七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)高分突破專(zhuān)題01平行線(xiàn)模型-“豬蹄”模型(M模型)(原卷版+解析)

專(zhuān)題01平行線(xiàn)模型-“豬蹄”模型（M模型）專(zhuān)題說(shuō)明專(zhuān)題說(shuō)明幾何學(xué)有形象化的好處，幾何會(huì)給人以數(shù)學(xué)直覺(jué)，不能把幾何學(xué)等同于邏輯推理，只會(huì)推理，缺乏數(shù)學(xué)直覺(jué)，是不會(huì)有創(chuàng)造的。現(xiàn)在初一的學(xué)生剛剛開(kāi)始接觸幾何的證明，普遍會(huì)出現(xiàn)證明步驟不規(guī)范，在書(shū)寫(xiě)的時(shí)候也會(huì)出現(xiàn)無(wú)從下手的情況，做題速度也普遍變慢，只有少數(shù)學(xué)生能夠在規(guī)定時(shí)間內(nèi)正確作答。所以，只要學(xué)生能夠?qū)W會(huì)利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定的幾個(gè)基本模型去解決實(shí)際問(wèn)題，會(huì)起到事半功倍的效果。本次課主要學(xué)習(xí)平行線(xiàn)模型-“豬蹄”模型（M模型），為以后的學(xué)習(xí)打好一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?！灸Ｐ团傥觥磕Ｐ鸵弧柏i蹄”模型（M模型）點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“豬蹄”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD.【典例分析】【典例1】（2022春?上虞區(qū)期末）如圖1，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是直線(xiàn)AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M在AB與CD之間，且AB∥CD．（1）若∠EMF＝80°，則∠AEM+∠CFM＝．（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，作射線(xiàn)EN，F(xiàn)N交于點(diǎn)N，使∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，設(shè)∠EMF＝α，猜想∠ENF的度數(shù)（用α表示），并說(shuō)明理由．（3）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，分別作射線(xiàn)EP，F(xiàn)P交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)EQ，F(xiàn)Q交于點(diǎn)Q，若∠AEP＝∠AEM，∠CFP＝∠CFM，∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠P與∠Q間的數(shù)量關(guān)系．【變式1-1】（2021秋?興城市期末）如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東52°方向，C島在B島的北偏西43°方向，求從C島看A，B兩島的視角∠ACB的度數(shù)．【變式1-2】（2022春?朝陽(yáng)縣期末）學(xué)習(xí)完平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定之后，我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線(xiàn)的方法可以幫我們解決許多問(wèn)題．（1）小明遇到了下面的問(wèn)題：如圖1，l1∥l2，點(diǎn)P在l1，l2內(nèi)部，探究∠A，∠APB，∠B的關(guān)系，小明過(guò)點(diǎn)P作l1的平行線(xiàn)，可得∠APB，∠A，∠B之間的數(shù)量關(guān)系是：∠APB＝．（2）如圖2，若AC∥BD，點(diǎn)P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【變式1-3】（2021秋?長(zhǎng)春期末）小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，已知：AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接BE，ED，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D．小亮幫助小明給出了該問(wèn)的證明．證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．請(qǐng)你參考小亮的思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：直線(xiàn)l1∥l2，直線(xiàn)EF和直線(xiàn)l1、l2分別交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在直線(xiàn)l1、l2上，猜想：如圖②，若點(diǎn)P在線(xiàn)段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度數(shù)．拓展：如圖③，若點(diǎn)P在直線(xiàn)EF上，連接PA、PB（BD＜AC），直接寫(xiě)出∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2022春?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）如圖，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)為（）A．55° B．75° C．80° D．105°2．（2022春?安新縣期末）如圖所示是汽車(chē)燈的剖面圖，從位于O點(diǎn)燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線(xiàn)BA，CD都是水平線(xiàn)，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．180°﹣α B．120°﹣α C．60°+α D．60°﹣α3．（2020?韶關(guān)模擬）如圖，C島在A島的北偏東45°方向，C島在B島的北偏西25°方向，則從C島看A、B兩島的視角∠ACB的度數(shù)是（）A．