華師大版九年級數(shù)學(xué)上冊教案

華師大版九年級數(shù)學(xué)上冊教案

第21章二次根式

21.1二次根式

教學(xué)目標＜:?<

1?理解二次根式的概念，并利用,(a—0)的意義解答具體題目.

2-理解3(a20)是非負數(shù)和(6)2=a.

3-理解G=a(a2O)并利用它進行計算和化簡.

重白難QV:?<

重占

I-形如f(a2O)的式子叫做二次根式.

2.6(a20)是一個非負數(shù)；(S)2=a(a20)及其運用.

a(a20)，

—a(a<0).

難點

利用“3(a》0)”解決具體問題.

a(a20)?

關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出m(a20)是一個非負數(shù)；用探究的方法導(dǎo)出迎=

—a(a<0).

數(shù)與設(shè)計＜：?<

一、復(fù)習(xí)引入

回顧：

當a是正數(shù)時，，表示a的算術(shù)平方根，即正數(shù)a的正的平方根.

當a是零時，g等于0，它表示零的算術(shù)平方根.

當a是負數(shù)時，，沒有意義.

二、探究新知

概括：g(aNO)表示非負數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是說，3(a20)是一個非負數(shù)，它的平方等于a.

即有：

(lh/^》O(a2O)；(2)(3)2=a(a20).

形如金(aNO)的式子叫做二次根式.

注意：在3中，a的取值必須滿足aNO，即二次根式的被開方數(shù)必須是非負數(shù).

思考：聲等于什么？

我們不妨取a的一些值，如2，一2，3，一3等，分別計算對應(yīng)的信的值，看看有什么規(guī)律.

概括：當a＞0時，＜7=a；當a＜0時，＜?=-a.

三、練習(xí)鞏固

1?x取什么實數(shù)時，下列各式有意義？

(1A/3-4X；⑵目

(3y\](x-3)2；(4)^3x-4+A/4-3x.

2?計算下列各式的值：

⑴(標產(chǎn)⑵(。|)：

(3)(乎產(chǎn)(4)(3小F

3-若y/a+1+<b—1=0，求的值.

4?化簡：

("；QN(-4)2；

(3)725；(4hJ(-3)2.

5?若一3WxW2時1試化簡|x—2|+d(X+3),,

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1?師生共同回顧二次根式的概念及有關(guān)性質(zhì)：

⑴雨2=心》0)；

(2)當a20時，-\/￡=a；當a<0時，<￡=—a.

2?通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新知識，還有哪些疑問？請與同伴交流.

布置作業(yè)

從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題21.1”中選取.

教與反思<

本節(jié)課從復(fù)習(xí)算術(shù)平方根入手引入二次根式的概念，再通過特殊數(shù)據(jù)的計算，理解二次根式的有關(guān)

性質(zhì)，經(jīng)歷觀察、歸納、分類討論等思維過程，從中獲得數(shù)學(xué)知識與技能，體驗教學(xué)活動的方法.21.2

二次根式的乘除

21.2.1二次根式的乘法

敦字目標<：?<

理解胡?加=麗@》0，b>0)，并利用它們進行計算和化簡.

由具體數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出6=4花(a20，b20)并運用它進行計算.

通過探究3?加=強伯》0，b，0)，培養(yǎng)特殊到一般的探究精神，培養(yǎng)學(xué)生對事物規(guī)律的觀察發(fā)現(xiàn)

能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

事占雅(5

，11，人d，，，，[<<<

重點

,?正=，而(a/0，b20)及它的應(yīng)用.

難點

發(fā)現(xiàn)規(guī)律'導(dǎo)出而?正=，而(a20,b，0).

教學(xué)設(shè)計：?<

一、情境引入

1?填空：

("又也=________，

，4X9=________；

(2屆*叵=，

[16X25=________：

(3^/700X^36=，

#100X36=.

參照上面的結(jié)果，用“>"、"v”或“="填空.

也義小________、4義9；

V16X^/25________'16X25；

VTOOXA/36A/100X36.

2.利用計算器計算填空.

小X小,水；

2X^5_______畫;

^5X76_______標;

,X小_____病

二、探究新知

（學(xué)生活動）讓3，4個同學(xué)上臺總結(jié)規(guī)律.

教師點評：（1）被開方數(shù)都是正數(shù)；（2）兩個二次根式的積等于這樣一個二次根式，它的被開方數(shù)等

于前兩個二次根式的被開方數(shù)的積.

一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

>/a-^/b=^/ab（a5:0,b》0）.

