橢圓幾何性質(zhì)

3.幾何性質(zhì)【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長短軸長＝2b，長軸長＝2a焦點(diǎn)(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸、y軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)考點(diǎn)二：直線與橢圓的位置關(guān)系直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程．直線與橢圓的位置關(guān)系、對(duì)應(yīng)一元二次方程解的個(gè)數(shù)及Δ的取值的關(guān)系如表所示．直線與橢圓解的個(gè)數(shù)Δ的取值兩個(gè)不同的公共點(diǎn)兩解Δ>0一個(gè)公共點(diǎn)一解Δ＝0沒有公共點(diǎn)無解Δ<0重難點(diǎn)技巧：弦長的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求弦長．(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，利用弦長公式：|P1P2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長．【題型歸納】題型一：橢圓的焦點(diǎn)、焦距.頂點(diǎn)，長短軸1．（2023秋·高二）橢圓與橢圓的關(guān)系為（

）A．有相同的長軸長與短軸長 B．有相同的焦距C．有相同的焦點(diǎn) D．有相同的離心率【答案】B【分析】利用橢圓的方程分別求出兩個(gè)方程的a，b，c的值以及焦點(diǎn)所在位置，即可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于橢圓，則，且焦點(diǎn)在x軸上，所以長軸長為10，短軸長為6，焦距為8，焦點(diǎn)為，離心率為，對(duì)于橢圓，因?yàn)?，則，可得，且焦點(diǎn)在y軸上，所以長軸長為，短軸長為，焦距為8，焦點(diǎn)為，離心率為，所以A、C、D錯(cuò)誤，B正確.故選：B.2．（2022秋·江蘇南京·高二?？计谀┣€與曲線有共同的（

）A．長軸長 B．短軸長 C．離心率 D．焦距【答案】D【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的簡單性質(zhì)，分別求出曲線與曲線的長軸長、短軸長、實(shí)軸長、虛軸長、離心率和焦距，由此能求出結(jié)果.【詳解】中：長軸長，短軸長，離心率，焦距.曲線中：實(shí)軸長，虛軸長，離心率，焦距.曲線與曲線有共同的焦距.故選：.3．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)P為橢圓上的點(diǎn)，分別是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，，則的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】先根據(jù)橢圓的方程求得，進(jìn)而求得，設(shè)出，利用余弦定理可求得的值，最后利用三角形面積公式求解．【詳解】由橢圓方程有，則.設(shè)，由橢圓的定義有：.設(shè)，由，得，由余弦定理得：解得：，．所以的面積為．故選：D題型二：橢圓的橢圓的范圍問題4．（2022秋·江蘇淮安·高二江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，利用余弦定理建立關(guān)系，結(jié)合橢圓范圍求解作答.【詳解】依題意，，設(shè)點(diǎn)，，，，中，由余弦定理得：，整理得，則，化簡得：，即，于是得，即，而，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓+=1上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上），為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)；若是的角平分線上的一點(diǎn)，且丄，則丨丨的取值范圍為（

）A．（0，） B．（0，2）C．（l，2） D．（，2）【答案】A【分析】延長、相交于點(diǎn)，連接，利用橢圓的定義分析得出，設(shè)點(diǎn)，求出的取值范圍，利用橢圓的方程計(jì)算得出，由此可得出結(jié)果.【詳解】如下圖，延長、相交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，設(shè)點(diǎn)，由已知可得，，，則且，且有，，故，所以，.故選：A.6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：的切線，設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，得到，利用橢圓的范圍求解.【詳解】解：設(shè)，則，，，因?yàn)椋?，即，故選：B題型三：橢圓的離心率問題7．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學(xué)校）已知是橢圓的左焦點(diǎn)，若過的直線與圓相切，且的傾斜角為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線與圓相切的位置關(guān)系可構(gòu)造的齊次方程，結(jié)合橢圓關(guān)系可求得離心率.【詳解】由題意知：，則直線，即，與圓相切，，即，，，橢圓的離心率.故選：A.8．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上，且，過P作的垂線交x軸于點(diǎn)A，若，記橢圓的離心率為e，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，從而可求得，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)橢圓的定義及離心率公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?所以,可得.在中，.由橢圓的定義可得，故，所以，所以.故選:A.9．（2023春·江蘇鹽城·高二?？计谥校┲本€經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，得到，，則，由，得點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)A又在橢圓上，由定義求得，可求橢圓的離心率.【詳解】對(duì)直線，令，解得，令，解得，故，，則，設(shè)，則，而，則，解得，則，點(diǎn)A又在橢圓上，左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，由，則，橢圓的離心率.故選：C題型四：橢圓的中點(diǎn)弦問題10．（2022秋·江蘇南京·高二?？