蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程檢測卷含答案

第3章圓錐曲線與方程全卷滿分150分考試用時120分鐘一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.若拋物線y2=2mx的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓x2A.-2B.-1C.1D.22.已知雙曲線E與橢圓C:x26+A.x2-y2C.x22?3.已知雙曲線C:x2A.54.已知m∈R,方程(2-m)x2+(m+1)y2=1表示的曲線為C,則以下命題正確的是()A.當(dāng)C為雙曲線時,m的取值范圍是(2,+∞)B.當(dāng)m=2時,C為一條直線C.當(dāng)m∈12D.存在m∈R,使得C為等軸雙曲線5.拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,直線x=2交C于P,Q兩點(diǎn),C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)R,若PR⊥QR,則C的方程為()A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=12x6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓x2a2+yA.7C.77.已知拋物線C:y2=8x,圓F:(x-2)2+y2=4,直線l:y=k(x-2)(k≠0)自上而下順次與上述兩曲線交于M1,M2,M3,M4四點(diǎn),則下列各式結(jié)果為定值的是()A.M1M3·M2M4B.FM1·FM4C.M1M2·M3M4D.FM1·M1M28.設(shè)雙曲線E:x2a2A.133,3∪(3,+∞)B.C.(-∞,-6)∪-6,-2二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)9.已知方程x2A.方程x2B.當(dāng)k>9時,方程x2C.當(dāng)-16<k<9時,方程x2D.當(dāng)方程x210.已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),A,B是拋物線C上的兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則()A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-2B.若AF=4,則△AOF的面積為3C.若直線AB過焦點(diǎn)F,且AB=163,則點(diǎn)O到直線AB的距離為D.若OA⊥OB,則OA·OB≥3211.某文物考察隊(duì)挖出了一件宋代小文物,該文物外面是紅色透明藍(lán)田玉材質(zhì),里面是一個球形綠色水晶寶珠,其軸截面(如圖)由半橢圓C1:x2a2+y2b2=1(x≥0)與半橢圓C2:x2c2+y2d2=1(x<0)組成,其中a2=b2+c2,a>b>c>0,設(shè)點(diǎn)F0,F1,F2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn),A1,A2和B1,B2是軸截面與x,y軸的交點(diǎn),陰影部分是寶珠軸截面,其以曲線xA.半橢圓C1的離心率是33B.半橢圓C1上的點(diǎn)到F0的距離的最小值為27C.半橢圓C2的焦距為4D.半橢圓C2的長軸長與短軸長的比值大于半橢圓C1的長軸長與短軸長的比值三、填空題(本題共3小題,每小題5分,共15分)12.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,位于第一象限的A、B兩點(diǎn)在拋物線上,且滿足BF-AF=4,AB=42.若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則拋物線的方程為.

13.定義兩個點(diǎn)集S,T之間的距離集為d(S,T)={|PQ||P∈S,Q∈T},其中|PQ|表示P,Q兩點(diǎn)之間的距離.已知m,t∈R,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)集S={(x,y)|(x-a2+1)2+(y-a)2=1,a∈R},T={(x,y)|x+my-t=0},若d(S,T)=(0,+∞),則t的值為14.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F(1)若∠F1PO=π6,則雙曲線的離心率為(2)過點(diǎn)P作雙曲線C的切線,交另一條漸近線于點(diǎn)Q,若S△OPQ=23,則雙曲線C的方程為.

四、解答題(本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本小題滿分13分)已知雙曲線E:x2a2?y(1)求雙曲線E的離心率;(2)過雙曲線E上一點(diǎn)P(22,1)作直線l,分別交l1,l2于點(diǎn)A,B(A,B分別在第一、四象限內(nèi)),且PB=2AP,求16.(本小題滿分15分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)F(0,2),動點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離比到直線y=-1的距離大1.(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程;(2)過點(diǎn)F任作一直線l與C交于A,B兩點(diǎn),直線OA,OB與直線y=-2分別交于點(diǎn)M,N,求證:以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F.17.(本小題滿分15分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,上頂點(diǎn)為A,橢圓的焦距等于橢圓的長半軸長,且(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若B,C是橢圓上不同的兩點(diǎn),且直線AB和AC的斜率之積為14,求△18.(本小題滿分17分)在一張紙上有一個圓C:(x+5)2+y2=4,定點(diǎn)G(5,0),折疊紙片使圓C上某一點(diǎn)G1恰好與點(diǎn)G重合,這樣每次折疊都會留下一條折痕PQ,設(shè)直線PQ與直線G1C的交點(diǎn)為T.(1)連接TG,求證:|TC-TG|為定值,并求出點(diǎn)T的軌跡E的方程;(2)設(shè)A(-1,0),M為軌跡E上一點(diǎn),N為圓x2+y2=1上一點(diǎn)(M,N均不在x軸上),直線AM,AN的斜率分別記為k1,k2,且k2=-14k119.(本小題滿分17分)已知圓C1:(x-1)2+(y+1)2=14和拋物線C2:x2=4y,P(x0,y0)是圓C1上一點(diǎn),F是拋物線C2(1)M是拋物線C2上一點(diǎn),當(dāng)直線PM與圓C1相切,且PM=FM時,求M的坐標(biāo);(2)過P作拋物線C2的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,證明:存在兩個x0,使得△PAB的面積等于33

答案與解析1.A由已知得橢圓的右焦點(diǎn)為(1,0),拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-m2,則-m2.C由題意設(shè)雙曲線E的方程為x2易得橢圓C:x26+∴雙曲線E中,c=2,離心率為3×26∴a=2,∴b2=c2-a2=2,故雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23.D易得雙曲線的漸近線方程為y=±22聯(lián)立x210-y2當(dāng)1-2k2=0,即k=±22時,直線方程為y=±22x-1,與漸近線y=±當(dāng)1-2k2≠0時,Δ=(4k)2-4×(1-2k2)×(-12)=0,解得k=±155所以k=±22或k=±154.C對于A,C為雙曲線時,(2-m)(m+1)<0,解得m<-1或m>2,所以m的取值范圍是(-∞,-1)∪(2,+∞),故A錯誤;對于B,當(dāng)m=2時,方程為3y2=1,解得y=±33對于C,當(dāng)m∈12,2時,2-m∈0,32,m+1∈則曲線C:x2對于D,方程可整理為x212-m+y215.C由題可設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),則準(zhǔn)線方程為x=-p2當(dāng)x=2時,y=±2p,不妨設(shè)P(2,2p),Q(2,?2又R-p2,0,PR⊥QR,所以26.B由題意得O(0,0),P(a,0),設(shè)A(x,y),所以O(shè)A=(x,y),PA=(x-a,y),由O,A,P,B四點(diǎn)共圓以及橢圓的對稱性可知,OP為圓的直徑,所以所以O(shè)A·PA=x2-ax+y2=0,將y2=14ax代入得x2易知x≠0,故x=34a,則y2=316a2,代入橢圓方程得916+316·a27.C易知M1,M4在拋物線上,M2,M3在圓上.