高中數(shù)學(xué)《最小二乘估計》導(dǎo)學(xué)案

n.第日章統(tǒng)計

DIYlZHANG§1.8最小二乘估計

課前新知預(yù)習(xí)

［航向標(biāo).學(xué)習(xí)目標(biāo)］

i.在探索多種方法確定線性回歸直線的過程中，體會最小二乘的思想方法.

2.能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.

［讀教材?自主學(xué)習(xí)］

1.最小二乘法：如果有〃個點：（X1，yi）,（X2，刈），…，（xn,%）,可以用下

面的表達式來刻畫這些點與直線y=a+bx的接近程度：

回［丫1-（a+公］）］2+卜2—（v+］2H----1-［%—（a+bx0］2.

使得上式達到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為

園最小二乘法.

,be—_____X1+X2+…+*"m.___Vl+V2+??,+￥?

2.線性回歸方程：如果用x表示工，用y表水~,

則可以求得8=

（X1二X）8二），）+&2-X）（），2-））H-----F（X?-X）（），"-y）=但

22

（X|-X）+（X2-X）+,,,+（xn-X）2

用+二十*，四-2九y.〃=歹一匕三.這樣得到的直線方程稱為線性回歸方

?4+於H—I-焉一〃x2

程，a,。是線性回歸方程的系數(shù).

［看名師?疑難剖析］

1.求線性回歸方程的步驟

⑴列表X”M，孫.

__nn

⑵計算x,y,￡4,以必

/=1/=1

Y^iy—nxy

i=\

(3)代入公式。=-----------,o=y—求出A,a.

x2

i=\

A

(4)寫出直線方程：y=hx+a.

2.線性回歸方程系數(shù)公式的推導(dǎo)過程

首先將S—(4+人為)]2+[竺一3+bx2)]2H-----(a+bx”)]?化成關(guān)于未知數(shù)

a的一元二次多項式形式：

na2+2n(bx-y)a+[(y-bx\)2+(y2—bx*。+…+(y?—Z?x?)2]=+(Z?x-

22-2

y)f—〃Sx—y)+[(yi-i)+(y2bx^H----F(y?—Z?x?)]

因此當(dāng)時，上式取得最小值，將這個關(guān)系代入上式，整理成關(guān)于

未知數(shù)b的一元二次多項式的形式：

22

[yi—(?+Z?Xi)]+[y2—(?+bx2)]-\----FD”—(a+bx,^

22

=[(yi—y)-b(x\—x)]+[(j2-y)~bg~X)]4-----卜[(y?-y)~b(xn—

x)]2

222

=/?[(x|—Xy+(X2-X)H-----F(x?—X)]—2&[(X1—X)-1—y)+(丁一x)(y2

22

—y)H-----<-(%?—x)(yM—y)]+[(yi—y)+(y2—y)-l-----b(y“一yf],因此，當(dāng)b

(xi一x)(yi—)')+。2―%)(m—y)H-----x)&"-y)

(X1-X)2+(X2—X)2+X)2

n_____

Xxiyi-nxy

i=\

Xiyi十彳2丁2~1----|-%,加|一〃九

時點(修，yD(X2，")…(X",%)與直線y

於+於H----1-焉一〃x2

i=l

=a+bx最接近（注意并不是點到直線距離之和最?。?a,b的意義是：以。為基

數(shù)，x每增加一個單位，y相應(yīng)的平均增加/?個單位.

課堂師生共研

考點一線性回歸方程的概念

例1設(shè)有一個線性回歸方程為y=4—2x,則變量x增加2個單位時（）

A.y平均增加1.5個單位B.y平均減少1.5個單位

C.y平均增加4個單位D.y平均減少4個單位

［解析］該題考查線性回歸方程的兩個變量之間的線性關(guān)系問題.由回歸直

線方程y=4-2x,知斜率為一2,所以變量x每增加1個單位，y平均減少2個單

位，故當(dāng)變量x增加2個單位時，）平均減少4個單位，所以選D.

［答案］D

類題通法

根據(jù)線性回歸方程可獲得對兩個變量之間整體關(guān)系的了解，對于已知的變量

x,可以相應(yīng)估計出變量y的值.

