單調(diào)性與最大(小)值（第1課時函數(shù)的單調(diào)性）課件-2024-2025學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

3.2.1單調(diào)性與最大(小)值第1課時函數(shù)的單調(diào)性第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)人教A版

數(shù)學

必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標函數(shù)是刻畫客觀世界中運動變化的重要數(shù)學模型,運動變化中的規(guī)律性或不變性通常反映為函數(shù)的性質(zhì).本單元主要學習函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值、奇偶性,其中單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì).根據(jù)研究函數(shù)性質(zhì)的一般過程與方法,本單元首先借助函數(shù)圖象對單調(diào)性、奇偶性進行初步了解,在此基礎(chǔ)上定量刻畫,形成用數(shù)學符號語言表示的單調(diào)性、奇偶性定義,這是本單元的知識明線.具體結(jié)構(gòu)圖如右:學習單元2

函數(shù)的基本性質(zhì)

學習過程中,通過“什么是函數(shù)的性質(zhì)”“如何研究函數(shù)性質(zhì)”等體現(xiàn)數(shù)學基本思想的問題,引導數(shù)學思維的發(fā)散.總體來說,既體現(xiàn)研究數(shù)學性質(zhì)的一般思路,又注意函數(shù)性質(zhì)的特殊性——變化中的規(guī)律性、不變性.研究方法上,通過代數(shù)運算和圖象直觀揭示函數(shù)的性質(zhì);構(gòu)建從具體到抽象、從特殊到一般的過程,歸納概括單調(diào)性的方法,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想,提升數(shù)學運算、直觀想象等素養(yǎng).學習目標1.理解增函數(shù)和減函數(shù)的定義.(數(shù)學抽象)2.理解函數(shù)單調(diào)性的含義,掌握利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的方法.(邏輯推理)3.能夠利用定義或圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題.(數(shù)學運算)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點:函數(shù)單調(diào)性的概念1.函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)圖示

圖象特征函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象是

的

函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象是

的

上升

下降函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,區(qū)間D?I:如果?x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)

f(x2)

f(x1)

f(x2)

那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減<>

不同區(qū)間用逗號隔開2.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)

,區(qū)間

叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

單調(diào)性D名師點睛1.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì),是一個局部特征,不同的單調(diào)區(qū)間用逗號隔開.2.對于某一個點,由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù),沒有增減變化,所以不存在單調(diào)性問題,因此在書寫單調(diào)區(qū)間時,可以包括端點,也可以不包括端點,但在某些點無意義時,單調(diào)區(qū)間不能包括這些點.3.單調(diào)性定義還可以用如下的代數(shù)方式表示:單調(diào)遞增:區(qū)間D中任意x1≠x2,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;單調(diào)遞減:區(qū)間D中任意x1≠x2,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0.微思考已知四個函數(shù)的圖象如圖所示,其中在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的函數(shù)是哪個?提示

在定義域內(nèi)任取的兩個自變量與相應(yīng)函數(shù)值的關(guān)系滿足單調(diào)性定義,故只有B選項的圖象滿足.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì).通過單調(diào)性容易知道函數(shù)圖象趨勢,數(shù)形結(jié)合,從而解決函數(shù)的眾多問題.如何確定函數(shù)的單調(diào)性呢?探究點一確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題2對于熟悉的函數(shù),如何確定它們的單調(diào)區(qū)間?【例1】

(1)下列函數(shù)中,在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=- D.f(x)=-|x|C解析函數(shù)f(x)=3-x為一次函數(shù),在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不符合題意;函數(shù)f(x)=x2-3x為二次函數(shù),在

上單調(diào)遞減,不符合題意;函數(shù)f(x)=-為反比例函數(shù),在(0,+∞)上單調(diào)遞增,符合題意;函數(shù)f(x)=-|x|,當x>0時,f(x)=-x,則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不符合題意.故選C.(2)函數(shù)y=x2-2|x|+1的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A.(-1,0) B.(-1,0)和(1,+∞)C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)和(0,1)B解析由題得,

作出函數(shù)圖象如圖所示,由函數(shù)圖象可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0)和(1,+∞).故選B.延伸探究已知x∈R,函數(shù)f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖象,并結(jié)合圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解

f(x)=x|x-2|=圖象如圖所示.由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1],[2,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為[1,2].規(guī)律方法

1.一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性.(1)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的單調(diào)性由系數(shù)k決定:當k>0時,該函數(shù)在R上是增函數(shù);當k<0時,該函數(shù)在R上是減函數(shù).(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的單調(diào)性以對稱軸x=-為分界線.(3)反比例函數(shù)y=(k≠0)的單調(diào)性如下表所示.k的符號單調(diào)性k>0在(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞減k<0在(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞增2.對于含絕對值的函數(shù)可以去掉絕對值號轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或作出函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性.探究點二證明函數(shù)的單調(diào)性問題3對于不熟悉的函數(shù),如何確定區(qū)間上的單調(diào)性?問題4單調(diào)性的幾何特征可否用代數(shù)形式來刻畫?如何表示?還可以如何變形?問題5如何用代數(shù)方式證明函數(shù)的單調(diào)性?【例2】

求證:函數(shù)f(x)=x+在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減.規(guī)律方法

1.利用定義法證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟

2.作差變形的常用技巧(1)因式分解.當原函數(shù)是多項式函數(shù)時,作差后的變形通常進行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.當原函數(shù)是分式函數(shù)時,作差后往往進行通分,然后對分子進行因式分解.如本例.(3)配方.當所得的差式是含有x1,x2的二次三項式時,可以考慮配方,便于判斷符號.(4)分子有理化.當原函數(shù)是根式函數(shù)時,作差后往往考慮分子有理化.探究點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問題6函數(shù)單調(diào)性可以用來解決哪些問題?對于正向的問題如何進行適當?shù)哪嫦蛩伎?1.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小【例3】

