暑假八年級(jí)數(shù)學(xué)上

第十一章三角形三角形概念：由不在同一直線上的三條線段___________________所組成的封閉圖形叫做三角形。教師備課札記Part1：三角形三邊關(guān)系教師備課札記實(shí)際操作：試畫(huà)一個(gè)△ABC，分別量出AB，BC，AC的長(zhǎng)，并比較下列各式的大小：AB+BC_____ACAB+AC_____BCAC+BC_____AB從中你可以得出結(jié)論：__________________________________________。定理證明：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短對(duì)于任意一個(gè)三角形△ABC，如果把其中任意兩個(gè)頂點(diǎn)（例如B、C）看成兩點(diǎn)，由“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”，可得AB+AC_____BC，同理可得：AB+BC_____ACAC+BC_____AB從中你可以得出結(jié)論：__________________________________________。引申：三角形兩邊之差小于第三邊該如何證明？教師備課札記Part2：三角形的構(gòu)造教師備課札記1．常規(guī)三角形的構(gòu)造例題2-1：.下列選項(xiàng)中能夠組成三角形的是（）A、3，4，8B、5，6，11C、5，6，10D、4,4，9例題2-2：有四根木條，長(zhǎng)度分別是12cm、10cm、8cm、4cm，選其中三根組成三角形，能組成三角形的個(gè)數(shù)是_______例題2-3：如果三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和5，那么第三邊長(zhǎng)可能是（）A、1B、9C、3D、102．等腰三角形構(gòu)造例題2-4：一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和5，則它的周長(zhǎng)是（）A、7B、9C、12D、9或12例題2-5：一個(gè)三角形有兩條邊相等，周長(zhǎng)為20cm，三角形的一邊長(zhǎng)6cm，求其他兩邊長(zhǎng)。例題2-6：等腰三角形的一邊長(zhǎng)為是7cm，另一邊長(zhǎng)是3cmA、17cmB、13cmC、17cm或13cmD、11cm例題2-7：（1）已知一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為18cm，①若腰長(zhǎng)為底邊長(zhǎng)的2倍，求各邊的長(zhǎng)；②若其中一邊長(zhǎng)為4cm,求其它兩邊長(zhǎng)已知等腰三角形的三邊為x，2x-1,5x-3,求三角形的周長(zhǎng)。Part3：三邊關(guān)系與不等式例題3-1：已知一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm,則第三邊長(zhǎng)x的取值范圍是_______；若x是奇數(shù)，則x的值為_(kāi)______，這樣的三角形有_______個(gè)；若x是偶數(shù)，則x的值為_(kāi)______，這樣的三角形有_______個(gè).例題3-2：邊長(zhǎng)為3,5，x的三條線段首尾相連組成三角形，則x的取值范圍是_______，若x為奇數(shù)，則組成三角形的周長(zhǎng)是_______例題3-3：如果三角形三邊長(zhǎng)分別為a-1,a,a+1,則a的取值范圍是（）A、a＞0B、0＜a＜1Ca＞2D、1＜a＜2例題3-4：甲地離學(xué)校4km，乙地離學(xué)校1km，甲乙兩地間的距離為d，則d的取值為（）A、3B、5C、3或5D、3≤d≤5例題3-5：三角形的三邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且三角形的周長(zhǎng)小于20，求三邊的長(zhǎng)．例題3-6：已知a，b，c分別是△ABC的三邊，化簡(jiǎn)：|a+b+c|+|a+c-b|-|c-a-b|．教師備課札記Part4：三角形的角平分線、中線和高教師備課札記1．三角形高的定義定義：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊（或?qū)吽诘闹本€）作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱(chēng)為高。例題4-1：畫(huà)出以下三類(lèi)三角形中各邊上的高。

銳角三角形直角三角形鈍角三角形2．三角形中線的定義定義：三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。例題4-2：畫(huà)出以下三類(lèi)三角形中各邊上的中線。

銳角三角形直角三角形鈍角三角形3．三角形角平分線的定義三角形角平分線的定義：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，連結(jié)這個(gè)角的頂點(diǎn)和與對(duì)邊交點(diǎn)的線段叫做三角形的角平分線（也叫三角形的內(nèi)角平分線）。例題4-3：比較角平分線和三角形的角平分線的區(qū)別和聯(lián)系。例題4-4：尺規(guī)作圖模型Ⅱ畫(huà)出以下三類(lèi)三角形中各角的角平分線。（保留作圖痕跡）