例1計算：

解：Q鄧X幣=平；

1?直角三角形兩條直角邊的長分別為行?！ê?cm，那么此直角三角形斜邊長是（）

A-3A/2cmB.3小cm

C-9cmD.27cm

2?化簡a寸光的結(jié)果是（）

A.、一aB.yfa

C?—y]—aD.—y[a

3.等式后二山+1=52-1成立的條件是（）

A?x'lB.x》一l

C?一l〈xWl￡>.xel或xW-1

4?下列各等式成立的是（）

A?44X2小=8小

B-5V3X4-V2=20V5

C?4小X3g=7小

D-5V3X4-V2=20V6

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1?由學(xué)生小組討論匯報通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新知識，還有哪些疑問？請與同伴交流.

2?教師總結(jié)歸納二次根式的乘法規(guī)定

6.#=y[^>（a》O1b>0）.

布置作業(yè)

從教材“習(xí)題21.2”中選取.

教學(xué)反思<

這節(jié)課教師引導(dǎo)學(xué)生通過具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出3?黃=麗俗》。，b》0），并學(xué)會它的應(yīng)用，

培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的探究精神，培養(yǎng)學(xué)生對于事物規(guī)律的觀察、發(fā)現(xiàn)能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

21?2.2積的算術(shù)平方根

1,理解"7^=3,冊(a30，b>0).

2?運用.加(a20'b20).

：?<

重占

Vab=Va-Vb(a^O，b20)及其應(yīng)用.

難點

Vab=Va-Vb(a^O,b20)的理解與應(yīng)用.

一、情境引入

一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

Va-Vb=A/ab(a>0，b，0).

反過來''Tab,b'0).

二、舉例分析

教師用多媒體出示例1，引導(dǎo)學(xué)生利用幅=3?冊(a》。，b20)直接化簡.

例1化簡：

(1-9X16；(2)716X81；

(3h/8lX100；(4h/54.

解：(lh/9X16=^9X716=3X4=12；

(2-16X81=標><兩=4X9=36；

(3-81X100=WXVT00=9X10=90；

(4h反=y9X6=V?X,=3"

教師用多媒體出示例2，學(xué)生板演，集體講評，注意引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握積的算術(shù)平方根應(yīng)用的條

件：a20，b20.

例2判斷下列各式是否正確，不正確的請改正：

(1N(-4)X(—9)=V-4xV-9；

三'練習(xí)鞏固

1?化簡：

(1酒;(2)718；(3)^24;(4/754.

2?自由落體的公式為s=*，(g為重力加速度，它的值約為10w/.y2)，若物體下落的高度為120m'

則下落的時間是s.

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1?通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新知識，還有哪些疑問？請與同伴交流.

2?教師總結(jié)歸納積的算術(shù)平方根等于各因式算術(shù)平方根的積，即

■\/^ij=?(a20，b>0).

布置作業(yè)

從教材“習(xí)題21.2”中選取.

教學(xué)反思<:?<

本課時教學(xué)以“自主探究——合作交流”為主體形式，先給學(xué)生獨立思考的時間，提供學(xué)生創(chuàng)新的

空間與可能，再給不同層次的學(xué)生提供一個交流合作的機會，培養(yǎng)學(xué)生獨立探究、合作學(xué)習(xí)的能力，訓(xùn)

練逆向思維，通過嚴謹解題，增加學(xué)生準確解題的能力.21.2.3二次根式的除法

教學(xué)目標<：?<

2?利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆向等式

及利用它們進行計算和化簡.

3-理解最簡二次根式的概念，并運用它將不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.

重占難（5

=ts:，II，人H，I，I

重占

1?理解奈=耒⑺，0，b>0），耒=焉20，b>0）及利用它們進行計算和化簡.

2?最簡二次根式的運用.

難點

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.最簡二次根式的運用.

教學(xué)設(shè)計<：?<

一、情境引入

（學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下列各題.

1?寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向公式.

?2受

一

⑴

⑵=

⑶-

⑷=

規(guī)

916

---

36

16;

寫-

46

--

8r

16;

僚

2=

0

一

寫

應(yīng)

V3一4;

WV3

V7

0傷V8

.—

小5*

教師用多媒體展示，每組推薦一名同學(xué)闡述運算結(jié)果，教師最后點評.

二、探究新知

剛才同學(xué)們都練習(xí)得很好，上臺的同學(xué)也回答得十分準確根據(jù)大家的練習(xí)和回答，我們可以得到:

一般地，對二次根式的除法規(guī)定

*a》0，b>0）.

加一

反過來，（a>0，b>0）.

下面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目.

