2022屆四川省成都市高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2022屆四川省成都市高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知i為虛數(shù)單位，則（

）A．1+i B．1－iC．－1+i D．－1－i【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：B2．設(shè)集合．若集合滿足，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)并集結(jié)果可列舉出集合所有可能的情況，由此可得結(jié)果.【詳解】，，集合所有可能的結(jié)果為：，，，，滿足條件的集合共有個(gè).故選：D.3．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，其中正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，俯視圖是直徑為的圓．則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三視圖可還原幾何體為圓錐，利用圓錐表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知幾何體是如下圖所示的圓錐，其中圓錐的底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，幾何體的表面積.故選：A.4．的展開式中的系數(shù)為（

）A． B．160 C． D．80【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為3，即可求出展開式中的系數(shù).【詳解】解：展開式的通項(xiàng)公式為，令時(shí)，得展開式中的系數(shù)為.故選：A5．在區(qū)間（－2，4）內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使得不等式成立的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求解指數(shù)不等式，然后結(jié)合幾何概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】，，，所以不等式的解集為，所以所求概率為.故選：B6．設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得，利用拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，解得：；.故選：C.7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【詳解】由得：，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，.故選：C.8．若曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．－4 B．－3 C．4 D．3【答案】B【分析】利用切線的斜率列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】，所以.故選：B9．在等比數(shù)列中，已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、充分、必要條件的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，；且；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A10．在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）與燃料的質(zhì)量（單位：），火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系是．當(dāng)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)到．若要使火箭的最大速度達(dá)到，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值應(yīng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可求得，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意得：，，，即當(dāng)火箭的最大速度達(dá)到，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為.故選：D.11．在四棱錐中，已知底面為矩形，底面，.若分別為的中點(diǎn)，經(jīng)過三點(diǎn)的平面與側(cè)棱相交于點(diǎn).若四棱錐的頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的半徑為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，進(jìn)而根據(jù)四點(diǎn)共面得存在實(shí)數(shù)使得，進(jìn)而得，即為棱的三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)，再將問題轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)為的長(zhǎng)方體的外接球半徑即可.【詳解】解：根據(jù)題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，設(shè)，則，因?yàn)榻?jīng)過三點(diǎn)的平面與側(cè)棱相交于點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)使得，即，所以，解得，所以，即為棱的三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)，四棱錐的頂點(diǎn)均在球的半徑與邊長(zhǎng)為的長(zhǎng)方體的外接球半徑相同，因?yàn)檫呴L(zhǎng)為的長(zhǎng)方體的外接球半徑為，所以四棱錐的外接球的半徑為故選：B12．已知中，角的對(duì)邊分別為.若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理邊化角，可得，再次角化邊可得關(guān)系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值，進(jìn)而得的最大值，再求即可得答案.【詳解】解：∵,\∴，∴由正弦定理得：，即，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為.∵，∴，∴的最大值為.故選：C.二、填空題13．某區(qū)域有大型城市個(gè)，中型城市個(gè)，小型城市個(gè)．為了解該區(qū)域城市空氣質(zhì)量情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取個(gè)城市進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)抽取的大型城市的個(gè)數(shù)為______．【答案】【分析】確定抽樣比后即可計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】，應(yīng)抽取的大型城市個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：.14．已知中，∠C＝90°，BC＝2，D為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則______．【答案】【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求得.【詳解】.故答案為：15．定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為___________.【答案】【分析】判斷出的對(duì)稱性、周期性，畫出的圖象，結(jié)合圖象求得的所有零點(diǎn)之和.【詳解】解：依題意，定義在R上的奇函數(shù)滿足，，所以關(guān)于對(duì)稱，，所以是周期為的周期函數(shù).，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.由于函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，圖象可以由圖象向右平移個(gè)單位得到，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，畫出，的圖象如下圖所示，由圖可知，，有個(gè)公共點(diǎn)，所以的所有零點(diǎn)和為.故答案為：16．已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，經(jīng)過作直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，直線與雙曲線的另一條漸近線在第二象限的交點(diǎn)為．若，則雙曲線的離心率為______．【答案】【分析】設(shè)，與雙曲線兩漸近線聯(lián)立可求得坐標(biāo)，利用可構(gòu)造齊次方程求得離心率.