湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第2章平面解析幾何初步2-6直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系課件

設(shè)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0),則圓心C(a,b)

到直線l的距離d=

,由

消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,其判別式為Δ.位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)210幾何法d<rd=rd>r代數(shù)法Δ>0Δ=0Δ<02.6直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1|

直線與圓的位置關(guān)系1.代數(shù)法:聯(lián)立方程后,得出方程組解的個數(shù)為0,1,2時,分別對應(yīng)圓與圓內(nèi)含或外

離、內(nèi)切或外切、相交,不僅計算復(fù)雜且情況也復(fù)雜,因此一般利用幾何法進行

分析判斷.2.幾何法:通過方程得出兩圓的半徑分別為r1,r2,計算兩圓心之間的距離d,按下表

中的標(biāo)準(zhǔn)進行判斷.位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含d與r1,r2的關(guān)系d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|2

|

圓與圓的位置關(guān)系1.如果直線的方程與圓的方程組成的方程組有解,則直線和圓的位置關(guān)系有哪

些?相交或相切.2.若直線與圓相交,則相交弦的垂直平分線與圓心什么關(guān)系?過圓心.3.若圓心到直線的距離大于半徑,則直線方程與圓的方程聯(lián)立消元后得到的一元

二次方程是否有解?無解.4.經(jīng)過圓內(nèi)一點(非圓心)的最長弦與最短弦所在直線位置關(guān)系如何?垂直.經(jīng)過圓內(nèi)一點(非圓心)的最長弦即為經(jīng)過該點的直徑,最短弦和該條直徑垂

直.知識辨析5.若兩條直線被同一個圓截得的弦長相等,則這兩條直線一定平行嗎?不一定.也可能相交.6.若兩個圓沒有公切線,則它們的位置關(guān)系如何?內(nèi)含.7.如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解,則兩圓的位置關(guān)系是什么?外切或內(nèi)切.8.如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則這兩圓一定相交嗎?不一定.9.若兩圓有公共點,則兩圓的圓心距d和兩圓的半徑r1,r2需滿足什么條件?|r1-r2|≤d≤r1+r2.

直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷主要有幾何法和代數(shù)法兩種方法.幾何

法側(cè)重圖形的幾何性質(zhì),較代數(shù)法步驟簡捷,所以一般選用幾何法.1直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷?

典例1已知圓x2+y2=1與直線y=kx-3k,當(dāng)k分別為何值時,直線與圓:(1)相交;(2)相切;(3)相離.解析

解法一(代數(shù)法):聯(lián)立

消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0,則Δ=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2).(1)當(dāng)直線與圓相交時,Δ>0,即-

<k<

;(2)當(dāng)直線與圓相切時,Δ=0,即k=±

;(3)當(dāng)直線與圓相離時,Δ<0,即k<-

或k>

.解法二(幾何法):圓心(0,0)到直線y=kx-3k的距離d=

=

.由題意知,圓的半徑r=1.(1)當(dāng)直線與圓相交時,d<r,即

<1,解得-

<k<

;(2)當(dāng)直線與圓相切時,d=r,即

=1,解得k=±

;(3)當(dāng)直線與圓相離時,d>r,即

>1,解得k<-

或k>

.

典例2已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圓C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0.(1)當(dāng)圓C1與圓C2外切時,求m的值;(2)當(dāng)圓C1與圓C2內(nèi)含時,求m的取值范圍.思路點撥計算兩圓的圓心距,與兩圓的半徑之差的絕對值、半徑之和比較,列

出方程或不等式,求出參數(shù)的值或取值范圍.解析

易得圓C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圓心C1(m,-2),半徑r1=3;圓C2:(x+1)2+(y-m)2=4,圓心

C2(-1,m),半徑r2=2.(1)若圓C1與圓C2外切,則|C1C2|=r1+r2,即

=3+2,整理得m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.(2)若圓C1與圓C2內(nèi)含,則|C1C2|<|r1-r2|,即

<|3-2|,整理得m2+3m+2<0,解得-2<m<-1,即m的取值范圍是(-2,-1).1.過點P(x0,y0)的圓的切線方程的求法(1)當(dāng)點P在圓上時,求點P與圓心連線的斜率,若斜率存在且不為0,記為k,則切線斜

率為-

;若斜率為0,則切線斜率不存在;若斜率不存在,則切線斜率為0.(2)當(dāng)點P在圓外時,設(shè)切線斜率為k,寫出切線方程,利用圓心到切線的距離等于半