銳角三角形直角三角形鈍角三角形Part5：三角形內(nèi)角關(guān)系例題5-1：證明三角形的內(nèi)角和為180°。例題5-2：如圖，在△ABC中,∠A=80°,∠C=75°,求∠B的度數(shù)．例題5-3.在△ABC中，∠B=32°，∠C=68°，則∠A=____________．例題5-4.如圖，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分線，則∠CAD的度數(shù)_______例題5-5.已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，求∠A的度數(shù)。例題5-6.若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2：7：4，那么這個(gè)三角形是（）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形例題5-7．如圖，在△ABC中，∠A=72°，∠BCD=31°，CD平分∠ACB．

（1）求∠B的度數(shù)；

（2）求∠ADC的度數(shù)．教師備課札記Part5：三角形外角和關(guān)系教師備課札記定理：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和例題6-1：如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，求證：∠ACD=∠A+∠B例題6-2：一副三角板有兩個(gè)三角形，如圖疊放在一起，則∠α的度數(shù)是_______例題6-3：△ABC的三個(gè)外角的度數(shù)之比為2：3：4，此三角形最小的內(nèi)角等于______例題6-4：等腰△ABC的一個(gè)外角是100°，則其頂角的度數(shù)為_(kāi)______例題6-5：如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，試求∠DAC，∠ADC的度數(shù)．例題6-6：已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=60°；求∠AEC的度數(shù)．例題6-7：如圖，AE、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，求證：∠1=∠2．例題6-8：如圖、在△ABC中、點(diǎn)D、E在AB上，∠ACB=100°，∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC求∠DCE的大小.例題6-9：如圖、已知AD為△ABC的角平分線，求證：2∠ADC=（∠ACE+∠B）三角形中的基本模型詳解基本模型1：邊的不等關(guān)系模型第1類(lèi)．1如圖，P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：AB+AC＞PB+PC．2．如圖，D、E為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，求證：AB+AC＞BD+DE+EC。第2類(lèi)3．如圖，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求證：PA+PB+PC＞（AB+BC+CA）基本模型2：內(nèi)外角平分線模型一、內(nèi)角平分線模型（內(nèi)心基本結(jié)論之一）1．已知△ABC，如圖：若點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，求證：∠P=90°+∠A.二、內(nèi)外角平分線模型2．如圖，若點(diǎn)P是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，求證：∠P=∠A.三、外角平分線模型3．若點(diǎn)P是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，求證：∠P=90°-∠A.基本模型2相關(guān)練習(xí)1．如圖所示，在△ABC中，∠C=900，∠CAB，∠CBA的平分線相交于點(diǎn)D，BD的延長(zhǎng)線交AC于E，則∠ADE=______．第1題圖第2題圖第3題圖2．如圖，△ABC中，∠ACB和∠BCA的平分線交于點(diǎn)O，且∠O=110°，則∠B的度數(shù)為_(kāi)_______3．已知在△ABC中，兩條角平分線BM、CN交于點(diǎn)I，兩條高線BD、CE交于點(diǎn)H．若∠BIC＝∠BHC，則∠A的度數(shù)為_(kāi)__________4．如圖，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，BF交AE、AD于G、H，且∠C＞∠ABC，下列結(jié)論：①∠AGB=90°+∠C；②2∠BFC+2∠AEC=270°；③∠C=2∠EAD+∠ABC；④∠AGB+∠BHD-∠EAD=180°其中，正確的有______________5，已知D、E分別為ΔABC中AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，直線DE與直線AC相交于F,∠ADE的平分線與∠B的平分線相交于P，∠ACB的平分線與∠F的平分線相交于Q。﹙1﹚如圖1，當(dāng)F在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠P與∠Q之間的數(shù)量關(guān)系。﹙2﹚如圖2，當(dāng)F在AC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠P與∠Q之間的數(shù)量關(guān)系6，如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠D=220°，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)為_(kāi)_____-7．直線MN與直線PQ垂直相交于O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B

在射線OM上運(yùn)動(dòng)，如圖1，已知AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，

（1）點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠ACB的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，試求出∠ACB的大?。?/p>

