新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4.3第2課時(shí)正弦定理課件

6.4.3

余弦定理、正弦定理第2課時(shí)

正弦定理課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解利用向量方法推導(dǎo)正弦定理的過(guò)程,掌握正弦定理及其變形.2.能夠利用正弦定理解三角形,并會(huì)判斷三角形的形狀.3.提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、正弦定理【問(wèn)題思考】1.在△ABC中,若A=30°,B=45°,AC=4,你能用余弦定理求出BC嗎?提示:不能.3.當(dāng)△ABC是一般的銳角三角形或鈍角三角形時(shí),上述2(2)中的結(jié)論是否成立?你能利用向量方法研究銳角三角形中的這個(gè)邊角關(guān)系嗎?4.填表:正弦定理

二、與正弦定理有關(guān)的結(jié)論【問(wèn)題思考】1.在正弦定理中,三角形的各邊與其所對(duì)角的正弦的比都相等,那么這個(gè)比值等于多少?與該三角形外接圓的直徑有什么關(guān)系?答案:(1)B

(2)3【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)在△ABC中,一定有asinA=bsinB=csinC.(

×

)(2)在△ABC中,若a>b,則必有sinA>sinB.(

√

)(3)在△ABC中,若sinA=sinB,則必有A=B.(

√

)(4)在△ABC中,必有a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.(

√

)(5)已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí),只能用余弦定理,不能用正弦定理.(

×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

已知兩角和一邊解三角形【例1】

在△ABC中,已知A=60°,B=45°,c=2,求C,a,b.分析:先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出角C,再由正弦定理求a,b.解:在△ABC中,C=180°-(A+B)=180°-(60°+45°)=75°.sin

75°=sin(45°+30°)=sin

45°cos

30°+cos

45°sin

30°當(dāng)已知三角形的兩角和一邊時(shí),解三角形的步驟如下:(1)利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角;(2)利用正弦定理求出另外兩邊.探究二

已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形利用正弦定理解三角形,若已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角,進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí),可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況,應(yīng)結(jié)合圖形并根據(jù)“三角形中大邊對(duì)大角”來(lái)判斷解的情況,作出正確取舍.探究三

判斷三角形的形狀【例3】

在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b=acosC,試判定△ABC的形狀.解法一:(從角的關(guān)系判斷)∵b=acos

C,由正弦定理,得sin

B=sin

Acos

C.∵B=π-(A+C),∴sin(A+C)=sin

Acos

C,即sin

Acos

C+cos

Asin

C=sin

Acos

C,∴cos

Asin

C=0.∵A,C∈(0,π),∴cos

A=0,∴△ABC為直角三角形.解法二:(從邊的關(guān)系判斷)∵b=acos

C,化簡(jiǎn),得b2+c2=a2.∴△ABC為直角三角形.1.判斷三角形形狀時(shí),應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系,利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角互化,要么把角轉(zhuǎn)化為邊,通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系,要么把邊轉(zhuǎn)化為角,通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系,當(dāng)然也可以邊角同時(shí)考慮.2.在解題中,若出現(xiàn)關(guān)于邊的齊次式(方程)或關(guān)于角的正弦的齊次式(方程),則可通過(guò)正弦定理,進(jìn)行邊角互化.【變式訓(xùn)練2】

已知在△ABC中,bsinB=csinC,且sin2A=sin2B+sin2C,試判斷△ABC的形狀.易

錯(cuò)

辨

析忽視對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的討論致誤

所以B=30°或150°.答案:30°或150°以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:由

得出角B的度數(shù)時(shí),應(yīng)考慮到B<A,故B=150°是錯(cuò)誤的.答案:30°已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角,在利用正弦定理得到另一邊所對(duì)角的正弦值后,應(yīng)根據(jù)大邊對(duì)大角對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷,防止產(chǎn)生增解.隨

堂

練

習(xí)