高中數學：崇仁中學高一數學寒假作業(yè)十三答案

第13練三角函數的圖象與性質

等積累運用

【知識梳理】

1.正弦函數、余弦函數的圖象

函數尸y=cosx

Vy

________11

\『/烈,

圖象-2?\-V/O

\/3rr5:

L.2―-一—■?

ZS-1?-1

圖象畫法五產富去五點法

(0.0),C，1),(2L(0,1),6,0),(n,-1),

0),

關鍵五點

-1),(2兀，(手,0),(2n,1)

正（余）弦曲線正（余）弦函數的圖象叫做正（余）弦曲線

2.函數的周期性

1）函數的周期性

一般地，設函數./（x）的定義域為￡>,如果存在一個非零常數T,使得對每一個xG。都有x+Te。，且"+

C="）,那么函數人x）就叫做周期函數.非零常數T叫做這個函數的周期.

2）最小正周期

如果在周期函數ZU）的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數叫做兀v）的最小正周期.

3.正弦函數、余弦函數的周期性和奇偶性

函數y=sinxy=cosx

yy

\_2L/T\31rZ

圖象-2“\20/:\號V一-2於F卜”/V

/BTT-VT)如1

上五A

定義域RR

周期2E(kCZ且&H0)2E(AGZ且上#0)

最小正周期2n2兀

奇偶性奇函數偶函數

4.正弦函數、余弦函數的單調性與最值

正弦函數余弦函數

y

y'IT

1??丁\?-11

圖象'二不7

____Xox

定義域R

值域Ll,ll［一口1

在每一個閉區(qū)間2%兀一彳,2%兀+今

在每一個閉區(qū)間［2版一兀,2祈］（%ez）上

伏CZ）上都單調J的增，都單調遞增，

單調性

2也+看2E+竽在每一個閉區(qū)間［2E,2E+7t］（keZ）上

在每一個閉區(qū)間

都單調遞減

依62）上都單調：1的減

兀71

元=,+2E(A￡Z)時，ymax=l;「=一2+元=她(左￡2)時，ymax=1；

最值

X=2攵兀+兀(攵￡Z)時，yin=-1

2E(*Z)時,Jmin=-1m

對稱中心：（E,0）&￡Z）jr

對稱中心：（航+爹，0）（&ez）

對稱性

對稱軸：x=kTt+^kGZ

f對稱軸：x=E,kGZ

5.正切函數的圖象與性質

【易錯點撥】

2兀

1.函數y=加吊（5+8）或丁=入05（5+8）（其中/4,co,9是常數，且4W0,3#0）的周期為7=面.

⑴周期函數的定義是對定義域中的每一個x來說的，只有個別的x的值滿足人犬+7）=大幻不能說T是?x）的

周期.

(2)從等式“Xx+7)=/U)”來看，應強調的是自變量x本身加的非零常數T才是周期.(3)如果T是函數式x)

的周期，那么ZTUez,A:WO)也一定是函數_/U)的周期.

(4)周期函數的定義域不一定是R,但一定是無限集.

(5)并不是所有的周期函數都有最小正周期，如函數y=O(xGR).

2.單調區(qū)間漏寫住Z；求值域時忽視sinx,cosx本身具有的范圍.

3.忽略函數的有界性與函數定義域.

基礎過關練

I.(2021.山西英才學校高一階段練習)sinl°,sinl,sin萬。的大小順序是()

A.sinl°<sinl<sin7r0B.sinl°<sin乃。<sin1

C.sin^-°<sin10<sin1D.sinl<sinl°<sin^°

【答案】B

【解析】

1QHO

解：因為sinl=sin---,

冗

函數y=sinx在(0,1)匕遞增，＜乎＜90。，

所以sinl°<sin;r°<sin----,即sinl°vsin萬°vsinl.

71

故選：B.

