2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.2.4.1離散型隨機(jī)變量的均值課時(shí)素養(yǎng)檢測含解析新人教B版選擇性必修第二冊

PAGE課時(shí)素養(yǎng)檢測十四離散型隨機(jī)變量的均值(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1.射手用手槍進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)就停止，否則接著射擊，他射中目標(biāo)的概率是0.8，若槍內(nèi)只有3顆子彈，則他射擊次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 ()A.0.8 B.0.992 C.1 D.1.24【解析】選D.記射擊次數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的全部可能取值為1，2，3.P(X=1)=0.8，P(X=2)=0.2×0.8=0.16，P(X=3)=1-0.8-0.16=0.04，所以E(X)=1×0.8+2×0.16+3×0.04=1.24.2.今有兩臺(tái)獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá)，每臺(tái)雷達(dá)發(fā)覺飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85，設(shè)發(fā)覺目標(biāo)的雷達(dá)臺(tái)數(shù)為X，則E(X)為 ()A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22【解析】選B.X的取值為0，1，2，所以P(X=0)=0.1×0.15=0.015，P(X=1)=0.9×0.15+0.1×0.85=0.22，P(X=2)=0.9×0.85=0.765，E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.3.甲、乙兩工人在同樣的條件下生產(chǎn)，日產(chǎn)量相等，每天出廢品的狀況如表所示：工人甲乙廢品數(shù)01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20則結(jié)論正確的是 ()A.甲生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量比乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些B.乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量比甲生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些C.兩人生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量一樣好D.無法推斷誰生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些【解析】選B.甲出廢品的期望是1×0.3+2×0.2+3×0.1=1，乙出廢品的期望是1×0.5+2×0.2=0.9，所以甲出廢品的期望大于乙出廢品的期望.故乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些.4.某日A，B兩個(gè)沿海城市受臺(tái)風(fēng)攻擊的概率相同，已知A市或B市至少有一個(gè)受臺(tái)風(fēng)攻擊的概率為0.36，若用X表示這一天受臺(tái)風(fēng)攻擊的城市個(gè)數(shù)，則E(X)= ()A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【解析】選D.設(shè)A，B兩市受臺(tái)風(fēng)攻擊的概率均為p，則A市或B市都不受臺(tái)風(fēng)攻擊的概率為QUOTE=1-0.36，解得p=0.2或p=1.8(舍去)，PQUOTE=1-0.36=0.64，PQUOTE=2×0.8×0.2=0.32，PQUOTE=0.2×0.2=0.04，所以EQUOTE=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.5.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表，則E(X)=2的充要條件是 ()X123Pp1p2p3A.p1=p2 B.p1=p3C.p2=p3 D.p1=p2=p3【解析】選B.由題設(shè)及數(shù)學(xué)期望的公式可得QUOTE?p1=p3，則E(X)=2的充要條件是p1=p3.6.已知X～B(5，p)，且E(X)=3，則P(X=1)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)閄～B(5，p)，故其期望為EQUOTE=5×p=3，解得p=QUOTE.故PQUOTE=QUOTEpQUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分，共10分)7.某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如表：X78910Px0.10.3y已知X的期望E(X)=8.9，則y的值為________.

【解析】因?yàn)閤+y=0.6，7x+10y=8.9-0.8-2.7=5.4，解得QUOTE答案：0.48.已知隨機(jī)變量ξ和η，其中η=4ξ-2，且E(η)=7，若ξ的分布列如表，則n的值為________.

