專題35兩個(gè)計(jì)數(shù)原理排列組合（理科）（教師版）

專題35兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列組合（理科）（核心考點(diǎn)精講精練）1.近幾年真題考點(diǎn)分布概率與統(tǒng)計(jì)近幾年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年全國(guó)乙（文科），第4題,5分莖葉圖計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、概率2022年全國(guó)乙（文科），第14題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國(guó)乙（理科），第10題,5分互斥事件、獨(dú)立事件求概率2022年全國(guó)乙（理科），第13題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國(guó)乙（理科），第19題,12分2022年全國(guó)乙（文科），第19題,12分（1）求平均數(shù)；（2）求相關(guān)系數(shù)（3）估算樣本量2022年全國(guó)甲（文科），第17題,12分（1）求概率；（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)2022年全國(guó)甲（文科），第6題,5分古典概型2022年全國(guó)甲（理科），第19題,12分（1）求概率；（2）離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望2022年全國(guó)甲（理科），第15題,5分古典概型立體幾何2022年全國(guó)甲（理科），第2題,5分2022年全國(guó)甲（文科），第2題,5分眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)比較，求極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差2023年全國(guó)乙（文科），第9題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國(guó)乙（理科），第5題,5分2023年全國(guó)乙（文科），第7題,5分幾何概型圓環(huán)面積2023年全國(guó)乙（理科），第9題,5分計(jì)數(shù)原理與排列、組合2023年全國(guó)乙（理科），第17題,12分2023年全國(guó)乙（文科），第17題,12分（1）求樣本平均數(shù)，方差；（2）統(tǒng)計(jì)新定義2023年全國(guó)甲（文科），第4題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國(guó)甲（理科），第6題,5分條件概率2023年全國(guó)甲（理科），第9題,5分計(jì)數(shù)原理與排列、組合2023年全國(guó)甲（理科），第19題,12分（1）離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)2023年全國(guó)甲（文科），第20題,12分（1）求樣本平均數(shù)；（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.分類計(jì)數(shù)原理：完成一件事情有幾類不同的方式，每類方式有不同的方法，則完成這件事的方法數(shù)就是把每類方式中的方法數(shù)相加；2.分步計(jì)數(shù)原理：完成一件事情分為幾個(gè)步驟，每個(gè)步驟有若干種方法，則完成這件事的方法數(shù)就是把每一步的方法數(shù)相乘；【備考策略】1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理；2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；3.理解排列、組合的概念,能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式；4.能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.【命題預(yù)測(cè)】1.結(jié)合實(shí)際應(yīng)用：未來(lái)的命題可能會(huì)更加注重于理論在實(shí)際生活中的應(yīng)用；2.原理深化：對(duì)于加法原理和乘法原理，可能會(huì)進(jìn)一步探究其背后的數(shù)學(xué)原理，這可能會(huì)涉及到更深層次的數(shù)學(xué)概念，如集合、函數(shù)等；3.排列組合與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的交叉：排列組合作為計(jì)數(shù)原理的一個(gè)重要部分，可能會(huì)與概率論、數(shù)論等其他數(shù)學(xué)內(nèi)容形成交叉；4.計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用：計(jì)算機(jī)科學(xué)中有很多問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問(wèn)題；知識(shí)講解一、分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同的方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

(1)每類方法都能獨(dú)立完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的，且每次得到的都是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事；（2）各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的.二、分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

(1)每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，只是各個(gè)步驟都完成了才能完成這件事；（2）各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏，但有時(shí)可以調(diào)換各步的順序.三、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情(每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立,不重不漏步步相依,缺一不可分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在,應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步,即分步是有先后順序的,并且分步必須滿足:完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的,只有各個(gè)步驟都完成了,才算完成這件事.2.分步必須滿足兩個(gè)條件:一是步驟互相獨(dú)立,互不干擾;二是步與步確保連續(xù),逐步完成.與數(shù)字相關(guān)的計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用問(wèn)題,需要遵循“特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排”的原則,涉及組數(shù)問(wèn)題中有重復(fù)數(shù)字問(wèn)題,可以考慮用除法或分類進(jìn)行求解.利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決幾何問(wèn)題的兩個(gè)基本步驟:1.要弄清楚幾何圖形的性質(zhì);2.合理分類將問(wèn)題簡(jiǎn)化.1.解決涂色問(wèn)題,可以按照顏色的種數(shù)分類,也可以按照不同的區(qū)域分步完成.2.涂色、種植問(wèn)題的解題關(guān)注點(diǎn)和關(guān)鍵(1)關(guān)注點(diǎn):首先分清元素的數(shù)目,其次分清在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同類元素.(2)關(guān)鍵:對(duì)每個(gè)區(qū)域逐一進(jìn)行檢驗(yàn),選擇下手點(diǎn),分步處理.四、排列與組合的概念名稱定義排列從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并按照一定的順序排成一列,叫作從個(gè)元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列

組合作為一組,叫作從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合五、排列數(shù)與組合數(shù)1.從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫作從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.

2.從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫作從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示.

六、排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)n(n1)(n2)…(nm+1)=n!((2)n(=

n!m!(n-m)!(,,且性質(zhì)(1)0!=1,Ann=n!(2)Cnm=Cnn-m,C1.正確理解組合數(shù)的性質(zhì)(1)：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的方法數(shù)等于取出剩余個(gè)元素的方法數(shù).(2)：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素可分以下兩種情況：①不含特殊元素有種方法；②含特殊元素A有種方法.2.正確辨析“排列”與“組合”排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無(wú)序”.取出元素后交換順序，若與順序有關(guān)，則是排列；若與順序無(wú)關(guān)，則是組合.3.記牢兩個(gè)常用公式(1).(2).求解排列應(yīng)用問(wèn)題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問(wèn)題除法處理對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法兩類有附加條件的組合問(wèn)題的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:若“含有”,則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；若“不含有”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.(2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型:解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義,謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法或間接法都可以求解，通常用直接法求解，分類復(fù)雜時(shí),可用間接法求解.(1)對(duì)相鄰問(wèn)題采用捆綁法、不相鄰問(wèn)題采用插空法、定序問(wèn)題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問(wèn)題的常用方法.(2)對(duì)于相間問(wèn)題，先考慮不受限制的元素，然后將不相鄰的元素插入到這些排好的元素之間及兩端的空隙中.“特殊”優(yōu)先原則一般從以下三種思路考慮:(1)以元素為主考慮，即先安排特殊元素，再安排其他元素;(2)以位置為主考慮，即先安排特殊位置，再安排其他位置;(3)用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù).1.對(duì)不同元素分組、分配問(wèn)題的求解策略(1)對(duì)于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Ann(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù).(2)對(duì)于部分均分，即不平均分組中的部分平均分組問(wèn)題，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的組數(shù)的階乘數(shù),即若有m組元素個(gè)數(shù)相等,則分組時(shí)應(yīng)除以m!，分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組，就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)，這類問(wèn)題也有無(wú)序和有序兩種情形;(3)對(duì)于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)，這類問(wèn)題也有不平均分組無(wú)序和不平均分組有序兩種情形.2.對(duì)于相同元素的“分配”問(wèn)題,常用方法是“隔板法”.考點(diǎn)一、分類加法計(jì)數(shù)原理1．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ））如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1，a2，…，a12.設(shè)1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為（

）A．5 B．8 C．10 D．15【答案】C【分析】根據(jù)原位大三和弦滿足，原位小三和弦滿足從開(kāi)始，利用列舉法即可解出．【詳解】根據(jù)題意可知，原位大三和弦滿足：．∴；；；；．原位小三和弦滿足：．∴；；；；．故個(gè)數(shù)之和為10．【點(diǎn)睛】本題主要考查列舉法的應(yīng)用，以及對(duì)新定義的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等，數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”?“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有（