【詳解】由題意可設(shè)：，由得：，即；由得：，即；，，即，，即，，解得：，即雙曲線的離心率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解圓錐曲線離心率或離心率取值范圍問題的基本思路有兩種：（1）根據(jù)已知條件，求解得到的值或取值范圍，由求得結(jié)果；（2）根據(jù)已知的等量關(guān)系或不等關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于的齊次方程或齊次不等式，配湊出離心率，從而得到結(jié)果.三、解答題17．某中學(xué)為研究課外閱讀時(shí)長(zhǎng)對(duì)語文成績(jī)的影響，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生某階段每人每天課外閱讀的平均時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）及他們的語文成績(jī)，得到如下的統(tǒng)計(jì)表：平均時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）（0，20]（20，40]（40，60]（60，80]人數(shù)921155語文成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)39103(1)估算該階段這50名學(xué)生每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)若從課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間（60，80]的學(xué)生中隨機(jī)選取3名進(jìn)行研究，求所選3名學(xué)生中至少有2名語文成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生的概率．【答案】(1)平均數(shù)為分鐘(2)【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的求法，求得平均數(shù).（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】(1)平均數(shù)為分鐘.(2)區(qū)間（60，80]的學(xué)生有人，記為，其中為語文成績(jī)優(yōu)秀，從中任取人，基本事件有：，共種，其中至少有人語文成績(jī)優(yōu)秀的為：，共種，所以所選3名學(xué)生中至少有2名語文成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生的概率為.18．已知函數(shù)，其中，且．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角和輔助角公式可化簡(jiǎn)得，根據(jù)可求得，進(jìn)而得到；令，解不等式即可求得所求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由可求得，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得，根據(jù)，利用兩角和差正弦公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)，，，解得：，又，，；令，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)由（1）知：，；當(dāng)時(shí)，，，.19．如圖，在三棱柱中，已知底面，，，，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱上，且，E為線段上的動(dòng)點(diǎn).(1)證明：；(2)若直線與所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.【答案】(1)詳見解析；(2).【分析】（1）由底面，結(jié)合，得到，再根據(jù)，D為的中點(diǎn)，得到,則平面，從而，然后由，得到，進(jìn)而證明平面即可；（2）由（1）取的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由直線與所成角的余弦值為，求得x=2，再求得平面的一個(gè)法向量，由平面的一個(gè)法向量，然后由求解.【詳解】(1)證明：在三棱柱中，底面，所以三棱柱是直三棱柱，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋珼為的中點(diǎn)，所以,又，所以平面，則，易知，則，因?yàn)?，三條，則，即，又，所以平面，所以；(2)由（1）取的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，所以，，因?yàn)橹本€與所成角的余弦值為，所以，解得x=2，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，易知是平面的一個(gè)法向量，則二面角的余弦值是.20．已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，其右頂點(diǎn)為.(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P，Q在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為.求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，再結(jié)合，即可解出，從而得出橢圓C的方程；（2）依題可設(shè)，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，即可得到，然后結(jié)合，可找到的關(guān)系，從而可知直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)，于是△APQ面積等于，即可求出其最大值．【詳解】(1)解：依題可得，，解得，所以橢圓C的方程為．(2)解：易知直線AP與AQ的斜率同號(hào)，所以直線不垂直于軸，故可設(shè)，，，由可得，，所以，，，而，即，化簡(jiǎn)可得，①，因?yàn)?，所以，令可得，②，令可得，③，把②③代入①得，，化?jiǎn)得，所以，或，所以直線或，因?yàn)橹本€不經(jīng)過點(diǎn)，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)．設(shè)定點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，即△APQ面積的最大值為．21．已知函數(shù)，其中.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題知在上恒成立，進(jìn)而在上恒成立，再求函數(shù)的最小值即可得答案.（2）先求得，利用換元法表示出，通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合來求得的取值范圍.【詳解】(1)解：因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，故令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，即的取值范圍是.(2)解：，對(duì)函數(shù)，設(shè)上一點(diǎn)為，過點(diǎn)的切線方程為，將代入上式得，所以過的的切線方程為.所以，要使與有兩個(gè)交點(diǎn)，則，此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.，令，則，所以，所以，即所以，令，令，所以在上遞增.因?yàn)椋栽谏虾愠闪?所以在上恒成立.所以在上遞增.，所以當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于先根據(jù)題意，求函數(shù)過點(diǎn)的切線斜率，進(jìn)而得，再結(jié)合極值點(diǎn)的定義得，進(jìn)而換元，求出，再構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性得并結(jié)合得答案.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，其中為常數(shù)且．(1)求直線的普通方程與曲線的極坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，直線；當(dāng)時(shí)，直線；曲線；(2).【分析】（1）分別在和兩種情況下可得普通方程；根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化方法可求得曲線的極坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)直線與圓相切時(shí)的值可求得與相交時(shí)的取值范圍；將代入的極坐標(biāo)方程，可得關(guān)于的一元二次方程，從而得到韋達(dá)定理的形式，利用的意義和三角函數(shù)值域的求解方法可求得結(jié)果.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，直線；當(dāng)時(shí)，直線；由得：，曲線的極坐標(biāo)方程為：；(2)當(dāng)時(shí)，與圓相切；當(dāng)時(shí)，若與圓相切，則，解得：，