茧A段練習(xí)）橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，設(shè)某條弦過點(diǎn)P且以P為中點(diǎn)，那么這條弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法得到直線斜率和中點(diǎn)之間的關(guān)系，即可得解.【詳解】設(shè)滿足題意的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則，，兩式相減得，即.又直線過，由此可得所求的直線方程為，所以弦所在直線的方程為，故選：B.11．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓（）的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】橢圓的中點(diǎn)弦問題，利用點(diǎn)差法構(gòu)造弦中點(diǎn)坐標(biāo)與的關(guān)系，計(jì)算離心率即可.【詳解】設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則，，直線的斜率.由，得，，，故橢圓的離心率.故選：B.12．（2022秋·江蘇徐州·高二?？计谥校┮阎獧E圓的右焦點(diǎn)為，過作直線交橢圓于A、B陃點(diǎn)，若弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入橢圓方程相減，利用，，求出直線的斜率，得出等量關(guān)系，再由關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線斜率，代入橢圓方程得，兩式相減得即，也即，所以，又，所以，所求的橢圓方程為.故選：A.題型五：直線與橢圓的弦長問題13．（2022秋·江蘇淮安·高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）過橢圓的左焦點(diǎn)作斜率為1的弦，則弦的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出橢圓左焦點(diǎn)，然后寫出直線方程為，再聯(lián)立橢圓解出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，最后依據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式得到弦長.【詳解】由,得橢圓方程,左焦點(diǎn)為,過左焦點(diǎn)的直線為,代入橢圓方程得，解得或，，故選：D.14．（2023秋·江蘇南通·高二校考階段練習(xí)）設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（

）A． B．3 C． D．2【答案】B【分析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計(jì)算即可.【詳解】由已知，不妨設(shè)，則，因?yàn)椋渣c(diǎn)在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點(diǎn)晴】本題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的計(jì)算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.15．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知離心率為的橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為該橢圓上位于軸上方一點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】由離心率可求出，可得出，設(shè)，則，可得出、的方程，即可得到、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出.【詳解】由，得，則、，設(shè)，則，設(shè)，則，直線的方程為，則的坐標(biāo)為，直線的方程為，則的坐標(biāo)為，所以，解得或．故選：C.題型六：橢圓中的向量問題16．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作傾斜角為的直線與橢圓相交與A，B兩點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率e為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè),過點(diǎn)的直線方程為,聯(lián)立,根據(jù)，得到，再結(jié)合韋達(dá)定理，由求解.【詳解】設(shè),過點(diǎn)的直線方程為,由,得,由韋達(dá)定理得:,,因?yàn)椋?，則，即，解得，因?yàn)?，所以，故選：A17．（2023春·江蘇常州·高二華羅庚中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為，．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l：與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若，求k的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題意結(jié)合幾何關(guān)系可求得，.則橢圓的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意可得.易知直線的方程為，由方程組可得.由方程組可得.結(jié)合，可得，解出，或.經(jīng)檢驗(yàn)的值為.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得，又由，可得．又，所以，，所以，橢圓的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)?，所以有，，，所以，即．易知直線的方程為，由方程組消去y，可得．由方程組消去，可得．由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或．當(dāng)時(shí)，由可得，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，由可得，，.所以，.18．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)點(diǎn)，在曲線上且，點(diǎn)滿足且，求直線的方程．【答案】(1)(2)答案見詳解【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，整理化簡即可得到的方程；（2）先判斷直線，聯(lián)立直線于橢圓的方程，由韋達(dá)定理得到坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)，得到.再根據(jù)，得到之間的關(guān)系，消掉，即可得到的值，從而得到直線方程.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由已知可得，整理可得，即為的方程．