2.(2021?陜西?西北工業(yè)大學附屬中學高一階段練習)設函數/(x)=cos(*S，下列結論正確的是(

)

A.“X)的一個周期是2萬

B.y=/(x)的圖象關于直線對稱

C.+的一個零點為x

D.”x)在(F,號)上單調遞減

【答案】B

【解析】

解：因為〃x)=cos(gx-?),所以函數的最小正周期,=丁=4",故A錯誤;

當x=_弓時/1_q^)=cos［；x(-與＞q)=cos(-%)=T,所以函數y=/(x)關于x=_?對稱，故B

正確;

因為小+5=C0S*+￡|高=cos(*3所以當X=1時

外r\75萬萬71卜)co(1sf57r^F71卜A＜爺7t=1片0..,故.,戶5不萬小口是r\個+/樣T|的零i點_，.故?C錯A44.誤'□;

一（5%11乃、”…1兀，乃34、E、，r明，乃1?乂、比，

當尤€W，一，所以不工一可￡不，?，因為函數y=COSX在不,f」二不單調,

\。）4J\乙乙Jk乙乙J

上不單調，故D錯誤;

故選：B

7T

3.（2021?全國?高一課時練習）函數/（x）=-2sinx+l,兀]的值域是（）

A.[-3,1]B.[-1,3]C.1川D.[1.3J

【答案】B

【解析】

7T

xe[——,Jt],故sinxe[-Ll],故-2sinx+le[-l,3],

2

故選：B.

4.（2021?全國?高一單元測試）函數y=（cos2;rx+5）的最小正周期是一

【答案】1

【解析】

函數），=（COS2G+M的最小正周期7=棄=1.

I4J2萬

故答案為：1

5.（2021.全國.高一課時練習）若,則函數〃x）=V5cosx-sin2x的最大值是______

63

【答案】I

【解析】

/（x）=>/3cosx-sin2x=cos2x+\/3cosx-1=cosx+亭]一（，

TTTT

設cosx二f,因為一KxW一,

所哮皿4冬即K考

7五1叵

又函數*在2'V上單調遞增,

故〃入x="芋卜;，所以“X）的最大值為力

故答案為：4

4

6.（2021?四川遂寧?模擬預測（理））已知函數/（x）=2sin（2x-J）+2,則〃x）的對稱中心為___________.

6

【答案】（"+[,2）（丘Z）

212

【解析】

令2xJ=WkeZ）=x="+白化eZ）,則/（x）的對稱中心為（當+白,2汝eZ）.

o212\2127

故答案為：（與+春2）（%wZ）.

Z7JTflTT

7.（2021?全國?高一課時練習）若函數〃x）=tanx在區(qū)間上是增函數，則實數。的取值范圍是

【答案】（0,1）

【解析】

因為?>一?，所以。>0，

23

所以不->0,--<0,

23

因為/（x）=tanx在（-*/）上單調遞增，

。>0

所以一號解得：0<4<1.

anTI

一<—

22

所以實數。的取值范圍是（0,1）,

故答案為：（0,1）.

8.（2021,全國?高一課時練習）求函數y=tan2x的定義域、值域和周期，并作出它在區(qū)間卜肛句內的圖象.

【答案】答案見解析

【解析】

要使函數丫=12112N有意義,

必須且只需2XW工+左/，kwZ,即竺，kwZ,

242

函數y=tan2x的定義域為［xeRxx?+當,ZezJ.

4k兀冗

設，=2x,由xw—+—,攵￡2知”，一+左乃，kwZ,

422

y=tanf的值域為(y,+oo),即丁=121121的值域為(y,*o).

由tan2［x+/)=tan(2x+4)=tan2x,

TT

：.尸tan2x的周期為,

函數y=tan2x在區(qū)間［一應句內的圖象如圖下圖所示：

9.(2021.福建?三明一中高一階段練習)設函數f(x)=sin(2x-?J,xeR.

(1)求函數f(x)的最小正周期和單調區(qū)間；

7137r

(2)求函數/⑸在區(qū)間三,十上的最小值和最大值，并求出取最值時x的值.