ξ1234Pmn【解析】因?yàn)棣?4ξ-2，所以E(η)=4E(ξ)-2，所以7=4·E(ξ)-2，解得E(ξ)=QUOTE，依據(jù)均值的計(jì)算公式得：QUOTE=1×QUOTE+2×m+3×n+4×QUOTE，又QUOTE+m+n+QUOTE=1，聯(lián)立求解可得n=QUOTE.答案：QUOTE三、解答題(每小題10分，共20分)9.廠家在產(chǎn)品出廠前，需對產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取肯定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以確定是否接收這批產(chǎn)品.若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，否則拒收.求該商家可能檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品數(shù)X的分布列及均值E(X).【解析】X可能的取值為0，1，2.P(X=0)=QUOTE=QUOTE，P(X=1)=QUOTE=QUOTE，P(X=2)=QUOTE=QUOTE.所以X的分布列為：X012PE(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE.10.不透亮箱中裝有3個(gè)白球和mQUOTE個(gè)黑球.規(guī)定取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分.現(xiàn)從箱中任取2個(gè)球，假設(shè)每個(gè)球被取出的可能性都相等，記隨機(jī)變量X為取出的2個(gè)球所得分?jǐn)?shù)之和.(1)若PQUOTE=QUOTE，求m的值；(2)當(dāng)m=2時(shí)，列出X的分布列并求其期望.【解析】(1)由題意，當(dāng)取出的2個(gè)球都是白球時(shí)，此時(shí)隨機(jī)變量X=4.可得P(X=4)=QUOTE=QUOTE，即QUOTE=6，即m2+5m-6=0，解得m=1(負(fù)值舍去).(2)由題意，隨機(jī)變量X全部可能的取值為2，3，4，可得P(X=2)=QUOTE=QUOTE，P(X=3)=QUOTE=QUOTE=QUOTE，P(X=4)=QUOTE=QUOTE，所以隨機(jī)變量X的分布列為：X234P所以E(X)=2×QUOTE+3×QUOTE+4×QUOTE=QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1.已知隨機(jī)變量X的分布列是X123Pa則EQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由分布列的性質(zhì)可得QUOTE+QUOTE+a=1，得a=QUOTE，所以EQUOTE=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE，因此EQUOTE=EQUOTE=2EQUOTE+QUOTE=2×QUOTE+QUOTE=QUOTE.2.不透亮袋中裝有5個(gè)同樣大小且質(zhì)地相同的球，編號為1，2，3，4，5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球，記被取出的球的最大號碼數(shù)為x，則E(x)等于()A.4 B.4.5 C.4.75 D.5【解析】選B.因?yàn)榇醒b有5個(gè)同樣大小且質(zhì)地相同的球，編號為1，2，3，4，5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球，記被取出的球的最大號碼數(shù)為ξ，所以ξ的可能取值為3，4，5，P(ξ=3)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=4)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=5)=QUOTE=QUOTE=QUOTE，所以E(ξ)=3×QUOTE+4×QUOTE+5×QUOTE=4.5.3.從4名男生和2名女生中任選3人參與演講競賽，用X表示所選3人中女生的人數(shù)，則E(X)為 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.由題意，X的可能取值為0，1，2，由題中數(shù)據(jù)可得PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，所以E(X)=QUOTE×0+1×QUOTE+2×QUOTE=1.4.設(shè)不透亮口袋中有黑球、白球共7個(gè)(球除顏色不同外，其他均相同，且白球個(gè)數(shù)大于2個(gè))，從中任取2個(gè)球，已知取到白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為QUOTE，則口袋中白球的個(gè)數(shù)為 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選A.設(shè)白球x個(gè)，則黑球(7-x)個(gè)，取出的2個(gè)球中所含白球的個(gè)數(shù)為ξ，則ξ取值為0，1，2，P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=2)=QUOTE=QUOTE，所以0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE，所以x=3.二、填空題(每小題5分，共20分)5.一次英語測驗(yàn)由50道選擇題構(gòu)成，每道題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)是正確的，每個(gè)選對得3分，選錯(cuò)或不選均不得分，滿分150.某學(xué)生選對每一道題的概率均為0.7，則該學(xué)生在這次測驗(yàn)中的成果的期望是________.

【解析】因?yàn)閄～B(50，0.7)，所以E(X)=50×0.7=35.所以成果的期望是35×3=105.答案：1056.已知甲盒中僅有一個(gè)球且為紅球，乙盒中有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i=1，2)個(gè)球放在甲盒中(每個(gè)小球被取到的可能性相同)，放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)為ξi(i=1，2)，則EQUOTE+EQUOTE的值為________.

