專題08 一元二次方程應(yīng)用的四種考法（解析版）-2024年?？?jí)狠S題攻略（9年級(jí)上冊(cè)人教版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題08一元二次方程應(yīng)用的四種考法類型一、銷售利潤問題例．我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進(jìn)價(jià)為每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后來經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低10元，則平均每周的銷售量可增加40千克．(1)若該專賣店銷售這種品牌茶葉要想平均每周獲利41600元，請(qǐng)回答：①每千克茶葉應(yīng)降價(jià)多少元？②在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？(2)在降價(jià)情況下，該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利能達(dá)到50000元嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)①30元或80元②八折(2)該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利不能達(dá)到50000元【分析】（1）①設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價(jià)x元，利用銷售量每件利潤元列出方程求解即可；②為了讓利于顧客因此應(yīng)下降價(jià)80元，求出此時(shí)的銷售單價(jià)即可確定幾折．（2）設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價(jià)y元，列方程整理后為，代入根的判別式得，方程無解，故不能達(dá)到要求．【詳解】（1）解：①設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價(jià)x元．根據(jù)題意，得：．解得：．答：每千克茶葉應(yīng)降價(jià)30元或80元．②由①可知每千克茶葉可降價(jià)30元或80元．因?yàn)橐M可能讓利于顧客，所以每千克茶葉某應(yīng)降價(jià)80元．此時(shí)，售價(jià)為：元，．答：該店應(yīng)按原售價(jià)的八折出售．（2）解：該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利不能達(dá)到50000元，理由如下：設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價(jià)y元．根據(jù)題意，得：0,整理得：，∵，∴原方程沒有實(shí)數(shù)根，即該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利不能達(dá)到50000元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程．【變式訓(xùn)練1】某運(yùn)動(dòng)品牌銷售一款運(yùn)動(dòng)鞋，已知每雙運(yùn)動(dòng)鞋的成本價(jià)為60元，當(dāng)售價(jià)為100元時(shí)，平均每天能售出200雙；經(jīng)過一段時(shí)間銷售發(fā)現(xiàn)，平均每天售出的運(yùn)動(dòng)鞋數(shù)量y（雙）與降低價(jià)格x（元）之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系．(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)公司希望平均每天獲得的利潤達(dá)到8910元，且優(yōu)惠力度最大，則每雙運(yùn)動(dòng)鞋的售價(jià)應(yīng)該定為多少？(3)為了保證每雙運(yùn)動(dòng)鞋的利潤不低于成本價(jià)的50%，公司每天能否獲得9000元的利潤？若能，求出定價(jià)；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=10x＋200；(2)當(dāng)每雙運(yùn)動(dòng)鞋的售價(jià)為87元時(shí)，企業(yè)每天獲得的銷售利潤達(dá)到8910元并且優(yōu)惠力度最大.(3)降價(jià)10元時(shí)，公司每天能獲得9000元的利潤，且每雙運(yùn)動(dòng)鞋的利潤不低于成本價(jià)的50%.【分析】（1）由題意，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，然后由待定系數(shù)法求解析式，即可得到答案；（2）根據(jù)題意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；（3）由題意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．【詳解】（1）解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b(k≠0)，由圖可知其函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,200）和（10,300），將其代入y=kx+b得解得∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=10x＋200；（2）解：由題意得（10x＋200)(100－x－60)＝8910，整理得x2－20x＋91＝0，解得：x1＝7,x2＝13；當(dāng)x＝7時(shí)，售價(jià)為100－7＝93（元），當(dāng)x＝13時(shí)，售價(jià)為100－13＝87（元），∵優(yōu)惠力度最大，∴取x＝13，答：當(dāng)每雙運(yùn)動(dòng)鞋的售價(jià)為87元時(shí)，企業(yè)每天獲得的銷售利潤達(dá)到8910元并且優(yōu)惠力度最大；（3）解：公司每天能獲得9000元的利潤，理由如下：∵要保證每雙運(yùn)動(dòng)鞋的利潤率不低于成本價(jià)的50%，∴100－60－x≥60×50%,解得：x≤10；依題意，得(100－60－x)(10x＋200)＝9000，整理得x2－20x＋100＝0，解得：x1＝x2＝10；∴降價(jià)10元時(shí)，公司每天能獲得9000元的利潤，且每雙運(yùn)動(dòng)鞋的利潤不低于成本價(jià)的50%.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的列出方程，從而進(jìn)行解題．