例1計算：

⑴喟Q晤心'

小X5=2小;

(1沂；⑵4/；

⑶,襟

解：(1阪=3市；

內(nèi)加巨64一—迎洞一-亞8；

1____正——或

n⑶小飛X小-5’

而乖X巾小

⑷m二m乂巾=2?

觀察上面各小題的最后結(jié)果，發(fā)現(xiàn)這些二次根式有這些特點:

(1)被開方數(shù)中不含分母；

(2)被開方數(shù)中所含的因數(shù)(或因式)的幕的指數(shù)都小于2.

教師在此過程中強調(diào)，要求最后結(jié)果化成最簡二次根式.

三、練習(xí)鞏固

1?化簡：

Q叭信⑵717=132;

⑷

2?已知，則a的取值范圍是

3?如圖，在/?/AABC中，ZC=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的長.

第1題可由學(xué)生自主完成，第2、3題教師可給予相應(yīng)的指導(dǎo).

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

請若干學(xué)生口述小結(jié)，老師再利用電子課件將小結(jié)放映在屏幕上.

布置作業(yè)

從教材“習(xí)題21.2”中選取.

教與反思＜

本課時教學(xué)突出學(xué)生主體性原則，即通過探究學(xué)習(xí)，指導(dǎo)學(xué)生獨立思考，通過具體數(shù)據(jù)得出規(guī)律，

再讓學(xué)生相互交流，或上臺展示自己的發(fā)現(xiàn)，或表述個人的體驗，從中獲取成功的體驗后，激發(fā)學(xué)生探

究的激情.

21-3二次根式的加減

致與目標＜：?<

1?掌握同類二次根式的概念，會判斷同類二次根式，會合并同類二次根式.

2?掌握二次根式加減乘除混合運算的方法.

重后難后＜：?<

重點

二次根式加減法的運算.

難點

探討二次根式加減法的運算方法，快速準確進行二次根式加減法的運算.

教學(xué)設(shè)計＜：?<

一、情境引入

1?合并同類項：

(l)2x+3x；(2)2x2—3X2+5X2.

解：(l)5x；(2)4x2.

這幾道題是你運用什么知識做的？加減法則.

2?化簡：

(1雄:(2)A/48.

解:(1)-^^；(2)4-\/3.

3?如何進行二次根式的加減計算？先化簡，再合并.

4?同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數(shù)相同，這些二次根式就稱

為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數(shù)相同的二次根式.如2啦與3/；2小，3m與5m.

二、探究新知

例1計算：

⑴2啦+3啦；

(2)278-3^8+578；

(34+2市+3,9X7；

(4)3^3-2-734-^3.

教師多媒體展示例1.(1)如果我們把血當成x，不就轉(zhuǎn)化成上面的問題了嗎？

因此，二次根式的被開方數(shù)相同的可以合并，如2g與,表面上看是不同的，但它們可以合并.

歸納:二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并.

例2計算：

⑵訴+病+(小一小).

教師多媒體展示例2.學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示、點評，教師巡視.

三、練習(xí)鞏固

I-下列計算是否正確？為什么？

("-小=^/^；

(2＞V4+A/9=^/4+9;

⑶3啦一啦=2啦.

2?以下二次根式：①V衣；②＞因；③喟；④V刃中，與小是同類二次根式的是()

A?①和②B.②和③

C■①和④D.③和④

3?計算：

(lh/80—V20+V5;

(2)718+(-798-^27)；

13

(3)2(V2+V3)-4(V2+V27)；

4?已知x=＜§+l，y=小一1，求下列各式的值.

(l)x2+2xy+y2；(2)x2—y2.

教師多媒體展示，點名回答第1，2題，第3題學(xué)生板演，教師點評.

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

請學(xué)生分組討論，小組代表匯報，教師展示本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識要點.

布置作業(yè)

從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題21.3”中選取.

教與反思＜

本節(jié)課通過復(fù)習(xí)整式的加減法、合并同類項，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，對法則

的教學(xué)與整式的加減比較學(xué)習(xí)，在理解、掌握和運用二次根式的加減法運算法則的學(xué)習(xí)過程中，滲透了

分析、概括、類比等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的思維品質(zhì)和興趣.

第22章一元二次方程

22.1一元二次方程

致與目標＜：?<

1?知道一元二次方程的意義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0(aH0).

2?在分析、揭示實際問題的數(shù)量關(guān)系并把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(一元二次方程)的過程中，使

學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的工具，增加對一元二次方程的感性認識.

重Q難Q<：?<

重占

判定一個數(shù)是否是方程的根.

難點

由實際問題列出的一元二次方程解出根后，還要考慮這些根是否確定是實際問題的根.