）A．100個(gè) B．125個(gè) C．225個(gè) D．250個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)給定的信息，確定五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”特征，再由0出現(xiàn)的次數(shù)分類求解作答.【詳解】依題意，五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”具有：萬(wàn)位與個(gè)位數(shù)字相同，且不能為0；千位與十位數(shù)字相同，求有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)有兩類辦法：最多1個(gè)0，取奇數(shù)字有種，取能重復(fù)的偶數(shù)字有種，它們排入數(shù)位有種，取偶數(shù)字占百位有種，不同“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)是個(gè)，最少2個(gè)0，取奇數(shù)字有種，占萬(wàn)位和個(gè)位，兩個(gè)0占位有1種，取偶數(shù)字占百位有種，不同“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)是個(gè)，由分類加法計(jì)算原理知，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有個(gè).3．為有效防范新冠病毒蔓延，國(guó)內(nèi)將有新型冠狀肺炎確診病例地區(qū)及其周邊劃分為封控區(qū)?管控區(qū)?防范區(qū).為支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出醫(yī)護(hù)人員共5人，分別派往三個(gè)區(qū)，每區(qū)至少一人，甲?乙主動(dòng)申請(qǐng)前往封控區(qū)或管控區(qū)，且甲?乙恰好分在同一個(gè)區(qū)，則不同的安排方法有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．30種【答案】C【分析】利用分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列組合知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】若甲乙和另一人共3人分為一組，則有種安排方法；若甲乙兩人分為一組，另外三人分為兩組，一組1人，一組兩人，則有種安排方法，綜上：共有12+12=24種安排方法.4．給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（

）種不同的染色方案.A．96 B．144 C．240 D．360【答案】A【分析】通過(guò)分析題目給出的圖形，可知要完成給圖中、、、、、六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，最少需要3種顏色，即同色，同色，同色，由排列知識(shí)可得該類染色方法的種數(shù)；也可以4種顏色全部用上，即，，三組中有一組不同色，同樣利用排列組合知識(shí)求解該種染法的方法種數(shù)，最后利用分類加法求和．【詳解】解：要完成給圖中、、、、、六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，染色方法可分兩類，第一類是僅用三種顏色染色，即同色，同色，同色，則從四種顏色中取三種顏色有種取法，三種顏色染三個(gè)區(qū)域有種染法，共種染法；第二類是用四種顏色染色，即，，中有一組不同色，則有3種方案不同色或不同色或不同色），先從四種顏色中取兩種染同色區(qū)有種染法，剩余兩種染在不同色區(qū)有2種染法，共有種染法．由分類加法原理得總的染色種數(shù)為種．1．第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市舉行．現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國(guó)家高山滑雪館、國(guó)家速滑館、首鋼滑雪大跳臺(tái)三個(gè)場(chǎng)館參加活動(dòng)，要求每個(gè)場(chǎng)館都有人去，且這四人都在這三個(gè)場(chǎng)館，則甲和乙都沒(méi)被安排去首鋼滑雪大跳臺(tái)的種數(shù)為（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】根據(jù)給定條件利用分類加法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列、組合知識(shí)計(jì)算作答.【詳解】因甲和乙都沒(méi)去首鋼滑雪大跳臺(tái)，計(jì)算安排種數(shù)有兩類辦法：若有兩個(gè)人去首鋼滑雪大跳臺(tái)，則肯定是丙、丁，即甲、乙分別去國(guó)家高山滑雪館與國(guó)家速滑館，有種；若有一個(gè)人去首鋼滑雪大跳臺(tái)，從丙、丁中選，有種，然后剩下的一個(gè)人和甲、乙被安排去國(guó)家高山滑雪館與國(guó)家速滑館，有種，則共有種，綜上可得，甲和乙都沒(méi)被安排去首鋼滑雪大跳臺(tái)的種數(shù)為.2．（2023年河南省模擬卷（中）理科數(shù)學(xué)（一）試題）有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到三個(gè)工廠實(shí)習(xí)，每人必須去一個(gè)工廠且每個(gè)工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．12 B．14 C．36 D．72【答案】B【分析】根據(jù)題意，分廠只接受1個(gè)女生和廠接受2個(gè)女生兩類情況，結(jié)合廠的分派方案，利用分類、分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意，可分為兩種情況：①若廠只接受1個(gè)女生，有種分派方案，則廠分派人數(shù)可以為或，則有種分派方案，由分步計(jì)數(shù)原理可得，共有種不同的分派方案；②若廠接受2個(gè)女生，只有1種分派方案，則廠分派人數(shù)為，則有種分派方案，此時(shí)共有種不同的分派方案，綜上，由分類計(jì)數(shù)原理可得，共有種不同的分派方案.3．志愿團(tuán)安排去甲?乙?丙?丁四個(gè)精準(zhǔn)扶貧點(diǎn)慰問(wèn)的先后順序，一位志愿者說(shuō)：不能先去甲，甲的困難戶最多；另一位志愿者說(shuō)：不能最后去丁，丁離得最遠(yuǎn).他們共有多少種不同的安排方法（

）A．14 B．12 C．24 D．28【答案】A【分析】由去丁扶貧點(diǎn)的先后順序入手利用加法原理求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意丁扶貧點(diǎn)不能是最后一個(gè)去，有以下兩類安排方法：①丁扶貧點(diǎn)最先去，有種安排方法；②丁扶貧點(diǎn)安排在中間位置去，有種安排方法，綜合①②知共有種安排方法.4．（2023屆山西省模擬數(shù)學(xué)試題）春節(jié)期間，某地政府在該地的一個(gè)廣場(chǎng)布置了一個(gè)如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個(gè)區(qū)域．現(xiàn)有5種不同的花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能布置相同的花卉，且每個(gè)區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（

）A．120種 B．240種 C．420種 D．720種【答案】C【分析】先對(duì)圖中不同的區(qū)域命名，再運(yùn)用分步計(jì)數(shù)和分類計(jì)數(shù)的方法從中央開(kāi)始計(jì)數(shù)即可.【詳解】如圖，先在A中種植，有5種不同的選擇，再在B中種植，有4種不同的選擇，再在C中種植，有3種不同的選擇，再在D中種植，若D與B種植同一種花卉，則E有3種不同的選擇，若D與B種植不同花卉，則D有2種不同的選擇，E有2種不同的選擇，不同的布置方案有種；考點(diǎn)二、分步乘法計(jì)數(shù)原理1．某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（

）A．48 B．54 C．60 D．72【答案】C【分析】先分組，再考慮甲的特殊情況.【詳解】將5名大學(xué)生分為122三組，即第一組1個(gè)人，第二組2個(gè)人，第三組2個(gè)人，共有種方法；由于甲不去看冰球比賽，故甲所在的組只有2種選擇，剩下的2組任意選，所以由種方法；按照分步乘法原理，共有種方法；2．（2023屆湖南省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，用4種不同的顏色，對(duì)四邊形中的四個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法有（

）A．72 B．56 C．48 D．36【答案】C【分析】先給四個(gè)區(qū)域標(biāo)記，然后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解出著色的方法數(shù).【詳解】將四個(gè)區(qū)域標(biāo)記為，如下圖所示：第一步涂：種涂法，第二步涂：種涂法，第三步涂：種涂法，第四步涂：種涂法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，一共有種著色方法，3．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】C【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有種，根據(jù)分步乘法公式則共有種.1．（2023屆重慶模擬數(shù)學(xué)試題）2022年8月某市組織應(yīng)急處置山火救援行動(dòng)，現(xiàn)從組織好的5支志愿團(tuán)隊(duì)中任選1支救援物資接收點(diǎn)服務(wù)，另外4支志愿團(tuán)隊(duì)分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個(gè)不同項(xiàng)目，每支志愿團(tuán)隊(duì)只能分配到1個(gè)項(xiàng)目，且每個(gè)項(xiàng)目至少分配1個(gè)志愿團(tuán)隊(duì)，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．36 B．81 C．120 D．180【答案】D【分析】先從5支志愿團(tuán)隊(duì)中任選1支救援物資接收點(diǎn)服務(wù)，再將4支志愿團(tuán)隊(duì)分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個(gè)不同項(xiàng)目，最后根據(jù)分步乘法原理求解即可.【詳解】先從5支志愿團(tuán)隊(duì)中任選1支救援物資接收點(diǎn)服務(wù)，有種不同的選派方案，再將剩下的4支志愿團(tuán)隊(duì)分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個(gè)不同項(xiàng)目，有種不同的選派方案，所以，根據(jù)分步乘法原理，不同的安排方案有種.2．（2023年湖南省調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）甲?乙?丙等七人相約到電影院看電影《長(zhǎng)津湖》，恰好買到了七張連號(hào)的電影票，若甲?乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（

）A．240 B．192 C．96 D．48【答案】B【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人.【詳解】丙在正中間（4號(hào)位）；甲?乙兩人只能坐12，23或56，67號(hào)位，有4種情況，考慮到甲?乙的順序有種情況；剩下的4個(gè)位置其余4人坐有種情況；故不同的坐法的種數(shù)為.3．（2023年山東省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，現(xiàn)要對(duì)某公園的4個(gè)區(qū)域進(jìn)行綠化，有4種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，則不同的綠化方案有（