【變式訓(xùn)練2】某服裝店以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一批恤，如果以每件40元的價(jià)格出售，那么一個(gè)月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元，銷售量就會(huì)減少10件，設(shè)這種恤的銷售單價(jià)提高元．(1)該服裝店希望一個(gè)月內(nèi)銷售這種恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，則這種恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高多少元？(2)當(dāng)銷售單價(jià)提高多少元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)提高2元．(2)當(dāng)銷售單價(jià)提高10元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種恤獲得的利潤最大，最大利潤是4000元．【分析】（1）設(shè)銷售單價(jià)提高x元，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）設(shè)銷售利潤為元，求得函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】（1）解：設(shè)銷售單價(jià)提高x元，由題意，得，解得，∵要盡可能減少庫存，∴不符合題意，故舍去，答：這種恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高2元；（2）解：設(shè)該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種恤獲得的利潤為元，由題意，得，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為4000，答：當(dāng)銷售單價(jià)提高10元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種恤獲得的利潤最大，最大利潤是4000元．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用利潤一單件利潤×銷售量列出二次函數(shù)解析式．【變式訓(xùn)練3】嘉海學(xué)校八年級(jí)開展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，下表是“遇數(shù)臨風(fēng)”小組的記錄表，請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息解決表中的兩個(gè)問題．嘉海學(xué)校社會(huì)實(shí)踐記錄表團(tuán)隊(duì)名稱遇數(shù)臨風(fēng)活動(dòng)時(shí)間班級(jí)人員王嘉、馬俊、張寧地點(diǎn)城南蔬菜超市實(shí)踐內(nèi)容調(diào)查青菜行情，幫超市解決銷售問題的同時(shí)為顧客謀實(shí)惠．調(diào)研信息青菜的進(jìn)價(jià)為2元/千克．青菜售價(jià)為元/千克時(shí)，每天可銷售千克．每千克每漲價(jià)元，每天少銷售5千克．解決問題問題1某天超市正好銷售千克的青菜，則獲利多少元？問題2若超市想一天銷售青菜獲利元，則青菜的售價(jià)為多少元/千克？【答案】某天超市正好銷售千克的青菜，則獲利元；若超市想一天銷售青菜獲利元，則青菜的售價(jià)為3元/千克或4元/千克【分析】問題1：設(shè)售價(jià)為元/千克，，計(jì)算得即可得；問題2：設(shè)青菜的售價(jià)為x元/千克，超市會(huì)一天銷售青菜獲利元，，計(jì)算得，，即可得．【詳解】解：問題1：設(shè)售價(jià)為元/千克，，，，，則獲利：（元），答：某天超市正好銷售千克的青菜，則獲利元；問題2：設(shè)青菜的售價(jià)為x元/千克，超市會(huì)一天銷售青菜獲利元，，，，，答：若超市想一天銷售青菜獲利元，則青菜的售價(jià)為3元/千克或4元/千克．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．類型二、幾何圖形運(yùn)動(dòng)問題例．如圖，已知A，B，C，D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離最??？最小距離是多少？(2)連接．①當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求t的值；②在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在一個(gè)時(shí)刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，最小，的最小距離為(2)①當(dāng)為等腰三角形時(shí)，t的值為或或；②不存在一個(gè)時(shí)刻，使得，理由見解析【分析】（1）首先根據(jù)題意，得出，，再根據(jù)線段之間數(shù)量關(guān)系，得出，再根據(jù)垂線段最短，得出當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)四邊形是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)，得出，然后代入數(shù)據(jù)，得出，解出即可得出答案；（2）①過點(diǎn)作于點(diǎn)，得矩形，矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)線段之間數(shù)量關(guān)系，得出，再根據(jù)勾股定理，得出，，然后分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別列出方程進(jìn)行求解，即可得出答案；②當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理，得出，進(jìn)而得出，整理得出，再根據(jù)一元二次方程的根與判別式的關(guān)系，即可得出答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可得：，，∵，，∴，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)四邊形是矩形，∴，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，最小，的最小距離為；（2）解：①如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得矩形，矩形，

