新教材蘇教版必修第二冊1 3 . 2 基本圖形位置關(guān)系

第13章立體幾何初步

13.2基本圖形位置關(guān)系

13.2.3直線與平面的位置關(guān)系

第3課時距離、直線與平面所成的角

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一距離問題

1.如圖，在長方體ABCLhARCQ中，已知月廬4,小2,能=3,則點8到上底面A、BCD、的

距離為（）

V2

2.（2020江蘇宜興官林中學高一階段檢測）已知平面a外兩點//到平面a的距

離分別是2和4,則48的中點尸到平面a的距離是（）

或1

3.（2021江蘇徐州第三中學高一月考）在長方體力比D48G〃中，也V分別為CRAB

的中點,4廬4,則"V到平面切筋方的距離為.

4.如圖，在長方體ABCD~A、BCD,中：

⑴求證：4/〃平面BB、D、D,

（2）若4於4,力分3,求AtA到平面做〃〃的距離.深度解析

題組二直線與平面所成的角

5.下列說法正確的是（的）

A.平面的斜線與平面所成的角J的取值范圍是。<90°

B.直線與平面所成的角a的取值范圍是0°<aW90°

C.若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線互相平行

D.若兩條直線互相平行，則這兩條直線與同一個平面所成的角相等

6.（2021江蘇江陰第一中學高一期中）已知空間中不過同一點的兩條直線見〃及平

面a,則“，〃與平面a所成的角相同”是“加〃〃”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.如圖所示，在正方體/式》48K〃中，直線48與平面繆所成的角是（）

8.（2021江蘇海門中學高一期中）如圖，在正方體/式》45?！ㄖ信c平面44c所

成角的余弦值是（）

卜.丁當常冷

9.（2021山東臨清第一中學高一期中）如圖,四棱錐尸四切中，底面四邊形/aP為

菱形,N的竹，△業(yè)戶為等邊三角形.

⑴求證做

（2）若4廬2,嶼聲,求直線以與平面46⑦所成的角.

深度解析

/?

能力提升練

題組一距離問題

1.侈選）（2021福建福州高二期末,"）如圖，在正方體ABCD~4BCD,中M療,0分別

是所在棱的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.點G,〃到平面月肺的距離相等

B.PN與Q"為異面直線

C./4游90°

D.平面刃印截該正方體的截面為正六邊形

2.（2020湖南株洲二中高三一模,"）如圖，直角梯形/四中，/

AB信90：CD=2,AB=Bg,E是切的中點，將龐沿力后所在直線翻折成四棱錐

4￡細則點。到平面4如'距離的最大值為（）

AB.—C./

423

3.（2021江蘇姜堰中學高一期中,便）如圖所示，四是。。的直徑倒_L平面4BC,C為

圓周上一點,4?=5cm,4^2cm,則8到平面均。的距離為

切

4.（2020江蘇張家港塘橋高級中學高一階段測試,*）已知四邊形/版是邊長為4

的正方形,￡/分別是AB,AD的中點,GC垂直于四邊形ABCD所在的平面，且仇＞2,則點

夕到平面EFG的距離為,深度解析

5.（2020江蘇新海高級中學高一下期中,*）如圖，在四棱錐丹力四中，為，平面

ADCB,ADLAB,AB//CD,AB=AD=A*CD=2,E為%的中點.

⑴求證:8匹平面PCD,

（2）求直線4?到平面故?的距離.

題組二直線與平面所成的角

6.侈選）（"）如圖,四棱錐a力四的底面為正方形,底面力閱9,則下列結(jié)論中正

確的是（）

A.ACLSB

B.4?〃平面SCD

C.SA與平面￡然所成的角等于SC與平面S切所成的角

D.47與SC所成的角等于DC與SA所成的角

7.（2020浙江寧波鎮(zhèn)海中學高二期中,*）如圖，線段18在平面a內(nèi)，線段線

段位小科且仍=7,力年劭=24,徵=25,則直線舞與平面a所成角的正弦值為

12V3B-1H3C.元7D.1-2

,25

8.（2020江蘇徐州第一中學高一階段測試,*）如圖，在正方體ABCD~A\BCD,.中，點0

為線段M的中點，若點P在線段3上，直線。戶與平面4切所成角的大小為a,則

sina的最小值為

AV3DV6r2V2nV2

n.-b.—C.——U.—

3336

9.（2021江蘇高郵中學高一期中,"）如圖，在四棱錐AABCD中，底面ABCD為梯形,

分別是/〃，分的中點,/〃〃況;止於徵=如1,%=2,力工平面ABD.

（1）求證:外〃平面OCM,

（2）求6?與平面為〃所成角的余弦值.

答案全解全析

第13章立體幾何初步

13.2基本圖形位置關(guān)系

13.2.3直線與平面的位置關(guān)系

第3課時距離、直線與平面所成的角

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.D?.?即1.平面

:.BB\的長度為點夕到平面ABC\D\的距離，

故點3到上底面46C〃的距離為3.故選D.

2.C若48在a同側(cè),如圖①，貝lj尸到a的距離為3；

若48在a異側(cè),如圖②，則。到a的距離為PO'-OO'=3-2=\.

故46的中點〃到平面。的距離為3或1.

3.答案2

解析連接閱，易知脈〃陽,

BCu平面功。凡助怛平面瓜%及；./小〃平面BCCB.

.，斷與平面8CG5的距離等于A，到平面8CG6的距離,

又N到平面8陽5的距離為N哈A定2,

...歷V到平面6(%臺的距離為2.

4.解析⑴證明:在長方體ABCD~A\BCD,中,/4〃郎,

又BBu平面BADRAAg平面BBM

所以44〃平面

(2)由(1)知//〃平面BBM

則直線44上任意一點到平面做〃。的距離都相等.

如圖，過點/作被交劭于H,

易知能，平面ABCD,

因為4fc平面ABCD,

所以醫(yī)」

因為BB\CBD=B,

所以月兒L平面BB\D、D,

即/〃的長為直線AJ到平面65〃〃的距離.

在△4川中,4戶4,4氏3,

則B25.

由等面積法得力廬甯=祟考，

所以AA到平面能〃。的距離為差

解題模板

當直線與平面平行時，直線上任意一點到平面的距離都相等,都是線面距離.所以求

線面距離的關(guān)鍵是選準恰當?shù)狞c，轉(zhuǎn)化為點面距離.

5.DA中,平面的斜線與平面所成的角?的取值范圍是0°<"90°；

B中,直線與平面所成的角a的取值范圍為0°W。W90°；

C中，這兩條直線可能平行,也可能相交或異面;D中說法正確.

易錯警示

注意幾類角的范圍:①異面直線所成的角9的范圍是0°<9W90°;②直線與平面

所成的角a的范圍是0°WaW90°；③斜線與平面所成的角￡的范圍是

0°<￡<90°.

6.B如圖，當加，〃與平面。所成的角相同，即N1=N2時，加，〃不平行；

當加〃A時典〃與平面。所成的角相同.

故選B.

7.A易知44_L平面力"的為46與平面/比7?所成的角，易得N4的=45°.

8.A如圖,連接與〃，交4G于。，則

在正方體ABCD-A^CA中,/14_L平面平面A、BCR,

：.AAyLBxDx.

,.34n4G=4,44,4Gu平面A44,

.?.A〃_L平面AAtCh

...N8M。是直線48與平面A4c所成的角，此角大小為45°,余弦值為爭

故選A.

9.解析⑴證明:取力〃的中點￡連接BE,PE,BD.

一

R

因為四邊形ABCD為菱形，且N的片，

所以△/應(yīng)為等邊三角形，

所以應(yīng)1_L4Z

因為△及1〃為等邊三角形，所以PEVAD.

因為此t平面PBE,BEu平面如￡且PECB行E,

所以/〃，平面PBE.

又因為如u平面PBE而以ADLPB.

⑵因為△為〃，△為。為等邊三角形，且邊長為2,所以P&B&瓜

又PB=&，所以PE+B抬PE,

所以小」必

因為PE1AD,ADCBE=E,

所以在工平面ABCD,

所以/陽￡為直線陽與平面力犯9所成的角.

在直角中，陷應(yīng)；

而以/PB巴,

故直線必與平面4?切所成的角為也

解題模板

求直線與平面所成的角的關(guān)鍵是尋找過斜線上一點與平面垂直的垂線，垂足與斜足

的連線即為直線在平面內(nèi)的射影,斜線與其在平面內(nèi)的射影所成的角即為直線與平

面所成的角.

能力提升練

1.ACD對于選項A,設(shè)與平面得處所成的角為。，由G滬幾區(qū)可得

G施in的in。，即點G,〃到平面必仰的距離相等，故A正確;連接NQ,

對于選項B,連接分別是所在棱的中點，所以。?！ㄉ霞铀娜朔蚴账狞c共面萬斤

以PN與QM共面，故B不正確；

對于選項C,設(shè)正方體的棱長為2,

則很忙企/滬2企,A滬J4N2+41M2=五+1+4=n，所以成+地=4",所以滬90°，故

C正確；

對于選項D,取％的中點￡,%的中點￡連接PF,FE,MEMACMMCD^\PF//AC

〃4G〃QM,ME//D、C"A、BH忱所以N,P,F,E,M,0共面,則平面7W截該正方體的截面

為正六邊形，故D正確.

故選ACD.

2.B由翻折過程可得，在如圖所示的四棱錐〃中，底面力笈力是邊長為1的

正方形，側(cè)面D'EA中,〃'反L/IE且D'后A占1.

■:AE上D'E,AELCE,D'ECC&E,

.?“員1平面D'CE.