教學(xué)設(shè)計

一、情境引入

教師展示多媒體，引導(dǎo)學(xué)生列出方程，解決問題.

問題1綠苑小區(qū)住宅設(shè)計，準備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，

并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？

【分析】設(shè)長方形綠地的寬為x米，不難列出方程

x(x+10)=900

整理可得

X2+10X-900=0.(1)

問題2學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預(yù)計到明年年底增加到7.2萬冊，求這兩年的年平均

增長率.

解：設(shè)這兩年的年平均增長率為X.

我們知道，去年年底的圖書數(shù)是5萬冊，則今年年底的圖書數(shù)是5(l+x)萬冊，

同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年年底的(1+x)倍，即5(l+x>(l+x)=5(l+x)2萬冊，

可列得方程5(1+X)2=7.2，

整理可得

5x2+lOx-2.2=0.(2)

二、探究新知

教師指出問題，學(xué)生小組討論，歸納.

問題1和問題2分別歸結(jié)為解方程(1)和(2).顯然，這兩個方程都不是一元一次方程，那么這兩個

方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點呢？

共同特點：

(1)都是整式方程；

(2)只含有一個未知數(shù)；

(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

【歸納總結(jié)】上述兩個整式方程中都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的方程

叫做一元二次方程，通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问絘x2+bx+c=0(a>b>c是已知數(shù)，aWO).其中ax?叫

做二次項，a叫做二次項系數(shù)，bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)，c叫做常數(shù)項.

例1判斷下列方程是否為一元二次方程：

①l-x2=0；②2(x2-l)=3y；

③2X2_3X_]=0;^=0：

⑤6+3)2=慎一3/⑥9X2=5—4X.

解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.

【教學(xué)說明】(1)一元二次方程為整式方程；(2)類似⑤這樣的方程要化簡后才能判斷.

例2將方程(8-2x)(5—2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次

項系數(shù)及常數(shù)項.

解：2x2—13x+ll=0；2，-13-11.

三、練習(xí)鞏固

1?將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項.

(1)5X2-1=4X；

(2)4x2=81；

(3)4x(x+2)=25；

(4)(3x-2)(x+l)=8x-3.

解：(l)5x2-4x—1=0；5)—41—1；

(2)4x2—81=0；4，o，一8i；

(3)4X2+8X-25=0；4，8，-25；

(4)3X2-7X+1=0；3--7＞1.

2?根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.

(1)4個完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長x；

(2)一個長方形的長比寬多2，面積是100，求長方形的長x；

(3)把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平方，求較短一

段的長X.

解:(1)4x2=25；4x2-25=0；

(2)x(x—2)=100；X2-2X-100=0；

(3)x=(l-x)2；X2-3X+1=0.

3?若x=2是方程ax2+4x-5=0的一個根，求a的值.

解：：x=2是方程ax2+4x-5=0的一個根.

，4a+8—5=0，

解得a=V3

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1?只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.

2?一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0(aW0)，一元二次方程的項及系數(shù)都是根據(jù)一般式定

義的，這與多項式中的項、次數(shù)及其系數(shù)的定義是一致的.

3?在實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(一元二次方程)的過程中，體會學(xué)習(xí)一元二次方程的必要性和重要

性.

布置作業(yè)

從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.1”中選取.

教學(xué)反思＜

學(xué)習(xí)本課時，可讓學(xué)生先自主探索再合作交流，小組內(nèi)，小組之間充分交流后概括所得結(jié)論，從而

強化學(xué)生對一元二次方程的有關(guān)概念的認識，掌握建模思想，利用一元二次方程解決實際問題.

22-2一元二次方程的解法

22.2.1直接開平方法和因式分解法

教學(xué)目標＜：?<

1?會用直接開平方法解形如a(x-ky=b(aW0，abNO)的方程.

2?靈活應(yīng)用因式分解法解一元二次方程.

3?使學(xué)生了解轉(zhuǎn)化的思想在解方程中的應(yīng)用.

重啟難總＜：?<

重占

利用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程.

難點

合理選擇直接開平方法和因式分解法較熟練地解一元二次方程.

教與設(shè)計＜:?＜

一、情境引入

教師提出問題，讓學(xué)生說出作業(yè)中的解法，教師板書.

問：怎樣解方程(x++=256?

解：方法1：直接開平方，得x+l=±16，

原方程的解是Xi=15，X2=-17.

方法2：原方程可變形為

(x+1)2—256=0，

方程左邊分解因式，得(x+l+16)(x+l—得)=0，

即(x+17)(x—15)=0，

，x+17=0或x—15=0>

原方程的解是X|=15，X2=-17.