∴，，∴，在中，根據(jù)勾股定理，可得：，，當(dāng)時(shí)，可得：，整理可得：，解得：；當(dāng)時(shí)，可得：，整理可得：，解得：或（不符合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，∴，解得：，綜上可得：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，t的值為或或；②不存在一個(gè)時(shí)刻，使得，理由如下：當(dāng)時(shí)，可得：，即，整理可得：，∵，∴此方程無實(shí)數(shù)解，∴不存在一個(gè)時(shí)刻，使得．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、解一元二方程、一元二次方程的根與判別式的關(guān)系，解本題的關(guān)鍵在利用分類討論思想解答．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知，在直角梯形中，，，，，，動(dòng)點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向以的速度運(yùn)動(dòng)，、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)為何值時(shí)，？為什么？(2)當(dāng)cm時(shí)，求t的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）當(dāng)時(shí)，可得四邊形是平行四邊形，必有，列出等式計(jì)算即可，（2）分兩種情況，在利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）解：（1）由題意知，，，，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，解得：，即當(dāng)時(shí)，．（2）如圖1，過作于，∵，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，，，∴，在中，，，，∴，∴，解得：，（不合圖，舍去）；如圖2，過作于，則四邊形是矩形，∴，，，∴，在中，，，，∴，∴，解得：（不合圖，舍去），；綜上所述，滿足條件的t的值為6或7．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題，涉及到了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、等腰梯形等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確理解題意，列出方程．【變式訓(xùn)練2】如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以的速度向點(diǎn)D移動(dòng)（點(diǎn)P停止移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)）．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．連接，．(1)用含t的式子表示線段的長：__________；__________．(2)當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離為？(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形的形狀可能為矩形嗎？若可能，求出t的值；若不可能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，(2)、出發(fā)0.6和5.4秒時(shí)，，間的距離是(3)、出發(fā)3秒時(shí)四邊形為矩形【分析】（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；（2）可通過構(gòu)建直角三角形來求解．過作于，如果設(shè)出發(fā)秒后，．那么可根據(jù)路程速度時(shí)間，用未知數(shù)表示出的值，然后在直角三角形中，求出未知數(shù)的值．（3）利用矩形的性質(zhì)得出當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形求出即可【詳解】（1）解：由題意得：，∵，∴；故答案為，；（2）解：設(shè)出發(fā)秒后、兩點(diǎn)間的距離是．則，，作于，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，由勾股定理得：，解得：或，答：、出發(fā)0.6和5.4秒時(shí)，，間的距離是；（3）解：四邊形的形狀有可能為矩形；理由如下：當(dāng)四邊形為矩形，則，即，解得：．答：當(dāng)、出發(fā)3秒時(shí)四邊形為矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、勾股定理及矩形的性質(zhì)，本題結(jié)合幾何知識(shí)并根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】如圖，為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，一直到達(dá)為止，點(diǎn)Q以的速度向移動(dòng)．(1)兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，四邊形的面積為？(2)兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是？(3)兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，點(diǎn)組成的三角形是等腰三角形？【答案】(1)兩點(diǎn)從出發(fā)開始到秒時(shí)，四邊形的面積為(2)兩點(diǎn)從出發(fā)開始到秒或秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是(3)經(jīng)過秒或秒或秒或秒時(shí)，點(diǎn)組成的三角形是等腰三角形【分析】（1）設(shè)兩點(diǎn)從出發(fā)開始到秒時(shí)，四邊形的面積為，根據(jù)梯形面積公式列方程求解即可；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)從出發(fā)開始到秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是，根據(jù)勾股定理列方程求解即可；（3）根據(jù)等腰三角形不同的腰進(jìn)行分類討論，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)兩點(diǎn)從出發(fā)開始到秒時(shí)，四邊形的面積為，根據(jù)題意得：，，則，解得：，答：兩點(diǎn)從出發(fā)開始到秒時(shí)，四邊形的面積為；（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)從出發(fā)開始到秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是，根據(jù)題意可得：，，根據(jù)勾股定理得：，整理得：，解得：或，答：兩點(diǎn)從出發(fā)開始到秒或秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是；（3）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，分三種情況：當(dāng)時(shí)，，∵，∴；當(dāng)時(shí)，在直角中，由勾股定理得：，解得：；當(dāng)時(shí)，在直角中，由勾股定理可得，解得：（舍去）；綜上所述：經(jīng)過秒或秒或秒或秒時(shí)，點(diǎn)組成的三角形是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作垂線，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理列方程．類型三、工程問題例．為了提升干線公路美化度，相關(guān)部門擬定派一個(gè)工程隊(duì)對(duì)39000米的公路進(jìn)行路面“白改黑”工程．該工程隊(duì)計(jì)劃使用一大一小兩種型號(hào)設(shè)備交替的方式施工，原計(jì)劃小型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面30米，大型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面60米．(1)由于小型設(shè)備工作效率較低，該工程隊(duì)計(jì)劃使用大型設(shè)備的時(shí)間比使用小型設(shè)備的時(shí)間多，當(dāng)這個(gè)工程完工時(shí)，小型設(shè)備的使用時(shí)間為多少小時(shí)？(2)通過勘察、又新增了部分支線公路美化，結(jié)果此工程的實(shí)際施工里程比最初擬定的里程39000米多了9000米，于是在實(shí)際施工中，小型設(shè)備在鋪設(shè)公路效率不變的情況下，使用時(shí)間比原計(jì)劃增加了18m小時(shí)，同時(shí)，因?yàn)樾略龅墓と瞬僮鞔笮驮O(shè)備不夠熟練，使得比原計(jì)劃每小時(shí)下降了m米，使用時(shí)間增加了小時(shí)，求m的值．【答案】(1)300；(2)5【分析】（1）設(shè)小型設(shè)備的使用時(shí)間為x小時(shí)，則大型設(shè)備的使用時(shí)間為小時(shí)，根據(jù)題意列出方程，即可求解；（2）由（1）得：大型設(shè)備的原來使用時(shí)間為小時(shí)，根據(jù)題意可得小型設(shè)備的使用時(shí)間為小時(shí)，大型設(shè)備鋪設(shè)公路每小時(shí)為米，大型設(shè)備的使用時(shí)間為小時(shí)，根據(jù)題意列出方程，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)小型設(shè)備的使用時(shí)間為x小時(shí)，則大型設(shè)備的使用時(shí)間為小時(shí)，根據(jù)題意得：，解得：，答：小型設(shè)備的使用時(shí)間為300小時(shí)；（2）解：由（1）得：大型設(shè)備的原來使用時(shí)間為小時(shí)，根據(jù)題意得：小型設(shè)備的使用時(shí)間為小時(shí)，大型設(shè)備鋪設(shè)公路每小時(shí)為米，大型設(shè)備的使用時(shí)間為小時(shí)，∴，整理得：，解得：（舍去）．即m的值為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】“端午臨中夏，時(shí)清日復(fù)長”．臨近端午節(jié)，一網(wǎng)紅門店接到一批3200袋粽子的訂單，決定由甲、乙兩組共同完成．已知甲組3天加工的粽子數(shù)比乙組2天加工的粽子數(shù)多300袋．兩組同時(shí)開工，甲組原計(jì)劃加工10天、乙組原計(jì)劃加工8天就能完成訂單．(1)求甲、乙兩組平均每天各能加工多少袋粽子；(2)兩組人員同時(shí)開工2天后，臨時(shí)又增加了500袋的任務(wù)，甲組人員從第3天起提高了工作效率，乙組的工作效率不變．經(jīng)估計(jì)，若甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計(jì)劃提前1天完成任務(wù)．已知甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)，求提高工作效率后，甲組平均每天能加工多少袋粽子？【答案】(1)甲、乙兩組平均每天各能加工200袋、150袋粽子(2)400【分析】（1）設(shè)甲、乙兩組平均每天各能加工袋、袋粽子，根據(jù)甲乙兩個(gè)小組的工作情況列出二元一次方程組，從而解決問題．（2）根據(jù)“甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計(jì)劃提前1天完成任務(wù)”，考慮設(shè)“甲組平均每天比原計(jì)劃平均每天多加工袋粽子”，再根據(jù)實(shí)際總工作量等于甲乙兩組實(shí)際工作量之和，列出方程．【詳解】（1）解：設(shè)甲、乙兩組平均每天各能加工袋、袋粽子由題意得：解得：答：甲、乙兩組平均每天各能加工200袋、150袋粽子．（2）解：設(shè)提高效率后，甲組平均每天比原計(jì)劃平均每天多加工袋粽子由題意得：整理得：解得：，，又∵甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)∴∴200+100×2=400（袋）答：提高工作效率后，甲組平均每天能加工400袋粽子．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用二元一次方程組、一元二次方程解決實(shí)際問題，理清題意，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】2020年新冠疫情爆發(fā)時(shí)，醫(yī)療物資極度匱乏，中國許多企業(yè)都積極的宣布生產(chǎn)醫(yī)療物資以應(yīng)對(duì)疫情，某工廠及時(shí)引進(jìn)了一條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，開工第一天生產(chǎn)500萬個(gè)，第三天生產(chǎn)720萬個(gè)，若每天增長的百分率相同，試回答下列問題：（1）求每天增長的百分率；（2）經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是1500萬個(gè)/天，若每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減小50萬個(gè)/天．