湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程3-1橢圓課件

平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和為常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.

這兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2叫作橢圓的焦點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|叫作焦距.3.1橢圓1|橢圓的定義2

|

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程

+

=1(a>b>0)

+

=1(a>b>0)范圍-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a對稱性對稱軸為x軸、y軸;對稱中心為(0,0)頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長長軸長為2a,短軸長為2b離心率e=

(0<e<1)

1.橢圓的通徑過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線被橢圓所截得的弦叫作橢圓的通徑,其長

度為

.2.焦點(diǎn)弦過焦點(diǎn)的弦,焦點(diǎn)弦中通徑最短.3.焦半徑橢圓上的點(diǎn)P(x0,y0)與左(下)焦點(diǎn)F1或右(上)焦點(diǎn)F2之間的線段叫作橢圓的焦

半徑,記r1=|PF1|,r2=|PF2|.(1)

+

=1(a>b>0),則r1=a+ex0,r2=a-ex0;(2)

+

=1(a>b>0),則r1=a+ey0,r2=a-ey0.1.點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓

+

=1(a>b>0)的位置關(guān)系點(diǎn)P在橢圓上?

+

=1;點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?

+

<1;點(diǎn)P在橢圓外部?

+

>1.2.代數(shù)法判斷直線與橢圓的位置關(guān)系把橢圓方程與直線方程聯(lián)立,消去y(x),整理得到關(guān)于x(y)的方程Ax2+Bx+C=0

(Ay2+By+C=0),該一元二次方程根的判別式為Δ,①若Δ>0,則直線與橢圓相交;②若

Δ=0,則直線與橢圓相切;③若Δ<0,則直線與橢圓相離.3|

點(diǎn)與橢圓、直線與橢圓的位置關(guān)系3.弦長公式設(shè)直線y=kx+b與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),則弦長公式為|MN|=

或|MN|=

(k≠0).1.平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)2a的點(diǎn)的軌跡一定是橢圓嗎?不一定.當(dāng)2a>|F1F2|時(shí),是橢圓;當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),是線段;當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),點(diǎn)的軌跡不存

在.2.橢圓的離心率e越大,橢圓就一定越扁嗎?一定.e越大,橢圓越扁;e越小,橢圓越圓.知識(shí)辨析1.定義法根據(jù)橢圓的定義確定a,b的值,結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.2.待定系數(shù)法.其步驟為:(1)作判斷.由題意判斷焦點(diǎn)在x軸還是y軸上,還是都有可能.(2)設(shè)方程.依據(jù)判斷設(shè)方程,特別地,如果中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)位置不明確時(shí)方程可設(shè)

為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).(3)找關(guān)系.由條件找關(guān)系,建立方程組.(4)求解.解方程組,代入所設(shè)方程即可.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解3.兩種特殊方程的設(shè)法(1)與橢圓

+

=1(a>b>0)有相同離心率的橢圓的方程可設(shè)為

+

=k1(k1>0,a>b>0)或

+

=k2(k2>0,a>b>0).(2)與橢圓

+

=1(a>b>0)有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程可設(shè)為

+

=1(k<b2<a2).

典例求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)過點(diǎn)(

,-

),且與橢圓

+

=1有相同的焦點(diǎn);(2)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過兩點(diǎn)(2,-

),

.解析

(1)解法一:因?yàn)樗髾E圓與橢圓

+

=1的焦點(diǎn)相同,所以所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,且c2=25-9=16.設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1(a>b>0).因?yàn)閏2=16,且c2=a2-b2,所以a2-b2=16.①因?yàn)辄c(diǎn)(

,-

)在橢圓上,所以

+

=1,即

+

=1.②由①②得b2=4,a2=20,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.解法二:設(shè)所求橢圓的方程為