（2）如圖2，將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線PQ上，則∠ABO=_______；如圖3，將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線MN上，則∠ABO=_________；

（3）如圖4，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長(zhǎng)線交于E、F，則∠EAF=_________；在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的倍，求∠ABO的度數(shù)．、基本模型3：箭頭模型1．如圖1：求證：∠CDB=∠A+∠B+∠C。2．如圖2：∠ACD的平分線與∠ABD的平分線交于點(diǎn)E。試問(wèn)∠A，∠CEB和∠CDB有何數(shù)量關(guān)系？為什么？3．如圖3，若∠ACE=∠ACD，∠ABE=∠ABD,猜想∠A，∠CEB和∠CDB之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______________（寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）基本模型3：相關(guān)練習(xí)1．已知在△ABC中，∠A＝60°如圖1，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC＝___________如圖2，∠ABC、∠ACB的三等分線交于點(diǎn)O1、O2，則∠BO1C＝________、∠BO2C(2)如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分線交于點(diǎn)O1、O2．若∠1＝130°，∠2＝110°，求∠A的度數(shù)(3)如圖，△ABC中，∠ABC的三等分線分別與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O1、O2．若∠1＝110°，∠2＝130°，求∠A的度數(shù)2．已知，如圖，在△ABC中：

（1）如圖①，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，若∠A=60°，則∠BOC的度數(shù)為_(kāi)_______；

（2）如圖②，∠ABC、∠ACB的三等分線分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2，當(dāng)∠BO2C=2∠A時(shí)，求∠A的度數(shù)；

（3）如圖③，∠ABC、∠ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2…On-1，當(dāng)∠BOn-1C=2∠A時(shí)，猜想：∠A的度數(shù)為_(kāi)_______3．已知：如圖①，BP、CP分別平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分別平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線．

（1）當(dāng)∠BAC=40°時(shí)，∠BPC=___________，∠BQC=__________；

（2）當(dāng)BM∥CN時(shí)，求∠BAC的度數(shù)；

（3）如圖②，當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，BM、CN所在直線交于點(diǎn)O，直接寫(xiě)出∠BOC的度數(shù)．

基本模型4：8字形1．如圖，圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，請(qǐng)說(shuō)明∠A+∠B=∠C+∠D．2．如圖，若∠A=∠D，求證：∠B=∠C?；灸Ｐ?：相關(guān)練習(xí)1．已知如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱(chēng)之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問(wèn)題：

（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：_______________________

（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：_________個(gè)（3）在圖2中，若∠D=40°，∠B=36°，試求∠P的度數(shù)；2．【問(wèn)題背景】

（1）如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，請(qǐng)說(shuō)明∠A+∠B=∠C+∠D；

簡(jiǎn)單應(yīng)用】

（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度數(shù)；

【問(wèn)題探究】

（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請(qǐng)猜想∠P的度數(shù)，并說(shuō)明理由．

【拓展延伸】

（4）在圖4中，若設(shè)∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問(wèn)∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為：∠P=__________

（用α、β表示∠P，不必證明）第十二章全等三角形PartⅠ全等三角形概念定義：在同一平面內(nèi)能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱(chēng)為全等三角形。例題1-1.下列說(shuō)法：①全等圖形的形狀相同、大小相等；②全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；④全等三角形的周長(zhǎng)、面積分別相等，其中正確的說(shuō)法為（）A．①②③④B.①③④C.①②④D.②③④例題1-2：如圖，點(diǎn)A，B，C，D在一條直線上，△ABF≌△DCE．你能得出哪些結(jié)論？例題1-3：(無(wú)圖)已知△ABF≌△DEF,且∠B=70°，∠DFE-∠D=60°，求△DEF各內(nèi)角的度數(shù)。例題1-4：如圖，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度數(shù)．例題1-5：如圖，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，點(diǎn)D在BC上，將△ACD沿AD翻折，點(diǎn)C正好落在AB上的點(diǎn)E處。求證：AB=BC+BE；若AB=6cm，求△DEB的周長(zhǎng)。Part2全等三角形的判定-SSS定理：三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱(chēng)SSS或“邊邊邊”)【尺規(guī)作圖】例題2-1.如圖△ABC，請(qǐng)用相關(guān)工具畫(huà)出一個(gè)與△ABC全等的三角形△DEF,保留作圖痕跡并說(shuō)明。例題2-2.如圖，AB=AD，BE=DE，BC=DC，則圖中全等三角形有幾對(duì)？例題2-3.如圖，AB=AD,CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，則∠ACD的度數(shù)是________例題2-4.如圖，AC=EF，BC=DE，AD=BF,求證:AC//EF.例題2-5.已知：AB=DC，AC=BD，求證∠A=∠D。例題2-6.如圖,已知AB=AC，AD=AE，BD=CE，求證：∠ADE=∠CAE+∠ACE。Part3全等三角形的判定-SAS定理：有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS或“邊角邊”)?！境咭?guī)作圖】例題3-1．已知∠ABC,求作∠A’B’C’，使∠ABC=∠A’B’C’【尺規(guī)作圖】例題3-2．已知△ABC,再畫(huà)一個(gè)△A’B’C’,使△ABC≌△A’B’C’例題3-3．如圖，AD=CBAD∥CB且DF=BE求證:AE∥CF 例題3-4．下列判斷中錯(cuò)誤的是（）A．有三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。B．有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D．有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等例題3-5．如圖，點(diǎn)C為BE上一點(diǎn)，點(diǎn)A、D分別在BE兩側(cè)，AB//ED，AB=CE，BE=ED，求證：AC=CD.例題3-6．如圖，已知D、E分別為AB、AC上兩點(diǎn)，AD=AE，BD=CE，求證：∠B=∠C.例題3-7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，DF⊥DE交AC于F，延長(zhǎng)EF至G，使ED=GD。求證：△BDE≌△CDG；求證：FE=FG；求證：BE+CF＞EF。例題3-8．已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直線AE與BD交于點(diǎn)F。（1）如圖1，若∠ACD=60°，則∠AFB=_______；如圖2，若∠ACD=90°，則∠AFB=_________；如圖3，若∠ACD=120°，則∠AFB=________。（2）如圖4，若∠ACD=α，則∠AFB=__________（用含α的式子表示）；

（3）將圖4中的△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點(diǎn)F至少在BD、AE中的一條線段上），變成如圖5所示的情形，若∠ACD=α，則∠AFB與α的有何數(shù)量關(guān)系？并給予證明．Part4全等三角形的判定-ASA定理：有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS或“邊角邊”)?！境咭?guī)作圖】例題4-1．做△DEF，滿足∠E=∠B,∠F=∠C，DF=BC。例題4-2．如圖，已知AC、BD交于點(diǎn)O，AB//CD，OA=OC,求證：AB=CD。例題4-3．如圖，已知AB=AC，D、E分別為AB、AC上兩點(diǎn)，∠B=∠C，求證：BD=CE.例題4-4．在△ABC與△DEF中，下列各組條件中，不能判定兩個(gè)三角形全等的是（）A.AB=DE,∠B=∠E,∠C=B.AB=EF,∠A=∠E,∠B=C.AC=DF,BC=DE,∠C=∠D；D.∠A=∠F,∠B=∠E,AC=DE例題4-5．證明：全等三角形對(duì)應(yīng)角的角平分線相等。(先寫(xiě)已知條件)如圖，已知△ABC≌△A’B’C’，AD、A’D’分別為△ABC、△A’B’C’的角平分線，（再寫(xiě)求證）求證：AD=A’D’.Part5全等三角形的判定-AAS定理：有兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS或“角角邊”)例題5-1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，DM⊥AB，且DM=AC，過(guò)點(diǎn)M作ME∥BC交AB于點(diǎn)E．

求證：△ABC≌△MED．例題5-2．如圖，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD,求證：AB=DE;例題5-3．如圖，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，連接OE．

（1）求證：△AOB≌△DOC；

（2）求∠AEO的度數(shù)．例題5-4．如圖，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求證：CB=CD．Part6全等三角形的判定-HL定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。簡(jiǎn)寫(xiě)為（HL）。其中H是hypotenuse(斜邊)的縮寫(xiě),L是leg(直角邊)的縮寫(xiě).例題6-1：已知，∠B=∠E=90°，AC=DF，F(xiàn)B=EC，求證：AB=DE。例題6-2：如圖，四邊形ABDC中，∠ABD=∠ACD=90°，BD=CD，求證：AD⊥BC。例題6-3：如圖，已知∠A=90°，AB=BD，ED⊥BC于但D，求證：DE+CE=AC。例題6-4：如圖，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E、F，若BE=CF，則圖中共有3對(duì)全等三角形,找出并且證明。例題6-5：如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC、BD相交于O，如果AC=BD，請(qǐng)證明：AD=BC；②∠DAC=∠CBD；②OC=ODPart7二次全等例題7-1：如圖，已知AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，AE=DF，AB=DC，求證AC=BD。例題7-2：如圖AB=AE，BC=DE，AF⊥CD于F，∠B=∠E，求證：AF平分∠BAE。例題7-3：在△ABC中，D是BC中點(diǎn),DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，且DE=DF，求證：AB=AC。例題7-4：如圖，在△ABC中，AB=AC，F(xiàn)、E分別為AB、AC上一點(diǎn)，AM⊥CE于M，AN⊥BF于N,且AM=AN，求證：△ACE≌△ABF。例題7-5：如圖，點(diǎn)C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、E重合)，在AE同側(cè)作等邊△ABC、CDE，AD、BE交于點(diǎn)O，AD、BC交于點(diǎn)M，BE、CD交于點(diǎn)N。求證：（1）CN//AB；（2）AD=BE；（3）∠AOE=120°（4）CM=CN（備用圖）Part8角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等?！境咭?guī)作圖】用尺規(guī)作∠MON的平分線例題8-1.如圖△ABC中，∠ACB=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm，求線段BC的長(zhǎng)。例題8-2.如圖，已知AB∥CD，O是∠ACD與∠BAC的平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC，且OE=2cm，則AB與CD間的距離等于______例題8-3.如圖，已知BD是∠ABC的內(nèi)角平分線，CD是∠ACB的外角平分線，由D出發(fā)，作點(diǎn)D到BC、AC和AB的垂線DE、DF和DG，垂足分別為E、F、G，探究DE、DF、DG的關(guān)系.例題8-4.如圖，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，測(cè)得BC=9，BE=3，求△BDE的周長(zhǎng)。例題8-5.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD:CD=9;7，則D到AB邊的距離為_(kāi)________例題8-6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．BD：DC=3：2，點(diǎn)D到AB的距離為6，則BC的長(zhǎng)是_________例題8-7.如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC交AC于點(diǎn)F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長(zhǎng)是_________例題8-8.如圖，AD是△ABC的角平分線，若AB=2AC．則S△ABD：S△ACD=_________例題8-9.如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別是20、30、40，其三條角平分線將△ABC分成三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于_________例題8-10.如圖，BD是∠ABC是的角平分線，AB=BC,點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分別為M,N，求證：PM=PNPart9角平分線中的判定角平分線的判定：角內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上例題9-1.已知P為∠ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥AB，PE⊥BC，且PD=PE，求證：BP平分∠ABC。例題9-2.如圖，BD=CD,BF⊥AC于F,CE⊥AB于E.求證：點(diǎn)D在∠BAC的平分線例題9-3.如圖，AD是△ABC的中線，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且BE=CF,求證：AD是△ABC的角平分線例題9-4.如圖，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，則下列結(jié)論：

①△ABE≌△ACF；

②△BDF≌△CDE；

③點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，

其中正確的是__________例題9-5.如圖，有三條公路兩兩相交于A、B、C處，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)加油站，要求到三條公路的距離相等，那么該如何選擇加油站的位置？請(qǐng)你在圖中確定加油站的位置P．例題9-6.如圖，D、E、F分別是△ABC的三條邊上的點(diǎn)，CE=BF，△DCE和△DBF的面積相等．