二、探究新知

教師多媒體展示，學(xué)生板演，教師點評.

例1用直接開平方法解下列方程：

(l)(3x+1產(chǎn)=7；(2)y2+2y+l=24；

(3)9n2-24n+16=ll.

解：(1)3；

⑵一1±2加；

【教學(xué)說明】運用開平方法解形如(x+m)2=n(n>0)的方程時，最容易出現(xiàn)的錯誤是漏掉負根.

例2用因式分解法解下列方程：

(1)5X2-4X=0；

(2)3x(2x+l)=4x+2；

(3)(x+5"3x+15.

4

解：(l)Xi=01X2=5；

21

(2)X,=3，X2=一》

(3)X|=-5，x2=—2.

【教學(xué)說明】解這里的(2)(3)題時，注意整體劃歸的思想.

三、練習(xí)鞏固

教師多媒體展示出題目，由學(xué)生自主完成，分組展示結(jié)果，教師點評.

1?用直接開平方法解下列方程：

(1)3(X-1)2-6=0；

(2)X2-4X+4=5；

(3)(X+5『=25；

(4)X2+2X+1=4.

解：(1)X]=1+啦，X2=l-也；

(2)xi=2+小，X2=2一??；

(3)X]=O，x2=-10；

(4)xi=1?x2=-3.

2?用因式分解法解下列方程：

(l)x2+x=0；(2)x2—2小x=0；

(3)3X2-6X=-3;(4)4X2-121=0；

(5)(X-4)2=(5-2X)2.

解：(l)Xi=0>x2=—1：

(2)X|=O，X2=25

(3)X|=X2=1；

，八1111

(4)xi=5>x2=-y；

(5)X]=3，X2—1.

3?把小圓形場地的半徑增加5根得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，求小圓形場地的半徑.

解：設(shè)小圓形場地的半徑為X〃L

則可列方程2凌企=T(X+5/，

解得xi=5+5也，X2=5—5啦(舍去).

答：小圓形場地的半徑為(5+5啦)九

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1?引導(dǎo)學(xué)生回憶用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步驟.

2?對于形如a(x-k)2=b(aW0，abeO)的方程，只要把(x~k)看作一個整體，就可轉(zhuǎn)化為x2=n(n20)

的形式用直接開平方法解.

3?當方程出現(xiàn)相同因式(單項式或多項式)時，切不可約去相同因式，而應(yīng)用因式分解法解.

布置作業(yè)

從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.2”中選取.

教學(xué)反思:?<

本節(jié)課教師引導(dǎo)學(xué)生探討直接開平方法和因式分解法解一元二次方程，讓學(xué)生小組討論，歸納總結(jié)

探究，掌握基本方法和步驟，合理、恰當、熟練地運用直接開平方法和因式分解法，在整個教學(xué)過程中

注意整體劃歸的思想.

22-2.2配方法

教學(xué)目標＜r?<

1?使學(xué)生掌握配方法的推導(dǎo)過程，熟練地用配方法解一元二次方程.

2?在配方法的應(yīng)用過程中體會“轉(zhuǎn)化”的思想，掌握一些轉(zhuǎn)化的技能.

重總難總＜:?<

重占

使學(xué)生掌握用配方法解一元二次方程.

難點

發(fā)現(xiàn)并理解配方的方法.

教與設(shè)計＜:?<

一、情境引入

教師多媒體展示問題，引導(dǎo)學(xué)生解決問題.

問題要使一塊矩形場地的長比寬多6〃7，并且面積為16/H2＞場地的長和寬分別是多少？

解：設(shè)場地的寬為xm,則長為(x+6))

根據(jù)矩形面積為16/，得到方程x(x+6)=16，

整理得到X2+6X-16=0.

二、探究新知

教師多媒體展示問題，用問題喚起學(xué)生的回憶，明確該問題的特點.

探究如何解方程x?+6x—16=0?

問題1通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們現(xiàn)在會解什么樣的一元二次方程？舉例說明.

【教學(xué)說明】用問題喚起學(xué)生的回憶，明確我們現(xiàn)在會解的一元二次方程的特點：等號左邊是一個

完全平方式，右邊是一個非負常數(shù)，即(x+m)2=n(n20)，運用直接開平方法可求解.

問題2你會用直接開平方法解下列方程嗎？

(1)(X+3)2=25；

(21+6x+9=25；

(3)X2+6X=16；

(4)X2+6X-16=0.

教師重點講解第3小題.

解：移項,得*~+6*=16,

兩邊都加上9即,I,

使左邊配成x2+bx+(1)2的形式，得

x2+6x+9=16+9>

左邊寫成完全平方形式，得

(x+3『=25，

開平方，得-x+3=±5.，(降次)

即x+3=5或x+3=—5，

解一次方程得xi=2'x?=-8..