［變式訓(xùn)練1］工人月工資（元）依勞動生產(chǎn)率（千元）變化的線性回歸方程為y

=50+80x,下列判斷正確的是（）

A.勞動生產(chǎn)率為1000元時，工資為130元

B.勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資平均提高80元

C.勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資平均提高130元

D.當(dāng)月工資為210元時，勞動生產(chǎn)率為2000元

答案B

解析線性回歸方程中匕的意義是當(dāng)x增加一個單位時，y的值平

均變化。個單位，這是一個平均變化率.線性回歸方程只能用于預(yù)測變量的值.

考點二求線性回歸方程

例2每立方米混凝土的水泥用量式單位：kg）與28天后混凝土的抗壓強度

y（單位：kg/cn?）之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù):

X150160170180190200210220230240250260

y56.958.361.664.668.171.374.177.480.282.686.489.7

求兩變量間的回歸直線方程.

［分析］由題目可獲取以下主要信息：

①兩變量具有線性相關(guān)關(guān)系；

②由兩變量的對應(yīng)數(shù)據(jù)求回歸直線方程.

解答本題要先列出相應(yīng)的表格，有了表格中的那些相關(guān)數(shù)據(jù)，回歸方程中的

系數(shù)就都容易求出了.

［解］列表如下:

i123456

Xi150160170180190200

M56.958.361.664.668.171.3

孫8535932810472116281293914260

i789101112

Xi210220230240250260

yi74.177.480.282.686.489.7

孫155611702818446198242160023322

x=205,y=726

121212

Z>-=518600,2y=64572.94,力渺=182943

?=i/=iz=i

.182943—12X205X72.64347

"b=-518600-12X2052-=14300^0'304,

a=^-b~x=72.6-0.304X205=10.28.

A

于是所求的回歸方程是y=0.304x+10.28.

類題通法

用公式求回歸方程的一般步驟是：

①列表孫孫孫.

②計算x,y,ZAH￡漱,以必

i=1i=1i=1

③代入公式計算力、a的值.

④寫出回歸直線方程.

［變式訓(xùn)練2］為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機抽取5對父子的身

高數(shù)據(jù)如下：

父親身高x(cm)174176176176178

兒子身高＞,(cm)175175176177177

則y對無的線性回歸方程為（）

A.y=x-1B.y=x+l

C.y=88+5D.y=176

答案C

解析本題考查線性回歸方程的求法.設(shè)y對x的線性回歸方程為

-2X(—1)+OX(-1)+OXO+OX1+2X11

因為b=a=176—176=

(-2)2+2221

88,所以y對x的線性回歸方程為y=1x+88.選C.

規(guī)范答題思維

規(guī)范答題線性相關(guān)關(guān)系的判斷及線性回歸方程的求解

［例］（12分）假設(shè)關(guān)于某設(shè)備使用年限x（年）和所支出的維修費用y（萬元）有如

下統(tǒng)計資料：

X23456

y2.23.85.56.57.0

（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖，判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系；若線性相關(guān),

用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測使用年限為10年時，維修費用是多

少？

（一）精妙思路點撥

(二)分層規(guī)范細(xì)解

(1)散點圖①如圖所示:

年

由散點圖可知，兩變量之間具有相關(guān)關(guān)系，且為線性相關(guān)關(guān)系.4分

下面用最小二乘法求線性回歸方程：

列表，計算

i12345

Xi23456

%2.23.85.56.57.0

孫4.411.422.032.542.0

49162536

弟=90,玄力=112.3②

x=4,y=5,

<=1/=1

設(shè)所求回歸方程為：y=bx+a,則由上表可得

5____

?以一5xy

___________112.3-5X4X512.3,田

b~5—90-5X42—10—L23

i=\

8分

■^―②

a=y=5-1.23X4=0.08.

