蘇教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程3-3-2拋物線的幾何性質(zhì)課件

知識點1

拋物線的幾何性質(zhì)3.3.2

拋物線的幾何性質(zhì)標準方程(p>0)y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyp的幾何意義:焦點F到準線l的距離頂點O(0,0)對稱軸x軸y軸離心率e=1范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下1.焦點弦的概念過拋物線焦點的直線與拋物線相交所得的線段,稱為拋物線的焦點弦.2.通徑過拋物線焦點且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交所得的弦,稱為拋物線的通徑,拋物

線的通徑長為2p,是所有焦點弦中最短的弦.定點2拋物線的焦點弦3.有關(guān)拋物線焦點弦的結(jié)論如圖,已知AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦,拋物線的焦點為F,A(x1,y1),B(x2,y2),AA',BB'均

垂直于準線,直線AB的傾斜角為θ.則有:(1)AB=x1+x2+p=

;(2)x1x2=

,y1y2=-p2,

·

=-

p2;(3)AF=

,BF=

;(4)

+

=

;(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切;(6)以AB為直徑的圓與準線相切;(7)A,O,B'共線,A',O,B共線;(8)∠A'FB'=90°;(9)S△AOB=

;(10)拋物線在A,B處的切線互相垂直且交點在準線上.知識拓展1.圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為:平面內(nèi)到一個定點F和到一條定直線l(F不在l上)的距離之比等

于常數(shù)e的點的軌跡,其中e是圓錐曲線的離心率,定點F是圓錐曲線的焦點,定直線l是圓錐曲

線的準線.當0<e<1時,它是橢圓;當e>1時,它是雙曲線;當e=1時,它是拋物線.橢圓和雙曲線都有兩條準線,對于中心在原點,焦點在x軸上的橢圓或雙曲線,與焦點F1(-c,0),F2(c,0)對應(yīng)的準線方程分別為x=-

,x=

.2.阿基米德三角形:圓錐曲線的弦AB與過弦的端點的兩條切線圍成的△PAB叫作阿基米德三

角形.拋物線阿基米德三角形的常用性質(zhì):(1)當AB過焦點時,點P在準線上且PA⊥PB,PF⊥AB;(2)當點P在準線上時,AB過焦點,底邊AB的中線所在直線平行或重合于對稱軸,且S△PAB的最小

值為p2.知識辨析1.拋物線的標準方程有四種形式,它們的離心率都相等嗎?2.拋物線y=ax2(a≠0)的準線方程是x=-

嗎?3.如何區(qū)分曲線是拋物線還是雙曲線的一支?4.“直線與拋物線只有一個交點”是“直線與拋物線相切”的充分必要條件嗎?一語破的1.相等.拋物線的離心率是拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離的比值,因為兩個距離

相等,所以離心率都是1.2.不是.將拋物線化成標準方程為x2=

y(a≠0),所以其準線方程為y=-

.3.曲線的延伸趨勢不相同,當拋物線y2=2px(p>0)上的點趨于無窮遠時,拋物線接近于與x軸平

行;當雙曲線上的點趨于無窮遠時,雙曲線接近于它的漸近線.4.不是.當直線與拋物線有一個交點時,直線與拋物線相切或直線與拋物線的對稱軸平行(或

重合);當直線與拋物線相切時,直線與拋物線有一個交點.因此“直線與拋物線只有一個交

點”是“直線與拋物線相切”的必要不充分條件.定點1拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用關(guān)鍵能力定點破涉及拋物線的幾何性質(zhì)的問題,常畫出圖形,結(jié)合拋物線的定義求解,通過圖形可以直觀

地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征.典例已知拋物線的頂點在坐標原點,對稱軸為x軸,且與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,AB=2

,求拋物線的方程.解析

由已知得,拋物線的焦點可能在x軸正半軸上,也可能在x軸負半軸上,故可設(shè)拋物線方

程為y2=ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).∵拋物線y2=ax(a≠0)與圓x2+y2=4都關(guān)于x軸對稱,∴點A與點B關(guān)于x軸對稱,∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2

