小)值問題的常用方法(1)定義法:利用定義轉(zhuǎn)化為常見問題來處理.(2)幾何法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性

質(zhì)來解決,解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義,并能借助

相應(yīng)曲線的定義及對稱知識求解.(3)代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù),則可先建立目標(biāo)函數(shù),再

根據(jù)函數(shù)式的特征選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼饽繕?biāo)函數(shù)的最值.常用方法有配方法、判

別式法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.2.與橢圓有關(guān)的定值、定點問題(1)解決定點問題,需要注意兩個方面:一是抓“特值”,涉及的定點多在兩條坐標(biāo)軸上,所以可以先從斜率不存在5與橢圓有關(guān)的最值、定值及定點問題?或斜率為0的特殊情況入手找出定點,為解題指明方向.二是抓“參數(shù)之間的關(guān)系”,定點問題多是直線過定點,實質(zhì)就是求解直線

方程中參數(shù)之間的關(guān)系,熟悉直線方程的特殊形式是關(guān)鍵.(2)解決定值問題的常用方法:①從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關(guān).②直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.

典例1已知橢圓

+

=1的上焦點為F,M是橢圓上一點,點A(2

,0),當(dāng)點M在橢圓上運動時,|MA|+|MF|的最大值為

10

.解析

由題意得a=3,b=

,∴c=

=2.如圖所示,設(shè)橢圓的下焦點為F',則F'(0,-2).連接MF',AF'.∵|MF|+|MF'|=2a=6,即|MF|=6-|MF'|,∴|MA|+|MF|=|MA|-|MF'|+6,又∵|MA|-|MF'|≤|AF'|=

=4,當(dāng)且僅當(dāng)A,F',M共線且F'在線段AM上時,等號成立,∴|MA|+|MF|的最大值為4+6=10.

典例2已知橢圓E:

+

=1(a>b>0)經(jīng)過點

,離心率為

.(1)求E的方程;(2)若點P是橢圓E的左頂點,直線l交E于A,B兩點(異于點P),直線PA和PB的斜率之

積為-

.①證明:直線l恒過定點;②求△PAB面積的最大值.解析

(1)由題意得

所以

所以E的方程為

+

=1.(2)①證明:由題意知P(-2,0).當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1,x2≠-2,l:y=kx+m,由

消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,則x1+x2=

,x1x2=

,則y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

.因為kPA·kPB=

·

=-

,所以(x1+2)(x2+2)+4y1y2=0,且x1,x2≠-2,則x1x2+2(x1+x2)+4+4y1y2=0,所以

+

+4+

=0,整理得m2-km-2k2=0,所以(m-2k)(