）A．48種 B．72種 C．64種 D．256種【答案】A【分析】利用分步乘法原理求解即可【詳解】從A開(kāi)始擺放花卉，A有4種顏色花卉擺放方法，C有3種顏色花卉擺放方法，B有2種顏色花卉擺放方法；由D區(qū)與A，B花卉顏色不一樣，與C區(qū)花卉顏色可以同色也可以不同色，則D有2種顏色花卉擺放方法.故共有種綠化方案.4．（2023屆河北省一模數(shù)學(xué)試題）將英文單詞“”中的6個(gè)字母重新排列，其中字母b不相鄰的排列方法共有（

）A．120種 B．240種 C．480種 D．960種【答案】B【分析】先排除b之外的其余四個(gè)字母，再?gòu)倪@四個(gè)字母排完后的5個(gè)空中選2個(gè)放入b即可.【詳解】由題意可先排除b之外的其余四個(gè)字母，有種排法，再?gòu)倪@四個(gè)字母排完后的5個(gè)空中選2個(gè)放入b，有種放法，故字母b不相鄰的排列方法共有（種）.考點(diǎn)三、兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用1．學(xué)校要安排2名班主任，3名科任老師共五人在本校以及另外兩所學(xué)校去監(jiān)考，要求在本校監(jiān)考的老師必須是班主任，且每個(gè)學(xué)校都有人去，則有（

）種不同的分配方案．A．18 B．20 C．28 D．34【答案】D【分析】首先分類，即本校監(jiān)考分為1人和2人，在分類的基礎(chǔ)上分配或分組.【詳解】根據(jù)本校監(jiān)考人數(shù)分為：本校1人監(jiān)考，另外4人分配給兩所學(xué)校，有2，2和3，1兩種分配方案，所以總數(shù)為：；本校2人監(jiān)考，另外3人分配給兩所學(xué)校，有2，1一種分配方案，所以總數(shù)為：，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，所有分配方案總數(shù)為28+6=34；2．（2023屆云南省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖所示某城區(qū)的一個(gè)街心花園，共有五個(gè)區(qū)域，中心區(qū)域E已被設(shè)計(jì)為代表城市特點(diǎn)的一個(gè)標(biāo)志性塑像，要求在周圍ABCD四個(gè)區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個(gè)品種的鮮花可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只種一個(gè)品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（

）A．12 B．24 C．48 D．84【答案】D【分析】根據(jù)四個(gè)區(qū)域所種植鮮花的種類進(jìn)行分類：種植兩種鮮花，種植三種鮮花，種植四種鮮花，然后相加即可求解.【詳解】由題意可知：四個(gè)區(qū)域最少種植兩種鮮花，最多種植四種，所以分一下三類：當(dāng)種植的鮮花為兩種時(shí)：和相同，和相同，共有種種植方法；當(dāng)種植鮮花為三種時(shí)：和相同或和相同，此時(shí)共有種種植方法；當(dāng)種植鮮花為四種時(shí)：四個(gè)區(qū)域各種一種，此時(shí)共有種種植方法，綜上：則不同的種植方法的種數(shù)為種.3．從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，當(dāng)三個(gè)數(shù)字中有2和3時(shí)，2需排在3的前面(不一定相鄰)，這樣的三位數(shù)有（

）A．51個(gè) B．54個(gè) C．12個(gè) D．45個(gè)【答案】A【分析】由題意分類討論，結(jié)合排列組合公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意分類討論：（1）當(dāng)這個(gè)三位數(shù)，數(shù)字2和3都有，再?gòu)?，4，5中選一個(gè)，因?yàn)?需排在3的前面，這樣的三位數(shù)有(個(gè)).（2）當(dāng)這個(gè)三位數(shù)，2和3只有一個(gè)，需從1，4，5中選兩個(gè)數(shù)字，這樣的三位數(shù)有（個(gè)）.（3）當(dāng)這個(gè)三位數(shù)，2和3都沒(méi)有，由1，4，5組成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有（個(gè)）由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有(個(gè))．1．有3個(gè)完全相同的標(biāo)號(hào)為1的小球和兩個(gè)標(biāo)號(hào)為2，3的小球，將這5個(gè)小球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球，則不同的放法總數(shù)為（

）A．45 B．90 C．24 D．150【答案】A【分析】根據(jù)3個(gè)相同小球的分布進(jìn)行分類討論【詳解】①若3個(gè)相同小球在同一個(gè)盒子中，則有中②若恰有2個(gè)相同小球在同一個(gè)盒子中，1個(gè)在另一個(gè)盒子中，此時(shí)先將5個(gè)小球分為3組若為“311”分組有2種，若為“221”分組則有3種故共種③若3個(gè)相同小球在3個(gè)不同的盒子中，則剩余兩個(gè)小球都有3種放法，有種共種.2．將六個(gè)數(shù)、、、、、將任意次序排成一行，拼成一個(gè)位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出將2，0，1，9，20，19的首位不為0的排列數(shù)，排除2的后一項(xiàng)是0的排列，1的后一項(xiàng)是9的排列，再加上2的后一項(xiàng)是0同時(shí)1的后一項(xiàng)是9的排列，可得答案.【詳解】將六個(gè)數(shù)、、、、、將任意次序排成一行，拼成一個(gè)位數(shù)，由于首位不能為0，則有個(gè)，其中“20”出現(xiàn)2次，即“2”與“0”相鄰且“2”在“0”前的排法有種，“19”出現(xiàn)2次，即“1”與“9”相鄰且“1”在“9”前的排法有種，“20”和“19”都出現(xiàn)2次的排法有種，因此滿足條件的位數(shù)的個(gè)數(shù)為：.3．如圖，“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成．現(xiàn)從給出的5種不同的顏色中最多可以選擇4種不同的顏色給這5個(gè)區(qū)域涂色；要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色．則不同的涂色方案有（

）種A．120 B．240 C．300 D．360【答案】C【分析】依題意可以利用3或4種不同的顏色涂色，先選出顏色，再涂色，按照分步、分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；【詳解】解：依題意顯然不能用少于2種顏色涂色，若利用3種不同的顏色涂色，首先選出3種顏色有種選法，先涂區(qū)域①有3種涂法，再涂②有2種涂法，則⑤只有1種涂法，④也只有1種涂法，則③也只有1種涂法，故一共有種涂法；若利用4種不同的顏色涂色，首先選出4種顏色有種選法，根據(jù)題意，分2步進(jìn)行涂色：當(dāng)區(qū)域①、②、⑤這三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當(dāng)區(qū)域③、④，必須有1個(gè)區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法；綜上可得一共有種涂法；4．將6盆不同的花卉擺放成一排，其中A?B兩盆花卉均擺放在C花卉的同一側(cè)，則不同的擺放種數(shù)為（

）A．360 B．480 C．600 D．720【答案】B【分析】對(duì)C花卉的位置進(jìn)行分類討論即可解決.【詳解】分類討論的方法解決如圖中的6個(gè)位置，①當(dāng)C在位置1時(shí)，不同的擺法有種；②當(dāng)C在位置2時(shí)，不同的擺法有種；③當(dāng)C在位置3時(shí)，不同的擺法有種；由對(duì)稱性知C在4?5?6位置時(shí)擺放的種數(shù)和C在3?2?1時(shí)相同，故擺放種數(shù)有.考點(diǎn)四、排列問(wèn)題1．（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5”的不同的排法有（

）A．96種 B．64種 C．32種 D．16種【答案】B【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法數(shù)，再利用分步計(jì)數(shù)原理即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行，第一步，要求“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5”，則中間的數(shù)字只能為兩組數(shù)1，4或2，3中的一組，共有種排法；第二步，排第一步中剩余的一組數(shù)，共有種排法；第三步，排數(shù)字5和6，共有種排法；由分步計(jì)數(shù)原理知，共有不同的排法種數(shù)為.2．（2023屆云南省教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（五）數(shù)學(xué)試題）某社區(qū)活動(dòng)需要連續(xù)六天有志愿者參加服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，計(jì)劃依次安排到該社區(qū)參加服務(wù)，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（