,∴|y1|=|y2|=

,代入x2+y2=4,得x2+3=4,∴x=±1,∴A(±1,

)或A(±1,-

),代入拋物線方程,得3=±a,∴a=±3.∴所求拋物線的方程是y2=3x或y2=-3x.解決拋物線焦點弦問題的關(guān)鍵是熟記有關(guān)焦點弦的結(jié)論,并靈活運用.知識點2中有關(guān)焦

點弦的結(jié)論都是針對方程為y2=2px(p>0)的拋物線而言的,在實際應(yīng)用中不能盲目套用.定點2拋物線的焦點弦問題典例已知拋物線y2=4x,經(jīng)過其焦點F且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線相交于M,N兩點,且MF=

3NF,則k=

.解析

解法一:分別過M,N兩點作準線的垂線,垂足分別為P,Q,過N向PM作垂線,垂足為S,設(shè)

NF=m(m>0),則MF=3m,由拋物線的定義得MP=MF=3m,NQ=NF=m,所以MS=2m,MN=m+3m=4m,則sin∠MNS=

=

,即∠MNS=30°,故直線l的傾斜角為60°,所以k=tan60°=

.解法二:設(shè)直線l的傾斜角為θ,則θ∈

,由于MF=

,NF=

,且MF=3NF,所以

=

,解得cosθ=

,所以θ=

,所以k=tanθ=

.學科素養(yǎng)情境破素養(yǎng)解讀

圓錐曲線的定點問題主要是曲線系(直線系)過定點問題,反映的是數(shù)學對象的本質(zhì)屬性,常見的具有圓錐曲線的性質(zhì)背景的題目有蒙日圓、阿基米德三角形等;定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或代數(shù)表達式的值等和參數(shù)無關(guān),是一個確定的值,這類問題的綜合性比較強,常涉及圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識,同時與函數(shù)、不等式、方程、平面向量等知識緊密聯(lián)系,解決此類問題需要有較強的運算能力和圖形識別能力,能準確進行數(shù)與形的轉(zhuǎn)換,合理猜想并仔細推理論證,在求解論證的過程中培養(yǎng)學生數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).素養(yǎng)

在解決圓錐曲線定點、定值問題中培養(yǎng)學生數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)例題已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,短軸長為2

,離心率為

.(1)求橢圓C的標準方程;(2)一條動直線l與橢圓C交于不同的兩點M,N,O為坐標原點,△OMN的面積為

,求證:OM

2+ON

2為定值.典例呈現(xiàn)主編點評

本題第(2)問是定值問題,題設(shè)條件沒有給出這個定值,那么我們可以這樣思考:由

于這個定值對符合要求的一些特殊情況必然成立,因此我們可以根據(jù)特殊情況先找到這個定

值,明確了解決問題的目標,然后進行一般情況下的推理證明.解題思路

(1)設(shè)橢圓的標準方程為

+

=1(a>b>0),則2b=2

,e=

=

,所以b=

,

=

=

=

=

,解得a=

,c=1,故橢圓C的標準方程為

+

=1.(2)證明:當直線l的斜率不存在時,不妨設(shè)l:x=n,-

<n<

,n≠0,將x=n代入橢圓方程

+

=1,可得y=±

,-

<n<

,n≠0,不妨設(shè)M

,N

,則S△OMN=

·MN·|n|=|n|

=

,化簡可得4n4-12n2+9=0,解得n=±

,此時M

,N

,故OM2+ON2=

+12+

+(-1)2=5.當直線l的斜率存在時,不妨設(shè)l:y=kx+m(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立

消去y整理得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,Δ=(6km)2-4(2+3k2)(3m2-6)>0,則2+3k2>m2,由根與系數(shù)的關(guān)系得

易得點O到直線l的距離為

,MN=

·

=

·

=

·

=

·

,所以S△OMN=

·

·

·

=

,整理得(3k2-2m2+2)2=0,所以3k2+2=2m2>m2,滿足題意,所以x1+x2=

,x1x2=

,故y1+y2=k(x1+x2)+2m=

,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·

+km·

+m2=

-1,則OM2+ON2=

+

+

+

=(x1+x2)2-2x1x2+(y1+y2)2-2y