【解析】甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)ξ1的取值為1，2，則PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE.則EQUOTE=1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE；甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)ξ2的取值為1，2，3，則PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE.則EQUOTE=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.所以EQUOTE+EQUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE7.一袋中裝有分別標(biāo)記著1，2，3數(shù)字的3個(gè)小球，每次從袋中取出一個(gè)球(每只小球被取到的可能性相同)，現(xiàn)連續(xù)取3次球，若每次取出一個(gè)球后放回袋中，記3次取出的球中標(biāo)號最小的數(shù)字與最大的數(shù)字分別為X，Y，設(shè)ξ=Y-X，則E(ξ)=________.

【解析】由題意知ξ的取值為0，1，2，ξ=0，表示X=Y；ξ=1表示X=1，Y=2，或X=2，Y=3；ξ=2表示X=1，Y=3.所以P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=2)=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE，所以E(ξ)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE8.有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從這10件產(chǎn)品中任取兩件，用ξ表示取到次品的件數(shù)，則ξ=1的概率是________；EQUOTE=________.

【解析】依據(jù)題意ξ的全部取值為0，1，2，P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=2)=QUOTE=QUOTE，故EQUOTE=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTEQUOTE三、解答題(每小題10分，共20分)9.德陽中學(xué)數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)共開設(shè)初等代數(shù)、初等幾何、初等數(shù)論和微積分初步四門課程，要求初等代數(shù)、初等幾何都要合格，且初等數(shù)論和微積分初步至少有一門合格，則能取得參與數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)報(bào)名參與數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，每一位同學(xué)對這四門課程考試是否合格相互獨(dú)立，其合格的概率均相同，(見表)，且每一門課程是否合格相互獨(dú)立，課程初等代數(shù)初等幾何初等數(shù)論微積分初步合格的概率(1)求甲同學(xué)取得參與數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格的概率；(2)記ξ表示三位同學(xué)中取得參與數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格的人數(shù)，求ξ的分布列及期望E(ξ).【解析】(1)分別記甲對這四門課程考試合格為事務(wù)A，B，C，D，則“甲同學(xué)取得參與數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格”的概率為P(ABCD)+P(ABCQUOTE)+P(ABQUOTED)，事務(wù)A，B，C，D相互獨(dú)立，P(ABCD)+P(ABCQUOTE)+P(ABQUOTED)=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)P(ξ=0)=QUOTE，P(ξ=1)=QUOTE，P(ξ=2)=QUOTE，P(ξ=3)=QUOTE，因此，ξ的分布列如表：ξ0123P因?yàn)棣巍獴QUOTE，所以E(ξ)=3×QUOTE=QUOTE.10.某銷售公司在當(dāng)?shù)谹，B兩家超市各有一個(gè)銷售點(diǎn)，每日從同一家食品廠一次性購進(jìn)一種食品，每件200元，統(tǒng)一零售價(jià)每件300元，兩家超市之間調(diào)配食品不計(jì)費(fèi)用，若進(jìn)貨不足食品廠以每件250元補(bǔ)貨，若銷售有剩余食品廠以每件150元回收.現(xiàn)需決策每日購進(jìn)食品數(shù)量，為此搜集并整理了A，B兩家超市往年同期各50天的該食品銷售記錄，得到如下數(shù)據(jù)：銷售件數(shù)891011頻數(shù)20402020以頻率代替兩家超市的食品銷售件數(shù)的概率，記X表示這兩家超市每日共銷售食品件數(shù)，n表示銷售公司每日共需購進(jìn)食品的件數(shù).(1)求X的分布列；(2)以銷售食品利潤的期望為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選哪個(gè)？【解析】(1)由已知一家超市銷售食品件數(shù)8，9，10，11的概率分別為QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，X取值為16，17，18，19，20，21，22.PQUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE×QUOTE×2=QUOTE；PQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE