2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版八 函數(shù)的奇偶性與周期性含答案

9版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版八函數(shù)的奇偶性與周期性八函數(shù)的奇偶性與周期性(時間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)落實練】1.(5分)如果f(x)是定義在R上的奇函數(shù),那么下列函數(shù)中,一定為偶函數(shù)的是 ()A.y=x+f(x) B.y=xf(x)C.y=x2+f(x) D.y=x2f(x)【解析】選B.設(shè)g(x)=xf(x).因為f(-x)=-f(x),所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)為偶函數(shù).2.(5分)(2023·河南名校聯(lián)盟模擬)若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當0<x<1時,f(x)=4x,則f(-52)+f(2)等于 (A.0 B.2 C.4 D.-2【解析】選D.因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,又f(x)在R上的周期為2,所以f(2)=f(0)=0,f(-52)=f(-12)=-f(12所以f(-52)+f(2)=-23.(5分)已知函數(shù)f(x)=sinx+x3+1x+3,若f(a)=-1,則f(-a)= (A.3 B.5 C.6 D.7【解析】選D.函數(shù)f(x)=sinx+x3+1x+3,f(-x)+f(x)=sin(-x)+(-x)3-1x+3+sinx+x3+1x+3=-sinx-x3-1x+sinx+x3+1x+6=6,若f(a)=-1,則f(-a)=6-4.(5分)(2023·重慶巴蜀中學(xué)月考)已知f(x)是R上的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=x+ln(x+1),則當x<0時,f(x)= ()A.-x-ln(1-x) B.x-ln(1-x)C.-x+ln(1-x) D.x+ln(1-x)【解析】選C.因為f(x)是R上的偶函數(shù),當x<0時,-x>0,所以f(x)=f(-x)=-x+ln(1-x).5.(5分)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,則 ()A.f(x+1)為偶函數(shù) B.f(x-1)為偶函數(shù)C.f(x+1)為奇函數(shù) D.f(x-1)為奇函數(shù)【解析】選C.因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,所以將f(x)的圖象向左平移1個單位長度后所得圖象關(guān)于原點對稱,即f(x+1)是奇函數(shù).6.(5分)(多選題)已知定義在區(qū)間[-7,7]上的一個偶函數(shù),它在[0,7]上的圖象如圖,則下列說法正確的是 ()A.這個函數(shù)有兩個單調(diào)遞增區(qū)間B.這個函數(shù)有三個單調(diào)遞減區(qū)間C.這個函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值7D.這個函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值-7【解析】選BC.根據(jù)偶函數(shù)在[0,7]上的圖象及其對稱性,作出其在[-7,7]上的圖象,如圖所示.由圖象可知這個函數(shù)有三個單調(diào)遞增區(qū)間,有三個單調(diào)遞減區(qū)間,在其定義域內(nèi)有最大值7,最小值不是-7.7.(5分)已知y=f(x)+x2是奇函數(shù),且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,則g(-1)=________.

【解析】令H(x)=f(x)+x2,則H(-1)+H(1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,所以f(-1)=-3,所以g(-1)=f(-1)+2=-1.答案:-18.(5分)(2023·全國甲卷)若y=(x-1)2+ax+sin(x+π2)為偶函數(shù),則a=__________【解題指南】根據(jù)題意,先化簡函數(shù)的解析式,結(jié)合偶函數(shù)的定義可得關(guān)于a的方程,解之可得答案.【解析】根據(jù)題意,設(shè)f(x)=(x-1)2+ax+sin(x+π2)=x2-2x+ax+1+cosx若f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=x2+2x-ax+1+cosx=x2-2x+ax+1+cosx=f(x),變形可得(a-2)x=0在R上恒成立,必有a=2.答案:29.(10分)設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當0≤x≤1時,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)當-4≤x≤4時,求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積.【解析】(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù).又4-π∈(0,1),所以f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x+2)=-f(x),得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),即f(1+x)=f(1-x),故函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.又當0≤x≤1時,f(x)=x,且f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,則f(x)在[-4,4]上的圖象如圖所示.當-4≤x≤4時,設(shè)f(x)的圖象與x軸圍成圖形的面積為S,則S=4S△OAB=4×(12×2×1)=4【能力提升練】10.(5分)(2021·全國乙卷)設(shè)函數(shù)f(x)=1-x1+x,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1【解析】選B.f(x)=1-x1+x=2-(x+1)1+x=21+x-1,為保證函數(shù)變換之后為奇函數(shù),需將函數(shù)y11.(5分)(多選題)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x),其周期為4,當x∈[0,2]時,f(x)=2x-2,則 ()A.f(2023)=0B.f(x)的值域為[-1,2]C.f(x)在[4,6]上單調(diào)遞減D.f(x)在[-6,6]上有8個零點【解析】選AB.f(2023)=f(506×4-1)=f(-1)=f(1)=0,所以A正確;當x∈[0,2]時,f(x)=2x-2單調(diào)遞增,所以當x∈[0,2]時,函數(shù)的值域為[-1,2],由于函數(shù)是偶函數(shù),所以函數(shù)的值域為[-1,2],所以B正確;當x∈[0,2]時,f(x)=2x-2單調(diào)遞增,又函數(shù)的周期是4,所以f(x)在[4,6]上單調(diào)遞增,所以C錯誤;令f(x)=2x-2=0,所以x=1,所以f(1)=f(-1)=0,由于函數(shù)的周期為4,所以f(5)=f(-5)=0,f(3)=f(-3)=0,所以f(x)在[-6,6]上有6個零點,所以D錯誤.12.(5分)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),則a=__________.

【解析】方法一(定義法)因為f(x)=x3(a·2x-2-x)的定義域為R,且是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x)對任意的x∈R恒成立,所以(-x)3(a·2-x-2x)=x3(a·2x-2-x)對任意的x∈R恒成立,所以x3(a-1)(2x+2-x)=0對任意的x∈R恒成立,所以a=1.方法二(取特殊值檢驗法)因為f(x)=x3(a·2x-2-x)的定義域為R,且是偶函數(shù),所以f(-1)=f(1),所以-(a2-2)=2a-1解得a=1,經(jīng)檢驗,f(x)=x3(2x-2-x)為偶函數(shù),所以a=1.方法三(轉(zhuǎn)化法)由題意知f(x)=x3(a·2x-2-x)的定義域為R,且是偶函數(shù).設(shè)g(x)=x3,h(x)=a·2x-2-x,因為g(x)=x3為奇函數(shù),所以h(x)=a·2x-2-x為奇函數(shù),所以h(0)=a·20-2-0=0,解得a=1,經(jīng)檢驗,f(x)=x3(2x-2-x)為偶函數(shù),所以a=1.答案:113.(5分)若函數(shù)f(x)=ex-e-x,則不等式f(lnx)+f(lnx-1)>0的解集是________.

【解析】因為f(x)=ex-e-x,定義域為R,且f(-x)=-(ex-e-x)=-f(x),故其為奇函數(shù),又y=ex,y=-e-x均為增函數(shù),故f(x)為R上的增函數(shù),則原不等式等價于f(lnx)>f(1-lnx),即lnx>1-lnx,整理得lnx>12解得x>e,故不等式的解集為(e,+∞).答案:(e,+∞)14.(10分)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x).當x∈[0,2]時,f(x)=2x-x2.(1)求證:f(x)是周期函數(shù);(2)當x∈[2,4]時,求f(x)的解析式;(3)計算:f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2023).【解析】(1)因為f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)x∈[2,4],則4-x∈[0,2],f(x)=f(x-4)=-f[-(x-4)]=-f(4-x)=-[2(4-x)-(4-x)2]=x2-6x+8,所以x∈[2,4]時,f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù),所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2020)+f(2021)+f(2022)+f(2023)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2023)=0.15.(10分)(2023·鄂州三校聯(lián)考)函數(shù)f(x)的定義域D={x|x≠0},且滿足對于任意x1,x2∈D,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論;(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),求x的取值范圍.【解析】(1)因為對于任意x1,x2∈D,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2)f(x)為偶函數(shù).證明如下:f(x)的定義域關(guān)于原點對稱,令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=12f(1)=0令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).(3)依題設(shè)有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知f(x)是偶函數(shù),所以f(x-1)<2等價于f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1,所以x的取值范圍是(-15,1)∪(1,17).【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)對于函數(shù)f(x),若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x,滿足f(-x)=-f(x),則稱f(x)為“局部奇函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=ex-a在R上為“局部奇函數(shù)”,則實數(shù)a的最小值為 ()A.1 B.2 C.12 D.【解析】選A.f(x)為“局部奇函數(shù)”,則f(-x)=-f(x)在R上有解,即e-x-a=-(ex-a),所以ex+e-x=2a,因為ex+e-x≥2,當且僅當x=0時取等號,所以2a≥2,即a≥1,所以amin=1.17.(5分)已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足:①對于任意的x∈R,都有f(x+1)=1f(x);②函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù);③任意x1,x2∈(0,1],當x1<x2時,f(x1)-f(x2)x1-x【解析】由題意知f(x+1)=1f則f(x+2)=1f(x+1)故函數(shù)y=f(x)的周期為2,f(-32)=f(12),f(223)=f(8-23)=f(-23)=f(23),f(214)=f(6-因為任意x1,x2∈(0,1],當x1<x2時,f(x1)-f所以f(12)<f(23)<f(故f(-32)<f(223)<f(21答案:f(-32)<f(223)<f(二充要條件與量詞(時間:45分鐘分值:95分)【基礎(chǔ)落實練】1.(5分)(2024·沈陽模擬)數(shù)學(xué)符號的使用對數(shù)學(xué)的發(fā)展影響深遠,“=”作為等號使用首次出現(xiàn)在《礪智石》一書中,表達等式關(guān)系,英國數(shù)學(xué)家首次使用“>”和“<”,便于不等式的表示,則命題p:?x,y∈R,(x+y)3>x3+y3的否定為 ()A.?x,y∈R,(x+y)3<x3+y3B.?x,y∈R,(x+y)3>x3+y3C.?x,y∈R,(x+y)3<x3+y3D.?x,y∈R,(x+y)3≤x3+y3【解析】選D.因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題,所以命題p:?x,y∈R,(x+y)3>x3+y3的否定為?x,y∈R,(x+y)3≤x3+y3.2.(5分)(2024·綿陽模擬)已知平面向量a=(1,m),b=(-4,m),則“m=2”是“a⊥b”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.由m=2,則a·b=(1,2)·(-4,2)=-4+4=0,所以a⊥b;而當a⊥b,則a·b=(1,m)·(-4,m)=-4+m2=0,解得m=2或m=-2.所以“m=2”是“a⊥b”的充分不必要條件.【加練備選】若x,y∈R,則“x=0”是“xy=0”的()A.充分條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.當x=0時,xy=0,當xy=0時,x=0或y=0或x=0,y=0,所以“x=0”是“xy=0”的充分不必要條件.3.(5分)(2024·大連模擬)一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一個正根和一個負根的充分不必要條件是 ()A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,-1) D.(1,+∞)【解析】選C.因為一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一個正根和一個負根,所以4-4a所以一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一個正根和一個負根的充分不必要條件可以是a<-1.4.(5分)(2024·信陽模擬)已知條件p:log2(x+1)<2,條件q:x2-(2a+1)x+a2+a≤0,若p是q的必要不充分條件,則實數(shù)a的取值范圍為 ()A.(-∞,2) B.(-1,+∞)C.(-1,2) D.[2,8]【解析】選C.由log2(x+1)<2,得-1<x<3,所以p:-1<x<3,由x2-(2a+1)x+a2+a≤0,得a≤x≤a+1,所以q:a≤x≤a+1,因為p是q的必要不充分條件,所以{x|a≤x≤a+1}能推出{x|-1<x<3},則a>解得-1<a<2.5.(5分)(多選題)對任意實數(shù)a,b,c,給出下列命題,其中是真命題的有 ()A.“a=b”是“ac=bc”的充要條件B.“a>b”是“a2>b2”的充分條件C.“a<5”是“a<3”的必要條件D.“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件【解析】選CD.對于A,當a=b時,ac=bc成立,當ac=bc,c=0時,a=b不一定成立,所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要條件,故A不是真命題.對于B,當a=-1,b=-2時,a>b,a2<b2,當a=-2,b=1時,a2>b2,a<b,所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件,故B不是真命題.對于C,當a<3時,一定有a<5成立,當a<5時,a<3不一定成立,所以“a<5”是“a<3”的必要條件,故C是真命題.對于D,易知“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件,故D是真命題.6.(5分)(多選題)(2024·黔西模擬)下列命題不正確的有 ()A.若命題p:?x∈R,x2+x+1<0,則?p:?x∈R,x2+x+1>0B.不等式x2-4x+5<0的解集為?C.x<1是(x-1)(x+2)<0的充分不必要條件D.?x∈R,x2=【解析】選ACD.對A,若命題p:?x∈R,x2+x+1<0,則?p:?x∈R,x2+x+1≥0,故A不正確;對B,因為x2-4x+5<0,令y=x2-4x+5,則Δ=42-4×5=-4<0,又因為y=x2-4x+5的圖象開口向上,所以不等式x2-4x+5<0的解集為?,故B正確;對C,由(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,設(shè)A=(-∞,1),B=(-2,1),則B?A,故x<1是(x-1)(x+2)<0的必要不充分條件,故C不正確;對D,當x=-1時,(-1)7.(5分)(2024·西安模擬)若命題p:“?x∈R,x2-2x-2≥0”,則“?p”為______________________.

【解析】全稱量詞命題的否定步驟為“改量詞,否結(jié)論”,所以命題p:“?x∈R,x2-2x-2≥0”的否定為?p:?x∈R,x2-2x-2<0.答案:?x∈R,x2-2x-2<08.(5分)已知命題p:?x∈[0,1],a≥ex;命題q:?x∈R,使得x2+4x+a=0.若命題p為真命題,則實數(shù)a的取值范圍為__________;若命題p,q都為真命題,則實數(shù)a的取值范圍是__________.

【解析】由已知命題p,q都是真命題.由?x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由?x∈R,使得x2+4x+a=0,知Δ=16-4a≥0,得a≤4,因此e≤a≤4.答案:[e,+∞)[e,4]9.(10分)(2024·石家莊模擬)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1-m≤x≤3m-2,m>1},是否存在實數(shù)m,使得x∈A是x∈B成立的________?

(1)是否存在實數(shù)m,使得x∈A是x∈B成立的充要條件?若存在,求出實數(shù)m的值;若不存在,請說明理由;(2)請在①充分不必要條件,②必要不充分條件這兩個條件中任選一個補充在上面的問題中橫線部分.若問題中的實數(shù)m存在,求出m的取值范圍;若問題中的m不存在,請說明理由.【解析】(1)若存在實數(shù)m,使得x∈A是x∈B成立的充要條件,則A=B.故1-m=-33m-2=4,無解,故不存在實數(shù)m,使得(2)因為m>1,故3m-2>1>1-m,故B≠?.選①:充分不必要條件.由題意A?B,故-3≥1-m4≤3m-2選②:必要不充分條件.由題意B?A,故-3≤1-m4≥3m-2,解得m≤4【能力提升練】10.(5分)(多選題)“關(guān)于x的不等式ax2-2ax+1>0對?x∈R恒成立”的必要不充分條件有 ()A.0≤a<1 B.0<a<1C.-1≤a<1 D.-1<a<2【解析】選CD.若關(guān)于x的不等式ax2-2ax+1>0對?x∈R恒成立,當a=0時,不等式為1>0,滿足題意;a≠0時,則必有a>0且Δ=(-2a)2-4a×1<0解得0<a<1,故a的范圍為{a|0≤a<1},故“關(guān)于x的不等式ax2-2ax+1>0對?x∈R恒成立”的必要不充分條件的集合必真包含集合{a|0≤a<1},結(jié)合選項知C,D滿足條件.11.(5分)(2024·南昌模擬)若命題“?x∈[1,6],x2+ax+4>0”是真命題,則a的取值范圍是________.

【解析】由題意可知?x∈[1,6],a>-x-4x令f(x)=-x-4x,x∈f'(x)=-1+4x2=4-x2x2=(x(1,2)2(2,6)f'(x)+0-f(x)↗極大值↘f(1)=-5,f(2)=-4,f(6)=-203則f(x)min=-203,則a>-20答案:(-20312.(5分)命題“?x∈R,(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0”為假命題,則實數(shù)a的取值范圍為__________.

【解析】由題意可知,命題“?x∈R,(a2-4)x2+(a+2)x-1<0”為真命題.①當a2-4=0時,可得a=±2.若a=-2,則有-1<0,符合題意;若a=2,則有4x-1<0,解得x<14②若a2-4≠0,則a解得-2<a<65綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是a-答案:a13.(5分)(2024·杭州模擬)已知集合A={x|y=ln(2x2-x-6)},B={x|9x+m-27>0},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件,則實數(shù)m的取值范圍為______________.

【解析】因為集合A={x|y=ln(2x2-x-6)}={x|2x2-x-6>0}={x|x>2或x<-32B={x|9x+m-27>0}={x|32x+2m>33}={x|x>12(3-2m又“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件,所以12(3-2m)≥2,解得m≤-1實數(shù)m的取值范圍為{m|m≤-12}答案:{m|m≤-1214.(10分)(2024·徐州模擬)已知命題p:?x∈R,ax2+2x-1=0為假命題.設(shè)實數(shù)a的取值集合為A,設(shè)集合B={x|3m<x<m+2},若________,求實數(shù)m的取值范圍.

在①“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件;②“x∈B”是“x∈?RA”的充分條件;③B∩?RA=?這三個條件中任選一個,補充到本題的橫線處,并按照你的選擇求解問題.【解析】由已知命題為假,則?p:?x∈R,ax2+2x-1≠0為真,若a=0,?x∈R,2x-1≠0顯然不成立;若a≠0,只需Δ=4+4a<0?a<-1;所以A={a|a<-1},選①:“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件,則B?A,若B=?,則3m≥m+2?m≥1滿足要求;若B≠?,則3m<m+2?m<1,且m+2≤-1?m≤-3,此時m≤-3;所以m∈(-∞,-3]∪[1,+∞);選②:“x∈B”是“x∈?RA”的充分條件,則B??RA,而?RA={a|a≥-1},若B=?,則3m≥m+2?m≥1滿足要求;若B≠?,則3m<m+2?m<1,且3m≥-1?m≥-13,此時-13≤所以m∈[-13,+∞)選③:由B∩?RA=?,若B=?,則3m≥m+2?m≥1滿足要求;若B≠?,則3m<m+2?m<1,且m+2≤-1?m≤-3,此時m≤-3;所以m∈(-∞,-3]∪[1,+∞).15.(10分)已知函數(shù)f(x)=x2-x+1x-1(x≥2),g(x)=a(1)若?x∈[2,+∞),使f(x)=m成立,求實數(shù)m的取值范圍;(2)若?x1∈[2,+∞),?x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2),求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)f(x)=x2-x+1x-1=x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2+1=3,當且僅當x=2時等號成立.所以,若(2)當x≥2時,f(x)≥3,g(x)≥a2.若?x1∈[2,+∞),?x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2),則a2≤3,a>1,解得1<a≤3.【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)荀子曰:“故不積跬步,無以至千里;不積小流,無以成江海.”這句來自先秦時期的名言.此名言中的“積跬步”是“至千里”的 ()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.“不積跬步,無以至千里”說明能“至千里”必須“積跬步”,而“積跬步”不一定能“至千里”.故“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件.二十導(dǎo)數(shù)的函數(shù)零點問題(時間:45分鐘分值:40分)1.(10分)(2023·隴南聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x+1ex-a(a∈R),討論f(【解題指南】令f(x)=0,可得a=x+1ex,令g(x)=x+1【解析】令f(x)=x+1ex-a=0,得a設(shè)g(x)=x+1ex,則g'(x)=e當x>0時,g'(x)<0,當x<0時,g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(x)≤g(0)=1,而當x>-1時,g(x)>0;當x<-1時,g(x)<0.當x→-∞時,g(x)→-∞;當x→+∞時,g(x)→0,所以g(x)的大致圖象如圖所示.①當a>1時,方程g(x)=a無解,即f(x)沒有零點;②當a=1時,方程g(x)=a有且只有一解,即f(x)有唯一的零點;③當0<a<1時,方程g(x)=a有兩解,即f(x)有兩個零點;④當a≤0時,方程g(x)=a有且只有一解,即f(x)有唯一的零點.綜上,當a>1時,f(x)沒有零點;當a=1或a≤0時,f(x)有唯一的零點;當0<a<1時,f(x)有兩個零點.【加練備選】已知函數(shù)f(x)=cosx+xsinx.(1)討論f(x)在[-2π,2π]上的單調(diào)性;(2)求函數(shù)g(x)=f(x)-14x2-1零點的個數(shù)【解析】(1)因為f(-x)=cos(-x)-xsin(-x)=cosx+xsinx=f(x),x∈R,所以f(x)是R上的偶函數(shù),也是[-2π,2π]上的偶函數(shù).f'(x)=xcosx,當x∈[0,2π]時,令f'(x)>0,得0<x<π2或3π2<x<2π;令f'(x)<0,得π2<x<3π2,所以f(x)在[0,π2]和[3π2,2π]上單調(diào)遞增,在(π2,3π2)上單調(diào)遞減.因為f(x)是偶函數(shù),所以當x∈[-2π,0)時,f(x)在[-2π,-3π2]和[-π2綜上所述,f(x)在[-2π,-3π2],[-π2,0)和(π2,3π2)上單調(diào)遞減,在(-3π2,-π2),[0,π2](2)由(1)得g(-x)=f(-x)-14(-x)2-1=g(x),所以g(x)是R上的偶函數(shù).g'(x)=x(cosx-12①當x∈[0,2π]時,令g'(x)>0,得0<x<π3或5π3<x<2π;令g'(x)<0,得π3<x<5π3,所以(0,π3)和(5π3,2π)上單調(diào)遞增,在(π3,5π3)上單調(diào)遞減.因為g(π3)>g(0)=0,g((-32)-14×(5π3)2-12<0,g(2π)=-π2<0,所以?x0∈(π3,5π3),使得g(x0②當x∈(2π,+∞)時,g(x)=cosx+xsinx-14x2-1<x-14x2<0,所以g(x)在(2π,+∞)上沒有零點.由①②及g(x)是偶函數(shù)可得g(x)在R2.(10分)已知函數(shù)f(x)=13x3-a(x2+x+1)(1)若a=3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:f(x)只有一個零點.【解析】(1)當a=3時,f(x)=13x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3令f'(x)=0,解得x=3-23或x=3+23.當x∈(-∞,3-23)∪(3+23,+∞)時,f'(x)>0;當x∈(3-23,3+23)時,f'(x)<0.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,3-23),(3+23,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(3-23,3+23).(2)因為x2+x+1>0,所以f(x)=0等價于x3x2+設(shè)g(x)=x3x2+x+1-3a,則當且僅當x=0時g'(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.故g(x)至多有一個零點,從而f(x)至多有一個零點.又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6(a-16)2-16<0,f(3a+1)=13>0,故f綜上,f(x)只有一個零點.3.(10分)(2021·全國甲卷)已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=xaax((1)當a=2時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點,求a的取值范圍.【解析】(1)當a=2時,f(x)=x22xf'(x)=x(2-令f'(x)>0,得0<x<2ln2,此時函數(shù)f(x令f'(x)<0,得x>2ln2,此時函數(shù)f(x所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2ln2),單調(diào)遞減區(qū)間為(2ln2,+∞(2)曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點,可轉(zhuǎn)化為方程xaax=1,即xa=ax(x>0)有兩個不