二線性回歸方程為y=1.23x+0.08.10分

(2)把尤=10代入(1)中所求得的線性回歸方程得：

y=1.23X10+0.08=12.38,11分

即使用年限為10年時，維修費用約是12.38萬元③.12分

(三)來自一線的報告

通過閱卷后分析，對解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的

①②③見分層規(guī)范細(xì)解過程)

在解答過程中，①處散點圖的畫法中，橫、縱

①坐標(biāo)的刻度選取不當(dāng)，不易觀察散點分布，

會丟失2分；或選取樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)描點錯

誤，也會失2分.

失

分在解答過程中，②處的計算都很復(fù)雜，易出

②

警錯，致使后面的解答也易出錯，若出錯，在考

示

試中最多得5分.

在解答過程中，由回歸方程計算得到的

12.38萬元只是一個預(yù)測值，是實際問題的

一個估計值，因此若最后③處回答中無“約”

字，則會失掉1分.

（1）在解題中注意運用數(shù)形結(jié)合法，正確地畫出圖形.

解

（2）求線性回歸方程時，注意數(shù)字的運算技巧，提高

題

啟運算能力.

示

（3）體會理解公式的作用，在記憶公式的同時，加深

理解公式的特點和規(guī)律.

（四）類題練筆掌握

以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù):

房屋面積Mn?）80105110115135

銷售價格y（萬元）18.42221.624.829.2

（1）畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖；

（2）求線性回歸方程，并在散點圖中加上回歸直線；

⑶試預(yù)測90m2的房屋，銷售價格是多少？（精確到0.01）

解（1）根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)可得散點圖如下：

由圖可見兩者之間是線性相關(guān)的.

(2)列表，計算：

i12345

Xi80105110115135

18.42221.624.829.2

X〉i14722310237628523942

xi640011025121001322518225

__55

x=109,y=23.2,)=60975,12952

2=1/=1

故可求得：

5_____

xy

1=1

b=

ixi-572

7=1

12952—5X109X23,2_

=―60975-5XI092—2°1962'

a=y-Z?x=23.2-0.1962X109=1.8142,

所以，線性回歸方程為y=0196Zc+1.8142,回歸直線如(1)中圖.

(3)把x=90代入上述回歸方程y=0.1962x+1.8142,

即^=0.1962X90+1.8142^19.47,即這種90m2的房屋，銷售價格約是19.47

萬元.

(五)解題設(shè)問

畫出散點圖的作用是什么？.

答案判斷數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)

檢測學(xué)業(yè)達標(biāo)

1.設(shè)有一個回歸方程為y=2—1.5x,則變量光增加一個單位時()

A.y平均增加1.5個單位B.y平均增加2個單位

C.y平均減小1.5個單位D.y平均減少2個單位

答案C

解析由相關(guān)系數(shù)的意義可知C正確.

2.線性回歸方程表示的直線y=a+法必定過(

A.(0,0)點B.(x,0)點

C.(0,歹)點D.(x,

答案D

3.試驗測得四組(x,>)的值為(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),則y與x之間的線

性回歸方程為()

A.y=x+lB.y=x+2

C.y=2x+\D.y=x—1

答案A

解析作散點圖，利用最小二乘法求線性回歸方程.

4.施化肥量xkg與水稻產(chǎn)量ykg在一定范圍內(nèi)線性相關(guān)，若線性回歸方程

為y=5x+250,當(dāng)施化肥量為80kg時，預(yù)計水稻的產(chǎn)量為.

答案650kg

解析將x的值代入線性回歸方程即可.

5.假設(shè)學(xué)生在七年級和八年級的數(shù)學(xué)成績是線性相關(guān)的，若10個學(xué)生七年

級㈤和八年級0)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)如下：

X74717268767367706574

y76757170767965776272

試求七年級和八年級數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)間的回歸直線方程.

解因為三=71,￡^=50520,

10

9=72.3,》科=51467,

51467—10X71X72.3

所以b=—50520-10X712=1.2182,

a=72.3—1.2182X71=—14.192.

A

回歸直線方程是y=1.2182x—14.192.

課后梯度測評

一'選擇題

1.過三點（3,10）,（7,20）,（11,24）的線性回歸直線方程是（）

A.y=1.75-5.75%B.-1.75+5.75%

C.y=5.75+1.75xD.y=5.75—1.75x

答案C

解析根據(jù)求線性回歸方程的方法，利用公式可得到答案.

2.抽測10只某種白熾燈的使用壽命尤，結(jié)果如下（單位：力：1067,919,1196,785,

A936,918,1156,920,918,若4=997,則/大約是（）

A.1120B.1124C.1155D.1128

答案C

3.在線性回歸方程中，b表示（）

A.當(dāng)x增加一個單位時，y增加a的數(shù)量

B.當(dāng)y增加一個單位時，x增加b的數(shù)量

C.當(dāng)x增加一個單位時，y的平均變化量

D.當(dāng)y增加一個單位時，x的平均變化量

答案C

解析本題主要考查線性回歸方程中m。的含義.

4.由一組樣本數(shù)據(jù)8,yi）,（%2，）2），…，（X”，％）得到線性回歸方程y=bx

+“，那么下列說法中錯誤的是（）

A.直線y=b:+a必經(jīng)過點（x,y）

B.直線y=/zr+a至少經(jīng)過點（修，力），（物”），…，（尤"％）中的一個點

y

f=l

C.直線y=bx+a的斜率為b=-----------

2

<=1

n

D.直線y=bx+a和各點（xi，%）,（檢，"），…，（x”，%）的偏差的平方和

i=i

兇一（如+喇2是該坐標(biāo)平面上所有直線與這些點的偏差的平方和中最小的

答案B

解析理解線性回歸方程的真正含義.因為7=人工+。，其中三=/沏+%2

HFx?）?y=%i+y2Tl-yn）,顯然回歸直線經(jīng)過點（x,y）.故A是正確的.回

歸直線最能近似刻畫點（汨，yi）,（X2,"），…，（X”，y”）的變化趨勢，但并不一定

經(jīng)過某些點.故B是錯誤的.對于C、D只需了解相應(yīng)概念便會得出正確結(jié)論.

5.下列敘述中：

①變量間關(guān)系有函數(shù)關(guān)系，還有相關(guān)關(guān)系；

②回歸函數(shù)即用函數(shù)關(guān)系近似地描述相互關(guān)系；

n

③營商=修+尬+…

n__

"￡（即一x）（y-y）__

④線性回歸方程y=/?x+a中，b=71二，a=y~bx；

石（x-x）2

⑤線性回歸方程一定可以近似地表示所有相關(guān)關(guān)系.

其中正確的有（）

A.①②③B.①②④⑤

C.①②③④D.③④⑤

答案C

解析利用直接法逐個判斷可知，①②③④正確，而⑤線性回歸方程可以近

似地表示具有線性相關(guān)關(guān)系，而不能表示其他相關(guān)關(guān)系.

6.某化工廠為預(yù)測某產(chǎn)品的回收率y,需要研究它和原料有效成份含量x之

888

間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8對觀察值，計算得：石片=52,石％=228,,?肅=478,

8

X=RY=1849,則y與x的回歸方程是（）

l1

AA

A.y=11.47+2.62rB.y=-11.47+2.62%

C.y=2.62+22.47xDj=11.47-2.62%

答案A

解析把題目所給的數(shù)據(jù)代入公式分別求系數(shù)。和人即可.

二、填空題

7.調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x（單位：萬元）和年飲食支出y（單位：萬

元），調(diào)查顯示年收入尤與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)

對尤的回歸直線方程：；=0.254x+0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增

加1萬元，年飲食支出平均增加萬元.

答案0.254

解析本小題主要考查了利用回歸直線方程，對數(shù)據(jù)進行估計.以x+1代X,

得0.254（x+1）+0.321,與0.254x+0.321相減可得,年飲食支出平均增加0.254

萬元.

8.某商店統(tǒng)計了最近6個月某商品的進價x與售價y（單位：元）的對應(yīng)數(shù)據(jù)

如下：

X3528912

y46391214

__66

則尤=,y=,耳6=，N項y尸，回歸

方程為.

A

答案6.58327396y=1.4x+0.571

6

解析根據(jù)公式代入即可求得，也可以利用計算器求得，7=6.5,7=8,

6A

焉=327,石x,y=396,回歸方程為y=1.4x+0.571.