聯(lián)立y=k(x-2),y2=8x,消去y整理得k設(shè)M1(x1,y1),M4(x2,y2),則x1+x2=4k2+8k2過點(diǎn)M1,M4分別作直線l':x=-2的垂線,垂足分別為A,B,則FM1=x1+2,FM4=x2+2.對于A,M1M3·M2M4=(FM1+2)(FM4+2)=(x1+4)(x2+4)=x1x2+4(x1+x2)+16=4+4·4k對于B,FM1·FM4=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=4+2·4k對于C,M1M2·M3M4=(FM1-2)(FM4-2)=x1x2=4,為定值,故C正確.對于D,FM1·M1M2=FM1·(FM1-2)=(x1+2)x1,不為定值,故D不正確.故選C.8.C設(shè)D為AB的中點(diǎn),根據(jù)重心性質(zhì)可得MF=2由F(c,0),M(0,3b)得D3c因?yàn)閘與E的右支交于A,B兩點(diǎn),所以點(diǎn)D在雙曲線右支的內(nèi)部,故有9c24當(dāng)l的斜率不存在時,D在x軸上,此時M,F,D三點(diǎn)不共線,不符合題意,舍去;當(dāng)l的斜率存在時,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=3c,y1+y2=-3b,因?yàn)锳,B在雙曲線上,所以x1即(x1-x2因?yàn)镸,F,A,B不共線,所以kAB=-bca2≠kMF=-3bc,即c2≠3a2所以E的離心率的取值范圍為133,3∪kAB=-bca因?yàn)閑∈133,3∪所以e2∈139,3所以e2-所以kAB=-e2-122-19.BCD對于A,當(dāng)方程x2對于B,方程x216+k對于C,當(dāng)-16<k<9時,16+k>0,9-k>0,方程x2對于D,當(dāng)方程x216+k?y故選BCD.10.BD對于A,拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-1,A錯誤;對于B,C的焦點(diǎn)為F(1,0),設(shè)A(xA,yA),則xA+1=4,解得xA=3,所以|yA|=23,所以S△AOF=12對于C,當(dāng)直線AB的斜率不存在時,AB=4,不符合題意,故直線AB的斜率存在,設(shè)其方程為y=k(x-1),聯(lián)立y=k(x-1),y2=4x,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x根據(jù)拋物線的定義得AB=x1+x2+2=2k2+4所以直線AB的方程為y=±3(x-1),不妨取直線AB:3x?y?3=0,所以點(diǎn)O到直線AB的距離為對于D,設(shè)直線OA的方程為y=k1x,易知k1≠0,由y=k1x,因?yàn)镺A⊥OB,所以直線OB的方程為y=-1k1x,可得OB=4所以O(shè)A·OB=161k162+2k當(dāng)且僅當(dāng)k12=11.BC∵F1,F2是半橢圓C2:x2c2+y2d2=1(x<0)的焦點(diǎn),∴F1,F2關(guān)于原點(diǎn)對稱,且F又∵∠F1F0F2=60°,∴△F1F0F2為正三角形,故OF0=3OF1,∵F1,F2在圓x2+y2=4上,∴OF1=2,∴OF0=23.易知半橢圓C1:x2a2+y2b又a2-b2=c2=OF02=12,d2?c2=OF1∴半橢圓C1的方程為x228+y216=1(x對于A,半橢圓C1的離心率e=ca對于B,半橢圓C1上的點(diǎn)到F0的距離的最小值為27?2對于C,半橢圓C2的焦距為F1F2=4,正確;對于D,半橢圓C1的長軸長與短軸長的比值為2a2b=4∵233<72,∴12.答案y2=8x解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)锽F-AF=4,所以x2+p2?又因?yàn)锳B=1+kAB2因?yàn)锳,B都位于第一象限,所以kAB=1,又線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,所以y1+y2=8,所以kAB=y2所以2p=8,所以拋物線的方程為y2=8x.13.答案-2解析集合S表示以(a2集合T表示直線x+my-t=0上的點(diǎn)的集合.易知圓心(a2+1,a)在雙曲線x2-y如圖,由圖可知,當(dāng)直線x+my-t=0與雙曲線的漸近線x±y=0平行且距離為1時滿足d(S,T)=(0,+∞),即m=±1.當(dāng)m=-1時,直線x-y-t=0在雙曲線的漸近線x-y=0的左上方且距離為1,∴|t|2當(dāng)m=1時,直線x+y-t=0在雙曲線的漸近線x+y=0的左下方且距離為1,∴|t|2∴t的值為-2.14.答案(1)213解析(1)解法一:由已知得F2(c,0),設(shè)∠POF2=α,則tanα=ba∵PF2垂直于直線y=bax,∴PF2=|bc|a2在△OF1P中,由正弦定理得asinα-解法二:依題意知F1(-c,0),F2(c,0),可得直線PF2的方程為y=-ab(x-c),與y=bax聯(lián)立,可得x=a2∴PF1=a2在△OPF1中,OF12=PF12+OP2-2·PF1·OP即c2=3a2+c2+a2-23a2+c2·a·3∴e=ca(2)設(shè)過點(diǎn)P的切線PQ與雙曲線切于點(diǎn)M(x0,y0),則x02a由(1)中解法一可得sin2α=2sinα∴S△OPQ=12OP·OQsin2α=12·x1易得切線PQ的方程為x0xa2?y0yb2=1,即y=b2x0xy0a2?b2y0,將其代入b又b2x02?a2y02=a2b2,∴-a2b2x2+2a2b2x0x-a4b2=0,即x2-2x0x+a2=0,∴x1x2=a2,由(1)中解法一知a=32b,∴S△∴b=2,a=3,故雙曲線C的方程為x215.解析(1)由題意得ba=12,則e=(2)由(1)可得雙曲線E的方程為x2因?yàn)镻(22,1)在雙曲線上,所以b2=1,故雙曲線E的方程為x24-y設(shè)Ax1因?yàn)镻B=2AP,所以所以x1=3+32則OA=x12+設(shè)直線OA的傾斜角為θ,則tanθ=12,則sin∠AOB=sin2θ=2sin所以S△AOB=12OA·OBsin∠AOB=116.解析(1)∵動點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離比到直線y=-1的距離大1,∴動點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到直線y=-2的距離,(2分)故點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線,設(shè)其方程為x2=2py(p>0),又p2=2,∴p=4,故動點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2(2)證明:易知直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+2,Ax1,x12由y=x18x∴FM=由y=kx+2,x2=8y得x2則FM·FN=因此,以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F.(15分)17.解析(1)由題意得a所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(2)由(1)知點(diǎn)A(0,3),易知直線AB和AC的斜率均存在,所以點(diǎn)B,C與橢圓的上、下頂點(diǎn)均不重合.若直線BC的斜率不存在,設(shè)B(x0,y0)(x0≠0),則C(x0,-y0),所以kAB·kAC=y0又點(diǎn)B(x0,y0)在橢圓上,所以x024+y023=1,所以3-y設(shè)直線BC的方程為y=kx+m(m≠±3),與x24+y23=1聯(lián)立,得(4k則Δ=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)>0,設(shè)B(x1,y1)(x1≠0),C(x2,y2)(x2≠0),則x1+x2=-8km所以kAB·kAC=y=(=k2-k(m-3)·8km所以m2-33m+6=0,即(m-23)(m?所以m=23,故Δ=48(4k2-12+3)>0,即4k2-9>0,所以直線BC的方程為y=kx+23,x所以BC=1+k又點(diǎn)A(0,3)到直線BC的距離d=31+所以△ABC的面積S=12BC·d=1令4k2-9=t(t>0),則4k2=t2+9,所以S=6tt2+12=6t+18.解析(1)由題意得TG=TG1,所以|TC-TG|=|TC-TG1|=2,故|TC-TG|為定值.(2分)因?yàn)?<|CG|=25,所以點(diǎn)T的軌跡是以C,G為焦點(diǎn),2為實(shí)軸長的雙曲線,則c=5,a=1,所以b=c2所以E的方程為x2-y2(2)由已知得lAM:y=k1(x+1),lAN:y=k2(x+1),因?yàn)镸,N均不在x軸上,所以k1≠0,k2≠0,易知點(diǎn)A(-1,0)在軌跡E上,聯(lián)立y=k1設(shè)M(xM,yM),N(