70° B．20° C．35° D．110°4．（2019?淮安區(qū)校級(jí)二模）如圖，AB∥CD，∠1＝45°，∠3＝75°，則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°5．（2019?青島模擬）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．70°6．（2022?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）已知l1∥l2，一個(gè)含有30°角的三角尺按照如圖所示的位置擺放，若∠1＝65°，則∠2＝度．7．（2022春?諸暨市期末）從汽車(chē)燈的點(diǎn)O處發(fā)出的一束光線(xiàn)經(jīng)燈的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光線(xiàn)OA的反射光線(xiàn)為AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如圖中所示的截面內(nèi)，若入射光線(xiàn)OD經(jīng)反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．則∠AOD的度數(shù)是．8．（2022春?文登區(qū)期末）將一副三角板如圖擺放，使兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合，斜邊平行，則∠1＝．9．（2021秋?九江期末）如圖．BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，求∠C的度數(shù)．10．（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB∥CD，∠B＝26°，∠D＝39°，求∠BED的度數(shù)．11．（2021春?拱墅區(qū)期中）小明同學(xué)在完成七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第1章的線(xiàn)上學(xué)習(xí)后，遇到了一些問(wèn)題，請(qǐng)你幫他解決一下．（1）如圖1，已知AB∥CD，則∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直線(xiàn)交于點(diǎn)E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度數(shù)．12．（2021春?云夢(mèng)縣期中）如圖，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．（1）若∠1+∠2＝90°，求證：AB∥CD；（2）若AB∥CD，求∠BED的度數(shù)．【能力提升】13．（2021春?滄縣期中）引入在解決有關(guān)平行線(xiàn)的問(wèn)題時(shí)，如果無(wú)法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線(xiàn)來(lái)幫助解答，如圖是一個(gè)“美味”的模型﹣﹣“豬蹄模型”．如圖所示，AB∥CD，點(diǎn)E在直線(xiàn)AB與CD之間，連接AE、CE，求證：∠AEC＝∠BAE+∠DCE．嘉琪想到了下面的思路，請(qǐng)根據(jù)思路繼續(xù)完成求證：證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB．思考當(dāng)點(diǎn)E在如圖所示的位置時(shí)，其他條件不變，寫(xiě)出∠BAE，∠AEC，∠DCE三者之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．應(yīng)用如圖，延長(zhǎng)線(xiàn)段AE交直線(xiàn)CD于點(diǎn)M，已知∠BAE＝132°，∠DCE＝118°，求∠MEC的度數(shù)．提升點(diǎn)E、F、G在直線(xiàn)AB與CD之間，連接AE、EF、FG和CG，其他條件不變，如圖．若∠EFG＝m°，直接寫(xiě)出∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的總度數(shù)．14．（2022春?陽(yáng)江期末）如圖1，AB∥CD，EOF是直線(xiàn)AB、CD間的一條折線(xiàn)．（1）試證明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果將折一次改為折二次，如圖2，則∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之間會(huì)滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．15．（2022春?來(lái)賓期末）如圖，直線(xiàn)PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．（1）若把三角尺按圖甲方式放置，則∠MAC+∠PBC＝°；（2）若把三角尺按圖乙方式放置，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是三角尺的邊與平行線(xiàn)的交點(diǎn)，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；（3）如圖丙，三角尺的直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線(xiàn)之間，點(diǎn)G在線(xiàn)段CD上，連接EG，適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．專(zhuān)題01平行線(xiàn)模型-“豬蹄”模型（M模型）專(zhuān)題說(shuō)明專(zhuān)題說(shuō)明幾何學(xué)有形象化的好處，幾何會(huì)給人以數(shù)學(xué)直覺(jué)，不能把幾何學(xué)等同于邏輯推理，只會(huì)推理，缺乏數(shù)學(xué)直覺(jué)，是不會(huì)有創(chuàng)造的。現(xiàn)在初一的學(xué)生剛剛開(kāi)始接觸幾何的證明，普遍會(huì)出現(xiàn)證明步驟不規(guī)范，在書(shū)寫(xiě)的時(shí)候也會(huì)出現(xiàn)無(wú)從下手的情況，做題速度也普遍變慢，只有少數(shù)學(xué)生能夠在規(guī)定時(shí)間內(nèi)正確作答。