徑r,解出k即可(若僅求出一個k值,則有一條斜率不存在的切線).2.切線長的求法過圓外一點P可作圓的兩條切線,我們把點P與切點之間的線段的長稱為切

線長.切線長可由勾股定理來計算.如圖,從圓外一點P(x0,y0)作圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>

0)的切線,則切線長為

.2與圓有關(guān)的切線問題

3.過圓上一點的切線僅有一條,可熟記下列結(jié)論(1)若點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2(r>0)上,則過點P的切線方程為x0x+y0y=r2;(2)若點P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則過點P的切線方程為(x-a)·(x0-a)+(y-b)

(y0-b)=r2;(3)若點P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,則過點P的切線方程為x0x+y

0y+D·

+E·

+F=0.

典例

(1)已知圓的方程為x2+y2=13,它與斜率為-

的直線相切,則該切線方程為

2x+3y-13=0或2x+3y+13=0

;(2)過點A(4,-3)作圓C:(x-3)2+(y-1)2=1的切線,其切線長為

4

.解析

(1)解法一:設(shè)所求切線方程為y=-

x+b,即2x+3y-3b=0.因為圓x2+y2=13與直線2x+3y-3b=0相切,所以圓心(0,0)到直線2x+3y-3b=0的距離d

=

=

,解得b=±

.所以所求圓的切線方程為2x+3y-13=0或2x+3y+13=0.解法二:設(shè)所求切線方程為y=-

x+b.聯(lián)立

消去y,整理得

x2-

x+b2-13=0,令Δ=0,即

b2-4×

×(b2-13)=0,解得b=±

.所以所求圓的切線方程為2x+3y-13=0或2x+3y+13=0.(2)由題意知圓心C的坐標(biāo)為(3,1),半徑為1.設(shè)切點為B,則△ABC為直角三角形,易得|AC|=

=

,|BC|=1,所以|AB|=

=

=4,所以切線長為4.1.直線與圓相交時的弦長求法幾何法利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d,弦長l之間的

關(guān)系r2=d2+

解題代數(shù)法若直線與圓的交點坐標(biāo)易求出,求出交點坐標(biāo)后,

直接用兩點間的距離公式計算弦長弦長公式法設(shè)直線l:y=kx+b與圓的兩交點分別為(x1,y1),(x2,y2),

將直線方程代入圓的方程,消元后利用根與系數(shù)

的關(guān)系得弦長l=

|x1-x2|=

·

3直線與圓相交的弦長及圓的中點弦問題(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出中點坐標(biāo);(2)設(shè)出弦的兩個端點的坐標(biāo),代入圓的方程,利用作差法求出斜率,此法即為點差

法;(3)利用圓本身的幾何性質(zhì),即圓心與非直徑的弦中點的連線與弦垂直.2.解決與中點弦有關(guān)的問題,有下列三種常見方法

典例1已知圓x2+y2-4x+6y-12=0內(nèi)一點A(4,-2),求以A為中點的弦所在直線的方程.思路點撥思路一:根據(jù)斜率是否存在分類討論,結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的

關(guān)系列方程求解.思路二:根據(jù)中點坐標(biāo)公式,采用“設(shè)而不求,整體代換”的策略求解.思路三:利用圓的幾何性質(zhì),即弦的中點與圓心的連線和弦所在的直線垂直求解.解析

解法一:當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線的斜率為k,則過點A的直線方程為y+2=k(x-

4),代入圓的方程,得(1+k2)x2-(8k2-2k+4)x+16k2-8k-20=0.因為1+k2≠0,Δ>0,所以可設(shè)兩個交點的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=

=4×2,解得k=-2.所以所求直線的方程為2x+y-6=0.當(dāng)斜率不存在時,直線x=4不滿足題設(shè)要求.綜上,所求直線的方程為2x+y-6=0.解法二:易知直線斜率不存在時,直線x=4不滿足題設(shè)要求.設(shè)兩個交點的坐標(biāo)分別為B(x1,y1),C(x2,y2),x1≠x2,則x1+x2=8,y1+y2=-4,直線AB的斜率

k=

.把B,C兩點的坐標(biāo)代入圓的方程,得

①-②并整理,得(x1+x2)+(y1+y2)

-4+6·

=0,即8-4k-4+6k=0,解得k=-2.故所求直線的方程為2x+y-6=0.解法三:當(dāng)斜率不存在時,直線x=4不滿足題設(shè)要求.設(shè)圓心為M,所求直線的斜率為k.因為圓心M(2,-3),所以kMA=

,所以k=-2,所以所求直線的方程為2x+y-6=0.