求證：AD平分∠BAC．例題9-7.PB，PC分別是△ABC的外角平分線且相交于P．求證：P在∠A的平分線上例題9-8.如圖，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE=90°,AD=AB,AC=AE(1)求證BE=DC(2)求證：∠AFD=∠AFE例題9-9.如圖，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCEAD.BE交于點(diǎn)H,連CH.(1)求證：AD=BE(2)求證：CH平分∠AHE例題9-10.如圖，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCEAD.BE交于點(diǎn)H,連CH.(1)求證：AD=BE(2)求證：CO平分∠AOE例題9-11.如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于點(diǎn)H，連CH．求∠CHE的度數(shù)．（用含α的式子表示）基本模型5：雙等腰共頂點(diǎn)模型1．△AOB，△COD均為等腰三角形，OA=OB,OC=OD且∠AOB=∠COD=α，求證AD=BC（1）α為銳角①共線型②相交型③相離型（2）α為直角①共線型②相交型③相離型（3）α為鈍角①共線型②相交型③相離型基本模型5：相關(guān)練習(xí)1．已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=a，直線AE與BD交于點(diǎn)F,求∠AFB度數(shù)2．如圖1，已知∠ABC＝90°，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），連接AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接QE并延長(zhǎng)交射線BC于點(diǎn)F．（1）如圖1，求∠BEF度數(shù)圖1（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，求∠BEF度數(shù) 圖23．如圖△AOB和△ACD是等邊三角形，其中AB⊥x軸于E點(diǎn).（1）如圖1，若OC=5，求BD的長(zhǎng)度；（2）如圖2，設(shè)BD交x軸于點(diǎn)F，求證：∠OFA=∠DFA；第十三章軸對(duì)稱(chēng)教師備課札記Part1：垂直平分線的性質(zhì)教師備課札記例題1：已知：如圖，直線垂直平分線段AB，垂足為C，點(diǎn)P是直線任一點(diǎn)。求證：PA=PB。定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。例題2：△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3cm，△ABD的周長(zhǎng)為13cm，求△ABC的周長(zhǎng)。例題3：如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，求證：（1）求證：AB=CE；（2）求證：AB+BD=DE。例題4：已知在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)D，DM⊥AB與M，DN⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于N，你認(rèn)為BM與CN之間有什么關(guān)系？試證明你的發(fā)現(xiàn)．教師備課札記Part2：垂直平分線的判定教師備課札記例題1：在△ABC中，若PA=PB求證：P在線段AB的垂直平分線上。定理：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。例題2：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高．求證：AD垂直平分EF例題3：三角形中，分別畫(huà)出邊AB，BC的垂直平分線，若這兩條垂直平分線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是否在AC的垂直平分線上？請(qǐng)說(shuō)明理由。例題4：如圖，已知E是∠AOB的平分線上的一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別是C、D，求證：OE垂直平分CD。例5.如圖，在△ABC中，∠A＝60°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交AC于點(diǎn)E，∠ABC的角平分線BF交DE于點(diǎn)P，連接PC.(1)若∠ACP＝24°，求∠ABP的度數(shù)；(2)若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，請(qǐng)直接寫(xiě)出m，n滿足的關(guān)系式.例6.如圖，AB＝CD，線段AC的垂直平分線與線段BD的垂直平分線相交于點(diǎn)E.求證:∠ABE＝∠CDE.例7.如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB，AC的垂直平分線交于點(diǎn)P，兩垂直平分線交△ABC的邊于點(diǎn)G，D，E，H，連接AD，AE，AP。(1)求∠DAE的度數(shù)；(2)求證:AP平分∠DAE；針對(duì)訓(xùn)練1.下面四個(gè)圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品的標(biāo)志，在這四個(gè)圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．B．C．D．2.以下圖形中對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)小于3的是（）A．B．C．D．3.墻上有一面鏡子，鏡子對(duì)面的墻上有一個(gè)數(shù)字式電子鐘.如果在鏡子里看到該電20:15子鐘的時(shí)間顯示如圖所示，那么它的實(shí)際時(shí)間是()A.21:05B.15:02C.15:20D.21:204.如圖是一輛汽車(chē)車(chē)牌在水中的倒影，則該車(chē)的牌照號(hào)碼是（）A.

W17639B.

W17936C.

M17639D.