【答案】

TT377

(1)7=萬，Ax)的單調遞增區(qū)間為-工+k乃，七+k兀，丘Z；/(x)的單調遞減區(qū)間為

OO

3^.7^._

---FK,7T---FK7T，攵￡Z.

L8y8J

⑵當x4時，/(x)max=l;當》=與時，—=_坐.

o42

【解析】

(1)函數/(X)的最小正周期7=彳="，

令一］+2ATTW2x——+2左乃,ZeZ,得一1+k7t<xW+k4、左￡Z；

令工+2攵萬<2x-—<—+2k兀,Z￡Z,得—+k/r<x<—+krc,keZ.

24288

TT37r37r77r

所以/(x)的單調遞增區(qū)間為一二+ht，F+k兀，林Z；/(X)的單調遞減區(qū)間為—+k7r,—+k7r,keZ.

⑵因為鋁嚀，所以0—號號，

所以當2x-7=5即時，/*）有最大值，最大值為/（x）3=m=i：

._TC57r口37c.

當2x*=7即'=彳時'/（X）有最小值,最小值為〃xLn=/

10.（2021?四川鄲都?高一期末）已知函數/。）=2<:05（2犬-勺+1.

（1）求函數/*）取最大值時x的取值集合；

（2）求函數J"）的單調遞增區(qū)間.

【答案】（1）{x|x=A萬+2，keZ}.（2）[&-1，版+當，keZ.

636

【解析】

TTTT

解：（1）當cos（2x—百）=1,2x——=2k7r,AcZ時，

TT

函數f（x）=2cos（2x-丁+1取得最大值3,

汽

此時X=ATT+—,keZ、

6

所以函數了⑶取得最大值時工的取值集合為3x=A4+g,keZ].

6

（2）由2%萬一戰(zhàn)金工一22k/r,keZ,

3

TT-rr

求得領kk/rT—,keZ、

36

故函數/（X）的單調遞增區(qū)間為伙乃-f,立+芻，kwZ.

tote

11.(2021.重慶市永川北山中學校高一期末)設函數〃x)為定義域為R的奇函數，且f(x)=/(2-x),當

時，〃x)=sinx,則函數8(力=以>5胃-/3在區(qū)間［-5,8］上的所有零點的和為.

【答案】6

【解析】

由于函數y=〃x)為定義域為R的奇函數，則〃x)=/(2-x)=—〃x—2),

.-./(x+4)=-/(x+2)=/(x),所以，函數y=/(x)是周期為4的周期函數，

作出函數與函數y=cosw在區(qū)間［-5,8］上的圖象，如下圖所示：

由圖象可知，函數y=〃x)與函數y=cos彳在區(qū)間［-5,8］上的圖象共有6個交點，

且有3對關于直線x=l對稱，

JTX

因此，函數g(x)=COS《--f(X)在區(qū)間［-5,8］上的所有零點的和為2x3=6.

故答案為：6.

12.(2021?全國?高一期末)已知函數/(》)=$皿5:+9)(0>0,|夕區(qū)1］,工=-1為了(工)的零點，x=工為/'(x)

k2；44

圖象的對稱軸.

(1)若f(x)在［0,27］內有且僅有6個零點，求Ax)；

(2)若Ax)在上單調，求。的最大值.

\Io3o)

【答案】(1)/(x)=sin(3x-*(2)9.

【解析】

(I)因為x=-(是f(x)的零點，x為"X)圖象的對稱軸，

所以卜ZJ=F一,T("wN),所以27=(2“+l)T(〃eN),

因為“X）在［0,2句內有且僅有6個零點,

57

分析正弦函數函數圖象可知：6個零點對應的最短區(qū)間長度為=7,最長的區(qū)間長度小于（T,

22

所以皂42萬〈父，所以“4（2〃+l）7<K,〃€N,

222''2

所以*42〃+l<?,〃eN,所以〃=1,所以7=生=至，所以。=3,

22co3

所以/（x）=sin（3x+e）,代入》=一（，所以/（-?）=$出（