+

=1(λ>-9),因?yàn)辄c(diǎn)(

,-

)在橢圓上,所以

+

=1,化簡得λ2+26λ+105=0,解得λ=-5或λ=-21(舍去).所以所求橢圓的方程為

+

=1.(2)解法一:若焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1(a>b>0).由已知條件得

所以

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.若焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1(a>b>0).由已知條件得

解得

則a2<b2,與題設(shè)中a>b>0矛盾,舍去.綜上,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.解法二:設(shè)橢圓的方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).由已知條件得

解得

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.1.橢圓上異于長軸端點(diǎn)的點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F2構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點(diǎn)三

角形.解關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角形問題,通常要利用橢圓的定義,再結(jié)合正弦定理、

余弦定理等知識(shí)求解.2橢圓的焦點(diǎn)三角形問題2.焦點(diǎn)三角形的常用結(jié)論(1)焦點(diǎn)三角形的周長C=2a+2c.(2)設(shè)P(xP,yP),焦點(diǎn)三角形的面積

=c|yP|=

|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan

.(3)設(shè)∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,則e=

.

典例設(shè)P是橢圓

+

=1上異于長軸端點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn),F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),求cos∠F1PF2的最小值.思路點(diǎn)撥將cos∠F1PF2用|PF1|,|PF2|表示出來

利用基本不等式求最值.解析

由題意得a=3,b=2,c=

,因此|PF1|+|PF2|=2a=6,|F1F2|=2c=2

,所以cos∠F1PF2=

=

=

-1.因?yàn)閨PF1|·|PF2|≤

=9,當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|=3時(shí)取等號(hào),所以cos∠F1PF2≥

-1=-

,所以cos∠F1PF2的最小值為-

.1.當(dāng)a,c易求時(shí),直接代入e=

求解;當(dāng)b,c易求時(shí),利用e=

求解;當(dāng)a,b易求時(shí),利用e=

求解.2.若a,c的值不可求,則可列出只含a,c的齊次方程(不等式),列式時(shí)常用公式b=

代替式子中的b,然后將等式(不等式)兩邊同時(shí)除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程(不等式)求解即可.此時(shí)要注意0<e<1.3求橢圓的離心率

典例已知橢圓

+

=1(a>b>0),F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓上存在點(diǎn)P使得PF1⊥PF2,則橢圓的離心率的取值范圍為

.思路點(diǎn)撥由條件列出關(guān)于a,c的不等式,將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式,結(jié)合e∈(0,

1)求解.解析

連接OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c

≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤

c,所以e=

≥

,因?yàn)?<e<1,所以

≤e<1.1.求相交弦的長的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)間距離公式求弦長.(2)當(dāng)直線斜率存在時(shí),利用弦長公式求弦長.2.與橢圓中點(diǎn)弦有關(guān)問題的三種題型及解法(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求中點(diǎn)坐標(biāo):聯(lián)立直線和橢圓方程,消去x(y)得到關(guān)于y(x)

的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.(2)利用點(diǎn)差法求直線斜率或方程.其步驟為:①設(shè)點(diǎn).設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo).②代入.將端點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程.4直線與橢圓的相交弦問題③作差.兩式相減,利用平方差公式把式子展開.④整理.轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系式求解.(3)利用共線法求直線方程:設(shè)橢圓

+

=1(a>0,b>0)與直線的一個(gè)交點(diǎn)為A(x,y),另一個(gè)交點(diǎn)為B,如果弦AB的中點(diǎn)為P(x0,y0),則利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得B(2x0-x,2y0

-y),則有

+

=1,

+

=1,兩式作差即可得所求直線方程.這三種方法中“點(diǎn)差法”最常用,“點(diǎn)差法”體現(xiàn)了“設(shè)而不求,整體代入”的

解題思想;“點(diǎn)差法”還可用于解決對稱問題,因?yàn)榇祟悊栴}一般也與弦的中點(diǎn)

和直線斜率有關(guān).