【歸納總結(jié)】將方程左邊配成一個含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個非負常數(shù)，從而可以直接

開平方求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

教師展示課件，讓學(xué)生自主完成以下例題，小組展示，教師點評歸納.

例1填空：

(1)X2+8X+16=(x+4)2：

(21—x+_/_=(x尸；

(3)4X2+4X+1=(2X+1)2.

例2解下列方程：

(1)X2+6X+5=0；(2)2X2+6X+2=0；

(3)(1+X)2+2(1+X)-4=0.

解：(1)X|=-1，x2=—5；

s、亞3亞3

(2)X|=-^-―5，X2=一_}--2:

(3岡二小一2，X2="\/5—2.

［歸納總結(jié)］利用配方法解方程應(yīng)該遵循的步驟：

(1)把方程化為一般形式ax2+bx+c=O；

(2)把常數(shù)項移到方程的右邊；

(3)方程兩邊同時除以二次項系數(shù)a：

(4)方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

(5)此時方程的左邊是一個完全平方式，然后利用直接開平方法來解.

三、練習(xí)鞏固

學(xué)生獨立解答以下練習(xí)，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路.

1?用配方法解下列方程：

⑴2x?-4x—8=0；

(2)X2-4X+2=0；

21

(3)x~一呼一1=0.

2,如果x?—4x+y?+6y+.z+2+13=0，求(xy)’的值.

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1?用配方法解一元二次方程的步驟.

2?用配方法解一元二次方程的注意事項.

布置作業(yè)

從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.2”中選取.

敦與反思

本節(jié)課先創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入一元二次方程的解法，引導(dǎo)學(xué)生將要解決的問題轉(zhuǎn)化為己學(xué)過的直接開平方

法來解，從而探索出配方法的一般步驟，熟練運用配方法來解一元二次方程.

22?2.3公式法

教與目標<

1?理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念.

2?會熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程.

重Q難總<

重占

求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

難點

一元二次方程求根公式的推導(dǎo).

敦與設(shè)計

一、情境引入

用配方法解方程：

(1)X2+3X+2=0；(2)2X2—3X+5=0.

解：(1)X|=-1，X2=-2；(2)無解.

二、探究新知

教師多媒體展示問題，引導(dǎo)學(xué)生利用配方法推出求根公式，學(xué)生小組展示.

如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a^0)，你能否用上面配方法的步驟求出它的兩

根？

問題已知ax2+bx+c=0(aW0)，試推導(dǎo)它的兩個根x,=—"噂’趣,

Zd

-b-\/b'_4ac

X2=2a

【分析】因為前面具體數(shù)字的題目已做得很多，現(xiàn)在不妨把a，b，c也當成具體數(shù)字，根據(jù)上面的

解題步驟就可以推導(dǎo)下去.

探究一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根由方程的系數(shù)a'b>c而定，因此：

(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b2-4ac>0時，將a，b，c

代入式子x=--4aq就得到方程的根，當b2_4ac<0時，方程沒有實數(shù)根；

Nd

(2)x=-bNf4二叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的求根公式；

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

教師板演第①小題，學(xué)生可自主完成余下的題目，小組展示，教師點評.

例用公式法解下列方程：

①2X2-4X—1=0；②5X+2=3X2；

③(x-2)(3x-5)=0;@4X2-3X+1=0.

解：①xi=l+當,X2=l—半；

②xi=2，x2=—

@X1=2，X2=|；

④無解.

三、練習(xí)鞏固

教師展示課件，學(xué)生自主完成，小組內(nèi)交流.用公式法解下列方程:

(1)X2+X-12=0；

(2)X2-V2X-1=0；

(3)X2+4X+8^2X+11；

(4)x(x-4)=2-8x；

(5)X2+2X=0；

(6)X2+2^/5X+I0=0.

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1?求根公式的概念及其推導(dǎo)過程.

2?公式法的概念.

3?應(yīng)用公式法解一元二次方程.

布置作業(yè)

從教材相應(yīng)練習(xí)和''習(xí)題22.2”中選取.

教與反思

在學(xué)習(xí)活動中，要求學(xué)生主動參與，認真思考，比較觀察，交流與表述，體驗知識獲取的過程，激

發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，利用師生的雙邊活動，適時調(diào)試，從而提高學(xué)習(xí)效率.

22-2.4一元二次方程根的判別式

教學(xué)目標＜

1?能運用根的判別式，判斷方程根的情況和進行有關(guān)的推理論證.