（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，可設(shè)，，∵，，，∴，可設(shè)，∴，∴，∴，則，此時(shí)點(diǎn)不在橢圓上，∴不符合，舍去．當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為，設(shè)、，中點(diǎn)，聯(lián)立，可得，∴，且，，又，∴，，整理可得.，∴，所以，∴，設(shè)與軸交點(diǎn)，∴，又，所以.解得，∴，∴，滿足，∴，，所以直線的方程為或或或．題型七：橢圓的定點(diǎn)、定值、最值問題19．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)若經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)離心率以及的幾何性質(zhì)即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到韋達(dá)定理，根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式，代入化簡即可求解.【詳解】（1）由題意可知：，又，解得，所以橢圓方程為（2）證明：由題意可知直線有斜率，由于與點(diǎn)的連線的斜率為，且的橫縱坐標(biāo)恰好與相反，因此直線有斜率滿足且，直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程：，設(shè)，則，，將代入可得故直線AP與AQ的斜率之和為1，即為定值，得證.20．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓的左頂點(diǎn)為.橢圓的離心率為并且與直線相切.(1)求橢圓的方程；(2)斜率存在且不為0的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），且.則直線是否恒過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)直線恒過定點(diǎn).【分析】（1）由離心率的值可得的關(guān)系，將直線與橢圓聯(lián)立，由判別式為可得的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程與橢圓聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，由向量模的關(guān)系，可得，即，求出數(shù)量積的表達(dá)式，將兩根之和及兩根之積代入，可得直線恒過的定點(diǎn).【詳解】（1）由題意可得，可得，所以橢圓的方程為：，即，聯(lián)立，整理可得：，由題意可得，解得，，所以橢圓的方程為：；（2）因?yàn)?，可得，即，由?）可得，由題意設(shè)直線的方程為：，，，，聯(lián)立，整理可得：，，即，且，，所以，整理可得：，解得或（舍），即時(shí)，不論為何值都符合，所以直線的方程為，則直線恒過定點(diǎn).21．（2022秋·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）已知圓A：，T是圓A上一動(dòng)點(diǎn)，BT的中垂線與AT交于點(diǎn)Q，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點(diǎn)（0，2）的直線l交曲線C于M，N兩點(diǎn)，記點(diǎn)P（0，）.問：是否存在直線l，滿足PM=PN？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，y=±x+2.【分析】（1）由橢圓定義確定軌跡是橢圓，然后求出得橢圓方程；（2）假設(shè)存在滿足題意的直線，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程后，由直線與橢圓相交得參數(shù)范圍，設(shè)，應(yīng)用韋達(dá)定理得，求出線段的垂直平分線的方程，由點(diǎn)在這個(gè)垂直平分線上求得參數(shù)值．【詳解】（1）由條件得，所以的軌跡是橢圓，且，所以，所以的方程為.（2）假設(shè)存在滿足題意的直線，顯然的斜率存在且不為0，設(shè)，由得，則，得，設(shè)，則，又，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，的中垂線方程為，要使，則點(diǎn)應(yīng)在的中垂線上，所以，解得，故，因此，存在滿足題意的直線l，其方程為y=±x+2.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題22．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線：與橢圓：有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C．D．【答案】B【分析】聯(lián)立直線與橢圓的方程，令判別式大于0求解即可.【詳解】將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得，消去得①，因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以方程①有實(shí)數(shù)根，則，得.故選：B．23．（2023秋·吉林長春·高二長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在橢圓上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用判別式法，求出與橢圓相切的直線方程，然后即可求得本題答案.【詳解】設(shè)直線與橢圓相切，聯(lián)立方程，得①，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，得，當(dāng)時(shí)，與的距離最大，最大距離為，把代入①得，，得，代入，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：A24．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)，則，且，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】在橢圓中，，，，則，，設(shè)點(diǎn)，則，且，則，所以，，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，故選：D25．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓方程為，其右焦點(diǎn)為F（4，0），過點(diǎn)F的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用點(diǎn)差法求解即可．【詳解】設(shè)，代入橢圓的方程可得，．兩式相減可得：．由，，代入上式可得：＝0，化為．又，，聯(lián)立解得．∴橢圓的方程為：．故選：C．26．