9.假設(shè)學(xué)生在初中的英語成績和高一英語成績是線性相關(guān)的.現(xiàn)有10名學(xué)

解析求斜率即求回歸方程中的。，按照公式進行即可,即需要依次計算出工

10_1051467-10X71X72.3

-71,gx--50520,y—72.3,石1%-51467,所以b-

50520-10X712

^1.2182,所以斜率為1.2182.

三'解答題

10.在10年期間，一城市居民的年收入與某種商品的銷售額有如下數(shù)據(jù):

第幾年12345678910

城市居

民年收入32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0

7（億元）

某種商品

銷售額25.030.031.037.039.041.042.044.048.051.0

y（萬元）

（1）畫出散點圖；

（2）如果散點圖中的各點大致分布在一條直線的附近，求y與x之間的線性回

歸方程.

解（1）散點圖如圖.

銷售額（萬元）

52

48

44

40

36

32

28

24

人人八人111111111___________-

0T303234363840424446年收入（億元）

（2）由圖可知，y與x線性相關(guān)，列表計算如下:

1乃y石”

132.225.0805

231.130.0933

332.934.01118.6

T=37.97,5=39.1

435.837.01324.69

10。

￡—=14663.67,

537.139.01446.9r=1

10

638.041.01558=15202.9

/=1

739.042.01638

843.044.01892

944.648.02140.8

1046.051.02346

-X_____

心-15202.9-10X37.97X39.1

所以b=14663.67—10X37.972乂一，，=39.1-1.447X37.97--

15.843,因此，所求線性回歸方程為y=1.447x-15.843.

11.PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物）,

為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某時間段

車流量與PM2.5濃度的數(shù)據(jù)如下表：

時間周一周二周三周四周五

車流量M萬輛）100102108114116

濃度y（微克/立方米）7880848890

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y與x的線性回歸方程；

（2）若周六同一時段車流量是200萬輛，試根據(jù)⑴求出的線性回歸方程，預(yù)測

此時PM2.5的濃度為多少？

_15540

解（1）由條件可知，x產(chǎn)5=1。8,

/=1

-14200

5—84,

i=l

5__

z(即-X)(M-y)=(—8)義(-6)+(—6)X(—4)+0X0+6X4+8X6=144,

/=1

5_

Z(X/—x『=(—8)2+(—6)2+02+62+82=200,

/=!

5__

Z8-X)(y-y)

/=1144

b=—；2=200=°-72,

X(XLX)2

Z=1

a=y一〃x=84—0.72義108=6.24,

A

故y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.72x+6.24.

A

(2)當(dāng)尤=200時，y=0.72X200+6.24=150.24.

所以可以預(yù)測此時PM2.5的濃度約為150.24微克/立方米.

12.某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù):

年份20102012201420162018

需求量(萬噸)236246257276286

(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程y=foc+a；

(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測該地2020年的糧食需求量.

解本題考查回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用、回歸直線的意義和求法、

數(shù)據(jù)處理的基本方法和能力，考查運用統(tǒng)計知識解決簡單實際應(yīng)用問題的能力.

(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來求回歸直

線方程.為此對數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：

年份一2014-4-2024

需求量一257-21-1101929

對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得意=0,7=3.2,

(-4)X(-21)+(-2)X(-ll)+2X19+4X29

b=42+22+22+42

6z2—yhx=3.2.

由上述計算結(jié)果，知所求回歸直線方程為y—257=b(x—2014)+a=6.5(x—

2014)+3.2,

A

即產(chǎn)6.5?！?014)+2602①

(2)利用直線方程①，可預(yù)測2020年的糧食需求量為

6.5X(2020—2014)+260.2=6.5X6+260.2=299.2(萬噸)Q300(萬噸).(未寫

近似值不扣分)

13.日常生活中，某些東西所含的熱量比較高，對我們的身體有一定的影響,

下表給出了不同類型八種餅干的數(shù)據(jù)，第一列數(shù)據(jù)表示八種餅干各含熱量的百分

比，第二列數(shù)據(jù)表示顧客對八種餅干所給予分?jǐn)?shù)(百分制).

品種所含熱量的百分比口味記錄

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