2?會運用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍.

重Q難總＜

重占

根的判別式的正確理解與應(yīng)用.

難點

含字母系數(shù)的一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.

敦與設(shè)計

一、情境引入

教師多媒體展示，回顧已有知識.

用公式法解下列一元二次方程:

(1)X2+5X+6=0；

(2)9X2-6X+1=0；

(3)X2-2X+3=0.

解：(1)X1=—2，X2=—3；

c1

(2)X|=X2=§；

(3)無解.

二、探究新知

教師課件展示，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生解決問題.

觀察解題過程，可以發(fā)現(xiàn)：在把系數(shù)代入求根公式之前，需先確定a，b，c的值，然后求出b2-4ac

的值，它能決定方程是否有解，我們把b2-4ac叫做一元二次方程根的判別式，通常用符號“A”來表

示>即A=b2—4ac.

我們回顧一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程發(fā)現(xiàn)：

.?b、2b2—4ac

支十五尸

【歸納結(jié)論】(i)當△>()時，方程有兩個不相等的實數(shù)根：

—b+"\/b2-4ac—b-—b?-4ac

x尸2a，*2=2a；

(2)當△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根：

b

Xi=X2=一3；

(3)當A〈0時，方程沒有實數(shù)根.

例I利用根的判別式判定下列方程的根的情況：

3

(l)2x2—3x—2=0；(2)16x2—24x+9=0；

(3)X2-4A/2+9=0;(4)3X2+10X=2X2+8X.

解：(1)有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)有兩個相等的實數(shù)根；

(3)無實數(shù)根；

(4)有兩個不相等的實數(shù)根.

三、練習(xí)鞏固

教師多媒體展示問題，引導(dǎo)學(xué)生靈活運用知識，學(xué)生小組內(nèi)交流.

1?方程X2-4X+4=0的根的情況是()

A?有兩個不相等的實數(shù)根

B■有兩個相等的實數(shù)根

C-有一個實數(shù)根

D?沒有實數(shù)根

2?已知x2+2x=m-l沒有實數(shù)根，求證：x2+mx=l—2m必有兩個不相等的實數(shù)根.

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1■用判別式判定一元二次方程根的情況：

(l)A>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)A=0時?，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；

(3)A<0時，一元二次方程無實數(shù)根.

2?運用根的判別式解決具體問題時，要注意二次項系數(shù)不為。這一隱含條件.

布置作業(yè)

從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.2”中選取.

教學(xué)反思

本課時創(chuàng)設(shè)情境，啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生充分感受理解知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，在教師適時點撥下，學(xué)

生在發(fā)現(xiàn)歸納的過程中積極主動地去探索，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神及思維能

力.

*22.2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

教學(xué)目標＜

1?引導(dǎo)學(xué)生在已有的一元二次方程解法的基礎(chǔ)上，探索出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及其關(guān)系

的運用.

2?通過觀察、實踐、討論等活動，經(jīng)歷從觀察、判斷到發(fā)現(xiàn)關(guān)系的過程.

垂Q難Q＜

重點

一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系的運用.

難點

一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系的運用.

教學(xué)設(shè)計＜

一、情境引入

教師課件展示，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生解決問題.

1?完成下列表格

方程XIX2X|+x2X]?x2

X2—5x+6=02356

X2+3X-1O=O2-5-3-10

問題你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

①用語言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：（兩根之和為一次項系數(shù)的相反數(shù)，兩根之積為常數(shù)項）.

②設(shè)方程x2+px+q=0的兩根為xi，X2，用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

（x,+x2=-p'X1?x2=q.）

2?完成下列表格

方程X]x2X1+X2xi-x2

3

2X2-3X-2=02-1

~22

11

3X2-4X+1=01

33

問題上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？（不成立）

請完善規(guī)律：

①用語言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：（兩根之和為一次項系數(shù)與二次項系數(shù)之比的相反數(shù)，兩根之積為常數(shù)

項與二次項系數(shù)之比.）

②設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為％，x2，用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

,.bc

（X1+X2=一￡'X「X2=7）

二、探究新知

教師多媒體展示，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)求根公式推出根與系數(shù)之間的關(guān)系.

通過以上活動你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？對一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0）這一規(guī)律是否成立?

試通過求根公式加以說明.

ax2+bx+c=O的兩根x尸「十坪三，

~b~~\/b~~4ac,bc

X2=2^，X|+X2=W，X|-X2=-.

教師課件展示問題，學(xué)生可自主完成，小組內(nèi)交流，教師點評.