所以，只要學(xué)生能夠?qū)W會(huì)利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定的幾個(gè)基本模型去解決實(shí)際問(wèn)題，會(huì)起到事半功倍的效果。本次課主要學(xué)習(xí)平行線(xiàn)模型-“豬蹄”模型（M模型），為以后的學(xué)習(xí)打好一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?！灸Ｐ团傥觥磕Ｐ鸵弧柏i蹄”模型（M模型）點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“豬蹄”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD.【典例分析】【典例1】（2022春?上虞區(qū)期末）如圖1，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是直線(xiàn)AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M在AB與CD之間，且AB∥CD．（1）若∠EMF＝80°，則∠AEM+∠CFM＝．（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，作射線(xiàn)EN，F(xiàn)N交于點(diǎn)N，使∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，設(shè)∠EMF＝α，猜想∠ENF的度數(shù)（用α表示），并說(shuō)明理由．（3）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，分別作射線(xiàn)EP，F(xiàn)P交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)EQ，F(xiàn)Q交于點(diǎn)Q，若∠AEP＝∠AEM，∠CFP＝∠CFM，∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠P與∠Q間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MG，∴∠AEM＝∠EMG，∠GMF＝∠CFM，∴∠AEM+∠CFM＝∠EMG+∠GMF＝∠EMF＝80°．故答案為：80°．（2）∠ENF＝α．理由如下：過(guò)點(diǎn)M作MG∥AB，由（1）知，∠EMF＝∠AEM+∠CFM，過(guò)點(diǎn)N作NH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NH，∴∠AEN＝∠ENH，∠HNF＝∠CFN，∴∠ENF＝∠ENH+∠HNF＝∠AEN+∠CFN，∵∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，∴∠ENF＝∠AEM+∠CFM＝（∠AEM+∠CFM）＝∠EMF，∵∠EMF＝α，∴∠ENF＝α．（3）n∠Q+m∠P＝360°．理由如下：由（2）的結(jié)論可知，∠P＝∠M，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ，∠BEM+∠DFM+∠M＝360°，∵∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，∴∠Q＝∠BEM+∠DFM，＝（∠BEM+∠DFM）＝（360°﹣∠M），∴∠M＝360°﹣n∠Q，∵∠M＝m∠P，∴360°﹣n∠Q＝m∠P，即n∠Q+m∠P＝360°．【變式1-1】（2021秋?興城市期末）如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東52°方向，C島在B島的北偏西43°方向，求從C島看A，B兩島的視角∠ACB的度數(shù)．【解答】解：過(guò)C作CF∥AD，∵BE∥AD∴∠ACF＝∠A＝52°，∵CF∥BE∴∠BCF＝∠B＝43°，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝52°+43°＝95°，∴從C島看A，B的視角∠ACB為95°．【變式1-2】（2022春?朝陽(yáng)縣期末）學(xué)習(xí)完平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定之后，我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線(xiàn)的方法可以幫我們解決許多問(wèn)題．（1）小明遇到了下面的問(wèn)題：如圖1，l1∥l2，點(diǎn)P在l1，l2內(nèi)部，探究∠A，∠APB，∠B的關(guān)系，小明過(guò)點(diǎn)P作l1的平行線(xiàn)，可得∠APB，∠A，∠B之間的數(shù)量關(guān)系是：∠APB＝．（2）如圖2，若AC∥BD，點(diǎn)P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【解答】解：（1）∵記過(guò)點(diǎn)P作l1的平行線(xiàn)為PC，∵PC∥l1，∴∠A＝∠APC，∵l1∥l2，∴PC∥l2，∴∠B＝∠BPC，∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝∠A+∠B，故答案為：∠APB＝∠A+∠B；（2）發(fā)生變化，如圖，過(guò)點(diǎn)PF∥AC，則∠APF＝∠A，∵AC∥BD，∴PF∥BD，∴∠B＝∠BPF，∴∠APB＝∠BPF﹣∠APF＝∠B﹣∠A．【變式1-3】（2021秋?長(zhǎng)春期末）小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，已知：AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接BE，ED，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D．小亮幫助小明給出了該問(wèn)的證明．證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．請(qǐng)你參考小亮的思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：直線(xiàn)l1∥l2，直線(xiàn)EF和直線(xiàn)l1、l2分別交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在直線(xiàn)l1、l2上，猜想：如圖②，若點(diǎn)P在線(xiàn)段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度數(shù)．拓展：如圖③，若點(diǎn)P在直線(xiàn)EF上，連接PA、PB（BD＜AC），直接寫(xiě)出∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：猜想：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PH∥AC，則∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，∴∠APB＝15°+40°＝55°．拓展：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段CD上時(shí)，由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)DP上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH∥AC，則∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；③如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)CE上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH∥AC，則∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；綜上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系為∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2022春?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）如圖，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)為（）A．55° B．75° C．80° D．105°【答案】B【解答】解：方法一：過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，如圖所示，∵AB∥EM．∴∠HEM＝∠1＝45°．∵AB∥CD．∴EM∥CD．∴∠GEM＝∠2＝30°．∴∠3＝∠HEM+∠GEM＝75°．故選：B．方法二：∵AB∥CD．∴∠HFG＝∠1＝45°．∵∠3是△EFG的外角．∴∠3＝∠HFG+∠2＝45°+30°＝75°．故選：B．2．（2022春?安新縣期末）如圖所示是汽車(chē)燈的剖面圖，從位于O點(diǎn)燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線(xiàn)BA，CD都是水平線(xiàn)，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．180°﹣α B．120°﹣α C．60°+α D．60°﹣α【答案】C【解答】解：連接BC，∵AB∥CD，∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD＝180°，而∠CBO+∠BCO+∠O＝180°，∴∠O＝∠ABO+∠DCO＝60°+α．故選：C．3．（2020?韶關(guān)模擬）如圖，C島在A島的北偏東45°方向，C島在B島的北偏西25°方向，則從C島看A、B兩島的視角∠ACB的度數(shù)是（）A．70° B．20° C．35° D．110°【答案】A【解答】解：如圖，連接AB，∵兩正北方向平行，∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣45°﹣25°＝110°，∴∠ACB＝180°﹣110°＝70°．故選：A．4．（2019?淮安區(qū)校級(jí)二模）如圖，AB∥CD，∠1＝45°，∠3＝75°，則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】A【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則∠1＝∠4＝45°，∴∠5＝75°﹣∠4＝30°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠2＝∠5＝30°，故選：A．5．（2019?青島模擬）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．70°【答案】D【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝40°，∠2＝30°，∴∠C＝40°．∵∠3是△CDE的外角，∴∠3＝∠C+∠2＝40°+30°＝70°．故選：D．6．（2022?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）已知l1∥l2，一個(gè)含有30°角的三角尺按照如圖所示的位置擺放，若∠1＝65°，則∠2＝度．【答案】25【解答】解：如圖，過(guò)直角頂點(diǎn)作l3∥l1，∵l1∥l2，∴l(xiāng)1∥l2∥l3，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，∵∠1＝65°，∴∠2＝25°．故答案為：25．7．（2022春?諸暨市期末）從汽車(chē)燈的點(diǎn)O處發(fā)出的一束光線(xiàn)經(jīng)燈的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光線(xiàn)OA的反射光線(xiàn)為AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如圖中所示的截面內(nèi)，若入射光線(xiàn)OD經(jīng)反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．則∠AOD的度數(shù)是．【答案】45°或99°【解答】解：∵DE∥CF，∴∠COD＝∠ODE．（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠ODE＝27°，∴∠COD＝27°．在圖1的情況下，∠AOD＝∠COA﹣∠COD＝72°﹣27°＝45°．在圖2的情況下，∠AOD＝∠COA+∠COD＝72°+27°＝99°．∴∠AOD的度數(shù)為45°或99°．故答案為：45°或99°．8．（2022春?文登區(qū)期末）將一副三角板如圖擺放，使兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合，斜邊平行，則∠1＝．