已知f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù),試比較f(a2-a+1)與f()的大小.規(guī)律方法

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問題的解題策略(1)利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.利用函數(shù)的單調(diào)性解決比較函數(shù)值大小的問題時,要注意將對應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上.(2)利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值的不等式就是利用函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,去掉對應(yīng)關(guān)系“f”,轉(zhuǎn)化為自變量的不等式,此時一定要注意自變量的限制條件,以防出錯.2.根據(jù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間或單調(diào)性求參數(shù)范圍【例4】

函數(shù)f(x)=x2+(2a+1)x+1在區(qū)間[1,2]上單調(diào),則實數(shù)a的取值范圍是(

)A規(guī)律方法

含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題,應(yīng)明確若函數(shù)在某一區(qū)間M上是單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),則該區(qū)間是函數(shù)的原單調(diào)遞增區(qū)間(或單調(diào)遞減區(qū)間)D的子集,即M?D.3.分段函數(shù)的單調(diào)性問題7分段函數(shù)的單調(diào)性如何理解?如何說明分段函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)?【例5】

(多選題)已知分段函數(shù)

的定義域為R,且滿足對于任意的x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,則a的可能取值是(

)A.1 B.-1 C.-2 D.-3CD規(guī)律方法

由于分段函數(shù)是一個函數(shù),因此對于分段函數(shù)在實數(shù)集R上的單調(diào)遞增(減)的問題,除了保證在定義域的每一個區(qū)間上單調(diào)性相同之外,還要考慮在分界點處的函數(shù)值的大小應(yīng)滿足函數(shù)的單調(diào)性,否則求出的參數(shù)的范圍會出現(xiàn)錯誤.探究點四復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題8復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性如何判斷?【例6】

試求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間.解由題意可知,g(x)的定義域為{x|x≠-2,且x≠4}.令u(x)=8+2x-x2,則u(x)在(-∞,-2),(-2,1]上單調(diào)遞增,在[1,4),(4,+∞)上單調(diào)遞減.函數(shù)g(u)=在(-∞,0)和(0,+∞)上分別單調(diào)遞減.根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則,可知g(x)=在區(qū)間(-∞,-2),(-2,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,4),(4,+∞)上單調(diào)遞增.即函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,4),(4,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-2),(-2,1].規(guī)律方法

判斷復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))單調(diào)性的步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)找出復(fù)合函數(shù)的外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù),y=f(u),u=g(x);(3)分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)性;(4)若這兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)性相同(同增或同減),則y=f(g(x))為增函數(shù);若這兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)性相反(一增一減),則y=f(g(x))為減函數(shù).此法則簡記為“同增異減”.學以致用·隨堂檢測促達標12345678910A級必備知識基礎(chǔ)練1.(多選題)若函數(shù)y=f(x),x∈[-4,4]的圖象如圖所示,則下列區(qū)間是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的為(

)A.[-4,-2] B.[-3,-1] C.[-4,0]

D.[1,4]AD解析

由題圖可得f(x)在[-4,-2]上單調(diào)遞減,在[-2,1]上單調(diào)遞增,在[1,4]上單調(diào)遞減,∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-4,-2],[1,4].故選AD.123456789102.(多選題)下列函數(shù)中,在R上是增函數(shù)的是(

)A.y=|x|

B.y=x C.y=x2

D.BD解析

選項A,y=|x|,當x<0時單調(diào)遞減,不符合題意;選項B,顯然在R上是增函數(shù),符合題意;選項C,y=x2,當x<0時單調(diào)遞減,不符合題意;選項D,作出草圖如圖,實線部分,觀察圖象可得函數(shù)在R上為增函數(shù),符合題意.123456789103.函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的單調(diào)遞減區(qū)間是(

)A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,2) D.(2,+∞)B解析

易知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3是圖象開口向下的二次函數(shù),其對稱軸為x=1,所以其單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+∞).123456789104.定義在R上的函數(shù)f(x),對任意x1,x2∈R(x1≠x2),有,則(

)A.f(3)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(3)C.f(2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(2)A解析

定義在R上的函數(shù)f(x),對任意x1,x2∈R(x1≠x2),有

,則函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減.∵1<2<3,∴f(3)<f(2)<f(1),故選A.12345678910D123456789106.已知函數(shù)f(x)=2x2-mx+3,當x∈[-2,+∞)時,f(x)單調(diào)遞增,當x∈(-∞,-2)時,f(x)單調(diào)遞減,則m=

,f(1)=

.

-813解析

∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間[-2,+∞)上單調(diào)遞增,∴x==-2,∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.∴f(1)=13.123456789107.已知函數(shù)

若f(x)在R上是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是

.

123456789108.已知函數(shù)f(x)=ax2-x,若對任意x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,都有[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)>0,則實數(shù)a的取值范圍是(

)C解析

由任意x1,x2∈[2,+∞),且任意x1<x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,得函數(shù)f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,又函數(shù)f(x)為二次函數(shù),故其開口向上,且對稱軸在區(qū)間[2,+∞)的左側(cè),即

.故選C.12345678910B級關(guān)鍵能力提升練9.(多選題)下列命題正確的是(

)A.若對于?x1,x2∈R,x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),則函數(shù)y=f(x)在R上是增函數(shù)B.若對于?x1,x2∈R,x1≠x2,都有,則函數(shù)y=f(x)+x在R上是增函數(shù)C.若對于?x∈R,都有f(x+1)>f(x)成立,則函數(shù)y=f(x)在R上是增函數(shù)D.函數(shù)y=f(x),y=g(x