（2023秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)和(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線和橢圓C的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)橢圓C的方程為且，列出關(guān)于的方程求解即可；（2）聯(lián)立直線和橢圓C的方程求解即可．【詳解】（1）設(shè)橢圓C的方程為且，橢圓C過兩點(diǎn)和，則且，解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由消元得，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴直線和橢圓C的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為．27．（2023秋·陜西西安·高二陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線的方程.【答案】(1)(2)，【分析】（1）由焦點(diǎn)和離心率即可求出，從而可得橢圓方程；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，由點(diǎn)直線的距離公式，結(jié)合韋達(dá)定理，把面積表示為的函數(shù)，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由已知得，又離心率，得到，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立，消得，，得到，由韋達(dá)定理得，，又因?yàn)?，又原點(diǎn)到直線的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，滿足，所以，面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.【高分突破】一、單選題28．（2023秋·江蘇南京·高二南京外國語學(xué)校校）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，且，直線與交于另一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)幾何性質(zhì)表示焦半徑，再結(jié)合余弦定理求焦半徑的長度，即可求解.【詳解】如圖，因?yàn)?，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，由，得，設(shè)，則，，．由余弦定理得，即，整理得，則，故．故選：D29．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知A，B，C是橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB經(jīng)過原點(diǎn)O，直線AC經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F，若，且，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，設(shè)，根據(jù)橢圓對(duì)稱性表示相關(guān)線段長，以及推出，利用勾股定理推出，在中，再利用勾股定理即可得的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，連接，設(shè)，結(jié)合橢圓對(duì)稱性得，由橢圓定義得，則.因?yàn)?，則四邊形為平行四邊形，則，而，故，則，即，整理得，在中，，即，即，故，故選：C30．（2023春·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，若四邊形的面積為8，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】A【分析】首先判斷四邊形為矩形，再結(jié)合矩形的性質(zhì)和橢圓的定義，聯(lián)立求得四邊形的面積，即可求解的值.【詳解】因?yàn)?，且分別被點(diǎn)平分，所以四邊形為矩形，對(duì)角線長為，即，且所以,即，而四邊形的面積為，得.故選：A31．（2023秋·吉林長春·高二長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，則（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】由橢圓的方程可得，的值，進(jìn)而求出的值，由橢圓的定義及勾股定理可得，的值，再求出的正切值．【詳解】由橢圓的方程可得，，所以，設(shè)，則，由在第一象限可得，即，因?yàn)?，所以，整理可得，解得?（舍，即，，所以在中，，故選：A．32．（2023秋·陜西西安·高二陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知兩定點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意知，要使橢圓C的離心率取最大值，則a取最小值．即取最小值．利用點(diǎn)的對(duì)稱性求出的最小值即可解答．【詳解】由題意得，，，當(dāng)a取最小值時(shí)，橢圓C的離心率有最大值．設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，，則，當(dāng)時(shí)，橢圓有最大離心率，此時(shí)，．故選：B．33．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)、在上（位于第一象限）且點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，四邊形為矩形，設(shè)，則，利用橢圓定義可得出與的等量關(guān)系，利用勾股定理可得出與的等量關(guān)系，由此可得出橢圓的離心率的值.【詳解】如下圖所示：由題意可知，為、的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，則，又因?yàn)椋瑒t四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，由勾股定理可得，所以，該橢圓的離心率為.故選：B.二、多選題34．（2023秋·江西上饒·高二江西省廣豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓C上的一點(diǎn)，且在第一象限，點(diǎn)為的內(nèi)心，下列說法正確的是（）A． B．C． D．的最大值為【答案】BCD【分析】對(duì)A，根據(jù)橢圓基本量的關(guān)系與三角形面積公式可表達(dá)的面積，再化簡判斷即可；對(duì)B，設(shè)的內(nèi)切圓Q與的分別切于點(diǎn)A，B，D，再根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)化簡分析即可；對(duì)C，由B結(jié)合橢圓定義可得，再根據(jù)點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式與橢圓的方程化簡可得即可判斷；對(duì)D，設(shè)，再根據(jù)三角恒等變換結(jié)合三角函數(shù)最值判斷即可.