【答案】75°【解答】解：如圖：延長(zhǎng)AC，交ED的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，∵AB∥ED，∴∠A＝∠AFE＝45°，∵∠1是△CEF的外角，∴∠1＝∠E+∠AFE＝75°，故答案為：75°．9．（2021秋?九江期末）如圖．BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，求∠C的度數(shù)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CF∥BA，如圖，∵CF∥BA，∴∠BCF＝∠B＝30°，∵BA∥DE，CF∥BA，∴CF∥DE．∵∠D＝40°，∴∠FCD＝∠D＝40°，∴∠BCD＝∠BCF+∠FCD＝70°．10．（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB∥CD，∠B＝26°，∠D＝39°，求∠BED的度數(shù)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠1＝∠B＝26°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠2＝∠D＝39°，∴∠BED＝∠1+∠2＝65°．11．（2021春?拱墅區(qū)期中）小明同學(xué)在完成七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第1章的線(xiàn)上學(xué)習(xí)后，遇到了一些問(wèn)題，請(qǐng)你幫他解決一下．（1）如圖1，已知AB∥CD，則∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直線(xiàn)交于點(diǎn)E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度數(shù)．【解答】解：（1）∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立，理由：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，如圖，∵EF∥AB，∴∠A＝∠AEF．∵EF∥AB，AB∥CD，∴FE∥CD．∴∠C＝∠CEF．∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF，∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE．（2）過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，如圖，由（1）的結(jié)論可得：∠BED＝∠ABE+∠EDC，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴∠ABE＝∠ABC＝20°．∵∠FAD＝50°，AB∥CD，∴∠ADC＝∠FAD＝50°．∵DE平分∠ADC，∴∠EDC＝∠ADC＝25°．∴∠BED＝20°+25°＝45°．12．（2021春?云夢(mèng)縣期中）如圖，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．（1）若∠1+∠2＝90°，求證：AB∥CD；（2）若AB∥CD，求∠BED的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2．∵∠1+∠2＝90°，∴∠ABD+∠BDC＝2（∠1+∠2）＝180°．∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝180°，∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠EDB，∴∠EBD+∠EDB＝90°，∴∠BED＝180°﹣90°＝90°．【能力提升】13．（2021春?滄縣期中）引入在解決有關(guān)平行線(xiàn)的問(wèn)題時(shí)，如果無(wú)法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線(xiàn)來(lái)幫助解答，如圖是一個(gè)“美味”的模型﹣﹣“豬蹄模型”．如圖所示，AB∥CD，點(diǎn)E在直線(xiàn)AB與CD之間，連接AE、CE，求證：∠AEC＝∠BAE+∠DCE．嘉琪想到了下面的思路，請(qǐng)根據(jù)思路繼續(xù)完成求證：證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB．思考當(dāng)點(diǎn)E在如圖所示的位置時(shí)，其他條件不變，寫(xiě)出∠BAE，∠AEC，∠DCE三者之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．應(yīng)用如圖，延長(zhǎng)線(xiàn)段AE交直線(xiàn)CD于點(diǎn)M，已知∠BAE＝132°，∠DCE＝118°，求∠MEC的度數(shù)．提升點(diǎn)E、F、G在直線(xiàn)AB與CD之間，連接AE、EF、FG和CG，其他條件不變，如圖．若∠EFG＝m°，直接寫(xiě)出∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的總度數(shù)．【解答】（1）∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°；理由：證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，如圖①所示，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，∴∠BAE+∠AEC+∠DCE，＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝180°+180°＝360°．（2）解：同（1）得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣132°﹣118°＝110°，∴∠MEC＝180°﹣∠AEC，＝180°﹣110°＝70°．（3）過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB．如圖②所示，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH＝360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD＝360°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD＝720°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+