M179365.如圖，在正方形方格中，陰影部分是涂黑7個(gè)小正方形所形成的圖案，再將方格內(nèi)空白的一個(gè)小正方形涂黑，使得到的新圖案(大正方形)成為一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形的涂法有（）種第5題圖第6題圖6.如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，黑色部分的圖形構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，現(xiàn)任取一個(gè)白色小正方形涂黑，使新圖形中黑色部分仍然組成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，則不同的畫(huà)法有(C)A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)7.如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，點(diǎn)E在BC邊上，且點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上，連接AE．（1）在圖中畫(huà)出△AEF，使△AEF與△AEB關(guān)于直線AE對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)F是點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積．8.如圖，在正方形ABCD中，A(－4，1)，B(－4，3)，P(a，0)，過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線l，作四邊形ABCD關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的四邊形A1B1C1D1，若四邊形A1B1C1D1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則a＝_______9.如圖，已知點(diǎn)A(－2，－1)，B(1，0)，C(0，1).(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1，并且直接寫(xiě)出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo);(2)已知點(diǎn)D(0，3)，E(－1，4)，F(xiàn)(2，5)，畫(huà)出△DEF;(3)△DEF與△A1B1C1是否關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)?若存在，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出這條對(duì)稱(chēng)軸;(4)寫(xiě)出與△ABC有一條公共邊且與△ABC全等的格點(diǎn)三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4，－4).(1)畫(huà)出△ABC向上平移4個(gè)單位，再向右平移5個(gè)單位得到的△A1B1C1，并直接寫(xiě)出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；(2)作出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'.若把點(diǎn)A'向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后落在△A1B1C1的內(nèi)部(不包括頂點(diǎn)和邊界)，請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的a的取值范圍.11.如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2，3)，B(－6，0)，C(－1，0).(1)將△ABC沿y軸翻折，則翻折后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是；(2)若△DBC與△ABC全等，請(qǐng)畫(huà)出符合條件的△DBC(D與點(diǎn)A重合除外)，并直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)為.12..如圖，AD與BC交于點(diǎn)O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE，求證：OE垂直平分BD。13.如圖，在△ABC中，AB，AC的垂直平分線l1，l2相交于點(diǎn)O，若∠BAC等于82°。求∠OBC的度數(shù)。14.如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格紙中，格線的交點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱(chēng)為格點(diǎn)三角形，圖中△ABC是一個(gè)格點(diǎn)三角形，在圖中畫(huà)出與△ABC成軸對(duì)稱(chēng)的格點(diǎn)三角形，這樣的格點(diǎn)三角形可以畫(huà)多少個(gè)?請(qǐng)?jiān)趫D1及備用圖中一一畫(huà)出來(lái).15.以△ABC的兩邊AB，AC為邊分別向形外作等邊△ABD與等邊△ACE.(1)如圖1，連接BE，CD，求證：△ABE≌△ADC；(2)設(shè)BE，DC交于點(diǎn)P，求∠DPE的度數(shù)；(3)如圖2，HD＝HE，且∠DHE＝120°.求證：點(diǎn)H在BC的垂直平分線上.教師備課札記Part3：等腰三角形教師備課札記等腰三角形的性質(zhì)定理1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”）例題3-1：已知：△ABC中，AB=AC，求證：∠B=∠C。等腰三角形的性質(zhì)定理2：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等角對(duì)等邊”）例題3-2：已知：△ABC中，AB=AC，求證：∠B=∠C。等腰三角形的性質(zhì)定理3：等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合（簡(jiǎn)稱(chēng)“三線合一”）例題3-3：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各角的度數(shù)。例題3-4：如圖，AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度數(shù)。例題3-5：如圖，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，求∠A的度數(shù)。例題3-6.如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC與BD交于O，AC=BD．

求證：（1）BC=AD；

（2）△OAB是等腰三角形．例題3-7：如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥BC于E，并與CA的延長(zhǎng)線交于F，求證：AD=AF。例題3-8：已知CE為△ABC的角平分線，D為BC上一點(diǎn)，AD交CE于F。（1）如圖1，若∠BAC=∠ADC=90°，求證：AE=AF。（2）如圖2，若∠BAC=∠ADC≠90°，問(wèn)（1）中的結(jié)論還成立嗎？例題3-9：△ABC為等腰直角三角形.①CD為△ABC的角平分線②CD為△ABC的中線③CD為△ABC的高結(jié)論①AD=CD=DB②∠CBA=∠CAB=∠ACD=∠BCD=45°例題3-10：如圖，△ACB為等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,AG⊥CE于G,F為AG和CD的交點(diǎn)（1）求證：DF=DE（2）若E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其他條件不變，請(qǐng)補(bǔ)全圖形.問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明.若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.例題3-11已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF＝90°，∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F．（1）當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(shí)（如圖1），易證S△DEF+S△CEF＝S△ABC；（2）當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．例題3-12已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．

（1）直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F，