典例已知橢圓

+

=1和點(diǎn)P(4,2),直線l經(jīng)過點(diǎn)P且與橢圓交于A,B兩點(diǎn).(1)當(dāng)直線l的斜率為

時(shí),求線段AB的長度;(2)當(dāng)點(diǎn)P恰好為線段AB的中點(diǎn)時(shí),求l的方程.

思路點(diǎn)撥

(1)求出直線方程

聯(lián)立,得方程組

得交點(diǎn)坐標(biāo)

求得弦長.(2)設(shè)A,B的坐標(biāo)

利用“點(diǎn)差法”求出kAB

得出直線l的方程.

解析

(1)由已知可得直線l的方程為y-2=

(x-4),即y=

x.由

得

或

不妨令A(yù)

,B

,所以|AB|=

=3

.所以線段AB的長度為3

.(2)由題意知直線l的斜率存在.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,則有

兩式相減,得

+

=0,整理,得kAB=

=-

.又P(4,2)是線段AB的中點(diǎn),所以x1+x2=8,y1+y2=4,于是kAB=-

=-

,于是直線l的方程為y-2=-

(x-4),即y=-

x+4.1.解決與橢圓有關(guān)的最大(小)值問題的常用方法(1)定義法:利用定義轉(zhuǎn)化為常見問題來處理.(2)幾何法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性

質(zhì)來解決,解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義,并能借助

相應(yīng)曲線的定義及對稱知識(shí)求解.(3)代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù),則可先建立目標(biāo)函數(shù),再

根據(jù)函數(shù)式的特征選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼饽繕?biāo)函數(shù)的最值.常用方法有配方法、判

別式法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.2.與橢圓有關(guān)的定值、定點(diǎn)問題(1)解決定點(diǎn)問題,需要注意兩個(gè)方面:一是抓“特值”,涉及的定點(diǎn)多在兩條坐標(biāo)軸上,所以可以先從斜率不存在5與橢圓有關(guān)的最值、定值及定點(diǎn)問題?或斜率為0的特殊情況入手找出定點(diǎn),為解題指明方向.二是抓“參數(shù)之間的關(guān)系”,定點(diǎn)問題多是直線過定點(diǎn),實(shí)質(zhì)就是求解直線

方程中參數(shù)之間的關(guān)系,熟悉直線方程的特殊形式是關(guān)鍵.(2)解決定值問題的常用方法:①從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān).②直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值.

典例1已知橢圓

+

=1的上焦點(diǎn)為F,M是橢圓上一點(diǎn),點(diǎn)A(2

,0),當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),|MA|+|MF|的最大值為

10

.解析

由題意得a=3,b=

,∴c=

=2.如圖所示,設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)為F',則F'(0,-2).連接MF',AF'.∵|MF|+|MF'|=2a=6,即|MF|=6-|MF'|,∴|MA|+|MF|=|MA|-|MF'|+6,又∵|MA|-|MF'|≤|AF'|=

=4,當(dāng)且僅當(dāng)A,F',M共線且F'在線段AM上時(shí),等號(hào)成立,∴|MA|+|MF|的最大值為4+6=10.

典例2已知橢圓E:

+

=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)

,離心率為

.(1)求E的方程;(2)若點(diǎn)P是橢圓E的左頂點(diǎn),直線l交E于A,B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P),直線PA和PB的斜率之

積為-

.①證明:直線l恒過定點(diǎn);②求△PAB面積的最大值.解析

(1)由題意得

所以

所以E的方程為

+

=1.(2)①證明:由題意知P(-2,0).當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1,x2≠-2,l:y=kx+m,由

消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,則x1+x2=

,x1x2=

,則y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

.因?yàn)閗PA·kPB=

·

=-

,所以(x1+2)(x2+2)+4y1y2=0,且x1,x2≠-2,則x1x2+2(x1+x2)+4+4y1y2=0,所以

+

+4+

=0,整理得m2-km-2k2=0,所以(m-2k)(