新教材高中數(shù)學(xué)第4章冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)41方程的根與函數(shù)的零點課件湘教版必修第一冊

4.4.1方程的根與函數(shù)的零點第4章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象,了解函數(shù)零點的定義,并會求簡單函數(shù)的零點.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)2.了解函數(shù)的零點與方程解的關(guān)系,能借助函數(shù)圖象判斷零點個數(shù).(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)3.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點,了解函數(shù)零點存在定理.(邏輯推理)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)情境導(dǎo)入請觀察右圖,這是氣象局測得的某地特殊一天的一張氣溫變化模擬函數(shù)圖(即一個連續(xù)不間斷的函數(shù)圖象),由于圖象中有一段被不小心擦掉了,現(xiàn)在有人想了解一下當(dāng)天7時到11時之間有無可能出現(xiàn)溫度是0攝氏度,你能幫助他嗎?知識梳理知識點一:函數(shù)的零點1.二次函數(shù)的零點:一元二次方程ax2+bx+c=0的根,就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點,也就是該函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).2.方程f(x)=0有實數(shù)解?函數(shù)y=f(x)有零點?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點.微練習(xí)函數(shù)f(x)=x2-1的零點是(

)A.(±1,0)

B.(1,0)C.0 D.±1答案

D解析

解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函數(shù)f(x)=x2-1的零點是±1.知識點二:零點存在定理一般地,當(dāng)x從a到b逐漸增加時,如果f(x)連續(xù)變化且有f(a)·f(b)<0,則存在點x0∈(a,b),使得f(x0)=0.要點筆記定理要求具備兩個條件:①函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的;②f(a)·f(b)<0.兩個條件缺一不可.微思考若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,則一定有f(a)·f(b)<0嗎?提示

不一定,如函數(shù)f(x)=|x|在區(qū)間(-1,1)內(nèi)有零點0,但是f(-1)f(1)>0.微練習(xí)函數(shù)f(x)=x3+2x+1的零點一定位于下列哪個區(qū)間上(

)A.[-2,-1]

B.[-1,0]C.[0,1] D.[1,2]答案

B解析

因為f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,所以f(-1)f(0)<0.所以f(x)的零點在區(qū)間[-1,0]上.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一求函數(shù)的零點例1判斷下列函數(shù)是否存在零點,如果存在,請求出零點.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+log3x;(3)f(x)=4x-16.(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函數(shù)的零點為2.反思感悟

1.因為函數(shù)f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數(shù)解,也是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo),所以求函數(shù)的零點通常有兩種方法:一是代數(shù)法,令f(x)=0,通過求方程f(x)=0的解求得函數(shù)的零點;二是幾何法,畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點.2.求函數(shù)零點時要注意零點是否在函數(shù)定義域內(nèi).變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=x2+3(m+1)x+n的零點是1和2,求函數(shù)y=logn(mx+1)的零點.解

由題意知函數(shù)f(x)=x2+3(m+1)x+n的零點為1和2,則1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的實數(shù)解.所以函數(shù)y=logn(mx+1)的解析式為y=log2(-2x+1).令log2(-2x+1)=0,得x=0.所以函數(shù)y=log2(-2x+1)的零點為0.探究二函數(shù)零點個數(shù)的判斷例2判斷下列函數(shù)零點的個數(shù):(1)f(x)=(x2-4)log2x;(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.解

(1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.又因為函數(shù)定義域為(0,+∞),所以x=-2不是函數(shù)的零點,故函數(shù)有2和1兩個零點.由圖象可知,兩個函數(shù)圖象只有一個交點,故函數(shù)只有一個零點.(3)(方法1)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg

3-2=2+lg

3>0,∴f(x)=0在(0,2)上必定存在實根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在區(qū)間(-1,+∞)上為增函數(shù),故f(x)有且只有一個零點.(方法2)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐標(biāo)系中作出h(x)與g(x)的圖象如圖所示.由圖象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的圖象有且只有一個公共點,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一個零點.反思感悟

判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法(1)解方程f(x)=0,方程f(x)=0的不相等實數(shù)解的個數(shù)就是函數(shù)f(x)零點的個數(shù).(2)直接作出函數(shù)f(x)的圖象,圖象與x軸公共點的個數(shù)就是函數(shù)f(x)零點的個數(shù).(3)f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的圖象,則兩個圖象公共點的個數(shù)就是函數(shù)y=f(x)零點的個數(shù).(4)若證明一個函數(shù)的零點唯一,也可先由零點存在定理判斷出函數(shù)有零點,再證明該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào).變式訓(xùn)練2(1)若函數(shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1] D.[1,+∞) (2)函數(shù)f(x)=lnx+x2-3的零點的個數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案