）A．72種 B．81種 C．144種 D．192種【答案】D【分析】先計(jì)算乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)的排法，排除乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一天參加服務(wù)的排法，即可得出答案.【詳解】解：若乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，不同的排法種數(shù)為，若乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一天參加服務(wù)，不同的排法種數(shù)為，由間接法可知，滿足條件的排法種數(shù)為種.3．某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（

）種A．9 B．36 C．54 D．108【答案】C【分析】根據(jù)給定條件利用排列并結(jié)合排除法列式計(jì)算作答.【詳解】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有種.1．（2023年陜西省模擬理科數(shù)學(xué)試題）某中學(xué)于2023年4月25日召開(kāi)春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，在開(kāi)幕式之前，由高一，高二學(xué)生自發(fā)準(zhǔn)備了7個(gè)娛樂(lè)節(jié)目，其中有2個(gè)歌曲節(jié)目，3個(gè)樂(lè)器獨(dú)奏，2個(gè)舞蹈節(jié)目，要求舞蹈節(jié)目一定排在首尾，另外2個(gè)歌曲節(jié)目不相鄰．則這7個(gè)節(jié)目出場(chǎng)的不同編排種數(shù)為（

）A．288 B．72 C．144 D．48【答案】C【分析】先把舞蹈節(jié)目排好，再在2個(gè)舞蹈節(jié)目中間排好3個(gè)樂(lè)器獨(dú)奏，再利用插空法排2個(gè)歌唱節(jié)目即可.【詳解】先把舞蹈節(jié)目排好，共種，再在2個(gè)舞蹈節(jié)目中間排好3個(gè)樂(lè)器獨(dú)奏，共種，這樣3個(gè)樂(lè)器獨(dú)奏與2個(gè)舞蹈節(jié)目中間共產(chǎn)生4個(gè)空檔（不包括兩邊），2個(gè)歌唱節(jié)目排在4個(gè)空檔上，共種．故這7個(gè)節(jié)目出場(chǎng)的不同編排種數(shù)為種．2．（2003年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（北京卷））某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目．如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．15 D．30【答案】D【分析】由已知，根據(jù)題意可使用插空法，將2個(gè)新節(jié)目有順序插入5個(gè)節(jié)目形成的6個(gè)空中，直接列式求解即可.【詳解】因?yàn)樵黾恿藘蓚€(gè)新節(jié)目．將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，所以原來(lái)5個(gè)節(jié)目形成6個(gè)空，新增的2個(gè)節(jié)目插入到6個(gè)空中，共有種插法.3．將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（

）．A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種【答案】D【分析】采用間接法，先求出沒(méi)有限制的所有站法，再排除不滿足條件的站法可求解.【詳解】7個(gè)人從左到右排成一排，共有種不同的站法，其中甲、乙、丙3個(gè)都相鄰有種不同的站法，甲站在最右端有種不同的站法，甲、乙、丙3個(gè)相鄰且甲站最右端有種不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，不同的站法有種不同的站法.4．公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的范圍是：，為紀(jì)念祖沖之在圓周率方面的成就，把稱為“祖率”，這是中國(guó)數(shù)學(xué)的偉大成就.某教師為幫助同學(xué)們了解“祖率”，讓同學(xué)們把小數(shù)點(diǎn)后的7位數(shù)字1，4，1，5，9，2，6進(jìn)行隨機(jī)排列，整數(shù)部分3不變，那么可以得到大于的不同數(shù)字的個(gè)數(shù)為（

）A．720 B．1440 C．2280 D．4080【答案】C【分析】以間接法去求解這個(gè)排列問(wèn)題簡(jiǎn)單快捷.【詳解】一共有7個(gè)數(shù)字，且其中有兩個(gè)相同的數(shù)字1.這7個(gè)數(shù)字按題意隨機(jī)排列，可以得到個(gè)不同的數(shù)字.當(dāng)前兩位數(shù)字為11或12時(shí)，得到的數(shù)字不大于當(dāng)前兩位數(shù)字為11或12時(shí)，共可以得到個(gè)不同的數(shù)字，則大于的不同數(shù)字的個(gè)數(shù)為.考點(diǎn)五、組合問(wèn)題1．（2023年云南省質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題）如圖，小華從圖中處出發(fā)，先到達(dá)處，再前往處，則小華從處到處可以選擇的最短路徑有（

）A．25條 B．48條 C．150條 D．512條【答案】C【分析】利用組合、分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】從處到處的最短路徑有條，從處到處的最短路徑有條，則小華從處到處可以選擇的最短路徑有條．2．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識(shí)即可得解.【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的基本事件有，所以這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為.3．現(xiàn)有甲?乙?丙?丁?戊五位同學(xué)，分別帶著A?B?C?D?E五個(gè)不同的禮物參加“抽盲盒”學(xué)游戲，先將五個(gè)禮物分別放入五個(gè)相同的盒子里，每位同學(xué)再分別隨機(jī)抽取一個(gè)盒子，恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用排列組合知識(shí)求出每位同學(xué)再分別隨機(jī)抽取一個(gè)盒子，恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的情況個(gè)數(shù)，以及五人抽取五個(gè)禮物的總情況，兩者相除即可.【詳解】先從五人中抽取一人，恰好拿到自己的禮物，有種情況，接下來(lái)的四人分為兩種情況，一種是兩兩一對(duì)，兩個(gè)人都拿到對(duì)方的禮物，有種情況，另一種是四個(gè)人都拿到另外一個(gè)人的禮物，不是兩兩一對(duì)，都拿到對(duì)方的情況，由種情況，綜上：共有種情況，而五人抽五個(gè)禮物總數(shù)為種情況，故恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為.4．（2020年新高考全國(guó)卷Ⅱ數(shù)學(xué)考試題（海南卷））要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種【答案】C【分析】首先將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，然后將2組學(xué)生安排到2個(gè)村即可.【詳解】第一步，將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，有種分法第二步，將2組學(xué)生安排到2個(gè)村，有種安排方法所以，不同的安排方法共有種【點(diǎn)睛】解答本類問(wèn)題時(shí)一般采取先組后排的策略.5．（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ））我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理與排列組合計(jì)算古典概型問(wèn)題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計(jì)算是住店問(wèn)題，該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻是相同元素的排列問(wèn)題，利用直接法即可計(jì)算．【詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個(gè)陽(yáng)爻情況有，所以該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率為=．【點(diǎn)睛】對(duì)利用排列組合計(jì)算古典概型問(wèn)題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題．本題是重復(fù)元素的排列問(wèn)題，所以基本事件的計(jì)算是“住店”問(wèn)題，滿足條件事件的計(jì)算是相同元素的排列問(wèn)題即為組合問(wèn)題．6．（1）4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，共有多少種放法；（2）4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，恰有一個(gè)盒子空，共有多少種放法；（3）10個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，每個(gè)盒子不空，共有多少種放法；（4）4個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，恰有兩個(gè)盒子空，共有多少種放法？【答案】（1）256；（2）144；（3）84；（4）18.【分析】（1）按照分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算；（2）先選1個(gè)空盒，再把4個(gè)小球分成3組，放入3個(gè)盒子中；（3）按照插板法進(jìn)行計(jì)算即可；（4）先選2個(gè)空盒，再按照插板法進(jìn)行計(jì)算.【詳解】（1）每個(gè)小球有4種方法，共有種放法；（2）先選1個(gè)空盒，再把4個(gè)小球分成3組，最后分到3個(gè)盒子，共有種放法；（3）9個(gè)空中插入3個(gè)板即可，種放法；（4）先選2個(gè)空盒，再3個(gè)空中插入1個(gè)板即可，共有種放法.1．（2023年吉林省模擬數(shù)學(xué)試題）將9個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子中共有多少種方法（每個(gè)盒子中至少放入一個(gè)小球）（）A．28 B．56 C．36 D．84【答案】A【分析】采用隔板法求解.【詳解】根據(jù)題意可知，采用隔板法，9個(gè)相同的小球形成8個(gè)空，在8個(gè)空中插入2塊隔板，形成3組小球，再放入3個(gè)不同的盒子，共有種方法．2．某興趣小組有5名學(xué)生，其中有3名男生和2名女生，現(xiàn)在要從這5名學(xué)生中任選2名學(xué)生參加活動(dòng)，則選中的2名學(xué)生的性別相同的概率是A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意結(jié)合古典概型計(jì)算公式和排列組合公式計(jì)算可得滿足題意的概率值.【詳解】由題意可知，選中的2名學(xué)生的性別相同的概率是：.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型計(jì)算公式，排列組合的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3．（2023屆廣東省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）安排5名大學(xué)生到三家企業(yè)實(shí)習(xí)，每名大學(xué)生只去一家企業(yè)，每家企業(yè)至少安排1名大學(xué)生，則大學(xué)生甲、乙到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】5名大學(xué)生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人，根據(jù)排列組合得出各自有多少種，再得出甲、乙到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的情況有多少種，即可計(jì)算得出答案.【詳解】5名大學(xué)生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人；當(dāng)分為3,1,1人時(shí)，有種實(shí)習(xí)方案，當(dāng)分為2,2,1人時(shí)，有種實(shí)習(xí)方案，即共有種實(shí)習(xí)方案，其中甲、乙到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的情況有種，故大學(xué)生甲、乙到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的概率為.4．有4名大學(xué)生志愿者參加2022年北京冬奧會(huì)志愿服務(wù).冬奧會(huì)志愿者指揮部隨機(jī)派這4名志愿者參加冰壺、短道速滑、花樣滑冰3個(gè)項(xiàng)目比賽的志愿服務(wù)，則每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的概率（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將4人分成3組，其一組有2人，然后將3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行排列，可求出每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的方法數(shù)，再求出4名志愿者參加3個(gè)項(xiàng)目比賽的志愿服務(wù)的總方法數(shù)，再利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】先將4人分成3組，其一組有2人，另外兩組各1人，共有種分法，然后將3個(gè)項(xiàng)目全排列，共有種排法，所以每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的方法數(shù)為種，因?yàn)?名志愿者參加3個(gè)項(xiàng)目比賽的志愿服務(wù)的總方法數(shù)種，所以每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的概率為.5．（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）衣柜里有灰色，白色，黑色，藍(lán)色四雙不同顏色的襪子，從中隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】記“取出的襪子至少有兩只是同一雙”為事件A，記“取出的襪子恰好有兩只不是同一雙”為事件B，求出，，根據(jù)條件概率公式求解即可．【詳解】從四雙不同顏色的襪子中隨機(jī)選4只，記“取出的襪子至少有兩只是同一雙”為事件A，記“取出的襪子恰好有兩只不是同一雙”為事件B，事件A包含兩種情況：“取出的襪子恰好有兩只是同一雙”，“取出的襪子恰好四只是兩雙”，則，又，則，即隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為．6．某傳統(tǒng)文化學(xué)習(xí)小組有10名同學(xué)，其中男生5名，女生5名，現(xiàn)要從中選取4人參加學(xué)校舉行的匯報(bào)展示活動(dòng)．(1)如果4人中男生、女生各2人，有多少種選法？(2)如果男生甲與女生乙至少有1人參加，有多少種選法？(3)如果4人中既有男生又有女生，有多少種選法？【答案】(1)100；(2)140；(3)【分析】（1）由組合知識(shí)結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可；（2）先計(jì)算10人中選取4人的選法，從中除去男生甲與女生乙都不參加的選法即可；（3）先計(jì)算10人中選取4人的選法，從中除去4人全是男生和4人全是女生的選法即可.【詳解】（1）第一步，從5名男生中選2人，有種選法；第二步，從5名女生中選2人，有種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種選法．（2）從10人中選取4人，有種選法；男生甲與女生乙都不參加，有種選法．所以男生甲與女生乙至少有1人參加，共有種選法．（3）從10人中選取4人，有種選法；4人全是男生，有種選法；4人全是女生，有種選法．所以4人中既有男生又有女生，共有種選法．考點(diǎn)六、排列組合的綜合應(yīng)用1．“碳中和”是指企業(yè)、團(tuán)體或個(gè)人等測(cè)算在一定時(shí)間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通過(guò)植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心計(jì)劃派5名專家分別到A，B，C三地指導(dǎo)“碳中和”工作，每位專家只去一個(gè)地方，且每地至少派駐1名專家，則分派方法的種數(shù)為（

）A．90 B．150 C．180 D．300【答案】B【分析】根據(jù)題意，運(yùn)用分類討論思想，結(jié)合排列和組合的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)題意有兩種方式：第一種方式，有一個(gè)地方去3個(gè)專家，剩下的2個(gè)專家各去一個(gè)地方，共有種方法，第二種方式，有一個(gè)地方去1個(gè)專家，另二個(gè)地方各去2個(gè)專家，共有，所以分派方法的種數(shù)為.2．（2003年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（廣東卷））如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種．（以數(shù)字作答）【答案】72【分析】本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，按照顏色的種數(shù)進(jìn)行分為3種顏色和四種顏色依次討論即可.【詳解】按照使用顏色的種類分類，第一類：使用了4種顏色，2,4同色，或3,5同色，則共有(種)，第二類：使用了三種顏色，2,4同色且3,5同色，則共有(種)所以共有48+24=72(種).3．（2023屆河南省模擬理科數(shù)學(xué)試題）某數(shù)學(xué)興趣小組的5名學(xué)生負(fù)責(zé)講述“宋元數(shù)學(xué)四大家”——秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰的故事，每名學(xué)生只講一個(gè)數(shù)學(xué)家的故事，每個(gè)數(shù)學(xué)家的故事都有學(xué)生講述，則不同的分配方案有種．【答案】240【分析】先把5名學(xué)生分成人數(shù)為的四組,再把四組學(xué)生分給宋元數(shù)學(xué)四大家講述,根據(jù)等量分組及排列計(jì)算即可得到.【詳解】先把5名學(xué)生分成人數(shù)為的四組,共有種分法,再把四組學(xué)生分給宋元數(shù)學(xué)四大家講述則有種分法,所以分配方案有種.4．如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供4種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為．【答案】72【分析】根據(jù)題意，分4步依次分析區(qū)域、、、、的涂色方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算答案．【詳解】分4步進(jìn)行分析：①，對(duì)于區(qū)域，有4種顏色可選；②，對(duì)于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；③，對(duì)于區(qū)域，與、區(qū)域相鄰，有2種顏色可選；④，對(duì)于區(qū)域、，若與顏色相同，區(qū)域有2種顏色可選，若與顏色不相同，區(qū)域有1種顏色可選，區(qū)域有1種顏色可選，則區(qū)域、有種選擇，則不同的涂色方案有種；1．中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（

）A．8種 B．14種 C．20種 D．116種【答案】B【分析】按照同個(gè)元素（甲）分類討論，特殊元素和特殊位置優(yōu)先考慮即可得解.【詳解】按照甲是否在天和核心艙劃分，①若甲在天和核心艙，天和核心艙需要從除了甲乙之外的三人中選取兩人，剩下兩人去剩下兩個(gè)艙位，則有種可能；②若甲不在天和核心艙，需要從問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙中挑選一個(gè)，剩下四人中選取三人進(jìn)入天和核心艙即可，則有種可能；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有6+8=14種可能.2．（2023年甘肅省模擬數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，節(jié)日花壇中有5個(gè)區(qū)域，現(xiàn)有4種不同顏色的花卉可供選擇，要求相同顏色的花不能相鄰栽種，則符合條件的種植方案有種.【答案】72【分析】根據(jù)題意，按選出花的顏色的數(shù)目分2種情況討論，利用排列組合及乘法原理求出每種情況下種植方案數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案【詳解】如圖，假設(shè)5個(gè)區(qū)域分別為1，2，3，4，5，分2種情況討論：①當(dāng)選用3種顏色的花卉時(shí)，2，4同色且3，5同色，共有種植方案（種），②當(dāng)4種不同顏色的花卉全選時(shí)，即2，4或3，5用同一種顏色，共有種植方案（種），則不同的種植方案共有（種）.3．將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑和冰壺3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有種．【答案】150【分析】先分組，在分配，分組問(wèn)題必須考慮去除重復(fù).【詳解】5個(gè)人，分成3組，共有2種分法，即1，1，3和2，2，1，共有種，再分配種；4．如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，共有5種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種(以數(shù)字作答)．【答案】420【分析】根據(jù)給定圖形，按用色多少分成3類，求出每一類的著色方法數(shù)，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解作答.【詳解】求不同的著色方法數(shù)有3類辦法，用5種顏色有種，用4種顏色，2，4同色或3，5同色，有種，用3種顏色，2，4同色且3，5同色，有種，所以不同的著色方法共有（種）.【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】2023年10月04日計(jì)數(shù)原理一、單選題1．為有效阻斷新冠肺炎疫情傳播徐徑，構(gòu)筑好免疫屏障，從2022年1月13日開(kāi)始，某市啟動(dòng)新冠病毒疫苗加強(qiáng)針接種工作，凡符合接種第三針條件的市民，要求盡快接種.該市有3個(gè)疫苗接種定點(diǎn)醫(yī)院，現(xiàn)有8名志愿者將被派往這3個(gè)醫(yī)院協(xié)助新冠疫苗接種工作，每個(gè)醫(yī)院至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2940種 B．3000種 C．3600種 D．5880種【答案】A【分析】分組分配問(wèn)題需要考慮重復(fù)；依題意要先分類，因?yàn)?個(gè)人分成3組人數(shù)上有不同的分法，再分配.【詳解】根據(jù)題意，這8名志愿者人數(shù)分配方案共有兩類：第一類是2，2，4，第二類是3，3，2，故不同的安排方法共有種；2．（2022屆高三普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題）由于新冠肺炎疫情，現(xiàn)有五名社區(qū)工作人員被分配到三個(gè)小區(qū)做社區(qū)監(jiān)管工作，要求每人只能去一個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少有一個(gè)人，則不同的分配方法有（