作方于點可助歸_48于點“連接D'N,

則由4匹平面D'CE,D'代平面D'CE,

可得D'MLAE,

'："AA&E,〃'機1_平面AECB.

又/6u平面AECB,J.D'MLAB.

.,"夕，平面D'MN.

在中，作，如JL〃W于點〃

則易知,恒平面ABD).

又由題意可得竊〃平面ABD',

的長即為點C到平面48。'的距離.

在Rt/\D'MN中,D'M1MN,MN=1,

設(shè)〃'滬X,則0〈辰〃'月1,

由D'M?陶的。W?物/可得A=4T懣?MH,

:,冊X二1〈:當x=l時等號成立，此時〃'反L平面AECB.

綜上可得點。到平面4切'距離的最大值為苧.

3.答案V2icm

解析因為陽，平面ABC,BCu平面/式;所以PALBC,

又由/9是0。的直徑＜為圓周上一點，可得力入比；

因為必且AC,PAa平面PAC,

所以比工平面PAC,

所以比的長為點6到平面必。的距離.

在直角△/回中，初=5cm,4年2cm,可得BC=y/AB2-AC2=y/Ti(cm).

4.答案等

解析如圖，連接EG,FG,EF,BD,AC,

I)c

設(shè)硒物分別交〃'于點”0,連接GH.

,：四邊形48⑶是正方形,分別是4?,49的中點，

:.EF〃BD,H為力。的中點.

?.?丘平面EFG,Bm平面EFG,

...劭〃平面EFG.

.?.點8到平面鎮(zhèn)G的距離等于直線劃到平面⑸珀的距離.

過點〃作垂足為K,

'：EF//BD,ACLBD,：.EFIAC.

易證G2GE,

又〃為用的中點,GHLEF.

'：GHCAC=H,：.EFL平面肱

：Ofc平面GHC,；.0KLEF.

,：0K工GH,且GHCEQH,GH,EFu平面GEF,

..."平面GEF.

.?.好的長度即為4份到平面笛6的距離.

?.?正方形力版的邊長為4,

，力<>4我，給我，心3企，

在RSHCG中，用=J(3⑸2+22=值,

易詆4HK84HCG,

...以當滑=甯=察，即點夕到平面跖c的距離為察.

nGVZZ1111

解題模板

求點到平面的距離的關(guān)鍵是找到符合題意的三角形，然后在三角形中根據(jù)三角形的

邊角關(guān)系求出距離.

5.解析⑴證明:取外的中點￡連接的母：

因為￡'為星的中點，

所以鰭是〃的中位線，

所以EF〃CD旦EP^CD.

又ABHCDgA*CD,

所以EF"AB旦E戶AB.

所以四邊形/應(yīng)F是平行四邊形，

所以的〃AF.

因為AD=AP,F為功的中點，

所以也

因為ADVAB,AB//2所以ADVCD.

因為陽，平面ADCB,CD^平面ADCB,

所以必_LCZZ

又A9AEJ=4所以徵，平面PAD.

因為"t平面PAD,所以CDLAF.

又PDC徵=〃，所以4U平面PCD.

又旗〃花所以8瓦L平面PCD.

(2)因為AB//CD,CDa平面PCD,ABt平面PCD,所以48〃平面PCD.

所以直線48到平面戶圈的距離等于點A到平面的距離.

由⑴得加U平面產(chǎn)切，則小的長等于點A到平面尸切的距離.

在中,4?=力62,

所以AF—PD-XV22+22=V2.

故點4到平面修的距離為四，

即直線4?到平面尸⑦的距離為亞

6.ABCA正確，因為幼，平面ABCD,ACu平面ABCD,所以ACLSD.因為四邊形ABCD

為正方形，所以/人故，因為BDCS廬D,BD,S2平面颯所以力入平面SBD,因為SB

u平面SBD,所以ACLSB.

B正確，因為AB〃CD,Cg平面5以力用平面所以48〃平面SCD.

C正確，設(shè)〃'與8〃的交點為0,連接S。,如圖，由dC_L平面懶得必與平面皿所

成的角為N/SaS。與平面S切所成的角為NCS0,易知NAS3NCS。,故SA與平面

5切所成的角等于SC與平面S必所成的角.

D不正確,48與SC所成的角是NSC跳或其補角），而如與%所成的角是/留以或其

補角），易知NSQ梃N弘8.故選ABC.

7.D如圖，作比工垂足為￡連接以能

■:ABua,BEua,

：.DELAB,DELBE,

又BDLAB,BDCD拄D,BD,DEu平面BDE,

.?.4?，平面BDE.

?龐t平面BDE,：.ABI.BE.

a,."c〃/即4C〃,￡共面，作EF"CD灰47于￡則四邊形6W'是平行四

邊形，，上。25.

'：ACX.a,AEua,

.../d七即/儂是直線砥與平面a所成的角.

設(shè)膜力，在Rt△月鰭中，

252=242-廬7之+(24-牙，解得力=12,

."尸