①現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩6500萬件，在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？②是否能增加生產(chǎn)線，使得每天生產(chǎn)口罩15000萬件，若能，應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）20%；（2）①4條；②不能，理由見解析．【分析】（1）設(shè)每天增長的百分率為x，根據(jù)開工第一天及第三天的產(chǎn)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）①設(shè)應(yīng)該增加m條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（1500-50m）萬個(gè)/天，根據(jù)題意列方程，即可得到結(jié)論；②設(shè)應(yīng)該增加a條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（1500-50a）萬個(gè)/天，根據(jù)每天生產(chǎn)口罩6500萬個(gè)，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，根據(jù)判別式的值可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)每天增長的百分率為x，依題意，得：500（1+x）2=720，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合題意，舍去）．答：每天增長的百分率為20%；（2）①設(shè)應(yīng)該增加m條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（1500-50m）萬個(gè)/天，依題意，得：（1+m）（1500-50m）=6500，解得：m1=4，m2=25，又∵在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入，∴m=4．答：應(yīng)該增加4條生產(chǎn)線；②設(shè)增加a條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（1500-50a）萬個(gè)/天，依題意，得：（1+a）（1500-50a）=15000，化簡得：a2-29a+270=0，∵△=（-29）2-4×1×270=-239＜0，方程無解．∴不能增加生產(chǎn)線，使得每天生產(chǎn)口罩15000萬個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】甲、乙兩工程隊(duì)共同承建某高速鐵路橋梁工程，橋梁總長5000米．甲，乙分別從橋梁兩端向中間施工．計(jì)劃每天各施工5米，因地質(zhì)情況不同，兩支隊(duì)伍每合格完成1米橋梁施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米橋梁施工成本為10萬元，乙每合格完成1米橋梁施工成本為12萬．(1)若工程結(jié)算時(shí)，乙總施工成本不低于甲總施工成本的，求甲最多施工多少米．(2)實(shí)際施工開始后，因地質(zhì)情況及實(shí)際條件比預(yù)估更復(fù)雜，甲乙兩隊(duì)每日完成量和成本都發(fā)生變化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時(shí)，則每天可多挖米．乙在施工成本不變的情況下，比計(jì)劃每天少挖米．若最終每天實(shí)際總成本在少于150萬的情況下比計(jì)劃多萬元．求a的值．【答案】(1)甲最多施工2500米；(2)a的值為6【分析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)施工x米，則乙工程隊(duì)施工（5000-x）米，由工程結(jié)算時(shí)乙總施工成本不低于甲總施工成本的，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)總成本=每米施工成本×每天施工的長度結(jié)合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時(shí)，則每天可多挖米．乙在施工成本不變的情況下，比計(jì)劃每天少挖米，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)甲工程隊(duì)施工x米，則乙工程隊(duì)施工（5000-x）米，依題意，得：12（5000-x）≥×10x，解得：x≤2500，答：甲最多施工2500米．（2）依題意，得：，整理，得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，總成本為：（萬元），∵，∴不符合題意舍去；當(dāng)時(shí)，總成本為：（萬元），∵，∴符合題意；答：a的值為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．類型四、行程問題例．周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時(shí)從A地出發(fā)，勻速跑向距離處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5分鐘到達(dá)B地．(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從A地到達(dá)B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個(gè)過程不休息），據(jù)了解，在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）分別設(shè)小紅和小明的速度，根據(jù)等量關(guān)系（小明比小紅早5分鐘到達(dá)B地）列出等量關(guān)系式，按照分式方程即可求解，求解后檢驗(yàn)所求解是不是方程解．（2）先求出小明前30分鐘中的5分鐘是從B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的熱量列方程，最后求解．【詳解】（1）解：設(shè)小紅的速度為，則小明的速度為，依據(jù)題意列方程得，，，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原式方程的解．．小紅的速度為，小明的速度為．故答案為：；．（2）解：小明的速度為，小明從A地道B地需要的時(shí)間為：．小明在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，．設(shè)B地到C地的距離為，依據(jù)題意列方程得，，，，，或（舍去）．A地到C地所需要時(shí)間為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)題意列出等量關(guān)系式，解題的重點(diǎn)在于是否能了解小明的前30分鐘內(nèi)的最后5分鐘是屬于B地到C地時(shí)間．【變式訓(xùn)練1】小明在平整的草地上練習(xí)帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動(dòng)時(shí)，速度變化情況相同，小明速度達(dá)到6m/s后保持勻速運(yùn)動(dòng)．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時(shí)間的變化而變化的情況，小明在4s時(shí)第一次追上球．（提示：當(dāng)速度均勻變化時(shí)，平均速度，距離）(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)求圖中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運(yùn)動(dòng)方向不變，當(dāng)小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數(shù)共有____次，并簡要說明理由．【答案】(1)(2)(3)7，理由見解析【分析】（1）設(shè)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)經(jīng)過點(diǎn)利用待定系數(shù)法即可得到答案；（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度為，利用小明在4s時(shí)第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；（3）根據(jù)題意找到速度、時(shí)間、路程的變化規(guī)律，即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，把點(diǎn)代入得，，解得，∴關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：對(duì)于球來說，，小明前a秒的平均速度為，a秒后速度為，由小明在4s時(shí)第一次追上球可得，，解得，即圖中a的值為；（3）小明第一次踢球已經(jīng)帶球跑了16米，還需要跑米，由（1）知，，假設(shè)每次踢球t從0開始計(jì)算，因?yàn)榍蛟诓莸厣蠞L動(dòng)時(shí)，速度變化情況相同，則第二次踢球后變化規(guī)律為，，，則，，第二次踢后，則，（舍去），，此時(shí)又經(jīng)過了米，，第三次踢后，變化規(guī)律為，，，則，，第三次追上，則，（舍去），，此時(shí)又經(jīng)過了米，，又開始下一個(gè)循環(huán)，故第四次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過24米，故第五次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過48米，故第六次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過24米，故第七次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過48米，∵，，∴帶球走過200米，在第七次踢球時(shí)實(shí)現(xiàn)，故小明小明踢球次數(shù)共有七次，故答案為：7【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】“鐵路建設(shè)助推經(jīng)濟(jì)發(fā)展”，近年來我國政府十分重視鐵路建設(shè)．渝利鐵路通車后，從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速提高了120千米/小時(shí)，全程設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間只需8小時(shí)，比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間少用16小時(shí)．（1）渝利鐵路通車后，重慶到上海的列車設(shè)計(jì)運(yùn)行里程是多少千米？（2）專家建議：從安全的角度考慮，實(shí)際運(yùn)行時(shí)速要比設(shè)計(jì)時(shí)速減少m%，以便于有充分時(shí)間應(yīng)對(duì)突發(fā)事件，這樣，從重慶到上海的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間將增加小時(shí)，求m的值．【答案】（1）1600；（2）20．【分析】（1）利用“從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速提高了l20千米/小時(shí)，全程設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間只需8小時(shí)，比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間少用16小時(shí)”，分別得出等式組成方程組求出即可；（2）根據(jù)題意得出：進(jìn)而求出即可．【詳解】（1）設(shè)原時(shí)速為xkm/h，通車后里程為ykm，則有：，解得：，答：渝利鐵路通車后，重慶到上海的列車設(shè)計(jì)運(yùn)行里程是1600千米；（2）由題意可得出：，解得：，（不合題意舍去），答：m的值為20．課后作業(yè)1．“五月枇杷黃似橘，誰思荔枝同此時(shí)”，“天上王母蟠桃，人間合川枇杷”．五月正是枇杷大量上市時(shí)，某超市以相同的進(jìn)價(jià)購進(jìn)兩批枇杷，第一批400千克，以每千克20元出售；第二批300千克，以每千克16元出售，兩批枇杷全部售完，超市共獲利7200元．(1)求枇杷的進(jìn)價(jià)是每千克多少元？