拋物線的簡單幾何性質（一）課件-2024-2025學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

3.3.2拋物線的簡單幾何性質圖形標準方程焦點坐標準線方程焦點位置lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px(p＞0)y2=-2px(p＞0)x2=2py(p＞0)x2=-2py(p＞0)四種拋物線及其標準方程

x軸的正半軸上

x軸的負半軸上

y軸的正半軸上

y軸的負半軸上課前回顧2.做一做:下列關于拋物線x2=4y的描述正確的是(

)A.開口向上,焦點坐標為(0,1)答案:A1.了解拋物線的簡單幾何性質.2.能利用性質解決與拋物線有關的問題.3.能利用方程與數(shù)形結合思想解決焦點弦問題.學習目標

1.范圍2.對稱性3.頂點4.離心率填表:拋物線的幾何性質

例1變式1例2ABFOxy變式2、

如圖,斜率為

的直線l經(jīng)過拋物線y2=2px的焦點F(1,0),且與拋物線相交于A,B兩點.(1)求該拋物線的標準方程和準線方程;(2)求線段AB的長.分析:(1)由拋物線的焦點坐標得p的值,求出拋物線方程及其準線方程.(2)由過焦點的直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用焦點弦長公式可解.拋物線的焦半徑和焦點弦公式（一）拋物線的焦半徑和焦點弦公式（二）ABOFKNMHxy在拋物線的所有焦點弦中，通徑最短ABOFKNMHxyABOFKNMxyCDABOFyxOMBCDxyEP圖3.3-6例3OMBCDxyEP圖3.3-6當堂檢測（第136頁）2．在同一坐標系中畫出下列拋物線，觀察它們開口的大小，并說明拋物線開口大小與方程中的x系數(shù)的關系：拋物線如圖，x的系數(shù)的絕對值越大，拋物線的開口越大．∴p=3,且拋物線開口向右,∴拋物線的標準方程為y2=6x.答案:C課后練習答案:A3.過拋物線y2=8x的焦點作傾斜角為45°的直線,則被拋物線截得的弦長為(

)A.8 B.16 C.32 D.61解析:由拋物線y2=8x的焦點坐標為(2,0),得直線的方程為y=x-2.代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0.∴x1+x2=12,弦長等于x1+x2+p=12+4=16.答案:B4.拋物線y2=x上到其準線和頂點距離相等的點的坐標為

.

5.已知邊長為1的等邊三角形AOB,O為坐標原點,

AB⊥x軸,以O為頂點且過A,B的拋物線方程是()

A.y2=x B.y2=-xC.y2=±x D.y2=±x解析:設拋物線方程為y2=ax(a≠0).又A(取點A在x軸上方),則有,解得a=±,故拋物線方程為.選C.答案:C6.過拋物線x2=4y的焦點F作直線交拋物線P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點,若y1+y2=6,則|P1P2|的值為()

A.5 B.6 C.8 D.10解析:拋物線x2=4y的準線為y=-1,因為P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點是過拋物線焦點的直線與拋物線的交點,所以P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點到準線的距離分別是y1+1,y2+1,所以|P1P2|的值為y1+y2+2=8.答案:C7.設拋物線y2=8x的焦點為F,準線為l,P為拋物線上一

點,PA⊥l,A為垂足,如果直線AF的斜率為,那么

|PF|=

解析:設準線交x軸于點B,O為坐標原點,依題意kAF=-,則∠AFO=60°.因為|BF|=4,所以|AB|=4,則點P的縱坐標為4,所以(4)2=8xP,得xP=6,即點P的橫坐標為6,所以|PF|=|PA|=8.答案:88.已知拋物線y2=4x截直線y=2x+m所得弦長|AB|=3,求m的值.9.若拋物線的頂點在原點,開口向上,F為焦點,M為準線與y軸的交點,A為拋物線上一點,且|AM|=,|AF|=3,求此拋物線的標準方程.解:設所求拋物線的標準方程為x2=2py(p>0),設A(x0,y0),由題知M.∵|AF|=3,∴y0+=3,∵|AM|=,∴=17,∴=8,代入方程=2py0,得8=2p,解得p=2或p=4.∴所求拋物線的標準方程為x2=4y或x2=8y.1011.設O為坐標原點,F為拋物線y2=4x的焦點,A為拋物線上一

點,若=-4,求點A的坐標.解:由y2=4x,知F(1,0).∵點A在y2=4x上,∴不妨設A,則.代入=-4中,得,化簡得y4+12y2-64=0.∴y2=4或y2=-16(舍去),y=±2.∴點A的坐標為(1,2)或(1,-2).12.已知直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點.

(1)若|AF|=4,求點A的坐標;

(2)求線段AB的長的最小值.解:由y2=4x,得p=2,其準線方程為x=-1,焦點F(1,0).設A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由拋物線的定義可知,|AF|=從而x1=4-1=3.代入y2=4x,解得y1=±2.故點A的坐標為(3,2)或(3,-2).(2)當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x-1).

與拋物線方程聯(lián)立消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

∵直線與拋物線相交于A,B兩