【詳解】對(duì)A，已知橢圓的實(shí)半軸長，虛半軸長，半焦距長，的面積，所以，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)B，設(shè)的內(nèi)切圓Q與的分別切于點(diǎn)A，B，D，則．故選項(xiàng)B正確：對(duì)C，∵，聯(lián)立，可得，又∵，∴，∴，故選項(xiàng)C正確：對(duì)D，設(shè)，則，∴當(dāng)時(shí)取得最大值，故選項(xiàng)D正確．故選：BCD．35．（2023秋·江西上饒·高二校考階段練習(xí)）設(shè)，為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑為1，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】如下圖所示，設(shè)切點(diǎn)為，，，由橢圓的定義結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)可判斷A；由等面積法求出代入橢圓的方程可判斷B；求出可判斷C；由兩點(diǎn)的斜率公式可判斷D.【詳解】如下圖所示，設(shè)切點(diǎn)為，，，對(duì)于A，由橢圓的方程知：，由橢圓的定義可得：，易知，所以，所以，故A正確；對(duì)于BCD，，又因?yàn)?，解得：，又因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)且在第一象限，所以，解得：，故B正確；從而，所以，所以，而，所以，故C錯(cuò)誤；從而，故D正確.故選:ABD．36．（2023秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線（Cassinioval）．在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿足，其軌跡為曲線，則（

）A．曲線的方程為 B．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．面積的最大值為2 D．的取值范圍為【答案】ABD【分析】設(shè)，根據(jù)化簡得到A正確，根據(jù)對(duì)稱性得到B正確，計(jì)算，得到面積的最大值為，錯(cuò)誤，確定，，D正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：設(shè)，則，即，整理得到，即，正確；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)點(diǎn)在曲線，即，則也在曲線，正確；對(duì)選項(xiàng)C：設(shè)，，則，故，面積的最大值為，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：，解得，，故，正確；故選：ABD.37．（2023秋·山東青島·高二青島二中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且的最大值為3，最小值為1，則（

）A．橢圓的離心率為 B．的周長為4C．若，則的面積為3 D．若，則【答案】AD【分析】對(duì)A，根據(jù)題意可得，即可求解；對(duì)B，根據(jù)橢圓的定義判斷即可；對(duì)C，根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓的定義判斷即可；對(duì)D，根據(jù)余弦定理與橢圓的定義求解即可．【詳解】對(duì)A，由題意，，故，，故A正確；對(duì)B，的周長為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)樵谏线f減，所以此時(shí)最大，又，，所以的最大值為，，不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由余弦定理，即，解得，故，故D正確；故選：AD三、填空題38．（2023秋·江西南昌·高二南昌縣蓮塘第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，若橢圓的焦距為4，則的值為．【答案】【分析】首先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到、，根據(jù)焦距求出.【詳解】橢圓即，焦點(diǎn)在軸上，所以，所以，又橢圓的焦距為4，所以，解得．故答案為：39．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）焦點(diǎn)在軸上且中心為原點(diǎn)的橢圓與橢圓：離心率相同，且，在第一象限內(nèi)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則的方程【答案】【分析】先求出橢圓的離心率，，在第一象限內(nèi)公共點(diǎn)的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求出的方程.【詳解】橢圓中，，故橢圓的離心率為，中，令得，故，在第一象限內(nèi)公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，將代入可得，又，解得，，故答案為：.40．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則直線的方程為【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)、，利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，所以，因?yàn)椋瑑墒阶鞑畹?，即，即，所以，，因此，直線的方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決中點(diǎn)弦的問題的兩種方法：（1）韋達(dá)定理法：聯(lián)立直線與曲線的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；（2）點(diǎn)差法：設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率關(guān)系求解.41．（2023秋·河南焦作·高二博愛縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在以O(shè)為中心，、為焦點(diǎn)的橢圓上存在一點(diǎn)M，滿足，則該橢圓的離心率為.【答案】/【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓定義可得，進(jìn)而利用余弦定理列式求解.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)榕c互補(bǔ)，且，由余弦定理可得，可得，所以.故選：C．四、解答題42．（2023秋·吉林長春·高二長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，弦被點(diǎn)平分．(1)求直線的方程；(2)求