(2)枇杷很受歡迎，該超市以比前兩次每千克少2元的進(jìn)價(jià)購進(jìn)第三批枇杷600千克，計(jì)劃兩天售完，第一天將枇杷漲價(jià)到每千克20元出售，結(jié)果僅售出200千克，第二天超市決定在第一天售價(jià)的基礎(chǔ)上降價(jià)促銷，若在第一天售價(jià)的基礎(chǔ)上每降2元，第二天的銷量在第一天的基礎(chǔ)上增加20千克，到了晚上關(guān)店時(shí)還剩部分枇杷沒售完，超市老板便把剩余枇杷免費(fèi)分享給員工，第三批枇杷的利潤恰好為4040元，求第二天枇杷的售價(jià)為每千克多少元？【答案】(1)枇杷的進(jìn)價(jià)是每千克8元(2)第二天枇杷的售價(jià)為每千克14元【分析】（1）設(shè)枇杷的進(jìn)價(jià)是每千克x元，兩批枇杷全部售完，超市共獲利7200元，列出方程，解方程即可；（2）設(shè)第二天枇杷降價(jià)y元，根據(jù)第三批枇杷的利潤恰好為4040元列出方程，解方程，求出x的值，然后再求出第二天枇杷的售價(jià)即可．【詳解】（1）解：設(shè)枇杷的進(jìn)價(jià)是每千克x元，根據(jù)題意得：，解得：，答：枇杷的進(jìn)價(jià)是每千克8元；（2）解：設(shè)第二天枇杷降價(jià)y元，根據(jù)題意得：，解得：，（舍去），（元），答：第二天枇杷的售價(jià)為每千克14元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程和一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程．2．如圖，AC是正方形ABCD的對(duì)角線，AD＝8，E是AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度先沿BC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，再沿CD方向向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，以EP、EQ為鄰邊作平行四邊形PEQF，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜8）(1)當(dāng)t＝1時(shí)，試求PE的長；(2)當(dāng)點(diǎn)F恰好落在線段AB上時(shí)，求BF的長；(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)?PEQF為菱形時(shí)，求t的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）作EM⊥AB于M，由正方形的性質(zhì)和已知條件得出AB=BC=CD=AD=8，證出EM∥BC，得出EM是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出EM=BC=4，當(dāng)t=1時(shí)，AP=1，求出PM=AM-AP=3，再由勾股定理求出PE即可；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出PF=EQ，PF∥EQ，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在線段AB上時(shí)，得出EQ⊥BC，Q為BC的中點(diǎn)，得出EQ是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出EQ=AB=4，求出PF=4，AP=2，即可求出BF的長；（3）由菱形的性質(zhì)得出PE=PQ，分四種情況：①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；②當(dāng)2＜t≤4時(shí)；③當(dāng)4＜t≤6時(shí)，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；④當(dāng)6＜t≤8時(shí)；分別由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】（1）作于交于點(diǎn)M，如圖1所示：∵四邊形是正方形，E是對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∴是的中位線，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在線段上時(shí)，，∴，∴Q為的中點(diǎn)，∴是的中位線，，∴，∴，∵動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度先沿方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，∴，∴∴（3）當(dāng)為菱形時(shí)，，分四種情況：①當(dāng)時(shí)，作于M，于N，如圖2所示：∵，∴，解得：（舍去），或（舍去）；②當(dāng)時(shí)，同①得：，解得：（舍去），或∴③當(dāng)時(shí)，作于M，于N，如圖3所示：∵，∴，解得：或（舍去），∴④當(dāng)時(shí)，同③得：，解得：（舍去）或（舍去）；綜上所述：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)為菱形時(shí)，t的值為或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、菱形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（3）中，需要通過作輔助線進(jìn)行分類討論，運(yùn)用勾股定理得出方程才能得出結(jié)果．3．已知，一輛汽車在筆直的公路上剎車后，該車的速度米秒與時(shí)間秒之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示；

(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知汽車在該運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，一段時(shí)間內(nèi)向前滑行的距離等于這段時(shí)間內(nèi)的平均速度乘以時(shí)間該運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的平均速度，表示這段時(shí)間起始時(shí)刻的速度，表示這段時(shí)間結(jié)束時(shí)刻的速度．若該車剎車后秒內(nèi)向前滑行了米，求的值．【答案】(1)(2)該車剎車后秒內(nèi)向前滑行了米【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)題意得出，路程等于速度乘以時(shí)間，列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入，，解得：，∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：依題意，，，，則