）A．150種 B．90種 C．60種 D．80種【答案】A【分析】本題考查排列組合的不均勻分配問(wèn)題.先進(jìn)行分組按照人數(shù)“3，1，1”模式或者“2，2，1”模式進(jìn)行分組，再進(jìn)行分配（乘以），即可求解.【詳解】若分配的三組人數(shù)分別為3，1，1，則分配方法共有（種）；若分配的三組人數(shù)分別為2，2，1，則分配方法共有（種）；故共有種不同的分配方法.3．（2023屆湖南省名校適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲?乙等4名杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者到游泳?射擊?體操三個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少一名志愿者，若甲不去游泳場(chǎng)地，則不同的安排方法共有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】C【分析】本題只需考慮游泳場(chǎng)有2名志愿者和1名志愿者兩種情況即可.【詳解】①游泳場(chǎng)地安排2人，則不同的安排方法有種，②游泳場(chǎng)地只安排1人，則不同的安排方法有種，所以不同的安排方法有種.4．書架上層放7本不同的語(yǔ)文書，書架下層放5本不同的數(shù)學(xué)書，從書架上層和下層各取一本書的取法有（

）A．12種 B．35種 C．7種 D．66種【答案】B【分析】由分步乘法原理求解即可【詳解】由題意可得，從書架上層取一本書有7種取法，從書架下層取一本書有5種取法，則分步乘法原理可得共有種取法.5．（2023年江西省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）小王同學(xué)家3樓與4樓之間有8個(gè)臺(tái)階，已知小王一步可走一個(gè)或兩個(gè)臺(tái)階，那么他從3樓到4樓不同的走法總數(shù)為（

）A．28種 B．32種 C．34種 D．40種【答案】C【分析】分五種情況：8，7，6，5，4步走完樓梯，每一種情況的方法數(shù)都求出來(lái)再相加即可．【詳解】①8步走完樓梯，走8步走一個(gè)臺(tái)階，有1種；②7步走完樓梯，走1步兩個(gè)臺(tái)階6步一個(gè)臺(tái)階，有種；③6步走完樓梯，走2步兩個(gè)臺(tái)階4步一個(gè)臺(tái)階，有種；④5步走完樓梯，走3步兩個(gè)臺(tái)階2步一個(gè)臺(tái)階，有種；⑤4步走完樓梯，走4步兩個(gè)臺(tái)階，有1種，共計(jì)34種．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查排列組合，解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步，具體地說(shuō)，解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．6．如圖．5個(gè)完全相同的圓盤用長(zhǎng)度相同的線段連接成十字形．將其中兩個(gè)圓盤染上紅色．三個(gè)圓盤染上藍(lán)色．并規(guī)定：若一種染色方法經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后與第二種染色方法一致．則認(rèn)為這兩者是同一種染色方法．則不同的染色方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．10種【答案】B【分析】分三類：中心染藍(lán)色，周圍兩相鄰染紅色或不相鄰染紅色(兩類)，中心染紅色(一類)，結(jié)合題意即可確定染色方法數(shù).【詳解】第一種：中心圓盤染藍(lán)色，周圍圓盤中有兩個(gè)染紅色且紅色圓盤相鄰；第二種：中心圓盤染藍(lán)色，周圍圓盤中有兩個(gè)染紅色且紅色圓盤不相鄰；第三種：中心圓盤染紅色，周圍圓盤中有一個(gè)染紅色．7．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在中間兩個(gè)位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊(duì)方法共有（

）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種【答案】C【分析】先安排甲，可從中間兩個(gè)位置中任選一個(gè)，再安排乙丙2人，可分為兩類：安排在甲有2個(gè)位置的一側(cè)；安排在甲有3個(gè)位置的一側(cè)，最后安排其余3人，綜上可得答案.【詳解】先安排甲，可從中間兩個(gè)位置中任選一個(gè)安排有種方法，而甲站好后一邊有2個(gè)位置，另一邊有3個(gè)位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相鄰，可分為兩類：安排在甲有2個(gè)位置的一側(cè)有種方法；安排在甲有3個(gè)位置的一側(cè)有種方法，最后安排其余3人有種方法，綜上，不同的排隊(duì)方法有：種.8．（2023屆山東省模擬數(shù)學(xué)試題）過(guò)去的一年，我國(guó)載人航天事業(yè)突飛猛進(jìn)，其中航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航天員選拔時(shí)要接受特殊環(huán)境的耐受性測(cè)試，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖擊五項(xiàng).若這五項(xiàng)測(cè)試每天進(jìn)行一項(xiàng)，連續(xù)5天完成.且前庭功能和失重飛行須安排在相鄰兩天測(cè)試，超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測(cè)試，則選拔測(cè)試的安排方案有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．60種【答案】B【分析】根據(jù)特殊元素“失重飛行”進(jìn)行位置分類方法計(jì)算，結(jié)合排列組合等計(jì)數(shù)方法，即可求得總的測(cè)試的安排方案種數(shù).【詳解】①若失重飛行安排在第一天則前庭功能安排第二天，則后面三天安排其他三項(xiàng)測(cè)試有種安排方法，此情況跟失重飛行安排在第五天則前庭功能安排第四天安排方案種數(shù)相同；②若失重飛行安排在第二天，則前庭功能有種選擇，超重耐力在第四、第五天有種選擇，剩下兩種測(cè)試全排列，則有種安排方法，此情況與失重飛行安排在第四天方安排方案種數(shù)相同；③若失重飛行安排在第三天，則前庭功能有種選擇，超重耐力在第一、第五天有種選擇，剩下兩種測(cè)試全排列，則有種安排方法；故選拔測(cè)試的安排方案有種.9．（2023屆福建省適應(yīng)性練習(xí)卷（省質(zhì)檢）數(shù)學(xué)試題）中國(guó)救援力量在國(guó)際自然災(zāi)害中為拯救生命作出了重要貢獻(xiàn)，很好地展示了國(guó)際形象，增進(jìn)了國(guó)際友誼，多次為祖國(guó)贏得了榮譽(yù).現(xiàn)有5支救援隊(duì)前往A，B，C等3個(gè)受災(zāi)點(diǎn)執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊(duì)只能去其中的一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，且每個(gè)受災(zāi)點(diǎn)至少安排1支救援隊(duì)，其中甲救援隊(duì)只能去B，C兩個(gè)數(shù)點(diǎn)中的一個(gè)，則不同的安排方法數(shù)是（

）A．72 B．84 C．88 D．100【答案】D【分析】由題意可知，若甲去點(diǎn)，則剩余4人，可只去兩個(gè)點(diǎn)，也可分為3組去3個(gè)點(diǎn).分別求出安排種法，相加即可得出甲去點(diǎn)的安排方法.同理，即可得出甲去點(diǎn)的安排方法，即可得出答案.【詳解】若甲去點(diǎn)，則剩余4人，可只去兩個(gè)點(diǎn)，也可分為3組去3個(gè)點(diǎn).當(dāng)剩余4人只去兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，人員分配為或，此時(shí)的分配方法有；當(dāng)剩余4人分為3組去3個(gè)點(diǎn)時(shí)，先從4人中選出2人，即可分為3組，然后分配到3個(gè)小組即可，此時(shí)的分配方法有，綜上可得，甲去點(diǎn)，不同的安排方法數(shù)是.同理，甲去點(diǎn)，不同的安排方法數(shù)也是，所以，不同的安排方法數(shù)是.10．為落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開(kāi)設(shè)A，B，C三門德育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報(bào)名方法有（