(1)B

(2)B解析

(1)由題知,函數(shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點,即方程x2+2x+a=0沒有實數(shù)解,即Δ=4-4a<0,解得a>1,故選B.(2)函數(shù)對應(yīng)的方程為ln

x+x2-3=0,所以原函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)y=ln

x與y=3-x2的圖象交點個數(shù).在同一平面直角坐標(biāo)系下,作出兩函數(shù)的圖象(如圖所示).由圖象知,函數(shù)y=3-x2與y=ln

x的圖象只有一個交點,即方程ln

x+x2-3=0有一個根,故函數(shù)f(x)=ln

x+x2-3有一個零點.探究三判斷函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間例3(1)函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點所在的區(qū)間為(

)A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)(2)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是連續(xù)不間斷的曲線,且有如下的對應(yīng)值:x123456y113-35-4811.5-5.67.8則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有(

)A.2個 B.3個

C.4個 D.5個答案

(1)B

(2)C解析

(1)f(1)=2-6<0,f(2)=4+ln

2-6<0,f(3)=6+ln

3-6>0,f(4)=8+ln

4-6>0,f(2)f(3)<0,則f(x)的零點所在區(qū)間為(2,3).故選B.(2)由零點存在定理可知,連續(xù)函數(shù)y=f(x)在(1,2),(3,4),(4,5),(5,6)上至少各有一個零點.故選C.反思感悟

1.若函數(shù)連續(xù)不間斷,則判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間可直接使用函數(shù)零點存在定理,反之,若函數(shù)解析式中含參數(shù),則可以利用零點所在的區(qū)間的端點建立不等式求參數(shù)的取值范圍.2.涉及方程h(x)=g(x)的解所在的區(qū)間時,若能直接解方程,則求出根后判斷,若不能夠解方程,則通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=h(x)-g(x),結(jié)合函數(shù)零點存在定理轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點.3.函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象交點的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間即為函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點所在的區(qū)間.變式訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)=x2--1在區(qū)間(k,k+1)(k∈N)內(nèi)有零點,則k=(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案

A探究四已知零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍例4(2021江蘇無錫期末)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)F(x)=2(f(x))2-mf(x),且函數(shù)F(x)有6個零點,則非零實數(shù)m的取值范圍是(

)A.(-2,0)∪(0,16)B.(2,16)C.[2,16)D.(-2,0)∪(0,+∞)答案

C反思感悟

已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)的方法(1)直接法:根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組),通過解不等式(組)確定參數(shù)的取值范圍.(2)數(shù)形結(jié)合法:先對f(x)的解析式變形,將f(x)=0轉(zhuǎn)化為h(x)=g(x)[h(x),g(x)的圖象易畫出],在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)h(x),g(x)的圖象,然后利用數(shù)形結(jié)合思想求解.變式訓(xùn)練4已知a是實數(shù),函數(shù)f(x)=2|x-1|+x-a,若函數(shù)y=f(x)有且僅有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是

.

答案

(1,+∞)解析

函數(shù)f(x)=2|x-1|+x-a有且僅有兩個零點,即函數(shù)y=2|x-1|+x與y=a的圖象有且僅有兩個交點.分別作出函數(shù)y=2|x-1|+x與y=a的圖象,如圖所示.由圖易知,當(dāng)a>1時,兩函數(shù)的圖象有且僅有兩個不同的交點,故實數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).素養(yǎng)形成函數(shù)與方程思想在一元二次方程解的分布問題中的應(yīng)用典例

關(guān)于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a為何值時:(1)方程有一個正解和一個負(fù)解;(2)方程的兩個解都大于1.解

令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.(1)當(dāng)方程有一個正解和一個負(fù)解時,f(x)對應(yīng)的草圖可能如圖1,2所示.(2)當(dāng)方程的兩個解都大于1時,f(x)對應(yīng)的草圖可能如圖3,4所示.方法點睛若二次方程的根(或二次函數(shù)的零點)在一個區(qū)間上,則要考慮二次方程(或二次函數(shù)對應(yīng)的方程)判別式Δ≥0,方程相對應(yīng)的二次函數(shù)圖象的對稱軸在該區(qū)間內(nèi),以及區(qū)間端點函數(shù)值的符號;若二次方程的根在兩個區(qū)間上,則只需要考慮區(qū)間端點的函數(shù)值符號(求解此類問題可以畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象求解).當(dāng)堂檢測1.(2021吉林農(nóng)安期末)函數(shù)f(x)=2x+3x的零點所在的區(qū)間為(

)A.(-1,0) B.(0,1)C.(-2,-1) D.(1,2)答案

A解析

∵函數(shù)f(x)=2x+3x是R上的連續(xù)函數(shù),且單調(diào)遞增,f(-1)=2-1+3×(-1)=-2.5<0,f(0)=20+0=1>0,∴f(-1)f(0)<0.∴f(x)=2x+3x的零點所在的一個區(qū)間為(-1,0).故選A.2.若函數(shù)f(x)=x2+(m-3)x+m的零點都在(0,+∞)