例1不解方程，求下列方程的兩根之和與兩根之積：

(l)x~—6x—15=0；

(2)3X2+7X-9=0；

(3)5x—1—4x2.

解：(1)X]+X2=6'X|?X2=—15；

(2)xi+x2=—(，xi?x2=-3；

c、工51

(3)X|+X2=4，X,.X2=]

例2已知方程2x?+kx—9=0的一個根是一3，求另一個根及k的值.

3

解：另一個根為之，k=3.

三、練習(xí)鞏固

可由學(xué)生自主完成搶答，教師點評.

1-不解方程，求下列方程的兩根之和與兩根之積：

(Dx?-3x=15；

(2)5x2-1=4x2；

(3)X2-3X+2=10；

(4)4x2-144=0；

(5)3x(x—l)=2(x—1)；

(6)(2X-1)2=(3-X)2.

2■兩根均為負數(shù)的一元二次方程是()

A-7X2-12X+5=0

B-6X2-13X-5=0

C-4X2+21X+5=0

D-X2+15X-8=0

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1?一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

2-一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系成立的前提條件.

布置作業(yè)

從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.2”中選取.

教學(xué)反思＜

本節(jié)課先由學(xué)生探究特殊一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，再猜想一般一元二次方程的根與系數(shù)的

關(guān)系，并從理論上加以推導(dǎo)證明，加深學(xué)生對知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生嚴密的邏輯思維能力.

22-3實踐與探索

教學(xué)目標＜：?<

使學(xué)生利用一元二次方程的知識解決實際問題，學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型來建立一元二次方

程.

垂Q難Q＜:?<

重占

列一元二次方程解決實際問題.

難點

尋找實際問題中的等量關(guān)系.

教學(xué)設(shè)計＜：?<

一、情境引入

問題1學(xué)校生物小組有一塊長32根，寬20m的矩形試驗田，為了管理方便，準備沿平行于兩邊

的方向縱、橫各開辟一條等寬的小道，要使種植面積為540〃，，小道的寬應(yīng)是多少？

問題2某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由56元降為31.5元，已知兩次降價的百分率相同，求

每次降價的百分率.

二、探究新知

教師引導(dǎo)學(xué)生分析解決問題，并讓學(xué)生一題多解伺時要注意檢驗所解得的結(jié)果是否符合實際意義.

問題1【分析】問題中的等量關(guān)系很明顯，即抓住種植面積為540療來列方程，設(shè)小道的寬為x

m，如何來表示種植面積？

方法一：如圖，由題意得

32X20—32x—20x+x2=540.

方法二：如圖，采用平移的方法更簡便.

X

X

20

32-

由題意可得

(20-x)(32-x)=540，

解得Xi=50'X2=2'

由題意可得x<20，...x=2.

問題2【分析】這是增長率問題，問題中的數(shù)量關(guān)系很明了，即原價56元經(jīng)過兩次降價降為31.5

元，設(shè)每次降價的百分率為x，由題意得

56(1—X)2=31.5，

解得xi=0.25>X2=1.75(舍去).

三、練習(xí)鞏固

1?青山村種的水稻前年平均每公頃產(chǎn)量為7200kg，今年平均每公頃產(chǎn)量為8450kg>求水稻每公

頃產(chǎn)量的年平均增長率.

2?用一根長40cm的鐵絲圍成一個長方形，要求長方形的面積為75cm2.

(1)求此長方形的寬；

(2)能圍成一個面積為101al的長方形嗎？如能，說明圍法；

(3)若設(shè)圍成一個長方形的面積為S(c,〃2),長方形的寬為x(cm)，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當

x為何值時，S的值最大，最大面積為多少？

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)

1?列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審、設(shè)、找、歹!1、解、答.最后要檢驗根是否符合實際意義.

2?用一元二次方程解決特殊圖形問題時，通常要先畫出圖形，利用圖形的面積找相等關(guān)系列方程.

3?若平均增長(降低)率為x，增長(或降低)前的基數(shù)是a，增長(或降低)n次后的量是b，則有a(l±x)n

=b(常見n=2).

布置作業(yè)

從教材相應(yīng)練習(xí)和''習(xí)題22.3”中選取.

教學(xué)反思＜:?＜

本課時從創(chuàng)設(shè)情境入手，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)建模思想，學(xué)會分析問題并利用一元二次方程解決實際問

題，舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力，同時通過合作交流培養(yǎng)學(xué)生參與合作的意識.

第23章圖形的相似

23.1成比例線段

23.1.1成比例線段

致與目標＜r?<

1?了解成比例線段的意義，會判斷四條線段是否成比例.

2.會利用比例的性質(zhì)，求出未知線段的長.

重總