）A．54種 B．240種 C．150種 D．60種【答案】C【分析】根據(jù)已知對(duì)五位同學(xué)分3組，有兩種情況，然后分類討論各自情況種數(shù)，采用加法原理即可求解.【詳解】根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)選A，B，C三門德育校本課程，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，需要分三組，有兩類情況，①三組人數(shù)為1、1、3，此時(shí)有種；②三組人數(shù)為2、2、1，此時(shí)有種.所以共有60+90=150種.11．（2023屆河北省考前適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）現(xiàn)將甲乙丙丁四個(gè)人全部安排到市?市?市三個(gè)地區(qū)工作，要求每個(gè)地區(qū)都有人去，則甲乙兩個(gè)人至少有一人到市工作的安排種數(shù)為（

）A．12 B．14 C．18 D．22【答案】D【分析】分三種情況，結(jié)合排列組合知識(shí)進(jìn)行求解出每種情況下的安排種數(shù)，相加即可.【詳解】若甲乙兩人中的1人到市工作，有種選擇，其余3人到另外兩個(gè)地方工作，先將3人分為兩組，再進(jìn)行排列，有安排種數(shù)，故有種；若甲乙兩人中的1人到市工作，有種選擇，丙丁中一人到市工作，有種選擇，其余2人到另外兩個(gè)地方工作，有種選擇，故安排種數(shù)有種；若安排甲乙2人都到市工作，其余丙丁2人到另外兩個(gè)地方工作，安排種數(shù)有種，故總共有12+8+2=22種.12．有6本不同的書，按下列方式進(jìn)行分配，其中分配種數(shù)正確的是（

）A．分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B．分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C．分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；【答案】D【分析】根據(jù)題意，分別按照選項(xiàng)說(shuō)法列式計(jì)算驗(yàn)證即可做出判斷.【詳解】選項(xiàng)A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成411的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，先將6本書分為2211的4組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項(xiàng)正確.13．（2023年河南省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”平面模型，圖中正方形內(nèi)部為“趙爽弦圖”（由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成），給、、、這個(gè)三角形和“趙爽弦圖”涂色，且相鄰區(qū)域（即圖中有公共點(diǎn)的區(qū)域）不同色，已知有種不同的顏色可供選擇．則不同的涂色方法種數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依次對(duì)區(qū)域正方形、、、、涂色，討論區(qū)域與區(qū)域同色或異色討論，確定每個(gè)區(qū)域所涂顏色的種數(shù)，結(jié)合分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】先對(duì)正方形涂色，共有種顏色可供選擇，然后涂區(qū)域，有種顏色可供選擇，接下來(lái)涂區(qū)域，有種顏色可供選擇，若區(qū)域與區(qū)域同色，則區(qū)域有種顏色可供選擇；若區(qū)域與區(qū)域不同色，則區(qū)域有種顏色可供選擇，區(qū)域有種顏色可供選擇.由計(jì)數(shù)原理可知，不同的涂色方法種數(shù)為.14．（2023年四川省模擬數(shù)學(xué)（理）試題）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2023年7月28日在成都舉辦，是中國(guó)西部第一次舉辦世界性綜合運(yùn)動(dòng)會(huì)．某高校有甲，乙，丙，丁，戊5名翻譯志愿者去參加A，B，C，D，E，五個(gè)場(chǎng)館的服務(wù)工作，每人服務(wù)一個(gè)場(chǎng)館且每個(gè)場(chǎng)館需要一人．由于特殊原因甲不去A場(chǎng)館，乙不去場(chǎng)館，則不同的安排方法有（

）A．120種 B．96種C．78種 D．48種【答案】C【分析】先進(jìn)行5人全排列，再減五考慮將甲去A場(chǎng)館，乙去B場(chǎng)館，最后加回甲去A場(chǎng)館，同時(shí)乙去B場(chǎng)館，即可.【詳解】先將五人全排列放入五個(gè)場(chǎng)館，共有種方法，再考慮將甲去A場(chǎng)館，其他四個(gè)人全排列，共有種方法，乙去B場(chǎng)館，其他四個(gè)人全排列，共有種方法，而甲去A場(chǎng)館，同時(shí)乙去B場(chǎng)館，共有種方法，所以滿足要求的方法有種.15．（2023屆河北省模擬數(shù)學(xué)試題）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月在杭州舉行，在杭州亞運(yùn)會(huì)三館（杭州奧體中心主體育館、游泳館和綜合訓(xùn)練館）對(duì)外免費(fèi)開(kāi)放預(yù)約期間，甲、乙、丙、丁4人預(yù)約參觀，且每人預(yù)約了1個(gè)或2個(gè)館，則這4人中每個(gè)館恰有2人預(yù)約的不同方案有（

）A．76種 B．82種 C．86種 D．90種【答案】D【分析】應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理先分組再討論相同預(yù)約計(jì)算即可.【詳解】由題意知這4人中恰有2人均預(yù)約了2個(gè)館，剩下2人均預(yù)約了1個(gè)館，首先將4人分成2組，有種不同的分法，下面分2種情況：若預(yù)約2個(gè)館的2人預(yù)約完全相同，有種不同的結(jié)果；若預(yù)約2個(gè)館的2人有預(yù)約1館相同，有種不同的結(jié)果，所以每個(gè)館恰有2人預(yù)約的不同方案有種．16．（2024屆浙江省名校適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）某校銀杏大道上共有20盞路燈排成一列，為了節(jié)約用電，學(xué)校打算關(guān)掉3盞路燈，頭尾兩盞路燈不能關(guān)閉，關(guān)掉的相鄰兩盞路燈之間至少有兩盞亮的路燈，則不同的方案種數(shù)是（

）A．324 B．364 C．560 D．680【答案】B【分析】利用插空法及組合數(shù)求閉燈方案數(shù).【詳解】將路燈分2盞(為保證關(guān)閉路燈之間至少有兩盞亮)、15盞、3盞(需關(guān)閉的路燈)，首先15盞亮的路燈先排成一排，把3盞關(guān)掉的路燈插空，而頭尾兩盞路燈不能關(guān)閉，所以是除頭尾之外的14個(gè)位置上插入三盞關(guān)掉的燈，共種，在每?jī)杀K關(guān)掉的路燈之間再各放入一盞路燈且路燈無(wú)差異，保證關(guān)掉的相鄰兩盞路燈之間至少有兩盞亮的路燈，只有1種方法.綜上，共有種方案數(shù).17．2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)給世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的設(shè)計(jì)好評(píng)不斷，這是一次中國(guó)文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合．為了弘揚(yáng)奧林匹克精神，某學(xué)校安排甲、乙等5名志愿者將吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安裝在學(xué)校的體育廣場(chǎng)，每人參與且只參與一個(gè)吉祥物的安裝，每個(gè)吉祥物都至少由兩名志愿者安裝．若甲、乙必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先安排甲乙兩人，然后剩余3人分兩組，一組1人，一組2人，先分組后安排即可．【詳解】甲和乙必須安裝不同的吉祥物，則有種情況，剩余3人分兩組，一組1人，一組2人，有，然后分配到參與兩個(gè)吉祥物的安裝，有，則共有種.18．當(dāng)前，新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化防控新階段，防止疫情輸入的任務(wù)依然繁重，疫情防控工作形勢(shì)依然嚴(yán)峻、復(fù)雜．某地區(qū)安排A，B，C，D，E五名同志到三個(gè)地區(qū)開(kāi)展防疫宣傳活動(dòng)，每個(gè)地區(qū)至少安排一人，且A，B兩人安排在同一個(gè)地區(qū)，C，D兩人不安排在同一個(gè)地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（

）A．30種 B．36種 C．42種 D．64種【答案】A【分析】由題意可得，分兩個(gè)地區(qū)各分2人，另一個(gè)地區(qū)分1人和兩個(gè)地區(qū)各分1人，另一個(gè)地區(qū)分3人兩種情況，對(duì)兩種情況的種數(shù)求和，即可求解．【詳解】解：①當(dāng)兩個(gè)地區(qū)各分2人，另一個(gè)地區(qū)分1人時(shí)，總數(shù)有種；②當(dāng)兩個(gè)地區(qū)各分1人，另一個(gè)地區(qū)分3人時(shí)，總數(shù)有種．故滿足條件的分法共有種．19．（2023屆北京市診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題）若5名女生和2名男生去兩地參加志愿者活動(dòng)，兩地均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（