典例2已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4.(1)若直線l'過點A(2,3)且被圓C截得的弦長為2

,求直線l'的方程;(2)若直線l過點B(1,0)且與圓C相交于P,Q兩點,求△CPQ的面積的最大值,并求出

此時直線l的方程.解析

圓C的圓心坐標(biāo)為(3,4),半徑R=2.(1)∵直線l'被圓C截得的弦長為2

,∴由勾股定理得圓心C到直線l'的距離為1.①當(dāng)直線l'的斜率不存在時,l':x=2,顯然滿足;②當(dāng)直線l'的斜率存在時,設(shè)l':y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,由圓心C到直線l'的距離為1,得

=1,解得k=0,故直線l'的方程為y=3.綜上所述,直線l'的方程為x=2或y=3.(2)∵直線與圓相交,∴l(xiāng)的斜率一定存在且不為0,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),即kx-y-k=0,則圓心C到直線l的距離d=

,∴△CPQ的面積S=

×d×2

=d

=

=

,當(dāng)d=

時,S取最大值,為2.由d=

=

,得k=1或k=7,∴直線l的方程為x-y-1=0或7x-y-7=0.利用圓的方程解決最大(小)值問題的方法(1)由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義,然后利用直線與圓的方程及解析

幾何的有關(guān)知識并結(jié)合圖形的直觀性來分析解決問題,常涉及的幾何量有:①關(guān)于x,y的一次分式形式常轉(zhuǎn)化為直線的斜率;②關(guān)于x,y的一次式常轉(zhuǎn)化為直線的截距;③關(guān)于x,y的二次式常轉(zhuǎn)化為兩點間的距離.(2)轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式,利用函數(shù)的性質(zhì)解決.(3)利用三角代換,若點P(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則設(shè)

(θ為參數(shù)),代入目標(biāo)函數(shù),利用三角函數(shù)知識求最大(小)值.4與圓有關(guān)的最值問題?

典例已知點P(x,y)是圓x2+y2=4上的一點.(1)求4x-3y的最大值和最小值;(2)求

的最大值和最小值;(3)求(x-4)2+(y+3)2的最大值和最小值.解析

(1)令4x-3y=m,則

可以看作直線在x軸上的截距,要使m最大(或最小),只需直線在x軸上的截距最大(或最小).由圖1知,當(dāng)直線4x-3y=m與圓x2+y2=4相切時,m

分別取得最大值和最小值.由圓心(0,0)到4x-3y-m=0的距離等于圓的半徑,得

=2,所以|m|=10,解得m=±10.故mmax=10,mmin=-10,即4x-3y的最大值為10,最小值為-10.

圖1(2)令

=k,則k表示圓x2+y2=4上一點(x,y)與點(-2

,-2)的連線的斜率.由圖2知,當(dāng)直線y+2=k(x+2

)與圓x2+y2=4相切時,k分別取得最大值和最小值.由

=2,得|2

k-2|=2

,即3k2-2

k+1=k2+1,解得k=0或k=

.故kmax=

,kmin=0,即

的最大值為

,最小值為0.

圖2(3)令(x-4)2+(y+3)2=d,則

表示圓上一點(x,y)與點(4,-3)的距離.如圖3,由點(4,-3)到圓心(0,0)的距離為5可知,(

)max=5+2=7,(

)min=5-2=3,故dmax=49,dmin=9,即(x-4)2+(y+3)2的最大值為49,最小值為9.

圖31.兩圓的公共弦所在直線方程的求法設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0),圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0).聯(lián)立

①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③設(shè)兩圓交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B的坐標(biāo)適合方程①②,也適合方程③,

因此方程③就是經(jīng)過兩圓交點的直線方程.當(dāng)兩圓相交時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是經(jīng)過兩圓交點的直線方程,即公共

弦所在直線的方程.當(dāng)兩圓外離時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于兩圓圓心連線的一條直線5兩圓的公共弦問題方程.當(dāng)兩圓相切時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是兩圓的一條公切線的方程.若兩圓是等圓,則(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以兩圓圓心為端點的線段的垂

直平分線的方程.2.兩圓公共弦長的求法(1)代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,解出交點的坐標(biāo),再利用兩點間的距離公式求出弦長.(2)幾何法:①將兩圓的方程作差,求出公共弦所在的直線方程;②求出其中一個圓

的圓心到公共弦的距離;③利用勾股定理求出公共弦長.3.求經(jīng)過兩圓交點的圓的方程的方法一般地,過圓C1:x2+y2+D1x+E