）種．A．20 B．40 C．60 D．80【答案】C【分析】利用分步乘法原理、排列組合數(shù)以及不均勻分組的方法進(jìn)行求解.【詳解】第一步，先安排2名男生，有種排法；第二步，安排5名女生：第1種情況，5名女生分兩組，一組1人，一組4人，有種分法，第2種情況，5名女生分兩組，一組2人，一組3人，有種分法，所以5名女生分兩組去兩地參加志愿者活動(dòng)共有：種排法，所以，總共有種分配方案.故A，B，D錯(cuò)誤.20．某班上午有五節(jié)課，分別安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)各一節(jié)課，要求語(yǔ)文與化學(xué)相鄰，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，且數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，則不同排課法的種數(shù)是．【答案】16【分析】根據(jù)題意，可分三步進(jìn)行分析：（1）要求語(yǔ)文與化學(xué)相鄰，將語(yǔ)文與化學(xué)看成一個(gè)整體，考慮其順序；（2）將這個(gè)整體與英語(yǔ)全排列，排好后，有3個(gè)空位；（3）數(shù)學(xué)課不排第一行，有2個(gè)空位可選，在剩下的2個(gè)空位中任選1個(gè)，得數(shù)學(xué)、物理的安排方法，最后利用分步計(jì)數(shù)原理，即可求解．【詳解】根據(jù)題意，可分三步進(jìn)行分析：（1）要求語(yǔ)文與化學(xué)相鄰，將語(yǔ)文與化學(xué)看成一個(gè)整體，考慮其順序，有種情況；（2）將這個(gè)整體與英語(yǔ)全排列，有中順序，排好后，有3個(gè)空位；（3）數(shù)學(xué)課不排第一行，有2個(gè)空位可選，在剩下的2個(gè)空位中任選1個(gè)，安排物理，有2種情況，則數(shù)學(xué)、物理的安排方法有種，所以不同的排課方法的種數(shù)是種．21．2021年12月，南昌最美地鐵4號(hào)線開(kāi)通運(yùn)營(yíng)，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定乘坐地鐵去觀洲、人民公園、新洪城大市場(chǎng)三個(gè)地方游覽，每人只能去一個(gè)地方，人民公園一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為.【答案】65【分析】利用間接法，利用分步計(jì)數(shù)原理求出沒(méi)有限制的方案數(shù)，排除沒(méi)人去人民公園的方案數(shù)，即得.【詳解】由題可知沒(méi)有限制時(shí)，每人有3種選擇，則4人共有種，若沒(méi)人去人民公園，則每人有2種選擇，則4人共有種，故人民公園一定要有人去的不同游覽方案有種.22．（2023年湖北省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五項(xiàng)不同的工作，每項(xiàng)工作由一人完成，每人至少完成一項(xiàng)，且E工作只有乙能完成，則不同的安排方式有種．【答案】50【分析】因?yàn)镋工作只有乙能完成，所以分為兩類，①乙只完成E工作②乙不止完成E工作，再利用兩個(gè)原理及排列組合的知識(shí)即可求得【詳解】由題意可分為兩類（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四項(xiàng)工作，則一共有種安排方式（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四項(xiàng)工作，則一共有種安排方式;綜上共有種安排方式.23．《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著.該書記述了我國(guó)古代14種算法，分別是：積算（即籌算）、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算和計(jì)數(shù).某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁四人，該小組擬全部收集九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算和把頭算等5種算法的相關(guān)資料，要求每人至少收集其中一種，且每種算法只由一個(gè)人收集，但甲不收集九宮算和了知算的資料，則不同的分工收集方案共有種.【答案】126【分析】按甲收集資料的種數(shù)分類討論，先確定甲收集資料的種數(shù)剩下的分成三組分給乙、丙、丁三人收集.【詳解】據(jù)題意，甲可收集1種或2種資料.第一類，甲收集1種，則乙、丙、丁中有一人收集2種，另兩人各收集1種，有種；第二類，甲收集2種，則乙、丙、丁每人各收集1種，有種.所以不同的分工收集方案種數(shù)共有108+18=126種.24．（2023年遼寧省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，現(xiàn)要求在五個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】【分析】利用分步乘法及分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】設(shè)這四個(gè)顏色分別為，先給區(qū)域涂色，有種涂法；假設(shè)區(qū)域涂的是顏色1，再給區(qū)域涂色，可以是顏色,有種涂法;假設(shè)區(qū)域涂的是顏色，再給區(qū)域涂色，可以是顏色，有種涂法;假設(shè)區(qū)域涂的是顏色，如果區(qū)域涂的是顏色，則區(qū)域可以涂顏色或顏色，有種涂法;如果區(qū)域涂的是顏色4,那么區(qū)域可以涂顏色，有1種涂法.所以不同的涂色方法種數(shù)為(種).25．（2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷））從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有種．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【分析】方法一：反面考慮，先求出所選的人中沒(méi)有女生的選法種數(shù)，再根據(jù)從人中任選人的選法種數(shù)減去沒(méi)有女生的選法種數(shù)，即可解出.【詳解】［方法一］：反面考慮沒(méi)有女生入選有種選法，從名學(xué)生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有種．故答案為：.［方法二］：正面考慮若有1位女生入選，則另2位是男生，于是選法有種；若有2位女生入選，則另有1位是男生，于是選法有種，則不同的選法共有種．故答案為：.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)“正難則反”，先考慮“至少有位女生入選”的反面種數(shù)，再利用沒(méi)有限制的選法種數(shù)減去反面種數(shù)即可求出，對(duì)于正面分類較多的問(wèn)題是不錯(cuò)的方法；方法二：正面分類較少，直接根據(jù)女生的人數(shù)分類討論求出．26．有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲、乙各需1人承擔(dān)，丙需2人承擔(dān)且至少1人是男生，現(xiàn)有2男2女共4名學(xué)生承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的安排方法種數(shù)是．（用具體數(shù)字作答）【答案】10【分析】由題意分兩類，丙選擇一名男生和一名女生或丙選擇兩名男子，根據(jù)分類計(jì)算原理即可求出.【詳解】①丙選擇一名男生和一名女生：.②丙選擇兩名男子：.所以不同的安排方法種數(shù)是：10種.27．有3名男生和4名女生，根據(jù)下列不同的要求，求不同的排列方法種數(shù)．(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置；(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊；(3)全體排成一行，其中3名男生必須排在一起；(4)全體排成一行，男、女各不相鄰；(5)全體排成一行，3名男生互不相鄰；(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人．【答案】(1)2160；(2)3720；(3)720；(4)144；(5)1440；(6)840；(7)5040；(8)720.【分析】(1)采用元素分析法，先安排甲，再排剩余的6個(gè)人；(2)采用位置分析法，先排最左邊，再剔除乙在最右邊的排法；(3)采用捆綁法，將男生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列；(4)采用插空法，先排男生，然后將女生插入其中的四個(gè)空位；(5)采用插空法,先排女生，然后在空位中插入男生；(6)采用定序排列，7名學(xué)生排成一行，分兩步：第一步，設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為N；第二步，對(duì)甲、乙、丙進(jìn)行全排列；(7)與無(wú)任何限制的排列相同，即7個(gè)元素的全排列；(8)從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間，再將甲、乙及中間3人看作一個(gè)整體和其余2人一起共3個(gè)元素排成一排.【詳解】（1）解：元素分析法．先安排甲，左、右、中三個(gè)位置可供甲選擇，有種排法，其余6人全排列，有種排法，由乘法原理得共有（種）排法；（2）解：位置分析法．先排最左邊，除去甲外有種排法，余下的6個(gè)位置全排有種排法，但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法種，則符合條件的排法共有（種）；（3）解：捆綁法．將男生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，再與其他元素進(jìn)行全排列，共有（種）排法；（4）解：插空法．先排男生，然后將女生插入其中的四個(gè)空位，共有（種）排法；（5）解：插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（種）排法；（6）解：定序排列．7名學(xué)生排成一行，分兩步：第一步，設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為N；第二步，對(duì)甲、乙、丙進(jìn)行全排列．由乘法原理得，所以（種）；（7）解：與